Esame di Geometria 1 — 5 Luglio 2018
NOME, COGNOME e MATRICOLA...
Autorizzo la pubblicazione in rete del risultato dell’esame. Firma...
1. Sia W il sottospazio vettoriale di M
2×2( R) generato dalla base A := {A
1, A
2, A
3}, dove A
1=
[ 1 1 0 1
]
, A
2=
[ 0 1 1 0
]
, A
3=
[ 1 −1
−1 0 ]
; siano inoltre
B
1=
[ 1 − t 0
−1 1 ]
, B
2=
[ 2t t 0 t
]
, B
3=
[ t + 1 0
0 0
] .
Al variare di t ∈ R :
(a) verificare che B
1, B
2, B
3appartengano a W ;
(b) detto F
t∈ End(W ) l’endomorfismo definito da F
t(A
i) = B
i, per i = 1, 2, 3, determi- narne la matrice rappresntativa M
A(F
t);
(c) calcolare lo spettro di F
t, e stabilire se F
t` e diagonalizzabile; per t = 1, determinare una base di ogni autospazio di F
1.
(d) Determinare la base D di W tale che la matrice del cambio di base da D a A sia
A
M
D(id
W) =
1 1 1
0 1 0
−1 0 0
.
2. Sia W
kil sottospazio vettoriale di R[x]
W
k:= ⟨a
k(x), b
k(x), c
k(x), d
k(x) ⟩ , dove
a
k(x) = x
3+ kx + 2, b
k(x) = (k − 1)x
3+ (k
2− 1)x
2, c
k(x) = kx
2, d
k(x) = x
3+ x
2+ kx + k
2+ k + 2,
con k ∈ R parametro. Sia inoltre Φ ∈ End(R[x]
≤3) l’endomorfismo univocamente deter- minato dalle condizioni:
Φ(x
3+ x) = 0, Φ(2x
2+ 3) = x
3− 2x
2+ 2x, Φ(x + 1) = −2x
3+ 4x
2− 5x + 1, Φ(2x
2− 1) = 0.
(a) Al variare di k, si determinino la dimensione e una base di W
k.
(b) Al variare di k, si stabilisca se il polinomio p(x) = x
3− 2x
2+ x + 1 sia contenuto o meno in W
k. Quanti elementi distinti contiene l’insieme {W
k| k ∈ R}?
(c) Si determinino la dimensione e, se possibile, una base di Im(Φ), Im(Φ) ∩ ker(Φ) e, al variare di k, di Im(Φ) ∩ ker(Φ) ∩ W
k.
(d) Per k = −1, si stabilisca se Φ definisce un endomorfismo dello spazio W
−1.
%
3. Nello spazio affine reale A
4si consideri il sottospazio affine Σ
hdelle soluzioni del sistema
hx
1+ x
2+ x
4= 1 hx
1+ hx
2+ hx
4= 1 (h − 1)x
3+ hx
4= 1 2hx
1+ 2x
2+ hx
4= h
per h ∈ R. Sia inoltre r la retta passante per i punti P = (0, 0, 0, 1) e Q = (2, 2, 0, 1).
(a) Individuati i valori di h per cui Σ
hnon ` e vuoto, si determini per questi la dimensione di Σ
hal variare di h.
(b) Si determini, al variare di h, la dimensione di Σ
h∪ r.
(c) Nel caso h = 1, si determinino una rappresentazione parametrica di Σ
1e una rappre- sentazione cartesiana di Σ
1∪ r.
Plotino
Esame di Geometria 1 — 5 Luglio 2018
NOME, COGNOME e MATRICOLA...
Autorizzo la pubblicazione in rete del risultato dell’esame. Firma...
1. Sia W il sottospazio vettoriale di M
2×2( R) generato dalla base A := {A
1, A
2, A
3}, dove A
1=
[ 0 1 1 1
]
, A
2=
[ 1 0 0 1
]
, A
3=
[ −1 0 1 −1
]
; siano inoltre
B
1=
[ −1 1
1 − t 0 ]
, B
2=
[ 0 t 2t t
]
, B
3=
[ 0 0
t + 1 0 ]
.
Al variare di t ∈ R :
(a) verificare che B
1, B
2, B
3appartengano a W ;
(b) detto F
t∈ End(W ) l’endomorfismo definito da F
t(A
i) = B
i, per i = 1, 2, 3, determi- narne la matrice rappresntativa M
A(F
t);
(c) calcolare lo spettro di F
t, e stabilire se F
t` e diagonalizzabile; per t = 1, determinare una base di ogni autospazio di F
1.
(d) Determinare la base D di W tale che la matrice del cambio di base da D a A sia
A
![1. In R[x] ≤3 si considerino il sottospazio vettoriale](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)