IL GONIOMETRO, OSSIA COMPASSO GRADUATO PER MISURARE TUTTI GLI ANGOLI... Paolo Arnaldi

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IL GONIOMETRO, OSSIA COMPASSO

GRADUATO PER MISURARE TUTTI

GLI ANGOLI...

Paolo Arnaldi

(2)

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GONIOMETRO COMPASSO GRADUATO

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ESEGfyATAMli i\TEAGLIARTEFICI

MANTOVA

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PREFAZIONE

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fie/crM aftvciiMir affoypeffe.,i£cut *tvu</

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c/u£,„.„<,fay-no<£conwrcfi,.y ej>.-//c.ytjzf//-a/eia?oj.p//--rr//r-//«/-i/i^

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1 paa&,contesuo/dirai,ac feccia.&reconoscerettft&dit/ejf£,siiydt.

dive/inoh un- oppe/fo o éaverrt ^todi/ia/ic

^kt y/ed'fio eét mefez&cnet Sùyno/„»«, ASf M..<.„-_., «S u/Setnéove/,aeUs£t<£rr.xioaae/e/ nt/ót*6 tsérc/u/ctfo Smezzo e e/'oÉrit/ii>à?i/i

ctiàcf/icrù/ietz/c,tiaiu/a/iaei/rece/à,'flé' naet-/tonimits/Éaedén,At>/utàtfoetn'eadttv unoafne-men/ooC-juij-hujo(^laJcmlo,/er

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isé/ùc/t^sfétfaw,conr/itaaen/,/ù-

ts&Offtet/u,f& Jitd$ìca>v u.n i/t&ctdà ?&:/%r (^iztzctfa///,«Yéii?i//ifn/.'//urlaia&iru/Z/ttu

edner/teedCj ouuuj,et\o.Scd a.m&j arw/u/o ti'xdXet/ti&idt^iwì*J&'/^hioivùduz/a.usta- mrtefyùeusioneud&a//djfolàttmertla,ù,

ddcaMcetd àfod,/d.DT'SaiuiaÉc'Si/Qeoate- hi»pei,te(Stili-«OT&eJtìwi.

natnd> 3friato,i&x^erv&rv e Sie, e£entdt>

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Mi&a$metnieceóérutée netevoQa-

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UTILITÀ CHE OFFREILGONIOMETRO

Nonmifaròa descriver*; in inniamenle tntte le porlie lematerie, di cui ècompo- stoilGoniometro, offrendomi in qualunque ora etempodirenderlononsolo ostensibile ma benanche' a disposizione di chiamasse ditrarne copia.

FiguraI.

IlGoniometro della figura1ècomposto didueregoli,ossiaaste dilegno a a. btighe mezzometrociascheduna dal centrodella cernieral>,larghe cent. 4, grosse ceni.21/2:

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questidueregolisono condotti dalperno di

nietililoinb aguisa dicompasso;nellato

esternodiessiewisegnata lamisurame- tricadi cent.i>0per ogni lato kk.per cui quandocaperlosihaun metrogiusto: un'al- traastadilegnoc dell'eguallunghezza ,

largacent.5l/'2.«rossamiti.ìì,laestre- mità b,vaconcentrala colperno suddetto, mediante vite e madrevite di metallo, e così tuttec tre le astevengonoguidatedaun solo centro. Altridueregoli semicurvatice, chedauncapo sono guidatida un pernodd, c dall'altrocapo sono congiunti insiemecon altroperno che passa inunbussoloilquale bussologirandosuegiùlungol'astadi mezzo,medianteallargamento eristringi*

mentodeidueregoli[esterni,ilbussolo segnaigradi sull'asta dimezzodallozero al cento e ottanta, che è appuntolametàdel globoterrestre,da«uihopresonormaper costruireilGoniometro.

