Posizione del punto

(1)

FORMULARIO DI MECCANICA RAZIONALE

1. Cinematica del punto

- Versore tangente:

dS dP

t= [1.1]

- Versore normale:

dS d

t t

n= [1.2]

- Versore binormale b=t×n [1.3]

- Derivata del versore tangente:

ρ n n t = c= dS

d [1.4]

- Posizione del punto: ( ( ))

−

=

P a O da : verso

P e O per retta : direzione

O P : modulo t

PS

P [1.5]

- Velocità del punto:

=

tangente ersore v : verso

tangente versore : direzione

: modulo

P

s s

t

v [1.6]

- Accelerazione del punto: ( )

2 2 2

P modulo:

+ +

= ρ ρ

s s

t n

a [1.7]

2. Dinamica del punto

- Definizione di forza: F a t n

ρ

2 P

ms s m

m

= +

= [2.1]

- Lavoro della reazione vincolare:

→

≠

→

=

•

= 0 scabro

liscio P 0

L d

δ [2.2]

- Vincolo liscio:

Φ + Φ

=

+ +

=

⋅

=

b

n

b n t F

P

b n

t F F

F d

L 0

δ

[2.3]

- Eq. del moto con vincolo liscio:

= Φ +

=

0

moto del pura eq.

2

b b

n n t

F

s F m

s m F

ρ

[2.4]

- Vincolo scabro:

Φ + Φ + Φ

=

+ +

=

≠

⋅

=

b n

t

b n t F

P

b n t

b n

t F F

F d

L 0

δ

[2.5]

- Coefficiente di attrito statico:

≤

≤ Φ

1 0 µ

µ n

t n

t [2.6]

(2)

- Eq. del moto con vincolo scabro:

Φ + Φ

=

= Φ +

2 2

2

0

b n t

b b

n n

t t

f F

s F m

s m F

ρ

[2.7]

- Coefficiente di attrito dinamico: 0≤ f ≤µ≤1 [2.8]

- Forza di attrito: _t =Φ_tt=−f Φ²_n+Φ²_b [2.9]

- Eq. pura del moto: _b ms F_n ms F_t

F

f = −

−

+ ² ²

2

ρ [2.10]

3. Cinematica relativa

=

terna di laboratorio con origine Oe assi {e₁ e₂ e₃} t.c. e_i⋅ e_j=δ_ij.

=

~

terna solidale al corpo con origine O~

e assi{f1 f2 f3} ^t.c. fi⋅ fj=δij^.. - Vettore posizione: (^P⁻Ô)⁼(^P⁻Ô^~) (⁺ Ô^~⁻Ô) [3.1]

- Formula di Poisson: ( )k k

dt

d f =×f

[3.2]

- Legame tra derivate: ( )u = ( )u +×u

_dt^d ~ dt

d [3.3]

- Teorema di Eulero: R(ϕ,ϑ,ψ)=R( ) ( ) ( )ψ RϑRϕ [3.4]

Precessione: 0≤ϕ≤2π

( )

−

=

1 0 0

0 cos sin

0 sin cos

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

R attorno a e3

Nutazione: 0≤ϑ≤π

( )

−

=

ϑ ϑ

ϑ ϑ ϑ

cos sin 0

sin cos 0

0 0 1

R attorno a e1

Rotazione propria: 0≤ψ≤2π

( )

−

=

1 0 0

0 cos sin

0 sin cos

ψ ψ

ψ ψ ψ

R attorno a ˆe3

(3)

- Velocità angolare:

=

destra mano regola :

verso

rotazione di

asse : direzione

: modulo

3

θ θ

e

[3.5]

- Addizione delle velocità angolari: =1+2 [3.6]

- Velocità assoluta: vP (P O) xe1 ye2 ze3

dt

d − = + +

=

[3.7]

- Velocità relativa: P ( O~) ~1 ~2 ~ 3

~ P

~ ^f ^f ^f

v x y z

dt

d − = + +

=

[3.8]

- Velocità di trascinamento: S ( O~) _O^~

P v

v =× − + [3.9]

- Legame tra le velocità: vP=~vP+vS [3.10]

- Accelerazione assoluta: a_P v_P

dt

= d [3.11]

- Accelerazione relativa: ~P ~P

~^v a

dt

= d [3.12]

- Accelerazione di Coriolis: aC=2×~vP [3.13]

- Accelerazione di trascinamento: aS=a_O^~+×(^P−^O^~)+×{×(^P−^O^~)} [3.14]

