Campi elettrici e magnetici variabili nel tempo

23 Aprile 2018, Bari

Campi elettrici e magnetici variabili nel tempo

Testo di riferimento:

•  “Elementi di Fisica”, Mazzoldi, Nigro, Voci

•  “Fisica 2”, Giancoli

a.a. 2017-2018

Dal programma

o  1.0 CFU CAMPI ELETTRICI E MAGNETICI VARIABILI NEL TEMPO

Legge di Faraday e induzione elettromagnetica.

Origine del campo magnetico e della f.e.m.

indotta. Applicazioni della legge di Faraday.

Autoinduzione. Energia Magnetica. Mutua Induzione. Legge di Ampère-Maxwell.

Equazioni di Maxwell (cenni).

Parentesi

31/01/18 Giuseppe E. Bruno 3

Proprietà del campo magnetico

o  le linee di B sono sempre linee chiuse

n  anche per campi magnetici variabili nel tempo ed anche nella materia (non solo nel vuoto

n  corollario: il flusso di B attraverso una qualsiasi superfice chiusa è sempre nullo

B !

!∫ ^{⋅ d S = 0 !}

In forma differenziale questa equazione diventà (teorema della divergenza)

!

In analisi

o  teorema della divergenza e teorema del rotore (valgono per qualunque campo vettoriale F continuo)

n  divergenza:

n  rotore:

31/01/18 Giuseppe E. Bruno 5

F ⋅ d ! ! S

"∫

⁼ ∫

^{(∇ ⋅ F)dV !}

F ⋅ d ! ! l

"∫

⁼ ∫

^{(∇ × F)d ! S !}

Legge di Faraday

o  legge fondamentale dell’elettromagnetismo, insieme alla legge di Gauss ed alla legge di Ampere (che andrà riformulata)

o  Collega il campo elettrico al campo magnetico

n  campo magnetico che varia nel tempo produce un campo elettrico

o  anche nota come legge di Faraday-Lenz- Neumann

n  studiata inizialmente da diverse persone in ambiti (situazioni) diverse

o  La formula è unica e descrive diversi

fenomeni

Legge di Faraday

31/01/18 Giuseppe E. Bruno 7

ε = − d φ _B dt ε = !

E ⋅ d !

!∫ s

φ _B = !

B ⋅ d !

S S

∫

superficie qualsiasi che si appoggi sulla linea chiusa

approfondimento

o  la “forza elettromotrice” ε = !

E ⋅ d !

"∫ s ⁼

teorema del rotore (vale per qualunque campo vettoriale continuo):

E ⋅ d ! ! s

"∫

⁼ ∫

^{(∇ × E)d # S !}

S

(∇

∫ ^{× E)⋅ d ! S = − "} _dt ^d ∫

^{B ⋅ " d S = " − ∂}

"

B

∂t ⋅

∫

^{d S "}

∇ × !

E = − ∂ "

B

approfondimento

o  proprietà che si può esprimere sia in forma integrale che in forma

differenziale:

n  per il campo elettrostatico, la circuitazione è nulla (campo conservativo)

31/01/18 Giuseppe E. Bruno 9

E ⋅ d ! ! s

"∫

⁼ ∫

^{(∇ × E)d # S = 0 !}

∇ × !

E = 0

Legge di Faraday

o  Consideriamo diversi casi per i quali vale la legge

ε = − d φ _B

dt

Legge di Faraday

o  Consideriamo diversi casi per i quali vale la legge

31/01/18 Giuseppe E. Bruno 11

ε = − d φ _B

dt

Legge di Faraday

o  Consideriamo diversi casi per i quali vale la legge

ε = − d φ _B

dt

Legge di Faraday

o  Consideriamo diversi casi per i quali vale la legge

31/01/18 Giuseppe E. Bruno 13

ε = − d φ _B

dt

Legge di Faraday

o  Approfondiamo il

significato del segno –

n  contributo di Lenz

ε = Ri = − d φ _B dt

la corrente indotta produce un campo magnetico (indotto, B_i) che tende a

“compensare” la variazione del campo magnetico B

•  se così non fosse il campo continuerebbe ad aumentare

Problemi

o  domani con la dott.sa Lella

31/01/18 Giuseppe E. Bruno 15

Problemi ed applicazioni

forza di Lorentz e forza indotta

31/01/18 Giuseppe E. Bruno 17

forza di Lorentz e forza indotta

F=I NM x B = =B

b

(r+R) v

Potenza della forza esterna:

P=F_estŸv=B²b²v²/(r+R) = (r+R)i²

r

La potenza della forza esterna

si ritrova interamente sotto forma di potenza elettrica (effetto Joule)

Flusso tra circuiti ed “autoflusso”

o  Consideriamo due circuiti chiusi in cui scorre corrente

31/01/18 Giuseppe E. Bruno 19

Il flusso del campo magnetico, dovuto al primo circuito, attraverso il secondo circuito φ_1,2 è proporzionale all’intensità del campo magnetico prodotto dal primo circuito. Se B₁ raddoppia, anche φ_1,2 raddoppia.

