 EQUAZIONI DI MAXWELL  CAMPO MAGNETICO E FENOMENI MAGNETICI FONDAMENTALI

ROBERTA SAVAIA 4°A

LICEO SCIENTIFICO ETTORE MAJORANA ANNO SCOLASTICO 2016/17

TUTOR : PROF.SSA CINZIA VITTORIA

 CAMPO MAGNETICO E FENOMENI MAGNETICI FONDAMENTALI

 EQUAZIONI DI MAXWELL

CAMPO MAGNETICO E FENOMENI MAGNETICI FONDAMENTALI

Si chiamano sostanze

ferromagnetiche i materiali che possono essere magnetizzati.

o Ogni magnete è formato da un polo nord e un polo sud,

tuttavia non è possibile suddividerlo in modo da

ottenere un polo nord isolato o un polo sud isolato.

o Come nelle cariche elettriche due poli dello stesso tipo si respingono, due poli di tipo diverso si attraggono.

o Ogni magnete genera un

campo magnetico nello spazio

che lo circonda

o Per esplorare le proprietà di un campo magnetico utilizziamo

un magnete di prova, un piccolo ago magnetico che genera

un campo magnetico abbastanza debole da non disturbare il

campo magnetico in esame.

Le LINEE DEL CAMPO MAGNETICO :

 In ogni punto sono tangenti alla direzione del campo magnetico;

 Escono dal polo nord ed entrano nel polo sud dei magneti;

 Hanno densità direttamente

proporzionale all’intensità del

campo magnetico.

L’ESPERIENZA DI OERSTED

• L'esperimento di Oersted, dal nome del fisico che lo condusse nel 1820, Hans

Christian Oersted, fu cronologicamente il primo esperimento a dimostrare una

correlazione tra la corrente elettrica e

il campo magnetico. Il fisico danese Hans Christian Ørsted stava preparando un

esperimento di elettrodinamica per i suoi studenti, nel lontano 1820, costruendo un circuito elettrico sul suo tavolo da

laboratorio quando notò uno strano

fenomeno…

•

Egli avvicinò una bussola magnetica ad un filo elettrico in cui scorreva corrente e l’ago magnetico, da parallelo che era al tratto di circuito, deviò in direzione

ortogonale.

•

Ørsted fu così sorpreso che ripeté l'esperimento. Realizzò allora un circuito con il filo conduttore in direzione nord-sud fissata dai poli geografici. Al di sotto del filo, mise l'ago magnetico che si indirizzò spontaneamente lungo la stessa direzione del filo. Chiuse il circuito e notò che appena la corrente passava per il conduttore, l'ago magnetico deviava la propria direzione. Lo scienziato ne dedusse quindi

che un tratto di circuito percorso da corrente elettrica genera un campo

magnetico, ed iniziò ad indagarne a natura proprio mediante degli aghi magnetici.

LE LINEE DEL CAMPO MAGNETICO DI UN

FILO PERCORSO DA CORRENTE

L’ESPERIENZA DI FARADAY

•

Fu eseguito per la prima volta nel 1821 dal fisico e chimico britannico Michael Faraday

•

L'esperimento consiste nel porre un filo conduttore in posizione verticale tra i due poli di un magnete.

Quando si collega questo filo a una batteria, la corrente attraversa il filo e si nota che esso si muove in direzione perpendicolare a se stesso e alle linee di campo

basandosi sulla regola della mano destra (dove il pollice indica il verso della corrente, l'indice il verso del campo magnetico e il verso della forza che fa muovere il filo è quello che esce dal palmo della mano).

•

Con questo esperimento Faraday comprese che un campo magnetico non genera solo una forza nei confronti dei magneti, ma anche nei confronti dei conduttori attraversati da corrente elettrica.

L’ESPERIENZA DI AMPÈRE

•

L'esperimento di Ampère è un esperimento compiuto dal francese André-Marie Ampère nel 1820.

