1. In R[x] ≤3 si considerino il sottospazio vettoriale

(1)

Esame di geometria 1 — 11 Febbraio 2020

NOME, COGNOME e MATRICOLA...

Autorizzo la pubblicazione in rete del risultato dell’esame. Firma...

Mi avvalgo dell’esonero

1. In R[x] ^≤3 si considerino il sottospazio vettoriale

V _h = h 3x ² + 2, (h − 1)x, (h + 2)x ³ + 1, 3x ³ + 3x ² + (1 − h)x + h + 2 i e il sottoinsieme

U _k = {p(x) ∈ R ^≤3 [x] | p(x) = 2p(x) + kxp ⁰ (x) + 2kp(0)} .

(a) Si dimostri che U _k ` e sottospazio vettoriale, e si determinino, in dipendenza dal parametro k, la dimensione e, qualora sia possibile, una base di U _k .

(b) Si determinino la dimensione e una base di V h , in dipendenza da h.

(c) Si determini per quali valori di h e k i sottospazi vettoriali V _h e U _k sono in somma diretta e, per tali valori, si calcoli la dimensione di V _h ⊕ U _k .

(d) Per h = 1 e k = − ¹ ₂ si determini una base di U ₋

¹

2

∩ V ₁ , e la si completi a una base di U ₋

¹

2

+ V ₁ .

2. Siano W il sottospazio di R ⁴ delle soluzioni di x ₁ + x ₂ − x ₃ − x ₄ = 0, U il sottospazio di W generato dai vettori ^t (1, 1, 1, 1) e ^t (2, 0, 1, 1), e F t l’applicazione lineare

F _t : R ⁴ → W,





 x 1

x ₂ x ₃ x 4





 7→







x 1 + (−t ² + 3t − 1)x 2 + t ² x 3

(t − 1)x ₂ + x ₄ x ₁ + (2t − 1)x ₂

(−t ² + 2t − 1)x 2 + t ² x 3 + x 4





 .

(a) Si dia una rappresentazione parametrica del sottospazio affine F ₂ ⁻¹ ( ^t (1, 1, 1, 1)).

(b) Si calcoli una matrice rappresentativa di F _t : R ⁴ → W.

(c) Si stabilisca per quali t ∈ R `e verificata l’inclusione F t (U ) ⊂ U, e per tali t si determini una matrice rappresentativa degli endomorfismi G _t := F _t|U : U → U .

(d) Si calcoli il polinomio caratteristico di G ₁ e G −1 , se ne discuta la diagonalizzabilit` a, e per ogni autospazio di G −1 se ne determini una base.

3. Nello spazio affine reale A ³ si considerino le seguenti rette, dipendenti dal paramentro reale

`.

r _` :

( `x − y = 1

x + `y − z = 1 s _` :

( x + y = 0 y − `z = −1 (a) Al variare di `, si determini la posizione reciproca di r _` e s _` .

(b) Si stabilisca per quali valori di ` esiste un piano π _` che contiene entrambe le rette r _` e s _` , individuandolo tramite la sua equazione cartesiana.

(c) Si consideri il punto P = (1, 0, 0) ∈ A ³ ; si determini per quali valori di ` esiste una retta, passante per P, che interseca sia r _` che s _` .

Rigel

(2)

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Mi avvalgo dell’esonero

1. In R[x] ^≤3 si considerino il sottospazio vettoriale

V _h = h 3x ² + 2, (−h − 1)x, (2 − h)x ³ + 1, 3x ³ + 3x ² + (h + 1)x + 2 − h i e il sottoinsieme

U _k = {p(x) ∈ R ^≤3 [x] | p(x) = 2p(x) + kxp ⁰ (x) + 2kp(0)} .

(a) Si dimostri che U _k ` e sottospazio vettoriale, e si determinino, in dipendenza dal parametro k, la dimensione e, qualora sia possibile, una base di U _k .

(b) Si determinino la dimensione e una base di V _h , in dipendenza da h.

