Compito di Meccanica Razionale
Prof. F. Bagarello 10 febbraio 2012
Lo studente risolva almeno due dei seguenti quesiti:
1. Dopo avere stabilito se la forza ⃗F = (z2y, z− y, z2x) sia conservativa o meno, lo studente calcoli il lavoro effettuato da ⃗F per spostare un punto materiale lungo l’arco della curva di equazioni parametriche x = t− 2, y = t + 1 e z = t2+ π, per 0≤ t ≤ 2.
2. Consireriamo un punto materiale P di massa m vincolato ad appartenere ad un piano orizzontale (O; x, y), privo di attrito. Supponiamo che P sia collegato, tramite un’asta rigida AB di lunghezza l e massa trascurabile, ad una circonferenza C appartenente al piano (O; x, y), di raggio R e centro coincidente col punto O, in modo che le coordinate di A varino nel tempo nel modo seguente: A(t) = R(cos(ωt), sin(ωt), 0) e che P coincida con B istante per istante. Ottenere la lagrangiana del sistema, le equazioni del moto per P e commentare.
3. Ottenere e risolvere l’equazione del moto per un sistema ad un grado di libert`a descritto da una lagrangiana L = e−γt 12(m ˙θ2+ k θ2) la lagrangiana di un sistema. k, m e γ sono costanti, t `e il tempo e θ(t) `e il parametro lagrangiano. Ottenere e risolvere le equazioni del moto, con θ(0) = 0 ed ˙θ(0) = 2. Considerare i casi γ > 0, γ = 0 ed γ < 0.
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