Il campo magnetico generato dal circuito 1 è proporzionale alla corrente I₁ che scorre nel circuito à φ_1,2 è proporzionale ad i₁

φ

= M

i

Analogamente:

φ

= M

i

Si può dimostrare che M_1,2=M_2,1

per dimostrarlo avremmo dovuto introdurre il potenziale vettore

Flusso tra circuiti ed “autoflusso”

o  Consideriamo due circuiti chiusi in cui scorre corrente

φ

^{= Mi}

φ

= Mi

M è il coefficente di mutua induzione

La legge di Faraday diventa:

ε

= − d

dt φ

= − d

dt Mi

= −M di

dt ε

= −M di

dt ε

= −M di

ed analogamente

dt

Autoflusso

o  consideriamo un solo circuito in cui varia la corrente nel tempo

n  varia il flusso del campo magnetico concatenato allo stesso circuito

o  si parla di “autoflusso”

31/01/18 Giuseppe E. Bruno 21

L’autoflusso è proporzionale alla corrente che scorre nel circuito

•  se raddoppia la corrente, raddoppia il campo B e raddoppia il flusso del campo

φ = Li

ε = − dLi

dt = −L di

dt

Induttanza e mutua induttanza

o  Unità di misura di B: T (Tesla)

n  T= kg/(As

)

o  unità di misura di φ: Wb (Weber)

n  Wb=T m

=kg m

/(As

)

o  Unità di misura di L ed M: H (Henry)

n  H = Wb / A = T m

A = kg m

/(A

s

)

o  valore di µ ₀ : 4π Ÿ 10 ^-7 H/m

φ = Li ^φ _φ

^{= Mi}

1,2

= Mi

Torniamo ai due circuiti

o  Vi è contemporaneamente il fenomeno della mutua induzione e dell’auto-

induzione

31/01/18 Giuseppe E. Bruno 23

φ

= L

i

+ Mi

φ

= L

i

+ Mi

Esempio di applicazione:

trasformatore

Energia magnetica

o  In elettrostatica abbiamo visto che l’energia elettrostatica può essere intesa come associata alle cariche elettrice:

oppure al campo elettrico:

o  In maniera simile vediamo ora come

l’energia magnetica possa essere intesa associata alle correnti oppure al campo magnetico

U

=

q

V

i

∑

U

=

ε

^E

Studiamo il circuito RL

o  Abbiamo un circuito fatto da un generatore di f.e.m. chiuso su un conduttore

n  in generale il conduttore avrà una resistenza (R) non nulla ed una induttanza (L) non nulla

o  al tempo t=0 chiudiamo l’interruttore T

31/01/18 Giuseppe E. Bruno 25

L’equazione del circuito diventa:

V V − L di

dt = Ri

soluzione: i(t)=i

(1-e

)

dove τ = L/R ; i

= V/R

consideriamo ora l’apertura del circuito

o  all’apertura del circuito ci sarà sempre una resistenza finita

t=0 è ora l’istante in cui l’interruttore viene portato nella posizione che

esclude il generatore V

Equazione del circuito:

−L di

dt = Ri

−t/τ

Consideriamo il bilancio energetico del circuito

o  potenza spesa dalla batteria:

P(t) = V i(t)

n  a t=0 à i=0 à P(t=0)=0

n  per t >> τ: P(t)=Vi

=Ri

(tutta la potenza è dissipata per effetto Joule)

31/01/18 Giuseppe E. Bruno 27

V − L di

dt = Ri

V

Vi(t) = L di

dt i(t) + Ri(t)

P

(t) = d

dt (

Li(t)

) + P

(t)

U

=

Li(t)

è l’energia associata alla corrente nell’induttanza

Consideriamo il bilancio energetico del circuito

P

(t) = d

dt (

Li(t)

) + P

(t)

Integriamo primo e secondo membro tra t=0 ed il generico istante t’:

U

=

Li(t)

è l’energia associata alla

corrente nell’induttanza

P

(t)

0

∫

P

(t)

0

∫

resitenza

Consideriamo il bilancio energetico del circuito

31/01/18 Giuseppe E. Bruno 29

La corrente non va subito a zero. Continua a scorrere nella resistenza. Sulla resistenza si continua a spendere energia per effetto Joule.