- Legame tra le accelerazioni: aP=~aP+aC+aS [3.15]

- Accelerazione centripeta: ^aCENTRIPETA⁼^×{^×(^P⁻^O^~)} [3.16]

- Accelerazione centrifuga: ^aCENTRIFUGA⁼⁻^×{^×(^P⁻^O^~)} [3.17]

4. Dinamica relativa:

- Forza nei sistemi inerziali: F=ma_P [4.1]

- Forza nei sistemi non inerziali: F−FC−FS=m~aP [4.2]

- Forza di trascinamento: FS=m{a_O^~+×{×(^P−^O^~)}} [4.3]

- Forza centrifuga: fC=−m×{×(^P−^O^~)} [4.4]

- Lavoro: → ⁼ ^⋅ ⁼ ^⋅

1

0 B

A B A

S

dS d

L F P F t [4.5]

- Potenziale: ( )⁼^P ^⋅

O

P F dP

U [4.6]

- Lavoro per F conservative: LA_→B=U( )^B −U( )^A [4.7]

- Energia potenziale: V =−U [4.8]

(4)

- Moti Terrestri:

[ ]

( )

[ ]

( )

( 3 3)

2 2 3

. 2

P P

. S

P C

1 - 3

cos O P

O P O P

O~ ~

~ O 2

O~ O 2 ~

terrestre raggio O~

O 86400 sec

2

f e f

p F

a

v F

F

v F

e

−

≅

−

=

−

×

× +

×

−

×

−

=

×

−

=

−

=

θ ω ω π

R m R GMm

G Mm

m m

R

GRAV GRAV

[4.9]

5. Meccanica dei Sistemi Discreti:

- Massa:

=

N

i

mi

M

1

[5.1]

- Baricentro: ( ) ( )

=

−

=

−

N

i i

mi

M 1

O 1 P

O

G [5.2]

- Forza sull’i-ima particella:

=

= +

N

j

i i j i EXT

i m

1 ) ( )

( f a

F [5.3]

- Principio di azione – reazione: f(_i)_j =−f(_j)_i [5.4]

- Principio di parallelismo: ^f₍i₎j^×(Pi⁻Pj)⁼⁰ [5.5]

- Eq. Cardinale delle forze:

=

dt d M

EXT EXT

R

a

R _G

[5.6]

- Momento rispetto al polo o: ( )

=

×

−

=

N

i

i i 1

o P o F

M [5.7]

- Impulso:

=

N

i i

mi 1

v

[5.8]

- Momento angolare: ( )

=

×

−

=

N

i

i i

i m

1

o P o v

L [5.9]

- Eq. Cardinale di momenti: o G

o

o L v v

M M

dt

EXT =d + × [5.10]

- Energia Cinetica:

=

N

i i iv m T

1 2

2

1 [5.11]

- Potenza:

=

⋅

= Π

N

i i i 1

v

F [5.12]

(5)

- Teorema dell’energia cinetica: ^EXT ^INT dt

dT =Π +Π [5.13]

- Teorema di König:

⇔ = +

=

= 0

~ ~ 2 1 2 1

1 2 2

G

N

i i iv m Mv

T [5.14]

6. Meccanica del Corpo Rigido:

=

B Corpo rigido ⇔∀P,Q∈B P−Q=cost.neltempo

(^o ^O)

generale in rigido;

corpo al e appartener deve

momenti, vari

i calcolo cui a rispetto Polo

o= ≠

- Massa: ⁼

B

dm

M [6.1]

( ) ( )

⁼

=

B B

dxdydz dV

M ρP ρP

- Baricentro: ( ) ( )( )dV

M1 _B P P O O

G⁻ ⁼ ^ρ ⁻ ^[6.2]

=

B B

dV dV x x_G

ρ ρ

=

B B

dV dV y y_G

ρ ρ

=

B B

dV dV z z_G

ρ ρ

( ) ( )( )dV

M1 _B P P Q Q

G⁻ ⁼ ^ρ ⁻

- Distribuzione delle velocità: vP=vQ+×(^P−^Q) [6.3]

( ) ( )

−

⋅

=

−

⋅

∈

Q P Q

P Q P,

Q

P v

v B

- Distribuzione delle accelerazioni: aP=aQ+×(^P−^Q)+×[×(^P−^Q)] [6.4]

- Tensore d’inerzia: I ( ) ( ) [ ( )]dV

B

o P o

o =^ρP− ×× − ^[6.5]