(c) Si determini per quali valori di h e k i sottospazi vettoriali V _h e U _k sono in somma diretta e, per tali valori, si calcoli la dimensione di V h ⊕ U k .

(d) Per h = −1 e k = − ¹ ₂ si determini una base di U ₋

¹

2

∩ V −1 , e la si completi a una base di U ₋

¹

2

+ V −1 .

2. Siano W il sottospazio di R ⁴ delle soluzioni di x 1 − x 2 + x 3 − x 4 = 0, U il sottospazio di W generato dai vettori ^t (1, 1, 1, 1) e ^t (1, 0, 1, 2), e F _t l’applicazione lineare

F _t : R ⁴ → W,





 x 1

x ₂ x ₃ x 4





 7→







x 1 + (−t ² + 2t − 1)x 2 + t ² x 3

x ₁ + (t − 1)x ₂ (2t − 1)x ₂ + x ₄

(−t ² + 3t − 1)x 2 + t ² x 3 + x 4





 .

(a) Si dia una rappresentazione parametrica del sottospazio affine F ₂ ⁻¹ ( ^t (1, 1, 1, 1)).

(b) Si calcoli una matrice rappresentativa di F _t : R ⁴ → W.

(c) Si stabilisca per quali t ∈ R `e verificata l’inclusione F ^t (U ) ⊂ U, e per tali t si determini una matrice rappresentativa degli endomorfismi G _t := F _t|U : U → U .

(d) Si calcoli il polinomio caratteristico di G 1 e G −1 , se ne discuta la diagonalizzabilit` a, e per ogni autospazio di G −1 se ne determini una base.

3. Nello spazio affine reale A ³ si considerino le seguenti rette, dipendenti dal paramentro reale

`.

r _` :

( y − `z = −1

x − `y − z = −1 s _` :

( y + z = 0

`x − y = 1 (a) Al variare di `, si determini la posizione reciproca di r _` e s _` .

(b) Si stabilisca per quali valori di ` esiste un piano π _` che contiene entrambe le rette r _` e s _` , individuandolo tramite la sua equazione cartesiana.

(c) Si consideri il punto P = (0, 0, 1) ∈ A ³ ; si determini per quali valori di ` esiste una retta, passante per P, che interseca sia r _` che s _` .

Betelgeuse

1. In R[x] ≤3 si considerino il sottospazio vettoriale

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Mi avvalgo dell’esonero

1. In R[x] ≤3 si considerino il sottospazio vettoriale

V h = h 3x 2 + 2, (h − 1)x, (h + 2)x 3 + 1, 3x 3 + 3x 2 + (1 − h)x + h + 2 i e il sottoinsieme

U k = {p(x) ∈ R ≤3 [x] | p(x) = 2p(x) + kxp 0 (x) + 2kp(0)} .

(a) Si dimostri che U k ` e sottospazio vettoriale, e si determinino, in dipendenza dal parametro k, la dimensione e, qualora sia possibile, una base di U k .

(b) Si determinino la dimensione e una base di V h , in dipendenza da h.

(c) Si determini per quali valori di h e k i sottospazi vettoriali V h e U k sono in somma diretta e, per tali valori, si calcoli la dimensione di V h ⊕ U k .

(d) Per h = 1 e k = − 1 2 si determini una base di U −

∩ V 1 , e la si completi a una base di U −

+ V 1 .

2. Siano W il sottospazio di R 4 delle soluzioni di x 1 + x 2 − x 3 − x 4 = 0, U il sottospazio di W generato dai vettori t (1, 1, 1, 1) e t (2, 0, 1, 1), e F t l’applicazione lineare

F t : R 4 → W,







 x 1

x 2 x 3 x 4







 7→









x 1 + (−t 2 + 3t − 1)x 2 + t 2 x 3

(t − 1)x 2 + x 4 x 1 + (2t − 1)x 2

(−t 2 + 2t − 1)x 2 + t 2 x 3 + x 4







 .

(a) Si dia una rappresentazione parametrica del sottospazio affine F 2 −1 ( t (1, 1, 1, 1)).

