Meccanica Razionale Esercizi di esame e di controllo
Versione senza risoluzioni Daniele Andreucci
Dipartimento di Scienze di Base e Applicate per l’Ingegneria Università di Roma La Sapienza
via A.Scarpa 16, 00161 Roma
daniele.andreucci@sbai.uniroma1.it
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Note:
• (ex): esercizi d’esame; (hw): esercizi di controllo.
• Salvo diverso avviso:
– coni e cilindri sono circolari retti;
– i corpi rigidi sono omogenei;
– si assume l’ipotesi dei lavori virtuali.
100. Generalità
Indice
100. Generalità 2
120. Conservazione dell’energia 4
150. Piano delle fasi 7
220. Moti centrali e simili 12
310. Vincoli olonomi 15
330. Calcolo di quantità meccaniche in moti relativi 17 340. Calcolo di quantità cinematiche in moti relativi 32
350. Dinamica relativa 42
450. Corpi rigidi: moti polari 47
470. Corpi rigidi: equazioni cardinali 77
520. Statica per sistemi vincolati: vincoli fissi 81 560. Dinamica per sistemi vincolati: vincoli fissi 84 580. Dinamica per sistemi vincolati: vincoli mobili 94
620. Equazioni di Lagrange per vincoli fissi 99
630. Equazioni di Lagrange per vincoli mobili 123
660. Equazioni di Lagrange: equilibrio 150
680. Equazioni di Lagrange: piccole oscillazioni 166
100. Generalità
1.[29/9/2014 (hw)I] Trovare la soluzione del problema di Cauchy
¨
ϕ + aϕ = b cos(ωt) , t∈ R , ϕ(0) = 0 ,
ϕ(0) = 1 , per ogni scelta di a, b, ω ∈ R con b > 0.
100. Generalità
2.[29/9/2014 (hw)I] Supponiamo che ϕ0∈ R, F ∈ C1(R), F > 0, e che Z +∞
ϕ0
ds
F (s) := lim
k→∞
Z k ϕ0
ds
F (s) = L <∞ . Dimostrare che la soluzione di
˙
ϕ = F (ϕ) , ϕ(0) = ϕ0, non può essere definita per t ≥ L.
3.[29/9/2014 (hw)I] Trovare tutte le soluzioni di ciascuno dei tre problemi:
1)
( ϕ = ϕ˙ 35,
ϕ(0) = 0 ; 2)
( ϕ = ϕ˙ 34 ,
ϕ(0) = 0 ; 3)
( ϕ = ϕ˙ 45 , ϕ(0) = 0 .
4.[29/9/2014 (hw)I] Determinare la soluzione del problema di Cauchy d
dt
ϕ1
ϕ2
=
6ϕ1ϕ2 ln ϕ1− 3ϕ22+ 1
, ϕ1(0) ϕ2(0)
=1 0
, sapendo che si scrive nella forma
ϕ1(t) ϕ2(t)
=eat2 bt
, t∈ R , con a, b ∈ R costanti.
5.[6/10/2014 (hw)I] Si consideri il versore funzione di t u(t) = 1
√2 cos(ωt)e1+ sin(ωt)e2+ e3 . Qui ω > 0 è una costante assegnata, e t ∈ R.
Si costruisca una base ortonormale (uh(t)) positiva (ossia congruente con la base standard (eh) di R3) in modo che
u1(t) = u(t) , u2(t)· e3 = 0 .
6.[6/10/2014 (hw)I] Si scriva la rappresentazione parametrica di classe C1 dell’ellisse intersezione del cilindro e del piano
x21+ x22= R2, x2− x3= 0 .
7.[6/10/2014 (hw)I] Si scriva almeno una parametrizzazione per ciascuno dei seguenti oggetti geometrici mobili, ove α(t) è un’arbitraria funzione del tempo:
120. Conservazione dell’energia
1. Circonferenza con diametro di estremi
(−R,0,0) , (R,0,0) ,
il cui piano forma all’istante t l’angolo α(t) con il piano x3 = 0.
2. Sfera di raggio R e centro C dato da
−−→OC = L cos α(t)e1+ L sin α(t)e2; qui O è l’origine del sistema di riferimento.
3. Quadrato (pieno) ABCD di lato L che giace sul piano
−x1sin α(t) + x2cos α(t) = 0 , e tale che
A = O , −−→AB = Le3.
120. Conservazione dell’energia
1. [22/9/2006 (ex)I] Un punto materiale è vincolato a muoversi nel piano (x, y) ed è soggetto a un campo di forze di potenziale
U (x, y) =−kx2y2.
Si dimostri che non si possono avere moti illimitati in cui il punto rimanga sempre nel settore
A ={(x, y) | 0 < x < y < 2x} .
2.[1/4/2008 (ex)I] Un punto materiale P di massa m è vincolato alla curva Ψ(τ ) = aτ, bτ2, cτ3 , −∞ < τ < ∞ ,
ed è soggetto a un campo di forze di potenziale U (x) =− α
|x|2 − β|x|2, x∈ R3\ {0} . Qui a, b, c, α, β sono costanti positive.
Dimostrare che ciascun moto ϕ soddisfa ε≤ |ϕ(t)| ≤ C ,
120. Conservazione dell’energia
per due opportune costanti positive C, ε (dipendenti dal moto), e per ogni t per cui è definito.
3.[17/2/2014 (ex)I] Un punto materiale P di massa m è vincolato a muoversi sull’asse x3. Su di esso oltre al peso −mge3 agisce la forza
F = k x23e3. Le condizioni iniziali sono
−−→OP (0) = Le3, v(0) =−v0e3, con L, v0> 0 costanti.
Determinare la quota a cui la velocità si annulla (per la prima volta).
4. [17/2/2014 (ex)II] Un punto materiale P di massa m è vincolato a muoversi sull’asse x3. Su di esso oltre al peso −mge3 agisce la forza
F = k x23e3. Le condizioni iniziali sono
−−→OP (0) = Le3, v(0) = v0e3, con L, v0> 0 costanti.
Determinare la quota a cui la velocità si annulla (per la prima volta).
5. [10/2/2015 (ex)I] Un punto materiale P di massa m è vincolato alla superficie
1 +x23
a2 = px21+ x22
b ,
ed è soggetto alla forza
F = λe−kx3e3, ove λ, k > 0 sono costanti.
Si dimostri che i moti di P hanno tutti quota x3 limitata inferiormente.
6. [10/2/2015 (ex)II] Un punto materiale P di massa m è vincolato alla superficie
1 +x21
a2 = px22+ x23
b ,
ed è soggetto alla forza
F =−λekx1e1, ove λ, k > 0 sono costanti.
Si dimostri che i moti di P hanno tutti ascissa x1 limitata superiormente.
120. Conservazione dell’energia
7.[3/9/2015 (ex)I] Un punto materiale P di massa m è soggetto alla forza F(x, ˙x) =−keα|x|2x− λ|x| ˙x ,
ove α, k, λ > 0 sono assegnati.
All’istante iniziale si ha per il moto X del punto P X(0) = Re1, X˙ (0) = v0e2. Si dimostri che per ogni t ≥ 0
|X(t)| ≤ C ,
determinando la costante C in funzione di k, α, λ, m, R, v0.
8.[19/3/2016 (ex)I] Un punto materiale di massa m è soggetto alla forza F(x, ˙x) =−kx(λ2+|x|2) + u× ˙x ,
ove u ∈ R3, k, λ > 0, sono costanti assegnate.
Si dimostri che tutti i moti sono limitati e si determini la limitazione in funzione dei parametri e delle condizioni iniziali.
9.[15/01/2018 (ex)I] Un punto materiale P di massa m si muove vincolato al piano z = 0 e soggetto al campo di forze
F =−αx2e1− βy3e2, con α, β > 0 costanti.
