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Università degli Studi di Camerino
Corso di Laurea in Fisica Indirizzo Tecnologie per l’Innovazione Parziale di CALCOLO
27 febbraio 2009
1) Data la funzione f : R→R definita da:
( ) 2 2
1 6
ex
f x x x
+ −
= + −
a) se ne determini il dominio
b) si individuino le discontinuità (classificandole) c) si studi il segno della funzione
d) si studi la derivabilità e se ne calcoli il valore.
Soluzione
a) Dominio x≠ −2, x≠3.
b) In x= −2 c’è una discontinuità eliminabile in quanto
2
2 2
1 1
6 5
x
x
lim e
x x
+
→− − =
+ − ; in x=3 c’è una discontinuità di seconda specie.
3) La funzione è positiva per x<3 e negativa per x>3. d) Per x≠ −2 e x≠3 si ha: ( ) ( )
( )
2 2
2 2
5 3 1 2
6
ex x x x
f ' x
x x
+ + − + −
= + − . Utilizzando il teorema de L’Hopital
si dimostra che ( )
( )
2 2
2 2 2
5 3 1 2 7
6 50
x
x
e x x x
lim
x x
+
→−
+ − + −
+ − = quindi la funzione è derivabile in x= −2 e
( )2 7
f ' − =50. Essendo ( )
( )
2 2
3 2 2
5 3 1 2
6
x
x
e x x x
lim
x x
+
→
+ − + −
+ − = +∞ la funzione è derivabile per ogni x≠3.
2) Si tracci il grafico della funzione
( ) x( 2 1)
f x =e x − −x
mettendone in evidenza i massimi e i minimi e i punti di flesso.
Si calcoli la tangente nel punto di ascissa nulla.
Soluzione
Il dominio della funzione è tutto l’asse reale. La funzione si annulla per 1 5
x= −2 e 1 5 x= +2 ed è positiva all’esterno di tale intervallo. Si ha: f ( )0 = −1 e xlim ex(x2 x 1) 0
→−∞ − − = , quindi l’asse delle
2 x è un asintoto orizzontale per x→ −∞, mentre xlim ex(x2 x 1)
→+∞ − − = +∞ e poiché
( 2 1)
x
x
e x x
lim→+∞ x
− − = +∞ non ci sono asintoti né
orizzontali né obliqui per x→ +∞.
La derivata prima è f ' x( )=ex(x2+ −x 2) che
risulta positiva per x< −2 e x>1, negativa per
2 x 1
− < < ; il punto x= −2 è quindi un massimo relativo con f ( )− =2 5e−2 e il punto x=1 è un punto di minimo relativo e anche assoluto
( )1
f = −e.
La derivata seconda è f '' x( )=ex(x2+3x−1)
che risulta positiva per 3 13 x< − +2 e
3 13
x> − −2 quindi la funzione ha la concavità rivolta verso l’alto; negativa per
3 13 3 13
2 x 2
+ −
− < < − quindi ha la concavità rivolta verso il basso; i punti 3 13 x= − +2 e
3 13
x= − −2 sono punti di flesso.
L’equazione della tangente in x = 0 è y= f ( )0 + f '( )0 x da cui segue: y= − −2x 1.
3) Calcolare i seguenti integrali:
a) [punti 3]
3
2
3 2
4 5
x x
x x dx
− +
− +
∫
b) [punti 3]∫ln x( 2−1)dx
Soluzione
3a) Essendo
3
2 2
3 2 4 9
4 5 4 2 4 5
x x x
x x x x x
− + = + + −
− + − + si ha:
( )
( ) ( )
( ) ( )
3
2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
3 2 4 9
4 2
4 5 4 5
1 2 4 1
4 2 2
2 4 5 4 5
1 1
4 4 4 5 2
2 2 1
1 4 4 4 5 2 2
2
x x x
dx x dx dx
x x x x
x x x dx dx
x x x x
x x ln x x dx
x
x x ln x x arctg x C
− + = + + − =
− + − +
−
= + + − + − − + =
= + + − + − =
− +
= + + − + − − +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
3 3b) Per parti, ponendo : f x( )=ln x( 2−1) e g' x( )=1 da cui segue ( ) 2
2 1 f ' x x
= x
− e g x( )=x, e
quindi:
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2
2 2
2
2
1 1 2 1 2 1 1
1 1
1 2 2 1
1
ln x dx x ln x x dx x ln x dx
x x
x ln x x dx
x
− = − − − = − − + − =
= − − −
−
∫ ∫ ∫
∫
Ma ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1
1
1 1
1 1 1
A x B x x A B A B
A B
x x
x x x
+ + − + + −
= + = =
− +
− − − quindi 0
1 A B
A B + =
− = da cui segue: 1
A= 2 e 1
B= −2. Si ha
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 2
1 1 1 1 1
1 1 2 2 1 2 2
2 1 2 1
1
1 2 1 1 1 1 2
1
ln x dx x ln x x dx x ln x x dx dx
x x
x
x ln x x ln x ln x x ln x lnx x C
x
− = − − − − = − − − − − + =
= − − − − + + = − + + − +
−
∫ ∫ ∫ ∫
4) Dimostrare, in base ai criteri, che
( )
2 2 1 2
dx
x x
+∞
+ −
∫
converge e calcolarne il valore.
Soluzione
La funzione ( ) ( )
1
2 1 2
f x
x x
= + − , per x→ +∞ è infinitesima di ordine 3/2, infatti:
( )
( ) ( ) ( )
3 2 3 2 3
3 2
2 3 2
1
2 1 2 1
1 2 1 2 2 1 2 4 4 7 2 2
/ /
x x x x
/
x x x x x
lim lim lim lim
x x x
x x x x
x
→∞ →∞ →∞ →∞
+ −
= = = =
− − −
+ − + − ,
mentre per x→2 è infinita di ordine 1/2, infatti
( )
( ) ( )
2 2
1 2
1
2 1 2 1 1
1 2 1 5
2
x x
/
x x
lim lim
x x
→ →
+ −
= =
+
−
. La funzione va all’infinito anche per 1
x→ −2, ma tale valore è al di fuori dell’intervallo di integrazione. L’integrale converge in entrambi i casi.
Si ha quindi:
( ) ( )
2 2 1 2 0 2 2 1 2
k
k
dx dx
x x lim+ x x
+∞
→∞ +ε ε→
+ − = + −
∫ ∫ . Ponendo t= x−2 si ha: x= +t2 2 e dx=2tdt.
Calcoliamo l’integrale indefinito
4
(2x+1dx) x−2 = 2t
∫ (2t2+ +4 1dt )t ( )
( )
2 2
2
2
2 2 5 5
2 2 5 5 2 5 2 2
1 1
5 5
2 2 2 2
5 5 5 5 2
dt dt dt
t
t t
arctg t arctg x
= = = =
+
+ +
= = −
∫ ∫ ∫ ∫
e quindi
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 0 2 0 2
0
2 2
5 5 2
2 1 2 2 1 2
2 2 2 2
5 5 2 5 5 2 10
k k
k k
k
dx dx
lim lim arctg x
x x x x
lim arctg k arctg
+ +
+
+∞
→∞ →∞
+ε +ε
ε→ ε→
→∞
ε→
= = − =
+ − + −
π π
= − − ε = =
∫ ∫
