Trave che scivola sostenuta da gru
Figure 1:
Una trave omogenea di lunghezza l e massa m `e tenuta appoggiata al suolo in posizione verticale da una gru agganciata all’estremo superiore A.
Si fissi una terna caresiana avente gli assi x, y rispettivamente orizzontale e verticale, come in figura, e l’asse z di conseguenza.
All’istante t = 0 la trave viene messa in rotazione con velocit`a angolare
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ω = ω0ˆez costante, da una opportuna forza impulsiva agente sull’estremo B a contatto con il suolo.
Il manovratore della gru deve regolare istante per istante la forza ~F sull’estremo A in modo da mantere tale estremo lungo la verticale, l’estremo B a contatto con il suolo e la velocit`a angolare della trave costante lungo tutto il tragitto, fino al contatto di tutta la trave con il suolo.
L’estremo B scivola senza attrito lungo l’asse orizzontale.
Si determini:
1. il moto del baricentro G della trave: traiettora, velocit`a ~v e acceler- azione ~a;
2. l’andamento dell’energia cinetica durante il moto;
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3. il lavoro fatto nel portare la trave dalla posizione verticale a quella orizzontale dalla forza di reazione del suolo, ~N , quello svolto dalla forza peso e ed il lavoro della forza di tensione ~F operata dalla gru;
4. il valore della reazione ~N (t) del suolo sull’estremo B;
5. il valore limite della velocit`a di rotazione ω0 che permette al gruista di mantenere l’estremo B della trave sempre in contatto con il suolo;
6. le componenti (Fx(t), Fy(t)) della forza ~F e si verifichi esplicitamente il risultato trovato al punto 3 riguardo il lavoro compiuto dalla forza F durante il moto. Si verifichi, inoltre, se esistono dei valori di ω~ 0 e/o di t per i quali l’angolo α formato dalla forza ~F con l’asse orizzontale pu`o essere < π/2, come indicato nel disegno.
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