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il sottospazio vettoriale

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Academic year: 2021

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(1)

18 Giugno 2018

Esame scritto di Geometria per Ingegneria (lettera P-Z, Salvatore) Svolgere i seguenti esercizi, spiegando chiaramente i procedimenti svolti.

1) Si considerino in R

4

il sottospazio vettoriale

V = Span{(1, 1, 0, −1), (0, 2, 1, 0), (−1, 1, 1, 1)}, e il sottospazio W delle soluzioni del sistema lineare

 

 

x

1

+ 2x

2

+ 2x

3

= 0 x

2

− 2x

3

+ x

4

= 0 x

1

+ 6x

3

− 2x

4

= 0

Si determinino la dimensione e una base degli spazi vettoriali V, W, W + V e W ∩ V .

2) Si consideri l’applicazione lineare T : R[x]

≤2

→ R[x]

≤3

definita da T (p(x)) = p

00

(x) − p

0

(x) + p(x)(x + 1)

Si scriva la matrice di T rispetto alle rispettive basi canoniche {1, x, x

2

} e {1, x, x

2

, x

3

}. Si dica se T ` e iniettiva e se ` e suriettiva. Si dica se l’equazione T (p(x)) = x

3

ha soluzione in p(x) e in caso affermativo si trovino tutte le soluzioni. Si ripeta il procedimento per l’equazione T (p(x)) = x

2

− 2.

3) Dato un sistema di riferimento monometrico e ortogonale nello spazio, si consideri la retta s di equazione cartesiana

( 2x + y − z = 1 x − y − z = −1

Determinare un’equazione parametrica della retta r ortogonale a s, parallela al piano π di equazione x + y + z = 2, e passante per l’origine. Si dica se le rette r e s sono parallele, incidenti o sghembe, e si determini la distanza fra esse.

4) Si consideri la matrice

M =

−2 1 −2

1 −2 −2

1 1 −5

Si calcolino gli autovalori di M e le rispettive molteplicit` a geometriche. Si dica

se la matrice M ` e diagonalizzabile. Si determini una base ortonormale (rispetto

al prodotto scalare standard) di ciascun autospazio.

(2)

18 Giugno 2018

Esame scritto di Geometria per Ingegneria (lettera P-Z, Salvatore) Svolgere i seguenti esercizi, spiegando chiaramente i procedimenti svolti.

1) Si considerino in R

4

il sottospazio vettoriale

V = Span{(1, 1, 0, −1), (0, 2, 1, 0), (1, 1, 1, 1)}, e il sottospazio vettoriale W delle soluzioni del sistema lineare

 

 

x

1

+ x

2

− x

3

− x

4

= 0 x

2

+ x

3

+ 2x

4

= 0 x

1

− 2x

3

− 3x

4

= 0

Si determinino la dimensione e una base di ciascuno degli spazi vettoriali V, W, W + V e W ∩ V .

2) Si consideri l’applicazione lineare T : R[x]

≤3

→ R[x]

≤2

definita da T (p(x)) = p

00

(x) − p

0

(x) + p

000

(x)

Si scriva la matrice di T rispetto alle rispettive basi canoniche {1, x, x

2

, x

3

} e {1, x, x

2

} del dominio e del codominio. Si dica se T ` e iniettiva e se essa

`

e suriettiva. Si determini la dimensione di Im(T ) e di Ker(T ). Si dica se l’equazione T (p(x)) = x

2

ha soluzione in p(x) ∈ R[x]

≤3

e in caso affermativo si trovino tutte le soluzioni. Si ripeta il procedimento per l’equazione T (p(x)) = 1.

3) Dato un sistema di riferimento monometrico e ortogonale nello spazio, si consideri la retta s di equazione cartesiana

( 2x + y + z = 1 x + y + z = −1

Determinare un’equazione parametrica della retta r ortogonale a s, parallela al piano π di equazione x − y + z = 2, e passante per l’origine. Si dica se le rette r e s sono parallele, incidenti o sghembe. Si determini la distanza fra le rette r e s.

4) Si consideri la matrice

M =

−1 1 −3

2 −2 −3

−2 −1 0

Si calcolino gli autovalori di M e le rispettive molteplicit` a algebriche e geomet- riche.

Si dica se la matrice M ` e diagonalizzabile. Si determini una base ortonormale

(rispetto al prodotto scalare standard) di ciascun autospazio di M . Si dica se

esiste una base di R

3

costituita da autovettori di M , e in caso affermativo la si

calcoli.

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