Flf.URA2.

b'altroGoniometrofiguraSiècomposto pure didueregoli ««, lunghi cent. SO.ma alquanto piùlarghidegliantecedenti, cioè

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almenodellalarghezza di cent,lì1/2, grossi cent.2,acciòquandositrovano chiusi pos- sano coprireleparlisecondariecome^sivede disegnato inquesta figura; sono uniti a cer- niera in b, e neilatiesternisifarà,disegnata lamisura metricacomequello della figuraI ,

unaltroregolo c,ilqualesaràdimetallo dovendoaver secoilsemicerchiograduato detto quadratile colia divisione dei180gra- di;altroregolo e,puredimetallo,unito colprimoneleentrof,e dalle altre estre- mitàr/r/,guidalidapernicon precisione tale cheladistanza daleentro delperno h inijij, siaprecisacon quellada finfjfj.Dalmo- vimento chesifarà coiregoliprincipali«o, ne vieneper conseguenzaun movimentore- golare,per cuiilregolo eva a indicare sul semicerchioigradi,chesidesidera, col vantaggio,che tantoilatiesternihit.quantoi latiinternimm,offrono con precisioneunan- golo uguale,esiottieneunamisura interna edesterna diunafabbrica odiqualunque altracosaconunsolomovimento.ColGo- niometro dellafigura1nonsipuòotte- nere tale vantaggio,perchè volendo misu- rareunangolo esterno fad'uopo svolgerei

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-Wi)(lG)«61- rcgolie ec;laqual cosaè alquantoincomoda perunapersona che abbiada fare diverse misure o operazioni;mapergliarteficipuò servire benissimoquello dellafigura1,essendo più facile a fabbricarloper la suasem- plicità,e quindianche di poca spesa.

CoiGoniometro, figura 2, Y Ingegnere e l'Architettopossono collamassimafacilitàe prestezzamisurarequalunque corpo solido odanche vuoto, irregolare e fuori d'angolo retto;lafigura diunacasaqualunquecon infinitàdilocaliineguali,etuttociòcolla massimabrevità.

Lintraprcnditorc di appalli d'arginature potràprestamente misurare la pendenza di unargine fatto, e tracciare con facilita quello dafarsi,e con poca fatica dareadintendere aglioperaiillavoro intrapreso.

Ilcapo-mastro muratore conoscerà inun momentoaqualegradositrova lapendenza diuntettofattoc da farsi,lostrappiombo diunmuro, la pianta irregolare diunacasa etracciarepentagoni,esagonietant'altre figurediverse inpochi minuti.

Ilfalegname che fa tantousodellacosì dellasquadrafalsa,hasommobisognodì

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costruireunGoniometro per conoscerea colpo d'occhioilpiano diunpavimento o

diunasoffitta,l'andamento irregolare degli

angoli delle stanzeper fabbricare, senzafa- stidiodi farmodelli,quei mobili clicsichia- manovolgarmente straccantoni,£crfare ar- matureda tetto ossìa travature di coperto, e per ponti sopra fiumi, con tanl'altrc cose che vengonoaffidateallasquadra falsasempre con incertezza dì precisione, cheperman- canza diunostrumento facile a misurare, s'impiegamolto tempo, esilavora,comesi suol dire,atentone,senzaconoscere inquale situazionesitrovanogliangolidell'opera dafarsi.

tfabbri-ferraisitrovano nellastessasi- tuazione deifalegnami: essi fabbricano rin- ghiereda scala sull'appoggio dì semplicimo- dellifatticon listole di legnomalcomposte, e spesso incerti a colpire l'esatta inclinazione diunramodiscala,segnatamentequando sono diversirami, e1'unosiapiùo meno inclinalo dell'altro;oppurequandotalila- vorisonodaeseguirsi inluoghi distanti dal-

l'olifìcinaofuoridipaese,nascesempre un

maggioreimpegnoarilevarelemisure pre-

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ciscdeipianisalienti, clic olire alportare ungrave dispendio a fabbricare modellidi legno, sono rare le volte checolpiscanola lineaapiombocolpiano inclinato delramo discala;equando unfabbro-ferrajo sarà provveduto* dìuntalestrumento, sarà sicuro nellesueoperazioninonsolo,mapotrà faredegl'immediati scompartid'inferriatea disegnocon brevità ditempoeprecisione.

Loscalpellinopotràdisegnarequalunque figurairregolaree fuori d'angolo,e potrà dare le ordinazioni di qualunqueponzodi marmoconunasemplice figura e poche cifre, indicandosoltanto1'angoloaqualegrado sitrova.

Ancheildisegnatore dicosegrandiose, comesoffitte,pavimenti, pareti ove occor- resseroscomparti di figurea diversi angoli, potràcolGoniometrodividere ciòche vuole inpochi minuti.

Ilproprietario de' l'ondi arativi potrà,per suo divertimento, pigliare le figure regolari e irregolari diqualunque superficiediter- reno e rilevarne le misure precise con sem- pliceoperazioneeconpocoimpiego di tempo.

