APPUNTI SU: SOLIDI DI ROTAZIONE E TEOREMA DI GULDINO
Definizione. Dato un dominio normale E contenuto nel semipiano O, x, z, x ≥ 0, che non ha punti interni appartenenti all’ asse z, chiamiamo solido di rotazione ogni insieme S ottenuto dalla rotazione di E attorno all’asse z di un angolo α ∈]0, 2π].
I. Rappresentazione di S. Siano g1, g2 ∈ C([a, b], IR), g1 ≤ g2 in [a, b]. Se E = {(x, z) : x ∈ [a, b] : g1(x) ≤ z ≤ g2(x)} ,
allora la parametrizzazione di S in coordinate cilindriche di asse z ´e:
S = {(ρ, θ, z) : ρ ∈ [a, b], θ ∈ [0, α], g1(ρ) ≤ z ≤ g2(ρ)} (1) Se
E = {(x, z) : z ∈ [a, b] : g1(z) ≤ x ≤ g2(z)} ,
allora la parametrizzazione di S in coordinate cilindriche di asse z ´e:
S = {(ρ, θ, z) : z ∈ [a, b], θ ∈ [0, α], g1(z) ≤ ρ ≤ g2(z)} (2) II. Teorema di Guldino. Dati E ed S definiti come sopra,
V ol(S) = α
Z Z
E
x dxdz Osservazioni.
1. L’asse di rotazione pu´o essere una retta qualunque del piano. In tal caso il Teorema di Guldino si applica sostituendo x con la distanza di un punto generico di E dall’asse di rotazione.
2. Il Teorema di Guldino si applica solo al calcolo del volume di un solido di rotazione. Per calcolare un integrale triplo di f su S si pu´o passare in coordinate cilindriche ed usare la parametrizzazione in coordinate cilindriche di S descritta sopra. Per esempio, nel caso (1),
Z
S
f (x, y, z) dxdydz =
Z b a
(Z α
0
"
Z g2(ρ) g1(ρ)
f (ρ cos θ, ρ sin θ, z)ρ dz
#
dθ
)
dρ;
nel caso (2),
Z
S
f (x, y, z) dxdydz =
Z b a
(Z α
0
"
Z g2(z) g1(z)
f (ρ cos θ, ρ sin θ, z)ρ dρ
#
dθ
)
dz
1