Si dimostri che i moti non possono diventare illimitati nel semipiano x > 0.
10.[15/01/2018 (ex)II] Un punto materiale P di massa m si muove vincolato al piano z = 0 e soggetto al campo di forze
F =−αx3e1− βy4e2, con α, β > 0 costanti.
Si dimostri che i moti non possono diventare illimitati nel semipiano y > 0.
11. [27/06/2018 (ex)I] Un punto materiale P di massa m è soggetto al campo di forze
F =−kxy2e1− kx2ye2− λze3, ed è vincolato alla curva γ parametrizzata da
Ψ(τ ) = aτ e1+ bτ2e2+ c cos τ e3, τ ∈ R .
Qui k, λ, a, b, c sono costanti positive assegnate. All’istante iniziale valgono
−−→OP (0) = ce3, v(0) = v0e1,
150. Piano delle fasi
con v0> 0.
Dimostrare che il moto resta limitato per t > 0.
12.[06/02/2020 (ex)I] Un punto materiale (X, m) è vincolato alla curva x2 = αx21, x3 = 0 .
Non ci sono forze direttamente applicate.
All’istante iniziale t = 0,
X1(0) = x0 > 0 , X˙1(0) = c > 0 .
Si completino le condizioni iniziali ricavando X(0), v(0) e si dimostri che
t→+∞lim
X˙1(t) = 0 .
[Si può assumere che il moto sia definito su [0, +∞]. ]
13.[06/02/2020 (ex)II] Un punto materiale (X, m) è vincolato alla curva x3 = αx21, x2 = 0 .
Non ci sono forze direttamente applicate.
All’istante iniziale t = 0,
X1(0) = x0 < 0 , X˙1(0) = c < 0 .
Si completino le condizioni iniziali ricavando X(0), v(0) e si dimostri che
t→+∞lim
X˙1(t) = 0 .
[Si può assumere che il moto sia definito su [0, +∞]. ]
150. Piano delle fasi
1. [18/7/2005 (ex)I] Un punto materiale P di massa m si muove di moto rettilineo su una retta r.
Il punto è soggetto a una forza di potenziale U (x) = kx|x| , ove x è l’ascissa di P misurata su r.
Si disegnino le orbite nel piano delle fasi, e si determinino tutti i moti che rimangono limitati per t → ∞.
150. Piano delle fasi
2.[18/7/2005 (ex)II] Un punto materiale P di massa m si muove di moto rettilineo su una retta r.
Il punto è soggetto a una forza di potenziale U (x) = kx3|x| , ove x è l’ascissa di P misurata su r.
Si disegnino le orbite nel piano delle fasi, e si determinino tutti i moti che rimangono limitati per t → ∞.
3. [7/4/2006 (ex)I] Un punto materiale P di massa m si muove di moto rettilineo su una retta r.
Il punto è soggetto a una forza di potenziale U (x) = k cos x ,
ove x è l’ascissa di P misurata su r, e k è una costante positiva.
Si disegnino le orbite nel piano delle fasi, e si discuta qualitativamente l’andamento dei moti.
4.[13/12/2007 (ex)I] Tracciare nel piano delle fasi le orbite corrispondenti ai moti determinati da
m¨x = F (x) , ove
F (x) = ax sin(bx2) , e a, b > 0 sono costanti.
5.[13/12/2007 (ex)II] Tracciare nel piano delle fasi le orbite corrispondenti ai moti determinati da
m¨x = F (x) , ove
F (x) =−ax cos(bx2) , e a, b > 0 sono costanti.
6. [1/7/2008 (ex)I] Disegnare il diagramma nel piano delle fasi corrispon- dente al potenziale
U (x) =−ax2+ bx5, ove a, b sono costanti positive.
7.[1/7/2008 (ex)II] Disegnare il diagramma nel piano delle fasi corrispon- dente al potenziale
U (x) =−ax4+ bx7, ove a, b sono costanti positive.
150. Piano delle fasi
8.[12/6/2009 (ex)I] Tracciare il diagramma nel piano delle fasi per i moti m¨x = U′(x) ,
con
U (x) = kx3e−ax, x∈ R . Qui m, a, k sono costanti positive.
9.[12/6/2009 (ex)II] Tracciare il diagramma nel piano delle fasi per i moti m¨x = U′(x) ,
con
U (x) =−k(x − 1)3eax, x∈ R . Qui m, a < 3, k sono costanti positive.
10. [20/11/2009 (ex)I] Tracciare le orbite nel piano delle fasi relative al potenziale
U (x) = x 1 + x2, e discutere la stabilità dei punti di equilibrio.
11.[22/2/2010 (ex)I] Tracciare nel piano delle fasi il diagramma delle orbite corrispondenti al potenziale
U (x) = α sin(βx|x|) ,
ove α e β sono costanti positive, mettendo in evidenza tutti i punti di equilibrio.
12.[22/2/2010 (ex)II] Tracciare nel piano delle fasi il diagramma delle orbite corrispondenti al potenziale
U (x) =−α sin(βx|x|) ,
ove α e β sono costanti positive, mettendo in evidenza tutti i punti di equilibrio.
13.[20/1/2014 (ex)I] Un punto materiale P di massa m si muove di moto rettilineo su una retta r. Il punto è soggetto a una forza di potenziale
U (x) = a(x2− b2)2, x∈ R ,
ove x è l’ascissa di P misurata su r, e a, b sono costanti positive.
Si disegnino le orbite nel piano delle fasi, e si discuta qualitativamente l’andamento dei moti.
150. Piano delle fasi
14.[20/1/2014 (ex)II] Un punto materiale P di massa m si muove di moto rettilineo su una retta r. Il punto è soggetto a una forza di potenziale
U (x) =−a(x2− b2)2, x∈ R ,
ove x è l’ascissa di P misurata su r, e a, b sono costanti positive.
Si disegnino le orbite nel piano delle fasi, e si discuta qualitativamente l’andamento dei moti.
15.[17/7/2014 (ex)I] Tracciare il diagramma delle orbite nel piano delle fasi del moto di un punto di massa m corrispondente al potenziale
U (x) = x−√
x , x > 0 .
16.[13/1/2015 (ex)I] Un punto materiale P di massa m si muove di moto rettilineo su una retta r.
Il punto è soggetto a una forza di potenziale
U (x) = x2(x− 2)(x − 4)2, x∈ R , ove x è l’ascissa di P misurata su r.
Si disegnino le orbite nel piano delle fasi, e si determinino tutti i moti che rimangono limitati per t → +∞.
17.[13/1/2015 (ex)II] Un punto materiale P di massa m si muove di moto rettilineo su una retta r.
Il punto è soggetto a una forza di potenziale
U (x) = x2(x + 2)(x + 4)2, x∈ R , ove x è l’ascissa di P misurata su r.
Si disegnino le orbite nel piano delle fasi, e si determinino tutti i moti che rimangono limitati per t → +∞.
18. [12/1/2015 (ex)I] Si disegnino le orbite nel piano delle fasi relative ai moti
m¨x = U′(x) , ove
U (x) =
x(x + 1) , x≤ 0 , x
x2+ 1, x > 0 , spiegando come si è ottenuta la costruzione.
Quindi per ciascuna orbita si determini se esista il limite
t→+∞lim ˙x(t) ,
150. Piano delle fasi
e se esiste lo si calcoli.
19.[12/1/2015 (ex)II] Si disegnino le orbite nel piano delle fasi relative ai moti
m¨x = U′(x) , ove
U (x) =
− 2x
x2+ 1, x < 0 , x(x− 2) , x≥ 0 , spiegando come si è ottenuta la costruzione.
Quindi per ciascuna orbita si determini se esista il limite
t→+∞lim ˙x(t) , e se esiste lo si calcoli.
