Meccanica Razionale
Corso di Laurea Triennale in Matematica - A.A. 2011/12 II anno, II semestre, CFU 12, codice F0503
Docenti: A. Teta, M. Serva
Sillabo
Richiami di equazioni differenziali, equilibrio e stabilita. Leggi di Newton per sistemi di punti materiali. Sistemi unidimensionali. Forze centrali. Sistemi vincolati. Equazioni di Lagrange.
Principi variazionali. Dinamica del corpo rigido. Equazioni di Hamilton, equazione di Hamilton- Jacobi, teoremi di Liouville e Poincare. Sistemi integrabili.
Programma dettagliato 1. Equazioni differenziali
Sistemi di equazioni del primo ordine, problema di Cauchy, richiami sul teorema di esistenza, unicita’ e continuita’ dai dati. Richiami sui sistemi lineari. Spazio delle fasi, proprieta’ delle orbite.
Definizione di punto di equilibrio, di equilibrio stabile e di equilibrio asintoticamente stabile.
Funzione di Lyapunov, teorema di Lyapunov sulla stabilita’ di un equilibrio. Esempi di costruzione di funzioni di Lyapunov. Criterio di stabilita’ per sistemi non lineari a partire dal linearizzato (S.D.). Analisi qualitativa del modello di Lotka-Volterra.
2. Principi della Meccanica Classica
Riferimento spazio-temporale. Cinematica del punto materiale, velocita’, accelerazione, moto rettilineo uniforme, moto circolare uniforme, moto armonico. Cambi di riferimento, legge di trasformazione della velocita’ e dell’accelerazione.
Definizione di riferimento inerziale, I principio della dinamica. Legge di forza, massa inerziale, II principio della dinamica per sistemi di punti materiali, invarianza galileiana. III principio della dinamica per sistemi di punti materiali, definizione operativa di massa inerziale.
Equazioni di Newton come sistema di equazioni differenziali del secondo ordine, problema di Cauchy e carattere deterministico della Meccanica Classica. Forze dipendenti dal tempo per sistemi non isolati.
Risultante e momento risultante di un sistema di forze, annullarsi del risultante e del momento risultante del sistema delle forze interne. Equazioni cardinali della Meccanica. Sistemi isolati e teorema del centro di massa. Energia cinetica, potenza, teorema dell’energia cinetica (o delle forze vive).
1 18 ore
8 ore
2 ore
Programma di Meccanica Analitica
le parti evidenziate sono mutuate con i fisici
Forze conservative, energia potenziale, legge di conservazione dell’energia.
3. Sistemi unidimensionali
Definizione di sistema unidimensionale, forze posizionali, conservazione dell’energia, riduzione alle quadrature, equilibri e stabilita’.
Moti periodici, isocronia delle oscillazioni dell’oscillatore armonico, stime di periodi, periodo del moto periodico nel limite delle piccole oscillazioni, moti a meta asintotica.
Analisi qualitativa delle orbite nel piano delle fasi, esempi del pendolo semplice e della doppia buca di potenziale.
Esercizi.
5. Moti centrali
Moto in un campo di forze centrali, conservazione dell’energia, conservazione del momento angolare, piano di Laplace, coordinate polari.
Moti radiali. Moti non radiali, riduzione alle quadrature, equazione intrinseca dell’orbita, condizione di periodicita’ del moto, conservazione della velocita’ areolare.
Caso del potenziale Newtoniano, leggi di Keplero, caso di energia positiva e nulla, conservazione del vettore di Runge-Lenz. Problema dei due corpi.
Esercizi
6. Equazioni di Lagrange
Forma lagrangiana per le equazioni del moto di un sistema di punti materiali non vincolati, invarianza in forma delle equazioni di Lagrange, momenti cinetici, variabili cicliche.
Lagrangiana per un punto materiale soggetto a una forza conservativa in coordinate cilindriche e sferiche, lagrangiana per un punto materiale carico in un campo elettromagnetico esterno, moto in un campo magnetico uniforme e costante.
7. Principi variazionali
Spazio delle traiettorie, funzionale, punti critici di un funzionale. Funzionale d’azione, punti critici di un funzionale d’azione ed equazioni di Eulero-Lagrange, confronto tra problema ai limiti e problema di Cauchy.
Condizione sufficiente per un minimo dell’azione, controesempi.
Problema della brachistocrona.
8. Sistemi vincolati
Definizione di vincolo per un sistema di punti materiali, ipotesi di indipendenza e compatibilita’
dei vincoli, numero di gradi di liberta’, coordinate lagrangiane, spazio delle configurazioni.
Moto su una curva assegnata come esempio di sistema vincolato, pendolo semplice, pendolo cicloidale.