•

Ampère collegò due fili conduttori a due diverse batterie e li mise vicini tra di loro. La prima volta li dispose in maniera tale che le

correnti avessero la stessa direzione e lo stesso verso e vide che le forze che si creavano attiravano tra loro i fili. La seconda volta invece le correnti avevano la stessa direzione ma verso opposto e notò che le forze diventavano di tipo repulsivo e allontanavano i due fili.

LEGGE DI AMPÈRE

• “ La forza che agisce su un tratto di lunghezza l di ciascuno dei due fili è direttamente proporzionale a l e alle intensità i

1

e i

2

delle due correnti che circolano; inoltre, è inversamente proporzionale alla distanza d tra fili. „

FORZA (N)

PERMEABILITA’ MAGNETICA DEL VUOTO (N/A²)

DISTANZA(m )

LUNGHEZZA (m)

PRIMA E SECONDA CORRENTE (A)

L’INTENSITÀ DEL CAMPO MAGNETICO

• Per misurare l'intensità di un campo magnetico, si usa una "corrente di prova", ovvero un filo percorso da

corrente. A questo scopo si considera un tratto di filo di lunghezza l, percorso da una corrente i, posto tra i poli di una calamita, ovvero immerso in un campo magnetico.

• Come dimostrato da Ampère, il filo subisce una forza. Se

si misura la forza F con un dinamometro, questa risulta

proporzionale alla lunghezza del filo l e all'intensità della

corrente i.

• Si definisce quindi vettore campo magnetico B quel vettore che ha come direzione e verso quelli delle linee di forza del campo magnetico e intensità data dalla forza esercitata su un conduttore rettilineo per unità di lunghezza e per unità di corrente elettrica.

L'unità di misura dell'intensità

del campo magnetico nel Sistema Internazionale è il Tesla (simbolo T).

1m 1A

N 1T 1

 

FORZA MAGNETICA SU UN FILO PERCORSO DA CORRENTE

Il modulo di F è dato anche dalla formula F = B i l sena

In cui a è l’angolo (minore o uguale di un angolo piatto) compreso tra i vettori l e B

Il modulo di F è dato anche dalla formula F = B i l sena

In cui a è l’angolo (minore o uguale di un angolo piatto) compreso tra i vettori l e B

LA LEGGE DI BIOT- SAVART

• Attorno al 1820, i fisici francesi Jean-Baptiste Biot e Félix Savart

formularono, dopo ampie verifiche sperimentali, quella che oggi va sotto il

nome di legge di Biot-Savart: serve a determinare il campo

magnetico B⃗ prodotto in un punto dello spazio da un filo rettilineo percorso da corrente elettrica. Essa afferma quanto segue.

• Si consideri un filo rettilineo, percorso da corrente di intensità i, e ci si ponga in un punto P nello spazio, posto ad una distanza r dal filo. Allora in P è presente un campo magnetico B⃗ dotato di:

• Direzione individuata dalla retta tangente alla circonferenza di

raggio r passante per P, giacente nel piano perpendicolare al filo e passante per P.

• Verso indicato dalla regola della mano destra

• Modulo dato dalla seguente formula:

d B i



 2



0

DEDUZIONE DELLA LEGGE DI BIOT- SAVART…

Uguagliamo le due forze…

l B i

F 

₁

_l

d i F

⁰

i

¹

2 

 

d l i l i

i

B

₁ ^{0 1}

2 

 

d B i





2

 0

LA FORZA DI LORENTZ

La forza di Lorentz è una forza che agisce su una carica elettrica in movimento all’interno di un campo magnetico; questa forza si esprime con il seguente prodotto vettoriale:

FORZA(

N) CAMPO

MAGNETICO(T) VELOCITÀ(m/

s) CARICA(C)

Come sappiamo, dalla definizione di prodotto vettoriale, possiamo

scrivere il modulo della forza di Lorentz come prodotto dei moduli dei vettori velocità e campo elettrico per il seno

dell’angolo tra essi

compreso, per il valore della carica q :

B v

q

F 

_q

 





 v B sen q

F

_q



•

La forza di Lorentz riguarda qualsiasi particella carica che sia in movimento: se le particelle sono ferme, infatti, la loro velocità è nulla e di conseguenza anche la forza che agisce su di essa è nulla.