20.[6/9/2016 (ex)I] Disegnare e discutere il diagramma di fase del moto m¨x = U′(x) ,
ove
U (x) = ax3(|x| − b) , x∈ R . Qui a, b > 0 sono costanti assegnate.
21.[17/01/2017 (ex)I] Tracciare il diagramma nel piano delle fasi dei moti di un punto di massa m soggetto a forze di potenziale
U (x) = axe−bx2, x∈ R ,
ove a e b sono costanti positive, spiegando come si è ottenuta la costruzione.
22.[17/01/2017 (ex)II] Tracciare il diagramma nel piano delle fasi dei moti di un punto di massa m soggetto a forze di potenziale
U (x) =− ax
1 + bx4, x∈ R ,
ove a e b sono costanti positive, spiegando come si è ottenuta la costruzione.
23. [13/02/2018 (ex)I] Studiare e disegnare le orbite nel piano delle fasi relative al potenziale
U (x) =−e−3x(3x + 1)(1 + x) , x ∈ R .
220. Moti centrali e simili
24. [13/02/2018 (ex)II] Studiare e disegnare le orbite nel piano delle fasi relative al potenziale
U (x) = ex(x− 1)(3 − x) , x∈ R .
25. [15/01/2019 (ex)I] Disegnare il ritratto di fase dei moti relativi al potenziale
U (x) = (x− 1)2(x− 2)2
x2 , x > 0 , spiegando come si è ottenuta la costruzione.
26. [15/01/2019 (ex)II] Disegnare il ritratto di fase dei moti relativi al potenziale
U (x) = 4(x− 1)2(x− 3)2
x2 , x > 0 , spiegando come si è ottenuta la costruzione.
27.[06/02/2020 (ex)I] Un moto unidimensionale si svolge con potenziale U (x) = arctg ax3+ bx2 , x∈ R .
Qui a, b sono costanti positive.
Tracciare il diagramma di fase dei moti e individuare le orbite corrispondenti a moti per cui vale almeno una tra le relazioni
t→+∞lim ˙x(t) = 0 , lim
t→−∞ ˙x(t) = 0 .
28.[06/02/2020 (ex)II] Un moto unidimensionale si svolge con potenziale U (x) =− arctg ax3− bx2 , x∈ R .
Qui a, b sono costanti positive.
Tracciare il diagramma di fase dei moti e individuare le orbite corrispondenti a moti per cui vale almeno una tra le relazioni
t→+∞lim ˙x(t) = 0 , lim
t→−∞ ˙x(t) = 0 .
220. Moti centrali e simili
220. Moti centrali e simili
1.[7/7/2006 (ex)I] Un punto materiale P di massa m è soggetto alla forza
F =−k
−−→OP
|−−→OP|4,
con k > 0 costante. Qui O è l’origine del sistema di riferimento fisso. Le condizioni iniziali del moto sono
P (0) = (r0,0,0) , vP(0) = (0, v0,0) , con r0, v0 > 0 tali che
k = r02v20m . Determinare la traiettoria di P .
[Suggerimento: usare la formula di Binet.]
2.[7/7/2006 (ex)II] Un punto materiale P di massa m è soggetto alla forza
F =−k
−−→OP
|−−→OP|4,
con k > 0 costante. Qui O è l’origine del sistema di riferimento fisso. Le condizioni iniziali del moto sono
P (0) = (0, r0,0) , vP(0) = (−v0,0,0) , con r0, v0 > 0 tali che
k = r02v20m . Determinare la traiettoria di P .
[Suggerimento: usare la formula di Binet.]
3.[17/9/2007 (ex)I] Un punto P di massa m è soggetto al campo di forze F = k
−−→OP
1 2 −−→OP ,
ove O è l’origine del sistema di riferimento fisso e k > 0 è costante.
All’istante iniziale P occupa la posizione
−−→OP (0) = Le1, con velocità iniziale
v(0) = αe2+ βe3.
Si dimostri che il moto di P avviene su un piano fisso Π, si trovi l’equazione di Π, e si calcoli la velocità areolare di P .
220. Moti centrali e simili
4.[17/9/2007 (ex)II] Un punto P di massa m è soggetto al campo di forze F =−k
−−→OP
4−−→
OP ,
ove O è l’origine del sistema di riferimento fisso e k > 0 è costante.
All’istante iniziale P occupa la posizione
−−→OP (0) = Le2, ove L > 0, con velocità iniziale
v(0) = αe1+ βe3.
Si dimostri che il moto di P avviene su un piano fisso Π, si trovi l’equazione di Π, e si calcoli la velocità areolare di P .
5. [18/7/2008 (ex)I] Un punto P di massa m si muove sul piano x3 = 0, soggetto alla forza
F = αr−3cos2ϕ
−−→OP
|−−→
OP|,
ove O è l’origine e r, ϕ sono le coordinate polari nel piano.
All’istante iniziale
−−→OP (0) = Le1, v(0) = v0e2. Qui α, L e v0 sono costanti positive.
1. Si calcoli la velocità areolare di P , dimostrando che rimane costante nel moto.
2. Si dimostri che lungo il moto r è crescente.
6.[18/7/2008 (ex)II] Un punto P di massa m si muove sul piano x3 = 0, soggetto alla forza
F = αr3sin2ϕ
−−→OP
|−−→
OP|,
ove O è l’origine e r, ϕ sono le coordinate polari nel piano.
All’istante iniziale
−−→OP (0) = Re2, v(0) = v0e1. Qui α, R e v0 sono costanti positive.
1. Si calcoli la velocità areolare di P , dimostrando che rimane costante nel moto.
310. Vincoli olonomi
2. Si dimostri che lungo il moto r è crescente.
7.[9/4/2010 (ex)I] Un punto materiale P di massa m è soggetto al campo di forze
F = k
−−→OP
|OP |,
ove O è l’origine del sistema di riferimento fisso (O, ei).
All’istante iniziale P occupa la posizione
−−→OP (0) = Re2+ Re3, con velocità iniziale
v(0) = αe1+ βe2. Qui α, β, k, R sono costanti positive.
Si dimostri che il moto avviene su un piano fisso e si determini l’equazione di tale piano.
310. Vincoli olonomi
1. [09/01/2020 (ex)I] Due punti materiali (Xh, m) h = 1, 2, entrambi di massa m, rappresentati da
X1 = z1e1+ z2e2+ z3e3, X2 = z4e1+ z5e2+ z6e3, sono soggetti ai seguenti vincoli:
f1(z) = z21+ z22− z42− z25 = 0 , f2(z) = z22+ z32− z52− z26 = 0 .
• Trovare almeno un aperto A di R6 in cui nelle configurazioni com- patibili il vincolo è olonomo non singolare e in esse determinare una rappresentazione lagrangiana.
2.[09/01/2020 (ex)II] Due punti materiali (Xh, m) h = 1, 2, entrambi di massa m, rappresentati da
X1 = z1e1+ z2e2+ z3e3, X2 = z4e1+ z5e2+ z6e3, sono soggetti ai seguenti vincoli:
f1(z) = z21+ z22− z42− z25 = 0 , f2(z) = z21+ z32− z42− z26 = 0 .
310. Vincoli olonomi
• Trovare almeno un aperto A di R6 in cui nelle configurazioni com- patibili il vincolo è olonomo non singolare e in esse determinare una rappresentazione lagrangiana.
3.[06/02/2020 (ex)I] Due moti
X1 = z1e1+ z2e2+ z3e3, X2 = z4e1+ z5e2+ z6e3, sono vincolati come segue per una costante R > 0:
• X1 appartiene alla sfera S1 di centro (−R,0,0) e di raggio R;
• X2 appartiene alla sfera S2 di centro (R,0,0) e di raggio R;
• X1 e X2 sono a distanza fissa 2R.