IlGoniometro è utile perlefortificazioni

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eperlivellareiguazzidiartiglieria;edin fineèunostrumento,che per la suafacile costruzionepuòessereintesodatutti,ed e altrettanto utilea chicchessia,quanto di divertimento per le operazioni che in seguilo verranno indicate.

Primad'innollrarmi aspiegareivantaggi dellostrumento, fad'uopo sapere che aven- dolo regolato sulla divisionedelglobo terrestre,in360gradi,la dicuimetàè180, comeappunto rappresentalafigura diquello strumento adoperato dagli astronomi e geometri,denominato quadrante,comesivede nellafigura43, per dare in succinto un'idea deimovimentidelGoniometro,diròche per ottenere l'angolo retto, ossìa squadra,si adoperailgrado 90; pel triangolo occorreil grado 120; per l'ottagonoilgrado 4S, l'esagono, ossia sei angoli,ilgrado 60,ilpentago- no, ossiacinque angoli,ilgrado 72, e cosi per qualunque altra operazionebastaaverea calcolo nellamentecheilcircoloèdiviso in360parti,e volendo operareall'infinito bastariportarsiadosservarelatabellaÀ, chesitrovapiù avanti,damelollareal- mentedal A."elemento di geometria di Eu-

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elide,laquale tabella tratta.sugliangoli diversi, tantoper quelli che partono dal centro, quantojieilatiesterni diqualunque poligono.

Figura5e 4.

Unadelle operazionida farsi colGoniome- tro,chesembraaprimagiunta la piùdiffici-

le, siè quella di misurareunadistanzasenza

poter avvicinare l'oggetto.Supposto di vedere l'oggetto lontanodanoicomeA, figura 3, e voler sapere quanti metri vi sia di distanza trovandosiinB,echepercausadiun fiume, diunapaludeod altro,siaimpedito l'avvicinamentoinA,sifarànelmodose- guente:

SipreparailGoniometro sull'angolo retto grado 90,sifacentroinB,piantandoun palettointerrapercapo saldo della operazione;siosservacoli'occhiolungol'asta dellostrumentoBD, girandolo tantoda po- terosservare rettamente l'oggetto A, poscia, voltandosiad osservare lungoillatoB E ,

sisegnaunalineainleiTachesiestenda versoC,prolungando tale linea a piacere dellapersonache opera;maper fareun calcolobreve e giustosideveprocurare di

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slare sui calcolidecimali, cioèchedaBaC visiano dieci, ventiodanche quìndici metri, eprimadilevare lo strumentosipiatilaal- tropiccolosegno o paletto in 0, poisiprende ilGoniometro, esiappoggia col centro in C, esiosservahenecheillatoC Fsiadiretto perfettamenteinB:l'altro latodelGonio- metroGG,siristringetanto inmodolille chel1occhioscorrendodaCGpossave- derel'oggettoA;fattaquestaoperazione sìosservaqualegradoseguailGoniome-

tro,esifaannotazionesudiunacarta, poisiva al tavolo, e colmezzodello stesso Goniometroocolmezzodelquadrante,si disegna in iscala piccolailtriangolo,comesi vede nella ligura4;e nella base del trian- goloB C,sifaladivisionedidieci,venti odanche quindici parti,ma supponendoche noiavessimo misurato dieci metri nellaprima operazione, cosiappunto divideremo la base deltriangoloin dieci parli, lequaliservi- vanodi scalaper misurareillaloBAdella stessaligura 4,edinquestomodo sapremo quanti metri era distantedanoi l'oggetto A.

Intesabenelasuddettaoperazione, es- sendoanche semplice, servirà dinormaper

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lameUtili'altredi .similenatili-»;e cosipure per misurareli'altezzesialluperà lastessa regolacomeper le distanze; tuttelealtre operazionida farsi colGoniometrosono di minoreentitàdelledueantecedenti,per cui se l'artefice vorràoccuparsiconamoree al-, lenzione allo studio dei prineipjdiGeome- tria,troverà in séunanotabilesoddisfazione nell'eserciziodellasua professione.

Preliminare «ali elementi diGeometria.

Molliautorihannotrattato delmetododi misurare colla vista, e furonofattiparecchi strumenti a tale uopo,masonotuttecose per lepersone chepossedonolascienzama- tematica; io invecemisono ingegnato di dare unhrevc e facileinsegnamento a chi eser- citaarteo mestiere.