•

L’esperimento è stato fatto considerando un fascio catodico posto all’interno di un campo magnetico; si nota che il fascio viene deviato dalla presenza del

campo, rispetto alla direzione rettilinea.

Ponendo un fascio catodico parallelamente ad un filo percorso da corrente elettrica, e sottoposti entrambi ad un campo

magnetico, si nota un particolare fenomeno.

•

Se la corrente che attraversa il filo ha lo stesso verso del raggio catodico, le correnti si attraggono; il fascio, quindi, viene deviato verso il filo. Se, invece, la corrente ha verso opposto a quello del fascio, esse tendono a respingersi; e il fascio, quindi, viene deviato nella direzione opposta.

DIREZIONE DELLA FORZA DI LORENTZ…

•

La direzione della forza di Lorentz è perpendicolare al piano su cui giacciono i vettori velocità e campo magnetico; il suo verso è dato dalla regola della mano destra.

•

Nel caso in cui la carica sia positiva, si pone il pollice della mano nel verso della velocità, e le dita in quello del campo magnetico; il verso della forza è quello uscente dal palmo.

•

Nel caso in cui, invece, la carica sia negativa, si pone il pollice nel verso opposto a quello della velocità e le dita nel verso del campo magnetico: il verso della forza è uscente dal palmo.

IL MOTO DI UNA CARICA IN UN CAMPO MAGNETICO UNIFORME

•

Una carica puntiforme che si muove con velocità v

all’interno di un campo magnetico è sottoposta alla forza di Lorentz; tale forza, agendo sulla carica, ne modifica la traiettoria, costringendola a seguire un moto ben preciso.

•

La forza di Lorentz che agisce sulla carica ha direzione perpendicolare a quella della sua velocità, e quindi anche a quella dello spostamento. Come sappiamo, nel caso in cui forza e spostamento siano perpendicolari, il lavoro compiuto dalla forza (dato dal prodotto scalare di forza e spostamento) è nullo.

Dal teorema dell’energia cinetica, sappiamo che la differenza di energia cinetica di un corpo è uguale al

lavoro : in questo caso, quindi, anche l’energia cinetica è nulla.

 0





 F s W 

_q



 0



 K W

QUANDO LA VELOCITÀ È PERPENDICOLARE AL CAMPO..

• Possiamo quindi affermare che la forza di Lorentz che agisce su una particella non modifica il modulo della sua velocità, ma soltanto la sua traiettoria: ciò che cambia, quindi, è la direzione e il verso della velocità della particella.

• Un moto uniforme che riflette queste stesse caratteristiche è quello circolare, in cui la

forza è centripeta, rivolta cioè verso il centro della circonferenza, e perpendicolare i ogni punto alla velocità tangenziale.

• In effetti, si può dimostrare che il moto che viene

descritto da una particella all’interno di un campo

magnetico è proprio un moto circolare uniforme.

IL RAGGIO DELLA TRAIETTORIA CIRCOLARE

•

“Il raggio dell’orbita circolare è direttamente proporzionale alla massa della particella e alla sua velocità, inversamente

proporzionale alla sua carica e al campo magnetico presente „

Possiamo ora calcolare il raggio r della traiettoria circolare descritta da una particella puntiforme di massa m e carica q che si muove in un campo B uniforme,

con una velocità perpendicolare a esso. La forza di Lorentz fornisce la forza centripeta del moto, che ha forma generale

Uguagliando le ultime due espressioni otteniamo

qvB F

_q



r m v F

_q



2

r m v qvB



2

q v B v r m



2

 q B

v r m



 

VELOCITÀ OBLIQUA AL CAMPO: MOTO

ELICOIDALE

LE EQUAZIONI DI MAXWELL

LE EQUAZIONI DI

MAXWELL

JAMES CLERK MAXWELL



James Clerk Maxwell (Edimburgo, 13

giugno 1831 – Cambridge, 5 novembre 1879) è stato

un matematico e fisico scozzese.

Maxwell elaborò la prima teoria moderna dell'elettromagnetismo, raggruppando in un'unica teoria tutte le precedenti osservazioni di questa branca della fisica.