Si dimostri che il vincolo è regolare nella configurazione X1 =−Re1+ Re2, X2= Re1+ Re2.
Si determini poi almeno una configurazione compatibile con il vincolo in cui questo non è regolare.
4.[06/02/2020 (ex)II] Due moti
X1 = z1e1+ z2e2+ z3e3, X2 = z4e1+ z5e2+ z6e3, sono vincolati come segue per una costante R > 0:
• X1 appartiene alla sfera S1 di centro (0,0, −R) e di raggio R;
• X2 appartiene alla sfera S2 di centro (0,0, R) e di raggio R;
• X1 e X2 sono a distanza fissa 2R.
Si dimostri che il vincolo è regolare nella configurazione X1 = Re1− Re3, X2 = Re1+ Re3.
Si determini poi almeno una configurazione compatibile con il vincolo in cui questo non è regolare.
5.[10/02/2020 (ex)I] Un cono C di altezza H e raggio R è vincolato come segue:
• Il vertice V rimane a distanza fissa L > 0 dall’origine del sistema di riferimento fisso.
• L’asse del cono si mantiene parallelo all’asse x3.
330. Calcolo di quantità meccaniche in moti relativi
Si scelgano le coordinate locali:
z1 = x1V , z2= x2V , z3 = x3V , z4 = x1A, z5 = x2A, z6 = x1B, ove A è il centro della base del cono, e B un punto solidale della circonferenza di base.
Si scrivano i vincoli corrispondenti e si dimostri che sono olonomi regolari in tutte le configurazioni compatibili con i vincoli; naturalmente ci si limiti alle configurazioni in cui le coordinate locali si possono scegliere come sopra.
6. [10/02/2020 (ex)II] Un cilindro C di altezza H e raggio R è vincolato come segue:
• Il centro A di una delle due basi rimane a distanza fissa L > 0 dall’origine del sistema di riferimento fisso.
• L’asse del cilindro si mantiene parallelo all’asse x1. Si scelgano le coordinate locali:
z1 = x1A, z2 = x2A, z3= x3A, z4= x2B, z5 = x3B, z6 = x2D, ove B è il centro della seconda base del cilindro, e D un punto solidale della circonferenza di base il cui centro è B.
Si scrivano i vincoli corrispondenti e si dimostri che sono olonomi regolari in tutte le configurazioni compatibili con i vincoli; naturalmente ci si limiti alle configurazioni in cui le coordinate locali si possono scegliere come sopra.
330. Calcolo di quantità meccaniche in moti relativi
1.[18/7/2005 (ex)I] Sia Π(t) il piano mobile di equazione
− sin(αt)x1+ cos(αt)x2 = 0 , nel riferimento fisso (O, x1, x2, x3).
Un disco rigido omogeneo di massa m e raggio R è vincolato a giacere su Π(t), e ad avere il centro C coincidente con un punto P solidale con Π(t), a distanza d > 0 dall’asse x3.
Si esprima in coordinate lagrangiane l’energia cinetica del disco nel sistema di riferimento fisso.
2.[18/7/2005 (ex)II] Sia Π(t) il piano mobile di equazione
− sin(αt)x2+ cos(αt)x3 = 0 , nel riferimento fisso (O, x1, x2, x3).
330. Calcolo di quantità meccaniche in moti relativi
Una lamina quadrata rigida omogenea di massa m e lato 2L è vincolata a giacere su Π(t), e ad avere il centro C coincidente con un punto P solidale con Π(t), a distanza d > 0 dall’asse x1.
Si esprima in coordinate lagrangiane l’energia cinetica della lamina nel siste- ma di riferimento fisso.
3.[12/9/2005 (ex)I] Un triangolo ABC è formato da tre aste omogenee di lunghezza 2L, ciascuna di massa m. È vincolato a ruotare intorno a un asse fisso per A, rimanendo sempre ortogonale ad esso; il vertice A è fisso.
Determinare in funzione di m, L e di un’opportuna coordinata lagrangiana l’energia cinetica del triangolo.
4.[12/9/2005 (ex)II] Un triangolo ABC è formato da tre aste omogenee di lunghezza 4L, ciascuna di massa m. È vincolato a ruotare intorno a un asse fisso per A, rimanendo sempre ortogonale ad esso; il vertice A è fisso.
Determinare in funzione di m, L e di un’opportuna coordinata lagrangiana l’energia cinetica del triangolo.
5.[19/7/2006 (ex)I] Un sistema vincolato è costituito da un disco rigido di raggio R > 0 e massa M > 0, e da un punto materiale P di massa m > 0 vincolato a muoversi sulla circonferenza bordo del disco.
Inoltre il disco è vincolato a ruotare intorno a un asse fisso passante per un suo diametro, mantenendo il centro fisso su tale asse.
Determinare l’energia cinetica del sistema in funzione di opportune coordi- nate lagrangiane.
6. [19/7/2006 (ex)II] Un sistema vincolato è costituito da un disco rigido di raggio R > 0 e massa M > 0, e da un punto materiale P di massa m > 0 vincolato a muoversi sulla circonferenza concentrica al disco (e giacente su di esso), di raggio R/2.
Inoltre il disco è vincolato a ruotare intorno a un asse fisso passante per un suo diametro, mantenendo il centro fisso su tale asse.
Determinare l’energia cinetica del sistema in funzione di opportune coordi- nate lagrangiane.
7.[22/9/2006 (ex)I] Si trovi in termini delle opportune coordinate lagran- giane l’energia cinetica di un’asta rigida AB, omogenea, di lunghezza 2L, massa m, e sottoposta ai vincoli:
• A appartiene a una circonferenza fissa di raggio R > 0 e centro O;
• l’asta si mantiene sempre ortogonale nel suo moto al raggio −→OA.
8.[13/12/2006 (ex)I] Si trovi in termini delle opportune coordinate lagran- giane l’energia cinetica di un’asta rigida AB, omogenea, di lunghezza L,
330. Calcolo di quantità meccaniche in moti relativi
massa m, e sottoposta ai vincoli:
x2A+ yA2 = zA2 , x2B+ yB2 = zB2 ,
zB = zA+ L
√2.
(Ossia, AB giace tutta sul cono x2+ y2= z2. Si assuma zA> 0.)
9.[26/3/2007 (ex)I] Un cilindro circolare retto omogeneo di massa M, raggio R e altezza H è sottoposto ai seguenti vincoli:
• il suo centro O appartiene a una circonferenza fissa γ di raggio L, giacente su un piano fisso Π;
• il suo asse si mantiene ortogonale a Π.
Si trovi in termini delle opportune coordinate lagrangiane l’energia cinetica del cilindro.
10. [19/7/2007 (ex)I] Un’asta AB di lunghezza 2L e massa m è vincolata ad avere l’estremo A sulla curva
x1= Rϕ cos ϕ , x2= Rϕ sin ϕ , x3= hϕ ,
ove 0 < ϕ < ∞. Qui R e h sono costanti positive.
Inoltre −−→AB/2L si mantiene coincidente con (cos ϕ, sin ϕ, 0) .
Si calcoli l’energia cinetica di AB in funzione di opportune coordinate la- grangiane.
11.[19/7/2007 (ex)II] Un’asta AB di lunghezza 2L e massa m è vincolata ad avere il centro G sulla curva
x1= Rϕ cos ϕ , x2= Rϕ sin ϕ , x3= hϕ ,
ove 0 < ϕ < ∞. Qui R e h sono costanti positive.
Inoltre −−→AB/2L si mantiene coincidente con (− sin ϕ, cos ϕ, 0) .
Si calcoli l’energia cinetica di AB in funzione di opportune coordinate la- grangiane.