( ) ( ) ( )

( ) ( )

=

+

= +

u

u u

o o

o o o

: Simmetrico

: Lineare

I I

I I I

α α

- Matrice d’inerzia: ⁼( ) ⁼( ⁻ )

B

j i

ij ijx xx dV

I_o ²

o δ ρ

I [6.6]

2 2

o P−

= x

( ) [ ]

( ) ( ) ( )

+

−

− +

−

− +

=

−

B B

B

B B

B

B B

B

dV y x dV yz dV

xz

dV yz dV

z x dV xy

dV xz dV

xy dV

z y

z y x

ρ ρ

ρ

ρ ρ

ρ

ρ ρ

ρ

2 2 2

2 2

2

o

T siha: o

P

I

(6)

- Teorema degli assi paralleli: ( )I_o ij=( )I_G ij+M[δijx²+xixj] [6.7]

vale solo se le basi in o e in G hanno gli assi paralleli.

- Momento d’inerzia lungo n: ( )I_o _n=n⋅I_o( )n [6.8]

- Eq. Cardinale delle Forze: R^EXT =MaG [6.9]

- Momento angolare: L_o=M(G−o)×v_o+I_o( ) [6.10]

- Energia cinetica: ( ) [ (^G ^o)]

2 1 2 1

o o

2

o+ ⋅ + ⋅ × −

= Mv I Mv

T [6.11]

( ) ^o^è^fisso

2 1

o ⇔

⋅

= I T

- Teorema di König: ( ) ^o ^G

2 1 2 1

G 2

G+ ⋅ ⇔ ≡

= Mv I

T [6.12]

- Eq. Cardinale dei Momenti: Mo^EXT =Io( ) +×Io( ) +M(G−o)×ao [6.13]

- Teorema dell’energia cinetica: ÊXT ÊXT ÊXT

dt dT

o

o R M

v ⋅ + ⋅

= Π

= [6.14]

- Eq. di Eulero:

( )

− +

=

− +

=

− +

=

1 2 2 1 3 3 3

2 1 3 1 2 2 2

2 3 3 2 1 1 1

I I I

M

I I I

M

I I I

M

ω ω ω

[6.15]

fisso o oppure G

o≡ =

[ ]

{ }basedegliautovettori con

diag

3 3 2 2 1 1

3 2 1 o

k EXT

I I I

M M M

f f

I M

ω ω

ω + +

=

7. Meccanica nel Formalismo Lagrangiano

- Vincolo Olonomo Bilatero: ( )

( )

=

= 0 , ,...,

0 ,...,

1 1

t f

f

N N

P P

P

P [7.1]

- Coordinate libere: ( ) ⁽ ⁾

( ,..., ,t)

t , ,..., ,

1 1 1 1

=

n N N

n

j i i

q q

q q t

q

P P

P P P

P [7.2]

(^x ^y ^z)

= P

→

vincolo di equazioni ,...,

parametri 3

,...,

1 1

S f f

N

S

PN

P

(7)

: sono ti indipenden ente

funzionalm vincolo

di equazioni Le k

=

∂

=

∂

= ∂

N 1,...., i

S 1,..., q

1

1 1

1

N S S

N

i q

f f

k f

P P

P

ρ

k N n= 3 − : sono libere coordinate Le

- Coordinate libere dipendenti: q_k*=q_k*(q₁,...q_n,t) k=1,...,n [7.3]

- Spostamento virtuale: j

n

j j

i

i q

q δ

δ

= ∂

1

P P [7.4]

- Espressione del lavoro virtuale: ^F δ^P δ^P ^a δ^P

1 1

1

=

⋅

=

⋅ +

⋅

N

i i i N

i i

i m [7.5]

- Lavoro virtuale dei vincoli:

=

⋅

= Λ

N

i i i 1

P

δ

δ [7.6]

=

= Λ

puro o Rotolament Rigido Liscio ideale

vincolo δ 0

- Equazioni di Lagrange per Forze non conservative:

n q j

T q

T dt

d

j j

j =1,...,

∂

− ∂

∂

= ∂

[7.7]

[ ] ⁰ ^vincolo^ideale

1

⇔

=

−

= n

j

j j

j δq

= ∂

⋅∂

=

N

i j

i i

j 1 q

F P

=

⇔

⋅

=

⇔

= ⋅

e rotazional coord.

nale traslazio coord.

