Compito di Meccanica Razionale
Prof. F. Bagarello 9 settembre 2011
Sia P un punto materiale di massa m dotato di una energia cinetica e potenziale rispettivamente pari a
T =1 2m(
1 + cos2(x))
˙
x2, π(x) = 1 2k(
αex+ x2) ,
con k ed α costanti positive.
(1) Ottenere le equazioni del moto adoperando le equazioni di Eulero-Lagrange ed il teorema di conservazione dell’energia meccanica. Confrontare le equazioni cos`ı ottenute. Studiare poi l’energia potenziale e dimostrare che esiste (almeno) una posizione di equilibrio stabile. Ottenerne un valore approssimato.
(2) Ottenere ancora, e risolvere, nell’ipotesi delle piccole oscillazioni attorno a tale punto di equi- librio, l’equazione del moto. Nella risoluzione della equazione differenziale, adoperare condizioni iniziali arbitrarie.
(3) Studiare, quantitativamente, cosa accade nel limite α→ 0, sia per le equazioni ottenute al punto (1) che per la loro versione approssimata.
Il compito `e sufficiente se si risponde almeno ai punti (1) e (2).
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