12.[17/9/2007 (ex)I] Un’asta AB di lunghezza 2L e massa m è vincolata:
330. Calcolo di quantità meccaniche in moti relativi
• ad avere il centro M sulla circonferenza di raggio R > 0 γ
(x21+ x22 = R2, x3 = 0 ;
• a giacere sul piano passante per l’asse x3 e per il punto M (che è il piano ortogonale a γ in M).
Scrivere l’energia cinetica di AB in opportune coordinate lagrangiane.
13.[17/9/2007 (ex)II] Un’asta AB di lunghezza 2L e massa m è vincolata:
• ad avere l’estremo A sulla circonferenza di raggio R > 0 γ
(x21+ x22 = R2, x3 = 0 ;
• a giacere sul piano passante per l’asse x3 e per il punto A (che è il piano ortogonale a γ in A).
Scrivere l’energia cinetica di AB in opportune coordinate lagrangiane.
14.[13/12/2007 (ex)I] Un cilindro C di massa M, raggio R e altezza h in un sistema di riferimento solidale è descritto da
C ={(x, y, z) | (x − R)2+ y2 ≤ R2, 0≤ z ≤ h} .
Il cilindro è vincolato a mantenere i due punti Q1 = (0,0,0) e Q2 = (0,0, h) fissi su un asse fisso r (e quindi a ruotare intorno a r).
Un punto materiale P di massa m è vincolato a muoversi sulla circonferenza γ ={(x, y, z) | (x − R)2+ y2 = R2, z = 0} ,
bordo della base del cilindro.
Scrivere l’energia cinetica del sistema.
15.[13/12/2007 (ex)II] Un cilindro C di massa M, raggio R e altezza h in un sistema di riferimento solidale è descritto da
C ={(x, y, z) | (x − R)2+ y2 ≤ R2, 0≤ z ≤ h} .
Il cilindro è vincolato a mantenere i due punti Q1 = (0,0,0) e Q2 = (0,0, h) fissi su un asse fisso r (e quindi a ruotare intorno a r).
Un punto materiale P di massa m è vincolato a muoversi sulla circonferenza γ ={(x, y, z) | (x − R)2+ y2= R2
4 , z = h} (circonferenza che quindi è solidale con il cilindro).
Scrivere l’energia cinetica del sistema.
16. [1/4/2008 (ex)I] Un’asta rigida AB di massa m e lunghezza 2L è vincolata:
330. Calcolo di quantità meccaniche in moti relativi
• ad avere il centro C appartenente alla sfera di centro l’origine O e di raggio R > 0;
• a essere ortogonale alla sfera stessa.
Calcolarne l’energia cinetica in funzione di opportune coordinate lagrangia- ne.
17. [18/7/2008 (ex)I] Una circonferenza γ di centro O, raggio R e massa M è vincolata a ruotare intorno a un proprio diametro AB, che giace su un asse fisso. Anche i punti A e B sono solidali con γ e fissi.
Un’asta CD di lunghezza L e massa m è vincolata ad avere l’estremo C sulla circonferenza, e a mantenersi parallela ad AB (il che implica che CD giace sul piano di γ).
Scrivere l’energia cinetica del sistema in funzione delle opportune coordinate lagrangiane.
18. [18/7/2008 (ex)II] Una circonferenza γ di centro O, raggio R e massa M è vincolata a ruotare intorno a un proprio diametro AB, che giace su un asse fisso. Anche i punti A e B sono solidali con γ e fissi.
Un’asta CD di lunghezza L e massa m è vincolata ad avere l’estremo C sulla circonferenza, a giacere sul piano di γ, e a mantenersi ortogonale ad AB.
Scrivere l’energia cinetica del sistema in funzione delle opportune coordinate lagrangiane.
19.[12/2/2009 (ex)I] Un disco di raggio L e massa m è così vincolato:
• il suo centro C appartiene alla curva
ψ(s) = R cos λs , R sin λs , hλs , s∈ R . Qui s è la lunghezza d’arco, λ = 1/√
R2+ h2, e R, h > 0 sono costanti.
• la normale al disco coincide con la binormale B alla curva.
Si calcoli il momento delle quantità di moto del disco rispetto a C in funzione di due opportune coordinate lagrangiane.
20.[12/2/2009 (ex)I] Un’asta AB di lunghezza 2L e massa m è vincolata
• ad avere l’estremo A nell’origine O;
• ad avere l’estremo B sulla curva
ψ(s) = ψ1(s), ψ2(s), ψ3(s) , s∈ (a, b) , ove s è l’ascissa curvilinea.
330. Calcolo di quantità meccaniche in moti relativi
Determinare l’energia cinetica dell’asta in funzione di un’opportuna coordi- nata lagrangiana.
21.[12/2/2009 (ex)II] Un disco di raggio L e massa m è così vincolato:
• il suo centro C appartiene alla curva
ψ(s) = R sin λs , R cos λs , hλs , s∈ R . Qui s è la lunghezza d’arco, λ = 1/√
R2+ h2, e R, h > 0 sono costanti.
• la normale al disco coincide con la binormale B alla curva.
Si calcoli il momento delle quantità di moto del disco in funzione di due opportune coordinate lagrangiane.
22.[12/2/2009 (ex)II] Un’asta AB di lunghezza 2L e massa m è vincolata
• ad avere l’estremo A nell’origine O;
• ad avere il centro C sulla curva
ψ(s) = ψ1(s), ψ2(s), ψ3(s) , s∈ (a, b) , ove s è l’ascissa curvilinea.
Determinare l’energia cinetica dell’asta in funzione di un’opportuna coordi- nata lagrangiana.
23. [12/6/2009 (ex)I] Un’asta AB di lunghezza L e massa m soddisfa i vincoli
x21A+ x22A− R2= 0 ; x3A− x3B = 0 ; x1Ax2B− x2Ax1B= 0 . Qui m, L, R > 0 sono costanti.
Determinare l’energia cinetica dell’asta in funzione delle opportune coordi- nate lagrangiane.
24. [12/6/2009 (ex)II] Un’asta AB di lunghezza L e massa m soddisfa i vincoli
x21A+ x22A− R2= 0 ; x3A− x3B = 0 ; x1Ax1B+ x2Ax2B = 0 . Qui m, L, R > 0 sono costanti.
Determinare l’energia cinetica dell’asta in funzione delle opportune coordi- nate lagrangiane.
25.[15/7/2009 (ex)I] Una sfera solida di raggio R e massa M è vincolata:
330. Calcolo di quantità meccaniche in moti relativi
• ad avere il centro nell’origine O del sistema di riferimento fisso;
• ad avere il punto solidale A mobile con equazione assegnata
−→OA = R(a cos cte1+ a sin cte2+ be3) .
Qui a, b, c sono costanti positive tali che a2+ b2 = 1.
Determinare l’energia cinetica della sfera in funzione di una opportuna coor- dinata lagrangiana.
26.[15/7/2009 (ex)I] Un disco di raggio R e massa M è vincolato:
• ad avere il centro C sull’asse fisso x3;
• a mantenersi sempre ortogonale all’asse x3.
Scrivere il momento della quantità di moto LO del disco rispetto all’origine O, in funzione di opportune coordinate lagrangiane.
27.[15/7/2009 (ex)II] Una sfera solida di raggio R e massa M è vincolata:
• ad avere il centro nell’origine O del sistema di riferimento fisso;
• ad avere il punto solidale A mobile con equazione assegnata
−→OA = R
2(a sin cte1+ a cos cte2+ be3) . Qui a, b, c sono costanti positive tali che a2+ b2 = 1.
Determinare l’energia cinetica della sfera in funzione di una opportuna coor- dinata lagrangiana.