o j

ATT

j j ATT

j q

q n M

e

R

j N i

i i i

j m q

∂

⋅∂

=

a P

1

- Lagrangiana del sistema: =T−V [7.8]

- Equazioni di Lagrange per Forze conservative:

=0

∂

− ∂

∂

k

k q

q dt

d

[7.9]

- Energia Cinetica: T =T0+T1+T2 [7.10]

(8)

0 1

0 2

1 a

t m t

T ⁱ

N

i i

i =

∂

⋅∂

∂

= ∂

=

P P

=

= =

=

∂

⋅∂

∂

= ∂

n

k k k k n

k N

i k

i i

i q a q

q m t T

1

1 1

1 P P

= =

= = =

=

∂

⋅∂

∂

= ∂

n

k n

j j k kj n

k n

j

j k N

i j

i

k i

i q q a qq

q m q T

1 1

1 1 1

2 2

1 2

1 P P

- Integrale primo di Poisson: ⁰ ⁼^cost.

∂

= ∂

=

∂

s s

s p q

q

[7.11]

s

s q

p =Momentocineticoassolutoassociatoallacoord.

e rotazional coord.

nale traslazio coord.

o⋅ ⇔ =

=

⇔

⋅

=

s s

q p

L

- Funzione di Hamilton:

=

−

=

n

k k kq p

1

[7.12]

V T T − +

= ₂ ₀

Motore

fissi non vincoli 0

fissi vincoli 0

Π

=

≠

∂

= +

=

∂

dt E d t

E V t T

i i

P P

- Integrale primo di Jacobi: =0 =cost.

∂

t [7.13]

- Configurazione di equilibrio: C=(q1^*,...,q^*_n) [7.14]

( )

( ) ( ) 0

0 0

0 ^* _*

≥

∀

=

= q t q t

q q q

k k k

k k

Se le forze non sono conservative:

( ^,..., ) (1^*^,..., ^*) ⁰

*

1 ⇔ =

= q q_n _k q q_n

C

Se le forze sono conservative:

( 1^*^,..., ^*) =⁰ ^l'^energia^è^stazionari^a

∂

⇔ ∂

=

k

n q

q V q C

- Scostamento dall’equilibrio: ηk =qk−q^*k [7.15]

- Teorema Lagrange – Dirichlet: ( )

stabile equilibrio in

stretto minimo ha

: ,...,

, fissi vincoli ve, conservati forze

, olonomo Sistema

.

*

* 1

=

C C V

Tesi q q C Hp

n [7.16]

(9)

- Equilibrio stabile:

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

<

∂

> ∂

>

∂

> ∂

∂

= ∂

=

te indifferen equilibrio

0

instabile equilibrio 0

, 0

stabile equilibrio 0

, 0

det :

,...,

, fissi vincoli ve, conservati forze

, olonomo Sistema

.

2 2 2

*

* 1

q C q

V q C q

V Tesi

q C q C V H

q q C Hp

i i

i i j i ij

n

H

[7.17]

TEORIA DELLE PICCOLE OSCILLAZIONI (Sistemi olonomi conservativi a vincoli fissi)

- Energia potenziale approssimata:

= =

=

n

k n

j

j k kj

VAPP

1 1

. 2

1 ηη [7.18]

( )C

kj=H

- Energia cinetica approssimata:

= =

=

n

k n

j

j k kj

TAPP

1 1

. 2

1 η η [7.19]

k EQUILBRIO

kj

kj =a HessianadiTrispettoalleq

- Lagrangiana approssimata: ( )

= =

−

=

n

k n

j

j k kj j k kj APP

1 1

. 2

1 ηη ηη

[7.20]

- Eq. di Lagrange approssimante: ( )

=

−

n

r

r jr r jr 1

η 0 η

[7.21]

Eq. lineari, risolvibili, separabili

- Eq. Secolare: ^det( ⁻^ω²)⁼⁰ [7.22]

ω2

λ=

ha soluzioni reali e positive:λ₁,...,λ_n

- Coordinate normali: ( )

=

= − n

s rs s

r U

1

1 η

ξ [7.23]

autovalori ai

associati i autovettor degli

matrice λ

= U

- Lagrangiana approssimata: ( )

=

−

=

n

j

j i j APP

1

2 2

. 2

1 ξ λξ

[7.24]

- Eq. di Lagrange approssimate: ξ_k+λ_kξ_k =0 [7.25]

- Soluzione delle equazioni: ξ_k( )t =α_ksin(ωt+β_k) [7.26]