Le equazioni di maxwell dimostrano che l'elettricità,

il magnetismo e la luce sono tutte manifestazioni del medesimo fenomeno: il campo elettromagnetico.



Maxwell comprendeva la geometria già in tenera età e

riscoprì, ancora bambino, alcuni poliedri regolari. Nel 1846, a 14 anni, scrisse un articolo sulle ellissi. A 16 anni, lasciò

l'Accademia e si scrisse all'università di Edimburgo dove si distinse per le sue capacità. Si laureò nel 1854 e rimase al college come insegnante fino al 1856.



Dal 1855 al 1872 pubblicò una serie di articoli connessi alla percezione del colore che gli valsero, nel 1860, la medaglia Rumford.



Nel 1859 vinse il premio Adams per un originale saggio ("Sulla stabilità degli anelli di Saturno") in cui dimostrava che la stabilità degli anelli poteva essere ottenuta solo se essi erano composti da pezzi di roccia orbitanti intorno al pianeta. Questo avvalorava la teoria secondo la quale il sistema solare si era formato da

una nebulosa che aveva iniziato a ruotare su se stessa.



Nel 1859 sposò Katherine Mary Deward, figlia del rettore del

college. Fece domanda per avere una cattedra ad Edimburgo ma gli fu preferito l'amico Peter Tait. Riuscì, comunque, ad ottenere un posto al King's College di Londra. Nel 1865, abbandonò, per motivi ancora oggi misteriosi, la sua cattedra al King's College per ritirarsi a vita privata.



Nel 1871 Maxwell divenne il primo Cavendish Professor di Fisica, all'università di Cambridge: era incaricato di promuovere lo

sviluppo del Cavendish Laboratory.



Maxwell e sua moglie Katherine non ebbero figli. Nell'estate del 1879 Maxwell tornò con la moglie, malata, a Glenlair. Anche la sua salute continuava a peggiorare. Fece ritorno con la moglie a Cambridge il giorno 8 ottobre e lì morì il 5 novembre 1879, a 48 anni, per un tumore all'addome.

CONTRIBUTI ALLA SCIENZA ^:

• TEORIA CINETICA

Uno dei risultati più significativi di Maxwell fu l'elaborazione di un modello fisico-statistico per la teoria cinetica dei gas. Nel 1866, il fisico scozzese formulò una distribuzione di

probabilità che può essere utilizzata per descrivere la distribuzione

di velocità delle molecole di un dato volume di gas a una data temperatura. Questo approccio permise a Maxwell di generalizzare le leggi

della termodinamica precedentemente stabilite e fornendone una migliore spiegazione.

• TEORIA DEI COLORI

Anche i contributi di Maxwell all'ottica e alla percezione del colore furono rilevanti.

Maxwell scoprì che la fotografia a colori poteva essere realizzata sovrapponendo filtri rossi, verdi e blu. La prima fotografia a colori scattata da Maxwell nel 1861

• SCIENZA DEI MATERIALI

A Maxwell è fatta risalire la prima formulazione del criterio di von Mises un criterio di

resistenza relativo a materiali duttili, isotropi, con uguale resistenza a trazione e a compressione.

ELETTROMAGNETIS

 Il più importante lavoro di Maxwell è certamente quello legato MO

all'elettromagnetismo. Il fisico scozzese unificò i lavori sull'elettricità e il magnetismo di Faraday, Ampère e altri in una serie di

quattro equazioni differenziali (originariamente erano venti, ma furono poi ridotte a quattro). Note come equazioni di Maxwell, tali equazioni furono presentate alla Royal Society nel 1864, e insieme descrivono il campo elettrico e quello magnetico, e le loro

interazioni con la materia.

Le equazioni prevedono l'esistenza di onde elettromagnetiche, ossia di oscillazioni del campo elettromagnetico. Maxwell cercò – sulla

base dei dati disponibili all'epoca – di misurare sperimentalmente la

velocità di queste onde, ottenendo il risultato di 310.740.000 m/s.