Premesse cosi alla breve le retro indicate spiegazionitrovo necessariochegliartefici abbianodaconoscerealmenoiprincipi della Geometriacoinomipiùusi tulieadope- ratidai professionisti.Qualora l'artefice, di buonavolontà, vogliada semedesimonelle ore di riposo occuparsi a studiaretaliprin-

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cipj,apprenderà a conoscereiisistemaeil metodofacileperqualunque operazionee valoresugliangoli;conosceràcosasiail circoloedilmododìdividerloinpiù parti consemplice conteggio dipochecifrenu- meriche, e farà da sé solo tante cose, clic oltreall'esserglidi utilee decoro nella professione,gliserviràanche di sollievo c diverti- mentoallospirito.

Lascienza dellaGeometria,che è propria degli Architettio Ingegneri, contieneinsé tank; e cosi estese proroga live, che a parer mioèda riputarsiunascienza divina;emi vergogno di trattarla in questo opuscolo, essendo giàstataspiegatadiffusamentedal- l'immortale Euclide edatant' altriinsigni autori cliccilasciaronoopere celebratissime;

maessendo lamaggiorparie degliartelici, comedissiaddietro,privi di mezzi per provvedere lilm cosi dispendiosi,nonchéprivi di tempoper darsi adunlungo e regolato studio,misonopresalalibertàdiadattare questiprincipjdiGeometriaavantaggio delleartie mestieri,e perché servano anche discortaper conoscere megliolegradua- zionidelGoniometro;corredando intalmodo

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ilprescnlcopuscolo delle cognizioni elicmi vennefallodiricavare dalleoperede'più rinomatiGeometri,sìanlicliiche moderni.

Alcuni elementi oprincipjdiGeometria per uso delle arti e mestieri.

Ipunti nella musicae nella scritturahanno unvalore,manellaGeometrianon ne hanno alcuno, e soltanto servonoperindicareil principio c fine diunalinea,odilcentro di uncircolo.

Figiu\ S.

Principiercmodun<mednlpuntofiguraSinA per indicare chedaquestopunlo partiràuna lineaverticale(1);l'altralineaB Cdellastessa figura 1chiamasi linea orizzontale(2).

Figuratì.

Diverse linee orizzontali l'unasopral'aitra, figura 6, a perfetta distan/.asichiamanolince paralelle; le altrelince verticali indistanze egualisichiamano linee paralelle verticali.

(l) Verticali: vuoliliirliru-oilpiombe; si.liceanchelìneaper- pendicolare.

11) Orizzontale si tliionu iindkilinea .1 livelle; sidice anello linea iellaorizzontale.

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-«((•)»

Figura7.

Queste lineesichiamanocurve, cquando talilince,benchécurve, sianoYunasopra l'altra,sichiamanocurie paralcllc.

FicUftAtt.

Queste lineesonomiste,perchèformale diporzioni rette,e di poi-zi uni curve.

Superficieè quella cosa piana,comeper esempiounpavimento diunastanza, diuna piazza, diunatavolaodiunatela,dìun murosoltantoperl'intonaco(1)opeldi- pinto; inconseguenza la superfìcienon ha corpo,edèunsolospazio clicoccupa quella grandezza chesideve misurare in diversefi- gure quadrate triangolari, circolari e trapezie.

Solido èquelcorpoche nefl' internonon ha alcuno spazio o vuoto,come unmarmo, Unmuropieno a tutta grossezzaedaltriog- getti di simile natura.

Cuboè quella cosachehapiena relazione col solido, in parte,mapercubo s1

intende unafigura quadrata per ogni latocome un

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qualunquematerialedeve essere dell'altez- za,dellagrossezzae dellalarghezza dìun metro, tale è per un'onciarubaeperun bracciorubo.

Picubai>.

Centro è quel luogo ovesiinettelapunta delcompasso per fareuncircolo;sichiama centro quelpunto ove partono diverse linee;

centro èpureilperno diunaruotaodi unamacchina,einfineilcentroèquel puntooluogochesitrova nelmezzodiima piazzao diuncortile;centro puresichiama quelpuntoove mollelineepassanoIuna sopra l'altracomeA, figura!t=E0, figura 59, GH, figura38

=

E, figura47. e tant' altre cose simili,ed a seconda de' casi e de'nomi clicsoglionodare gl'Ingegneri nel redigere iloroprogetti.Tuttiicentridellefigure suddettevengonochiamati colnomed'inter- secazioniedanche intersezioni; l'uno el'al- tronomevuoldirecentro,ma veramente tanto intersecazione che intersezione s'intende,comedissi,unacombinazione didueo più linee,Tunaatraversodell'altrainun punto solo.

