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(1) L’insieme dei punti c ∈ R per i quali ha senso il limite di h(x) per x → c `e insieme dei punti di accumulazione del dominio)

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Academic year: 2021

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(1)

Di seguito sono esposte due possibili risoluzioni di due esercizi dati durante il corso, al solo scopo di mostrare il livello di motivazione dei passaggi al quale ten- dere nella risoluzione degli esercizi della prova scritta.

sett. IV es. 2.2Per ciascuna delle seguenti funzioni: (1) si determini l’insieme C dei punti c∈ Rnon appartenenti al dominio della funzione per i quali ha senso il limite della funzione per x→c; (2) si calcolino gli eventuali limiti della funzione per x che tende a punti di C; (3) si dia una rappresentazione del grafico della funzione coerente con le informazioni ottenute.

g(x) =log

( x

x21 )

, (x∈] −1, 0[∪]1,+[). Risoluzione parziale: Punto (1) e parte del punto (2).

(1) L’insieme dei punti c R per i quali ha senso il limite di h(x) per x c `e [1, 0]∪ [1,+[(insieme dei punti di accumulazione del dominio); ha senso il lim- ite per x → +∞ (il dominio `e superiormente illimitato). non ha senso il limite per x → −∞ (il dominio non `e inferiormente illimitato). Dunque

C ={−1, 0, 1,+}. (2) Considero

xlim→−1log

( x

x21 )

= lim

x→−1+log

( x

x21 )

Si ha

x→−lim1+

x

x21 = + (numeratore→ −1 e denominatore0) e

x→+limlog x = +∞.

Dunque

x→−lim1+log

( x

x21 )

= lim

x→+log x = +∞.

Considero

limx0log

( x

x21 )

= lim

x0log

( x

x21 )

Si ha

xlim0

x

x21 =0+ (numeratore0e denominatore→ −1) e

xlim0+log x =∞.

Dunque

xlim0log

( x

x21 )

= lim

x0+log x =∞.

(2)

sett. II es. 9 Per ciascuna delle seguenti sequenze di vettori di R4, stabilire se `e linearmente indipendente

(2,3, 1, 4), (0, 3,4, 2), (0, 0, 4,5) (1, 0, 1, 2), (0, 1, 2, 3), (3,2,1, 0)

RisoluzioneFaccio riferimento alla seguente definizione di indipendenza lineare:

la frase “una sequenza di vettori `e linearmente indipendente” significa “una com- binazione lineare dei vettori `e uguale al vettore nullo solo se i coefficienti sono tutti nulli”.

Considero la prima sequenza. Considero le combinazioni lineari dei suoi vettori che risultano nel vettore nullo, cio`e l’uguaglianza:

α(2,3, 1, 4) +β(0, 3,4, 2) +γ(0, 0, 4,5) = (0, 0, 0, 0) (α, β, γ R). Questa uguaglianza equivale al sistema







2α=0

3α+=0 α−4β+=0 4α+5γ=0

;







α =0 3β=0

4β+ =0 2β5γ =0

;







α =0 β =0 4γ=0 5γ=0

;

Questo sistema ha solo la soluzioneα = β = γ = 0. Dunque i vettori sono linear- mente indipendenti.

Considero la seconda sequenza. Considero le combinazioni lineari dei suoi vettori che risultano nel vettore nullo, cio`e l’uguaglianza:

α(1, 0, 1, 2) +β(0, 1, 2, 3) +γ(3,2,1, 0) = (0, 0, 0, 0) (α, β, γ R). Questa uguaglianza equivale al sistema







α+ =0 β−2γ=0 α+−γ=0 2α+=0

;







α=β=

3γ+2()−γ=0 2(3γ) +3() = 0

;







α =β= 0=0 0=0

;

questo sistema ha infinite soluzioni che dipendono daγ, in particolare per γ =1 si ha la soluzioneα =3, β=2,γ=1 diversa dallaα= β=γ=0. Dunque i vettori sono linearmente dipendenti.

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