28.[15/7/2009 (ex)II] Un disco di raggio R e massa M è vincolato:
• ad avere il centro C sull’asse fisso x1;
• a mantenersi sempre ortogonale all’asse x1.
Scrivere il momento della quantità di moto LAdel disco rispetto al punto A tale che −→OA = Re1, in funzione di opportune coordinate lagrangiane. Qui O è l’origine del sistema di riferimento.
29.[11/9/2009 (ex)I] Una lamina rettangolare ABCD di massa M e lati
−−→AB =
−−→CD = a ,
−−→BC =
−−→AD = b , è vincolata ad avere il lato −−→AD sull’asse mobile r definito da
x1 = L cos ωt , x2 = L sin ωt , x3 ∈ R .
330. Calcolo di quantità meccaniche in moti relativi
Supponiamo anche che
x3A= 0 , x3D= b .
Calcolare l’energia cinetica della lamina nel sistema fisso (O, xi).
30.[11/9/2009 (ex)II] Una lamina quadrata ABCD di massa M e lato b è vincolata ad avere il lato −−→AD sull’asse mobile r definito da
x1 = L cos ωt , x2 = L sin ωt , x3 ∈ R . Supponiamo anche che
x3A= b , x3D= 2b .
Calcolare l’energia cinetica della lamina nel sistema fisso (O, xi).
31. [20/11/2009 (ex)I] Una lamina quadrata di massa M e lato 2L è vincolata a ruotare intorno all’asse mobile r
x1cos αt + x2sin αt = R , x3 = 0 ,
in modo che r coincida con l’asse comune di due lati opposti della lamina.
Il centro C della lamina occupa su r la posizione
−−→OC = R(cos αte1+ sin αte2) .
Calcolare in funzione delle opportune coordinate lagrangiane il momento del- le quantità di moto della lamina, rispetto all’origine del sistema di riferimento fisso.
32.[25/1/2010 (ex)I] Una lamina quadrata ABCD di massa M e lato 2R è vincolata a giacere sul piano fisso x3 = 0, mantenendo il lato AB sull’asse x1 e rimanendo nel semipiano x2 > 0.
Un’asta EF di lunghezza 2L e di massa m è vincolata a giacere sul piano x3 = 0, e ad avere l’estremo E coincidente con il centro K della lamina.
Si calcoli l’energia cinetica del sistema in funzione delle opportune coordinate lagrangiane.
33.[25/1/2010 (ex)II] Una lamina quadrata ABCD di massa M e lato 2R è vincolata a giacere sul piano fisso x3 = 0, mantenendo il lato AB sull’asse x1 e rimanendo nel semipiano x2 < 0.
Un’asta EF di lunghezza 2L e di massa m è vincolata a giacere sul piano x3 = 0, e ad avere l’estremo E coincidente con il vertice C della lamina.
Si calcoli l’energia cinetica del sistema in funzione delle opportune coordinate lagrangiane.
330. Calcolo di quantità meccaniche in moti relativi
34.[22/2/2010 (ex)I] Una circonferenza materiale γ di raggio R, centro C e massa M è vincolata ad avere il centro sulla curva
x1 = R cos ϕ , x2 = R sin ϕ , x3 = hϕ ,
ove −∞ < ϕ < ∞ e h, R sono costanti positive. Inoltre la circonferenza è vincolata a giacere sul piano osculatore alla curva, ossia sul piano che ha normale B.
Determinare l’energia cinetica di γ in funzione di opportune coordinate lagrangiane.
35.[22/2/2010 (ex)II] Una circonferenza materiale γ di raggio R, centro C e massa M è vincolata ad avere il centro sulla curva
x1 = R cos ϕ , x2 = R sin ϕ , x3 =−hϕ ,
ove −∞ < ϕ < ∞ e h, R sono costanti positive. Inoltre la circonferenza è vincolata a giacere sul piano osculatore alla curva, ossia sul piano che ha normale B.
Determinare l’energia cinetica di γ in funzione di opportune coordinate lagrangiane.
36.[9/4/2010 (ex)I] Una lamina quadrata rigida omogenea ABCD di massa m e lato 2L è vincolata a mantenere il lato AB sulla retta mobile
x2= R cos(αt) , x3= R sin(αt) , ove (O, xi) è il sistema di riferimento fisso.
Si esprima l’energia cinetica della lamina, nel sistema di riferimento fisso, in funzione delle opportune coordinate lagrangiane.
37. [8/7/2010 (ex)I] Calcolare in funzione delle opportune coordinate la- grangiane l’energia cinetica di una circonferenza materiale γ di raggio R e massa M.
La circonferenza è vincolata ad avere il centro C su un asse mobile r, a cui inoltre il piano di γ rimane ortogonale in ogni istante. L’asse r ha equazioni
−x1sin(ωt) + x2cos(ωt) = 0 , x3 = 0 .
330. Calcolo di quantità meccaniche in moti relativi
38. [7/9/2010 (ex)I] Una lamina quadrata ABCD di massa m e lato L è vincolata ad avere il centro G appartenente alla circonferenza γ
x21+ x22 = R2, x3= 0 ,
e a mantenere la sua normale coincidente con la normale principale a γ.
Scrivere l’energia cinetica di ABCD in funzione delle opportune coordinate lagrangiane.
39. [20/1/2014 (ex)I] Un disco di raggio R e massa M è vincolato a mantenere il centro C sulla retta mobile r di equazione
−x1sin(ωt) + x2cos(ωt) = 0 , x3 = 0 .
ove ω > 0, e l’asse ortogonale in C coincidente con tale retta. In particolare si ha
−−→OC = L cos(ωt)e1+ L sin(ωt)e2, ove O è l’origine del sistema fisso.
Si determini il momento delle quantità di moto del disco rispetto a O, in funzione delle opportune coordinate lagrangiane.
40.[20/1/2014 (ex)II] Una lamina quadrata di lato R e massa M è vincolata a mantenere il centro C sulla retta mobile r di equazione
−x1sin(ωt) + x2cos(ωt) = 0 ,
ove ω > 0, e l’asse ortogonale in C coincidente con tale retta. In particolare si ha
−−→OC = L cos(ωt)e1+ L sin(ωt)e2, ove O è l’origine del sistema fisso.
Si determini il momento delle quantità di moto della lamina rispetto a O, in funzione delle opportune coordinate lagrangiane.
41. [17/2/2014 (ex)I] Un cubo rigido di spigolo L e massa M è vincolato ad avere il centro nell’origine del sistema fisso O e due vertici opposti A e B giacenti sul piano x3 = 0. Qui (xh) denota le coordinate nel sistema di riferimento fisso, e A e B sono opposti nel senso che
|−−→AB| =√ 3L .
Si calcoli l’energia cinetica del cubo in funzione delle opportune coordinate lagrangiane.
42. [17/2/2014 (ex)II] Una sfera (piena) rigida di raggio L e massa M è vincolata ad avere il centro nell’origine del sistema fisso O e due punti solidali
330. Calcolo di quantità meccaniche in moti relativi
diametralmente opposti A e B giacenti sul piano x3 = 0. Qui (xh) denota le coordinate nel sistema di riferimento fisso, e A e B sono opposti nel senso che
|−−→
AB| = 2L .
Si calcoli l’energia cinetica della sfera in funzione delle opportune coordinate lagrangiane.
43.[19/6/2014 (ex)I] Un sistema olonomo è costituito da due aste AB e CD ciascuna di massa M e lunghezza 2L, vincolate a giacere nel piano x3 = 0 e ad avere gli estremi B e C coincidenti.
Determinare l’energia cinetica del sistema in funzione delle opportune coor- dinate lagrangiane.
44.[17/7/2014 (ex)I] Un parallelepipedo E di massa M e spigoli di lunghezze a, b, c tutte diverse tra di loro è vincolato ad avere uno degli spigoli di lunghezza a giacente sul piano x3 = 0 del sistema di riferimento fisso, con un estremo nell’origine O del sistema.