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«EHM)*»

FiguraIO.

Diametroèquellalineadieattraversa UitloilcircoloAB, figuraIO;per diametro sideve intenderelagrossezza diunacolon-

na,ilfustodiunapianta,lalarghezzaili -un vaso vinario, la grossezza diunapalla rotonda, e cose simili.

Semidiametro, èlametàdeldiametro ,

vedilineaCDdella stessa figura10.

Circonferenza o periferia è la stessa cosa;

1'unae1'altravieneapplicata allamisura

intierada farsi attorno aqualunque circolo odaltrooggetto rotondo; tutto ciòche è di esterno diqualunque corpo rotondosidice misura di circonferenza o di periferia.

FiguraH.

Lalineaolihliquaèquellaclictrovasi fuori dipiombo, laqualependeodamia parteo dall'altra. Vedi la lineaCB,figura11.

Figura12.

Lalinea in piano rettoèquellache co- munentedicesilìneaalivello;vediD B, figura11,evediAB, figura 12.

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Lalinea inpianoinclinaloèquellache è fuor di livello. Vedi figura12inGB.

Lalinea spirale inpianoè quella chesi dimostra nella figura 13.

Lalinea spirale elevalasivede nellafigura 14.

Fichu 13.

Lelinee a raggiosono quellechepar- tonodauncentro solo inA, figura la, esi sviluppano allargandosi a guisa di ventaglio.

L'angolo retto è quello che e formatoda duelineeche s'incontrano a perfetta squadra,comeB, figura 5, 4e 11.

L'angolo acuto è quello in A, figura 5, 4, 20e 30, in B, figura24e 23.

L'angolo ottusosivedeinA, figura 24, 23e51;sidàpernormachegliangoli del pentagono, esagono, settagono e cosi in avanti sono tulli angoli ottusi,ma quandola figura èformata di diversi angoli similisichiama poligono.

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FlClBi10.

L'angolo ìmslilinco è formalodauniilinea rettaeda altra linea curva, figura 16;sidice anche angolo misto.

Figura 17.

L'angolo curvilineo è formatoda duelineo curve; figura17 degli angoliAA.delle figure 16e 17, sono angoli acuti.

Lefigureregolarisono quelle chehanno ilatie gli angoli eguali,comeperesempio untriangolo equilatero,unpentagono,l'c- sagono, l'ottagono ecc.

Figura18.

Ilrettilineoèquellafiguraoblunga ,

figura 18,oppureanche quadrata, figura48e S4;per rettilineo s'intendeunafigura retta qualunque; tale figura viene chiamata dai Geo- metri paralellogrammo, di cui lafigura18, benché divisa in diversi riparti regolari,man- tiene lostessonomediparalellogrammo, e tuttelefigureregolarichehannoillatoop- posto uguale,conservano lo slessonomedi paralellogrammo.

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FlCURÀ19.

Trapezioèquella lìgura in formadidi- versilatie diversi angoli disuguali, figurali)

Verticeèlacima diunmonte, diun cam- panile e diqualunquealtracosachestia sopra al nostrocapo;mainGeometriail vertice èl'angolopiùlontano dallabase di untriangolo;comeA, ligure 5,4,8,2i>,50 e

=

Verticeè quelpunto A, figura 1S, ove partono diversi raggio linee in su, e cosi pnre sichiama vertice la stessa cosaquandole lincevenissero dalla parte opposta.

Figura20.

Rombooromboide èunalìguracheha quattrolatieguali(I),peròdueangolisono acutiedueottusi.Vedi lìgura 20,AA,sono angoli acuti, quellilìBsono ottusi.

Figura 21.

Elisse,ossiaanche sferoidi clinici(2),que- (I) lai aneliciEnVHO di eliminarla lìgura 3rombo, lacbinuiu

(i)Mdto nrli c musiicri viene deuoniiHlo volpUBcnta ovate al imIn;tircu InM>funge.

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siivengono«impostidadm;lineecurve, (ìgnra21, fatte indueriprese colcompasso, oppureanche conunacordicella,comesi dirà in avanti:per le fabbrichecivilineoc- corrono di diverse specie più nmenoschiac- ciatia seconda della località.

Figura22.

Iltriangoloequilatero,che vuoldire<li trelatie angoli eguali, figura 22. ècompreso nelle figure regolari; col Goniometrositrova iltriangolo algrado 120.