(b) Si calcoli una matrice rappresentativa di F t : R 4 → W.

(c) Si stabilisca per quali t ∈ R `e verificata l’inclusione F t (U ) ⊂ U, e per tali t si determini una matrice rappresentativa degli endomorfismi G t := F t|U : U → U .

(d) Si calcoli il polinomio caratteristico di G 1 e G −1 , se ne discuta la diagonalizzabilit` a, e per ogni autospazio di G −1 se ne determini una base.

3. Nello spazio affine reale A 3 si considerino le seguenti rette, dipendenti dal paramentro reale

`.

r ` :

( `x − y = 1

x + `y − z = 1 s ` :

( x + y = 0 y − `z = −1 (a) Al variare di `, si determini la posizione reciproca di r ` e s ` .

(b) Si stabilisca per quali valori di ` esiste un piano π ` che contiene entrambe le rette r ` e s ` , individuandolo tramite la sua equazione cartesiana.

(c) Si consideri il punto P = (1, 0, 0) ∈ A 3 ; si determini per quali valori di ` esiste una retta, passante per P, che interseca sia r ` che s ` .

Rigel

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Mi avvalgo dell’esonero

1. In R[x] ≤3 si considerino il sottospazio vettoriale

V h = h 3x 2 + 2, (−h − 1)x, (2 − h)x 3 + 1, 3x 3 + 3x 2 + (h + 1)x + 2 − h i e il sottoinsieme

U k = {p(x) ∈ R ≤3 [x] | p(x) = 2p(x) + kxp 0 (x) + 2kp(0)} .

(a) Si dimostri che U k ` e sottospazio vettoriale, e si determinino, in dipendenza dal parametro k, la dimensione e, qualora sia possibile, una base di U k .

(b) Si determinino la dimensione e una base di V h , in dipendenza da h.

(c) Si determini per quali valori di h e k i sottospazi vettoriali V h e U k sono in somma diretta e, per tali valori, si calcoli la dimensione di V h ⊕ U k .

(d) Per h = −1 e k = − 1 2 si determini una base di U −

∩ V −1 , e la si completi a una base di U −

+ V −1 .

2. Siano W il sottospazio di R 4 delle soluzioni di x 1 − x 2 + x 3 − x 4 = 0, U il sottospazio di W generato dai vettori t (1, 1, 1, 1) e t (1, 0, 1, 2), e F t l’applicazione lineare

F t : R 4 → W,







 x 1

x 2 x 3 x 4







 7→









x 1 + (−t 2 + 2t − 1)x 2 + t 2 x 3

x 1 + (t − 1)x 2 (2t − 1)x 2 + x 4

(−t 2 + 3t − 1)x 2 + t 2 x 3 + x 4

1. In R[x] ^≤3 si considerino il sottospazio vettoriale

V _h = h 3x ² + 2, (h − 1)x, (h + 2)x ³ + 1, 3x ³ + 3x ² + (1 − h)x + h + 2 i e il sottoinsieme

U _k = {p(x) ∈ R ^≤3 [x] | p(x) = 2p(x) + kxp ⁰ (x) + 2kp(0)} .

(a) Si dimostri che U _k ` e sottospazio vettoriale, e si determinino, in dipendenza dal parametro k, la dimensione e, qualora sia possibile, una base di U _k .

(c) Si determini per quali valori di h e k i sottospazi vettoriali V _h e U _k sono in somma diretta e, per tali valori, si calcoli la dimensione di V _h ⊕ U _k .

(d) Per h = 1 e k = − ¹ ₂ si determini una base di U ₋

∩ V ₁ , e la si completi a una base di U ₋

+ V ₁ .

2. Siano W il sottospazio di R ⁴ delle soluzioni di x ₁ + x ₂ − x ₃ − x ₄ = 0, U il sottospazio di W generato dai vettori ^t (1, 1, 1, 1) e ^t (2, 0, 1, 1), e F t l’applicazione lineare

F _t : R ⁴ → W,

x ₂ x ₃ x 4

x 1 + (−t ² + 3t − 1)x 2 + t ² x 3

(t − 1)x ₂ + x ₄ x ₁ + (2t − 1)x ₂

(−t ² + 2t − 1)x 2 + t ² x 3 + x 4

(a) Si dia una rappresentazione parametrica del sottospazio affine F ₂ ⁻¹ ( ^t (1, 1, 1, 1)).