Definizione di moto possibile, velocita’ possibile, velocita’ virtuale. Caratterizzazione della ve- locita’ virtuale come vettore tangente allo spazio delle configurazioni. Potenza virtuale, vincoli ideali e principio di D’Alembert.
Derivazione delle equazioni di Lagrange nel caso non conservativo e conservativo.
2 12 ore
8 ore
6 ore
4 ore
10 ore
9. Proprieta’ dei sistemi lagrangiani
Lagrangiana regolare, riduzione a forma normale, caso della lagrangiana di un sistema mecca- nico, integrali primi, energia generalizzata.
Riduzione ad un sistema del primo ordine, posizioni di equilibrio, criterio di Lagrange-Dirichlet per la stabilita’ di un equilibrio. Linearizzazione nell’intorno di un equilibrio, soluzione delle equazioni linearizzate, piccole oscillazioni, frequenze proprie e modi normali. Condizione suffi- ciente per la instabilita’ di un equilibrio.
Simmetrie per un sistema lagrangiano, teorema di Noether.
Esempi del pendolo sferico e dei pendoli accoppiati.
Esercizi.
10. Corpi rigidi
Vincolo di rigidita’. Momento angolare ed energia di un corpo rigido, tensore d’inerzia ed ellissoide d’inerzia, proprieta’ di simmetria e calcolo dei momenti di inerzia.
Angoli di Eulero, velocita’ angolare e momento angolare in funzione degli angoli di Eulero e delle loro derivate. Moto rigido con un punto fisso. Equazioni di Eulero, moti alla Poinsot.
Trottola pesante, lagrangiana ed integrali primi. Descrizione qualitativa del moto: precessioni e nutazioni. La trottola dormiente.
11. Sistemi hamiltoniani
Hamiltoniana come trasformata di Legendre della lagrangiana e viceversa, equazioni di Hamil- ton, hamiltoniana come energia del sistema, integrali primi e parentesi di Poisson, esempi di calcolo di hamiltoniane.
Principio variazionale nel caso hamiltoniano.
Flusso di fase hamiltoniano, teorema di Liouville, teorema di Poincare’, equazione di Liouville.
12. Trasformazioni canoniche
Definizione di trasformazione canonica e completamente canonica, trasformazione naturale, esempi e controesempi, condizione sufficiente di canonicita’.
Funzioni generatrici di trasformazioni canoniche, esempi.
Equazione di Hamilton-Jacobi, nozione di integrale completo, caso di hamiltoniana indipendente dal tempo.
Soluzione dell’equazione di Hamilton-Jacobi per l’oscillatore armonico, soluzione per sepa- razione di variabili, esempi di hamiltoniane separabili in coordinate cilindriche e sferiche.
Matrice simplettica, trasformazioni simplettiche, condizione di completa canonicita’.
Invarianza della misura di Liouville per trasformazioni completamente canoniche, flusso di fase hamiltoniano come famiglia di trasformazioni completamente canoniche.
Invarianza delle parentesi di Poisson per trasformazioni completamente canoniche, invarianza delle parentesi fondamentali.
Simmetrie per un sistema hamiltoniano, teorema di Noether in ambito hamiltoniano.
3 6 ore
12 ore
10 ore
totale = 2+12+8+6+4+10+6+10= 58
Sistemi integrabili, teorema di Liouville sui sistemi integrabili localmente, cenno al teorema di Arnold-Liouville (S.D.).
Variabili azione-angolo per l’oscillatore armonico, metodo di costruzione di variabili azione- angolo nel caso di hamiltoniane separabili, caso del potenziale Newtoniano.
Seminari didattici
1. Derivazione del potenziale newtoniano a partire dalle leggi di Keplero.
2. Problema della diffusione da un potenziale centrale.
3. Ottica geometrica, cenni storici, principio di Fermat, equazione per i raggi, analogia con la meccanica.
Bibliografia
R. Esposito, Appunti dalle lezioni di Meccanica Razionale, ed. Aracne 1998.
A. Celletti, Esercizi e Complementi di Meccanica Razionale, ed. Aracne 1999.
Appunti sui Sistemi Unidimensionali, alcuni esercizi svolti e una lista di esercizi proposti sono disponibili sul sito https://sites.google.com/site/sandroprova/didattica-1
Altre letture consigliate
C. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 2, 1994.
E. Olivieri, Appunti di Meccanica Razionale, UniTor 1990.
G. Gallavotti, Meccanica Elementare, Boringhieri 1980.
G. Dell’Antonio, Elementi di Meccanica, Liguori, 1996.
L.D. Landau, E. M. Lifsitz, Meccanica, Editori Riuniti 1982
L. Arnold, Problemi matematici in Meccanica Classica, Editori Riuniti 1980 I. Ekeland, Il migliore dei mondi possibili, ed. Boringhieri
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