LE QUATTRO EQUAZIONI DI MAXWELL

 TEOREMA DI GAUSS PER IL CAMPO ELETTRICO

 TEOREMA DI GAUSS PER IL CAMPO MAGNETICO

 TEOREMA DI AMPÈRE

 LEGGE DI FARADAY-NEUMANN



^tot

E  Q



_

(  )

0 )

( 



_

B 

t E B



 



 ( )

) (

 

t B E



 



 ( )

)

(

_{0 0 0}

 







VERSO LA PRIMA EQUAZIONE DI MAXWELL…

IL CAMPO ELETTRICO

 “ Definiamo campo elettrico il rapporto tra la forza f e la carica q.”

 Per verificare l'esistenza del campo elettrico generato da una carica Q si introduce una carica di prova q, di intensità abbastanza piccola da non modificare il

sistema in esame.

q E F

 



Forza(N )

Carica di prova(C) Campo

elettrico(N/

C)

VERSO LA PRIMA EQUAZIONE DI MAXWELL…

FORMULE DEL CAMPO ELETTRICO

CAMPO ELETTRICO NEL

VUOTO CAMPO ELETTRICO IN UN MEZZO

ISOLANTE

r r k Q

E  

_{0 2}

ˆ

Campo elettrico in

P(N/C)

Costante dielettrica nel

vuoto

Distanza di P dalla carica(m) Carica(

C) Versore che punta da Q

a P

r

r

E

_m

Q ˆ

4 1



2

 

Campo elettrico in un mezzo isolante (N/C)

Costante dielettrica

assoluta

Distanza di P dalla carica(m)

Versore che punta da Q

a P Carica(

C)

VERSO LA PRIMA EQUAZIONE DI MAXWELL…

IL FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO

• Se consideriamo una superficie piana di area S, possiamo introdurre una nuova grandezza scalare, il flusso del campo elettrico attraverso la superficie S:

• Il vettore S è un vettore superficie: la sua direzione è

perpendicolare alla superficie considerata, il suo verso è, per convenzione, uscente dalla superficie mentre il suo modulo è pari all’area della superficie stessa.

 

S E

E   





 ) (

VERSO LA PRIMA EQUAZIONE DI MAXWELL…

IL FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO

ATTRAVERSO UNA SUPERFICIE CURVA

•

Possiamo estendere il concetto di flusso del campo elettrico anche a superfici che non sono piane; si procede suddividendo la superficie in n parti, costruendo un reticolo, in modo che ciascun quadratino del reticolo rappresenti una piccola superficie piana, che rispetti le

condizioni della definizione di flusso.

•

Su ognuna di esse si calcola il flusso del campo elettrico, e la somma dei flussi calcolati su

ciascuna superficie fornisce il valore del flusso sull’intera distribuzione.

•

Se indichiamo con Ei  il campo elettrico

relativo alla superficie i-esima  ΔSi , il flusso complessivo del campo elettrico attraverso la superficie S è dato dalla seguente formula:

 

 



    



ⁿ

i

n i

i i

i

E E S

E

1 1

) ( )

(    

LA PRIMA EQUAZIONE DI MAXWELL

IL TEOREMA DI GAUSS PER IL CAMPO ELETTRICO

o Il TEOREMA DI GAUSS PER IL CAMPO ELETTRICO stabilisce che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie CHIUSA è direttamente proporzionale alla carica totale contenuta all’interno della superficie

 ^tot E  Q

 _ (  )

Flusso del campo elettrico

Superficie chiusa

Costante dielettrica

assoluta Carica totale

entro la superficie

DIMOSTRAZIONE PRIMA EQUAZIONE DI

MAXWELL

VERSO LA SECONDA EQUAZIONE DI MAXWELL…

IL FLUSSO DEL CAMPO MAGNETICO

•

Data una superficie chiusa qualunque



Si sceglie ad arbitrio la faccia positiva della superficie,così da poter assegnare un verso al flusso



Si suddivide la superficie in n piccole parti, tali che ciascuna sia quasi piena e abbia lo stesso campo magnetico in tutti i suoi punti