(b) Si calcoli una matrice rappresentativa di F _t : R ⁴ → W.

(c) Si stabilisca per quali t ∈ R `e verificata l’inclusione F t (U ) ⊂ U, e per tali t si determini una matrice rappresentativa degli endomorfismi G _t := F _t|U : U → U .

(d) Si calcoli il polinomio caratteristico di G ₁ e G −1 , se ne discuta la diagonalizzabilit` a, e per ogni autospazio di G −1 se ne determini una base.

3. Nello spazio affine reale A ³ si considerino le seguenti rette, dipendenti dal paramentro reale

r _` :

x + `y − z = 1 s _` :

( x + y = 0 y − `z = −1 (a) Al variare di `, si determini la posizione reciproca di r _` e s _` .

(b) Si stabilisca per quali valori di ` esiste un piano π _` che contiene entrambe le rette r _` e s _` , individuandolo tramite la sua equazione cartesiana.

(c) Si consideri il punto P = (1, 0, 0) ∈ A ³ ; si determini per quali valori di ` esiste una retta, passante per P, che interseca sia r _` che s _` .

1. In R[x] ^≤3 si considerino il sottospazio vettoriale

V _h = h 3x ² + 2, (−h − 1)x, (2 − h)x ³ + 1, 3x ³ + 3x ² + (h + 1)x + 2 − h i e il sottoinsieme

U _k = {p(x) ∈ R ^≤3 [x] | p(x) = 2p(x) + kxp ⁰ (x) + 2kp(0)} .

(a) Si dimostri che U _k ` e sottospazio vettoriale, e si determinino, in dipendenza dal parametro k, la dimensione e, qualora sia possibile, una base di U _k .

(b) Si determinino la dimensione e una base di V _h , in dipendenza da h.

(c) Si determini per quali valori di h e k i sottospazi vettoriali V _h e U _k sono in somma diretta e, per tali valori, si calcoli la dimensione di V h ⊕ U k .

(d) Per h = −1 e k = − ¹ ₂ si determini una base di U ₋

∩ V −1 , e la si completi a una base di U ₋

2. Siano W il sottospazio di R ⁴ delle soluzioni di x 1 − x 2 + x 3 − x 4 = 0, U il sottospazio di W generato dai vettori ^t (1, 1, 1, 1) e ^t (1, 0, 1, 2), e F _t l’applicazione lineare

F _t : R ⁴ → W,

x ₂ x ₃ x 4

x 1 + (−t ² + 2t − 1)x 2 + t ² x 3

x ₁ + (t − 1)x ₂ (2t − 1)x ₂ + x ₄

(−t ² + 3t − 1)x 2 + t ² x 3 + x 4

(a) Si dia una rappresentazione parametrica del sottospazio affine F ₂ ⁻¹ ( ^t (1, 1, 1, 1)).

(b) Si calcoli una matrice rappresentativa di F _t : R ⁴ → W.

(c) Si stabilisca per quali t ∈ R `e verificata l’inclusione F ^t (U ) ⊂ U, e per tali t si determini una matrice rappresentativa degli endomorfismi G _t := F _t|U : U → U .

3. Nello spazio affine reale A ³ si considerino le seguenti rette, dipendenti dal paramentro reale

r _` :

x − `y − z = −1 s _` :

`x − y = 1 (a) Al variare di `, si determini la posizione reciproca di r _` e s _` .

(b) Si stabilisca per quali valori di ` esiste un piano π _` che contiene entrambe le rette r _` e s _` , individuandolo tramite la sua equazione cartesiana.

(c) Si consideri il punto P = (0, 0, 1) ∈ A ³ ; si determini per quali valori di ` esiste una retta, passante per P, che interseca sia r _` che s _` .