Si calcoli l’energia cinetica di E in funzione delle opportune coordinate lagrangiane.
45.[10/2/2015 (ex)I] Un disco di massa M e raggio R è vincolato ad avere il centro C sul cilindro
x21+ x22 = L2,
e a mantenersi a esso tangente. Qui L > 0 è costante e le xi denotano le coordinate nel sistema di riferimento fisso.
Calcolare l’energia cinetica del disco in funzione delle opportune coordinate lagrangiane.
46.[10/2/2015 (ex)II] Un disco di massa M e raggio R è vincolato ad avere il centro C sul cilindro
x21+ x22 = L2,
e a mantenere il proprio asse tangente al cilindro e ortogonale all’asse x3. Qui L > 0 è costante e le xidenotano le coordinate nel sistema di riferimento fisso.
Calcolare l’energia cinetica del disco in funzione delle opportune coordinate lagrangiane.
47.[2/7/2015 (ex)I] Un’asta AB di lunghezza 2L e massa M è vincolata a mantenere l’estremo A sull’elica circolare γ
x1= R cos(λs) , x2= R sin(λs) , x3= hs ,
330. Calcolo di quantità meccaniche in moti relativi
ove le costanti positive λ, h, R soddisfano λ2R2+ h2 = 1 cosicché s ∈ R è l’ascissa curvilinea su γ. Inoltre AB deve mantenersi nel piano ΠApassante per l’asse x3 e per A.
Scrivere l’energia cinetica di AB nelle opportune coordinate lagrangiane.
48.[3/9/2015 (ex)I] Una lamina rettangolare di massa M e lati a > b > 0 è vincolata a mantenere il centro C sulla circonferenza
x21+ x22 = R2, x3= 0 .
Inoltre la lamina si mantiene ortogonale alla circonferenza. Qui R > a.
Scrivere il momento delle quantità di moto della lamina rispetto al centro C, in funzione delle opportune coordinate lagrangiane.
49. [9/2/2016 (ex)I] Una lamina rettangolare ABCD di massa M e lati AB = L e BC = 2L è vincolata ad avere il vertice A nell’origine del sistema di riferimento fisso, e il lato AB sulla retta mobile r(t)
−x1sin(kt) + x2cos(kt) = 0 , x3= 0 .
Si calcoli l’energia cinetica della lamina in funzione di un’opportuna coordi- nata lagrangiana.
50. [9/2/2016 (ex)II] Una lamina ABC a forma di triangolo rettangolo di massa M e cateti AB = L e AC = 2L è vincolata ad avere il vertice A nell’origine del sistema di riferimento fisso, e il lato AB sulla retta mobile r(t)
x1sin(kt)− x2cos(kt) = 0 , x3 = 0 .
Si calcoli l’energia cinetica della lamina in funzione di un’opportuna coordi- nata lagrangiana.
51.[19/3/2016 (ex)I] Un disco di raggio R e massa M è vincolato ad avere il centro C sulla parabola
x2 = ax21, x3 = 0 . Qui a > 0 è una costante assegnata.
Inoltre l’asse ortogonale al disco in C si mantiene tangente alla parabola.
Scrivere l’energia cinetica del disco in funzione delle opportune coordinate lagrangiane.
52.[12/7/2016 (ex)I] Un disco di raggio R e massa M è vincolato ad avere il centro nell’origine O del sistema di riferimento fisso S = (O, (xh)), e ad avere il diametro solidale AB appartenente al piano x3= 0.
Si determini il momento angolare del disco in funzione delle opportune coordinate lagrangiane.
330. Calcolo di quantità meccaniche in moti relativi
53. [8/02/2017 (ex)I] Un cilindro di massa M, raggio R e altezza H è vincolato ad avere il centro C nell’origine O del sistema di riferimento fisso (O, (xh)) e a mantenere l’asse sul piano x3 = 0.
• Si calcoli il momento LC delle quantità di moto del cilindro rispetto a C, in funzione delle opportune coordinate lagrangiane, scomponendolo nella base fissa.
• Si dimostri che se
LC · e3≥ µ > 0 , per ogni t > 0, allora LC· e1 e LC · e2 si annullano infinite volte per t > 0.
54.[8/02/2017 (ex)I] Una terna mobile M = (uh) soddisfa ω(t) = αu1(t) + βu3(t) , uh(0) = eh, h = 1 ,2 ,3 , con α, β > 0 costanti.
Si scriva l’equazione differenziale (vettoriale) di secondo ordine soddisfatta da u2, ricavandone la scomposizione di u2(t) nella base fissa (eh), e si riconosca che il moto di M è una rotazione.
55. [8/02/2017 (ex)II] Un parallelepipedo con base quadrata di massa M, lato della base R e altezza H è vincolato ad avere il centro C nell’origine O del sistema di riferimento fisso (O, (xh)) e a mantenere l’asse sul piano x1 = 0.
• Si calcoli il momento LC delle quantità di moto del parallelepipedo ri- spetto a C, in funzione delle opportune coordinate lagrangiane, scom- ponendolo nella base fissa.
• Si dimostri che se
LC · e1≥ µ > 0 , per ogni t > 0, allora LC· e2 e LC · e3 si annullano infinite volte per t > 0.
56.[8/02/2017 (ex)II] Una terna mobile M = (uh) soddisfa ω(t) = αu2(t) + βu3(t) , uh(0) = eh, h = 1 ,2 ,3 , con α, β > 0 costanti.
Si scriva l’equazione differenziale (vettoriale) di secondo ordine soddisfatta da u1, ricavandone la scomposizione di u1(t) nella base fissa (eh), e si riconosca che il moto di M è una rotazione.
330. Calcolo di quantità meccaniche in moti relativi
57.[15/01/2018 (ex)I] Un’asta AB di lunghezza 2L e di massa M è vincolata ad avere l’estremo A sulla curva piana regolare
ψ(s) = (ψ1(s), ψ2(s),0) , s∈ (a, b) ,
ove s è la lunghezza d’arco. Inoltre tutta l’asta è vincolata a giacere sul piano x3 = 0.
Calcolare l’energia cinetica dell’asta in funzione delle opportune coordinate lagrangiane.
58.[15/01/2018 (ex)II] Un’asta AB di lunghezza L e di massa M è vincolata ad avere l’estremo A sulla curva piana regolare
ψ(s) = (0, ψ2(s), ψ3(s)) , s∈ (a, b) ,
ove s è la lunghezza d’arco. Inoltre tutta l’asta è vincolata a giacere sul piano x1 = 0.
Calcolare l’energia cinetica dell’asta in funzione delle opportune coordinate lagrangiane.
59.[13/02/2018 (ex)I] Un’asta AB di lunghezza 2L e massa M è vincolata ad avere il centro sulla circonferenza mobile
γ(t) =n
R cos s
Ru1(t) + R sin s
Ru3(t)| 0 ≤ s ≤ 2πRo , ove
u1 = cos(αt) e1+ sin(αt) e2, u2 =− sin(αt) e1+ cos(αt) e2, u3 = e3.
Qui α > 0 è costante.
Inoltre AB si mantiene in ogni istante parallela a u2.
Calcolare l’energia cinetica dell’asta in funzione delle opportune coordinate lagrangiane.
60.[13/02/2018 (ex)II] Un’asta AB di lunghezza L e massa M è vincolata ad avere l’estremo A sulla circonferenza mobile
γ(t) =n
R cos s
Ru2(t) + R sin s
Ru3(t)| 0 ≤ s ≤ 2πRo , ove
u1 = cos(βt) e1+ sin(βt) e2, u2 =− sin(βt) e1+ cos(βt) e2, u3 = e3.