Si rappresenta ogni parte con un vettore superficie ∆S(i=1,2…,n) che ha modulo uguale all’area di quella parte, è perpendicolare a essa e ha

verso uscente dalla faccia positiva



Per ogni parte di superficie si calcola il prodotto scalare B ∆S tra il campo magnetico e il vettore superficie



Si sommano tutti e n contributi







  



ⁿ

i

i

i

S

B B

1

)

(   

Campo magnetico sulla superficie i-

esima(T)

Superficie i- esima Flusso del

campo magnetico

VERSO LA SECONDA EQUAZIONE DI MAXWELL…

IL FLUSSO ATTRAVERSO UNA SUPERFICIE PIANA

• Il flusso attraverso una superficie piana è dato dalla formula

Dove a è l’angolo compreso tra B e S

Il campo magnetico si misura in WEBER (Wb)

 cos )

( B B S BS

S

  

   



Campo magnetico

Flusso del campo

magnetico Vettore superficie

Angolo (0°rad)

m 2

1T Wb

1  

SECONDA EQUAZIONE DI MAXWELL IL TEOREMA DI GAUSS PER IL

MAGNETISMO

• IL FLUSSO DEL CAMPO MAGNETICO ATTRAVERSO QUALUNQUE

SUPERFICIE CHIUSA È UGUALE A ZERO

0 )

( 

 _ B 

DIMOSTRAZIONE SECONDA EQUAZIONE DI

MAXWELL

LA TERZA EQUAZIONE DI MAXWELL…

IL TEOREMA DI AMPERE

Una corrente si dice CONCATENATA con il cammino chiuso L se attraversa una superficie che ha L come controrno

La circuitazione del campo magnetico lungo qualunque cammino chiuso L è direttamente proporzionale alla corrente totale concatenata con L

Circuitazione del campo magnetico







k

i

k

B )

₀

( ^ 

Permeabilità magnetica nel vuoto

Corrente concatenat

a

LA CORRENTE INDOTTA

•

Muoviamo rapidamente una calamita dentro una bobina collegata a una lampadina. Un campo magnetico che varia genera una corrente indotta.

Mentre la calamita si muove in su e in giù, la lampadina si accende: La corrente è creata dal

movimento della calamita. Invece, se la calamita è

ferma, la lampadina non si accende; quindi nel circuito non c’è corrente.

•

Gli esperimenti mostrano inoltre che la corrente indotta dipende da tre grandezze:

•

- la rapidità di variazione del campo magnetico esterno;

•

- l’area del circuito indotto;

•

- il suo orientamento.

•

La corrente indotta è quindi una corrente che si manifesta in un circuito ogni volta che questo è posto in una regione di spazio dove è presente un campo magnetico variabile nel tempo. 

LA QUARTA EQUAZIONE DI MAXWELL LA LEGGE DI FARADAY-NEUMANN

• La forza elettromotrice indotta in un circuito chiuso da un campo magnetico è proporzionale alla variazione del flusso del campo

stesso e inversamente proporzionale alla variazione del tempo. La forza elettromotrice non è quindi costante.

t E B



 



 ( )

) (

 

Variazione del flusso magnetico attraverso una

qualsiasi superficie delimitata

Intervallo di tempo Forza

elettromotrice

DEDUZIONE LEGGE DI FARADAY-NEUMANN

•

Una lastra di ferro scorre su un campo magnetico in modo perpendicolare con moto rettilineo uniforme

i f

P

_d



_em

 F  Bil

t Bilv t Bilv t

s F

t

P W 





 





 

 

Bilv i

f

_em

  otterremo

potenze due

le o uguagliand

i

f

_em

 Bilv f

_em

 Blv

t Blv A

t lv A

B A

A B

B         

 (  ) (

_{2 1}

) [(

₁

)

₁

]

t lv A

A

₂



₁

 

t Blv B



 

 (  )

t f

_em

B



 

 (  )

LA LEGGE DI LENZ

•

La legge di Lenz permette di determinare il verso di

circolazione della corrente indotta a partire dal flusso del campo magnetico che la genera

•

La legge di Lenz inoltre spiega il meno presente nella legge di Faraday-Neumann : il verso della corrente indotta è

opposto alla variazione del flusso che la genera