Vediamo ora cosa accade quando stacchiamo la batteria:

−L di

dt = Ri

−L di

dt i = Ri

i = i

e

L’induttanza restituisce l’energia inizialmente imaggazzinata:

− d

dt (

Li(t)

) = P

(t) − dU

dt = P

(t)

Energia spesa per effetto Joule vale:

P

(t)

0

∫

− dU

dt dt

o

∫

^{= −}

^dU

∫

^{= U}

^{(0) −U}

^{(∞) = U}

^{(0) =}

^Li

Induttanza del solenoide rettilineo

o  B=µ ₀ nI

ε = − d φ

dt = −S

dB

dt = hnS

µ

^{n di} dt ε = −L di

dt

Per un tratto lungo h, l’induttanza vale dunque:

L = µ

^hn

^S

L’induttanza per unità di lunghezza vale:

L

= µ

ⁿ

^S

Energia associata al campo B

o  Solenoide percorso da corrente I

o  Sappiamo che l’energia

associata alla corrente vale:

31/01/18 Giuseppe E. Bruno 31

U

=

Li(t)

U

=

µ

^hn

^S

ⁱ

= hS

1

2 µ

µ

ⁿ

ⁱ

= hS

1

2 µ

^B

2

L = µ

^hn

^S

h h Consideriamo un tratto finito di lunghezza h:

U

= hS

1

2 µ

^B

2

, u

= 1

2 µ

^B

2 u_B è la densità volumetrica di energia associata al campo magnetico B

Legge di Ampere-Maxwell

o  La legge di Ampere vale solo per correnti stazionarie

o  Maxwell aggiunge un termine alla legge di Ampere per rendere le

equazioni fondamentali dei campi E e B simmetriche

n  con tale termine E e B diventano un’unica entità: il campo

elettromagnetico

n  le equazioni di Maxwell prevedono le onde elettromagnetiche

B ⋅ d ! !

"∫ s ^{= µ}

ⁱ

Legge di Ampere-Maxwell

o  Il termine ε ₀ dφ _E /dt è detto “corrente di spostamento”

31/01/18 Giuseppe E. Bruno 33

B ⋅ d ! !

!∫ l ^{= µ}

^{i + µ}

^ε

^d _dt ^φ

φ

= !

E ⋅ d ! S S

∫

Corrente i e corrente di spostamento

o  Consideriamo il processo di carica di

un condensatore (carica di un circuito

RC descritto nelle ultime slide)

Corrente i e corrente di spostamento

o  Se applichiamo il teorema di Ampere in

queste condizioni non vi è nessuna difficoltà:

la corrente concatenata è sempre la stessa

31/01/18 Giuseppe E. Bruno 35

B ⋅ d ! !

"∫ s ^{= µ 0 i concat}

Corrente i e corrente di spostamento

B ⋅ d ! !

"∫ s ^{= µ 0 i concat}

o  Se applichiamo il teorema di Ampere in il primo membro è sempre lo stesso,

mentre la corrente concatenata varia se

Corrente i e corrente di spostamento

31/01/18 Giuseppe E. Bruno 37

o  Aggiungendo il termine i

, l’equazione di Ampere continua a valere anche in

queste condizioni

q=CV=(ε

A/d) (Ed)=ε

A E dq/dt= ε

A dE/dt

i=dq/dt = ε

A dE/dt = ε

dφ

/dt i

=ε

dφ

/dt

B ⋅ d ! !

!∫ l ^{= µ}

^{(i + ε}

^d _dt ^φ

^{) = µ}

^{(i + i}

⁾

Il campo elettro-magnetico

Il campo elettro-magnetico

31/01/18 Giuseppe E. Bruno 39

Equazioni di Maxwell

o  4 equazioni che si possono esprimere in forma integrale o differenziale

n  le scriviamo solo nel vuoto, usando i campi E e B

o  vi sono quelle più generali, che valgono ovunque, e sono simili alle precedenti, ma si introducono i campi D ed H

31/01/18 Giuseppe E. Bruno 41

B ⋅ d ! !

S = 0

!∫

!∫ ^{E ⋅ d ! l = − !} _dt ^d ∫

^{B ⋅ d ! S !}

la carica magentica.

(linee di B sono chiuse)

E ⋅ d ! !

S = q ε

!∫

^{"∫ B ⋅ d ! l ! = µ}

^{i + µ}

^ε

^{d dt φ}

Equazioni di Maxwell

o  4 equazioni che si possono esprimere in forma integrale o differenziale

n  le scriviamo solo nel vuoto, usando i campi E e B

o  vi sono quelle più generali, che valgono ovunque, e sono simili alle precedenti, ma si introducono i campi D ed H

∇ ⋅ ! !

B = 0 !

∇ × !

E = − ∂ ! B

∂t

Legge di Faraday Non esiste

la carica magentica.

(linee di B sono chiuse)

Legge di Gauss

Legge di Ampere- Maxwell

∇ ⋅ ! !

E = ρ ε

∇ × ! !

B = µ

^{! j +} µ

ε

^∂ E !

∂t

Approfondimento

o  Circuito RC: carica del condensatore

31/01/18 Giuseppe E. Bruno 43

ε = q(t) / C + Ri(t) ε = q(t) / C + R dq(t)

dt

Soluzione:

q(t)=q

(1-e-

), τ=RC dove q

=εC

à i(t)=i

e-

; i

=ε/R

ε

Approfondimento

o  Circuito RC: scarica del condensatore V

(t) +V

(t) = 0

q(t) / C − R dq(t)

dt = 0

Soluzione:

q(t)=q

e-

, τ=RC dove q

=V

C

à i(t)=-dq(t)/dt=i

e-

; i

=V

/R