330. Calcolo di quantità meccaniche in moti relativi
Qui β > 0 è costante.
Inoltre AB si mantiene in ogni istante parallela a u1.
Calcolare l’energia cinetica dell’asta in funzione delle opportune coordinate lagrangiane.
61. [27/06/2018 (ex)I] Un corpo rigido C è costituito da un cubo solido omogeneo K di massa M e spigolo L, e da quattro punti materiali P1, P2, P3, P4 tutti di massa m, la cui posizione può essere scelta ad arbitrio.
Dimostrare che tale posizione può essere scelta in modo che tutti i moti polari per inerzia di C, con polo in un fissato vertice A del cubo, siano rotazioni.
62. [11/02/2019 (ex)I] Si calcoli, in funzione di una opportuna coordinata lagrangiana, il momento delle quantità di moto LO del disco di raggio R e massa M vincolato a avere il centro nell’origine O del sistema di riferimento fisso e un punto A, solidale e appartenente al suo bordo, mobile con legge assegnata
XA(t) = R cos(αt)e1+ R sin(αt)e2. Qui α > 0 è una costante.
63.[11/02/2019 (ex)II] Si calcoli, in funzione di una opportuna coordinata lagrangiana, il momento delle quantità di moto LO della lamina quadrata di lato 2R e massa M vincolata a avere il centro nell’origine O del sistema di riferimento fisso e il punto medio A di un lato mobile con legge assegnata
XA(t) = R cos(αt)e2+ R sin(αt)e3. Qui α > 0 è una costante.
64.[09/01/2020 (ex)I] Una lamina quadrata ABCD ha lato 2R e massa m, ed è vincolata ad avere il centro G sulla circonferenza γ
x21+ x22 = 2R2, x3= 0 ,
e il vertice A nell’origine O del sistema di riferimento fisso.
• Calcolare in funzione delle opportune coordinate lagrangiane il momento delle quantità di moto della lamina rispetto a A, esprimendolo nella base solidale alla lamina.
65.[09/01/2020 (ex)II] Un disco C ha raggio R e massa m, ed è vincolato ad avere il centro G sulla circonferenza γ
x21+ x22 = R2, x3= 0 ,
e un punto solidale A appartenente alla circonferenza bordo del disco nell’o- rigine O del sistema di riferimento fisso.
340. Calcolo di quantità cinematiche in moti relativi
• Calcolare in funzione delle opportune coordinate lagrangiane il momento delle quantità di moto del disco rispetto a A, esprimendolo nella base solidale al disco.
340. Calcolo di quantità cinematiche in moti relativi
1. [15/12/2005 (ex)I] Un sistema di riferimento (O, u1, u2, u3) si muove rispetto al sistema di riferimento fisso (Ω, e1, e2, e3) con
vO = ce1, ω= ωe2,
con c, ω > 0 costanti. All’istante iniziale le terne fissa e mobile coincidono.
Un punto P ha velocità nel sistema mobile data da vS = ku2, k > 0 costante.
Determinare le componenti della velocità di P lungo (e1, e2, e3).
2. [7/4/2006 (ex)I] Un sistema di riferimento (O, u1, u2, u3) si muove ri- spetto al sistema di riferimento fisso (Ω, e1, e2, e3) con
vO = ce2, ω= ωe2, e in modo che all’istante iniziale
O = Ω , ui = ei, i = 1 , 2 , 3 . Un punto P ha velocità nel sistema mobile data da
vS = ku1. Qui c, ω, k sono costanti positive.
Determinare le componenti della velocità nel sistema fisso v di P lungo (e1, e2, e3).
3.[22/9/2006 (ex)I] Un punto si muove sulla circonferenza mobile γ ={R cos ϕu1+ R sin ϕu2 | 0 ≤ ϕ ≤ 2π} ,
ove (ui) ha velocità angolare rispetto alla terna fissa data da ω= ωu3.
Qui R, ω > 0 sono costanti.
Il centro della circonferenza, l’origine del sistema di riferimento fisso, e l’ori- gine del sistema di riferimento mobile O coincidono in ogni istante.
I due vettori u3 e e3 coincidono all’istante iniziale.
340. Calcolo di quantità cinematiche in moti relativi
Sapendo che il moto del punto nel sistema di riferimento mobile è uniforme (cioè che la velocità relativa ha modulo costante c), si trovi la velocità del punto nel sistema di riferimento fisso.
4. [13/12/2006 (ex)I] Sia (O, ei) il sistema di riferimento fisso, e sia (ui) una terna mobile tale che
u1(t) = cos(αt)e1+ sin(αt)e2, u2(t) =− sin(αt)e1+ cos(αt)e2, u3(t) = e3.
Consideriamo un disco D di centro C, sottoposto ai vincoli
• −−→OC = Lu1(t);
• D giace nel piano ortogonale a u1;
• D ruota intorno all’asse ad esso ortogonale in C con velocità angolare (scalare) costante β > 0.
Determinare la velocità angolare vettoriale di D nel sistema di riferimento fisso, esprimendola nella base (ei).
5.[26/3/2007 (ex)I] Consideriamo tre terne M = (ui),N = (wi),P = (zi), tali che
ωMN = λu1, ωN P = µw1. All’istante t = 0
ui(0) = wi(0) = zi(0) , i = 1,2,3 .
Determinare la velocità angolare ωMP sia in termini di (ui) che di (zi).
6. [16/5/2007 (hw)I] Una terna M = (ui) si muove rispetto a una terna N = (wi) con velocità angolare ωN M che soddisfa
dωN M
dt
M
=−αωN M+ b , (1)
ove α > 0 e b è un vettore solidale con N . Sapendo che all’istante iniziale t = 0 vale
ωN M(0) = βw1, con β ∈ R, si determini ωN M(t).
7. [16/5/2007 (hw)I] Una terna M = (ui) si muove rispetto a una terna N = (wi) con velocità angolare ωN M che soddisfa
dωN M
dt
N
= α cos ϕu1, ωN M(0) = 0 ,
340. Calcolo di quantità cinematiche in moti relativi
ove α > 0 e ϕ è l’angolo tra u2 e w2. Si determini ωN M, sapendo anche che ui(0) = wi(0) , i = 1, 2, 3 .
8.[16/5/2007 (hw)I] Un punto A si muove su una circonferenza con centro il punto B, con velocità angolare costante ωAe. A sua volta B si muove di moto circolare uniforme intorno al punto C (fisso), con velocità angolare costante ωBe. Qui e è un versore costante, perpendicolare al piano delle orbite di A e B. Denotiamo
−−→AB = R ,
−−→CB = d .
Determinare se la velocità di A può annullarsi, e in quali posizioni del sistema. Si assuma ωA6= 0, ωB6= 0.
9.[4/7/2007 (ex)I] Una terna mobile (ui) ha velocità angolare ω rispetto alla terna (ei) data da
ω(t) = αtu3. Qui α > 0 è una costante.
Determinare la scomposizione di u1, u2, u3 nella terna (ei) sapendo che ui(0) = ei(0) , i = 1 ,2 ,3 .
10.[4/7/2007 (ex)II] Una terna mobile (ui) ha velocità angolare ω rispetto alla terna (ei) data da
ω(t) = γt2u1. Qui α > 0 è una costante.
Determinare la scomposizione di u1, u2, u3 nella terna (ei) sapendo che ui(0) = ei(0) , i = 1 ,2 ,3 .
11.[1/7/2008 (ex)I] Determinare in funzione di due opportune coordinate la velocità angolare ω di un disco di centro C soggetto ai vincoli
• C appartiene alla circonferenza
x21+ x22 = R2, x3=−R ;
• l’asse del disco si mantiene ortogonale all’asse x3 e alla circonferenza.
