3 IL VETTORE
GRANDEZZA VETTORIALE
• In fisica le grandezze si dividono in due categorie, grandezze scalari che necessitano solo di un’unità di misura e di una
scala di riferimento, e le grandezze vettoriali.
• Le grandezze vettoriali sono quelle grandezze per le quali è
necessario specificare tre caratteristiche: il modulo (o anche
detto intensità o lunghezza, alla quale si associa un’unità di
misura), la direzione e il verso.
A questa categoria appartengono grandezze tipo la forza o la velocità ad esempio. Immaginiamo un tiro alla fune nel quale ai due estremi sono posti i concorrenti; ciascuno per vincere tira la fune verso di sé. Per valutare le grandezze in gioco occorre
specificare: quanto i concorrenti tirano la fune (intensità, vince chi tira più forte), in quale verso si tira la fune (cioè ciascuno verso di sé, con due forze opposte), e la direzione (lungo una linea retta immaginaria quella che collega i concorrenti).
• Per riconoscere se una grandezza è vettoriale lo si capisce
quando occorre specificarne le tre caratteristiche; se invece una
grandezza è scalare occorre solo specificare l’unità di misura e
la scala di riferimento.
IL VETTORE
Una grandezza vettoriale si indica sempre con un vettore: il vettore è un segmento orientato che viene indicato con una freccia, l’estremo con la punta della freccia si chiama punta, l’altro estremo privo di punta si chiama coda. Il vettore si indica con una lettera minuscola di solito sormontata da una piccola freccia. Il vettore-freccia indica le tre caratteristiche:
1. Lunghezza (modulo o intensità), espressa dalla lunghezza del segmento/freccia
2. Direzione indicata dalla retta sulla quale si trova il segmento (in figura tratteggiata)
3. Verso indicato dalla punta della freccia (il vettore può avere due versi, posti alle due estremità del segmento, ma solo uno è quello considerato, l’altro è il punto di applicazione)
VETTORI PARALLELI CONCORDI E DISCORDI
Due o più vettori si dicono paralleli se hanno la stessa direzione.
I vettori a, b, c hanno la stessa direzione, d ha direzione diversa.
Due o più vettori paralleli si dicono concordi se hanno lo stesso verso.
I vettori a, c sono paralleli e hanno lo stesso verso.
Due o più vettori paralleli si dicono discordi se sono opposti cioè se hanno versi opposti; se sono paralleli e discordi si scrive un segno – davanti al vettore di verso opposto.
I vettori a, b (a, -b) sono paralleli e discordi così come lo sono i vettori b, c (c, -b).
Nell’esempio grafico:
i vettori a, c sono paralleli e concordi; i vettori a, b sono paralleli e discordi; i vettori b, c sono paralleli e discordi; il vettore d non è parallelo a nessuno degli altri vettori.
"⃗
SOMMA ALGEBRICA
DI VETTORI PARALLELI
Il vettore somma di due vettori paralleli e concordi (S1 e S2) si costruisce facendo
coincidere sulla stessa retta (direzione) la punta del primo con la coda del secondo ed è un vettore che avrà:
1. direzione la stessa dei due vettori 2. verso lo stesso dei due vettori 3. modulo la somma dei moduli.
Il vettore somma di due vettori paralleli e discordi (S1 e S2) si costruisce facendo coincidere sulla stessa retta (direzione) la punta del primo con la coda del secondo ed è un vettore che avrà:
1. direzione la stessa dei due vettori
2. verso lo stesso verso del vettore maggiore (S1) 3. modulo la somma algebrica dei moduli (S2 è
opposto a S1 e si indica con un meno davanti al vettore per tanto S1+S2=S1+(-S2) il modulo si calcola con la differenza dei due moduli.
ESEMPIO
⃗" #
Possiamo rappresentare la situazione del tiro alla fune in questo modo: il gruppo di sinistra tira con una forza rappresentata dal vettore a, quello di destra con una forza di vettore b. b è opposto ad a, scriviamo quindi –b. Come si vede le due forze sono parallele, hanno la stessa direzione, e discordi, i versi delle due forze sono opposte, ma hanno diversi moduli (il modulo a è maggiore del modulo di b).
Per calcolare la somma algebrica disegniamo il vettore a e dalla punta di esso sovrapponiamo la coda del vettore b in questo modo:
⃗"
#
Il vettore somma è rappresentato in verde, ha la stessa direzione dei due vettori a e b, la sua lunghezza è ciò che risulta dalla differenza dei due vettori a e b, il verso è quello del vettore maggiore a; in pratica vince il gruppo di sinistra, la fune si sposterà di quanto indica il vettore verde nel verso della squadra vincente.
⃗" + # = ⃗" + −# = ⃗" −#
LA SCOMPOSIZIONE DI UN VETTORE:
LA COMPONENTE x E y
Rappresentiamo un vettore in un piano cartesiano, la coda del vettore coincide con il centro degli assi cartesiani.
Per indicare la direzione del vettore bisogna conoscere l’angolo ! (teta) che il vettore forma con l’asse orizzontale x.
Il vettore a, ha due componenti cartesiane:
• La componente x (ax) che si disegna tracciando la perpendicolare dalla punta di a verso l’asse x
• La componente y (ay) che si disegna tracciando la perpendicolare dalla punta di a verso l’asse y
Attraverso il seno e coseno di un angolo (che si calcola con la calcolatrice)
stabiliamo altre relazioni tra le componenti dei vettori e il vettore stesso e con le formule inverse ricaviamo tutti gli altri valori.
sin $ = &'
&
• Si definisce il seno di teta (sin) come il rapporto tra la componente y di a e il vettore a
• Si definisce il coseno di teta (cos) come il rapporto tra
la componente x di a e il vettore a cos $ = &*
&
FORMULE INVERSE
⃗& = &'
sin $ &' = ⃗& , sin $
⃗& = &*
cos $ &* = ⃗& , cos $
CASI PARTICOLARI
Se i vettori coincidono con gli assi cartesiani come nel caso di a e b le
componenti cartesiane sono le seguenti:
&* = &
&' = 0
.* = 0 .' = .
SOMMA ALGEBRICA DI VETTORI NON PARALLELI
Per sommare algebricamente vettori non paralleli, si usa il:
• Metodo del parallelogrammo: consiste nel disegnare i due vettori, prima si disegna un vettore e dalla punta di esso si fa partire il secondo (mantenendo le direzioni e i versi), si chiude la figura disegnando un parallelogramma che ha i lati uguali ai due vettori di partenza. La diagonale lunga rappresenta la
somma a+b.
a
b
Si può comporre la somma tra vettori anche utilizzando il piano cartesiano. Si procede in questo modo:
• Si disegnano i vettori dei quali si vuole calcolare la somma, facendo coincidere le code con il centro degli assi; in figura i vettori da
sommare sono v e w (ciascuno di essi forma un angolo con asse x)
• ! è l’angolo che v forma con asse x
• " è l’angolo che w forma con asse x
• Disegnare il parallelogramma, disegnare la diagonale u (vettore somma)
• Tracciare le componenti x e y di entrambi i vettori
Come calcolare il valore di u (vettore somma)
#$ = # & cos ! #* = # & sin ! -$ = - & cos " -* = - & sin "
.$ = #$ + -$
.* = #* + -* . = .$ 0 + .* 0
! "
1.Scrivere le componenti di v e w 2.Scrivere le componenti di u 3.Calcolare u con Pitagora