Figura 25.

Iltriangolo isoscele è formalo daunan- golo rettoconduelatieguali, figura23, l'an- goloAsichiama angolo retto,glialtridue B Csono angoli acuti.Ilfrontispizio diunfab- bricalo,figura51,hala forma diuntriangolo isoscele. Euclide dice angolo rettangolo quello della figura23, e dice essere isosceliquelli delle figure SO, 31( I);colgrado43sitrova l'angolo acuto di questafigura.

rad ri» Vaiasi 'li lia"'"n,Hcui si|iMi*ràasustempo,

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Figura24e 2».

Iltriangoloscaleno è composto di trelati e di tre angoli disuguali, vedi figura24c 25.

Figura 26.

Ilquadrilatero,detto dai Geòmetri tetra^

gono, contiene quattrolatiugualicquattro angoli uguali, figura 26: viene nominatoin geometria ancheparalei logrammo;lelinee A,B, C D,sichiamanolinee diagonali,le qualivannoaformarel'interseca/.ione in E;iquattro angoliAB CDsono retti(1):tale figurasicomponecolgrado 90.

Figura 27.

Pentagono èunafigura dicinquelatie dì cinque angoli eguali; questa figurasitrova algrado72delGoniometro e del quadrante.

FlGLItA28.

Esagono a seilatie altrettantiangoli,si ritrova al grado61).

(I)Inarehilciiora IIcinico u inlo [-aerazione E, li B ura H,si ilice as!r, cose, sialce asse bellacoler,™, jsae dellamola0 dellamacchina.

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Sctiagono,eheìGeometri dicano ettagono, figura di settelati;ottagono, ottolati;nona- gono,novelati;decagono, diecilati,c così inseguilo;siconoscerà in avanti le relative figuredafarsicon angoli variati o diversi.

FlGlìRA29.

Tre ligurecliesoltantofannoconoscere inAiloro vertici.

Figura 50.

Untriangolo isoscele gii citalo sui trian- goliinaddietro.

Figura 31.

Ilfrontispizio diunafabbricaappartiene altriangoloisosceleavendodueIatiuguali edunlatodiverso, inAsìvedeìlsuo vertice,nominato a n clic comignolo.

Figura32.

Sirendeindispensabilechegliartefici sappianoformareduelinee inisquadro inun caso che sianosprovvedutidiquellostru- mentochiamatoda loro squadra, e per fare talilineesidaràperprimolalineaA B,

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figura52;siapri,'i!compasso agonio del disegnatore,eponendolo in A,sifaunapor- zione di cerchioEF, poiinBsifaI

1 altra porzioneCD.ed avendoI*intersecazione in H, sidivide induelalineaAlìfacendo punte in G, clic tirata la linea daH G avremola squadra falla a perfezione.

Figura."3.

Conquestaoperazionesiollietielaslessa squadra simile airanlecedenle; dalalalinea AB, figura 53,sifacciaunpunto aquella distanzachesìvuole,suppostomc,inque- slopunto visiponeilcompasso esifauna porzione di cerchio a traverso della lineaAB, esuccedonodueintersezioni,che dividendo poidueparlisiviene aformareilcentroD;

tirando poi le lineeC0 avremolasquadra.

Figura34.

Altraoperazione geunielrieaper formare lasquadracomesopra. Si adalla la lineaAB, figura 34, con aperturaarbitrariadicom- passo,sìfacciano ledueporzioni dicerchioA E CD,edavremol'intersezionefcollaslessa apertura di compasso,sifaccia laporzione dicerchio</fi;siatirataunalinea obbliqua

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(30)

ins- elli'passa dalpunto (Inll inlci'so/ioiic/' pro- lunga infoiailtagliare l'ulirntjh,edavremo imaintersezione ink;siatiratoultralinea

«laicentroI;allabase del Inalinolo in A.ed avremo unannoio retto a squadra precisa.

Figura 33.

Altrometodosemplicissimoperaveredue lineeinisquadro.facciasiunalineaAB, figuraTiò,e conapertura arbitraria dicom- passosifaccianoduecerchi,comesivede, e succedonodueintersecazionifn,nellequali sifaràpassare a traverso dei centrilalinea CD,edavremo unaperfettasquadra.

(Iliarteficidevonooccuparsibenead im-

parare le suddette quattro opera/ioni senza ricorrerematerialmente allasquadra dilegno,comedalla ligneai!!ì, ilquale ordigno, perquanto sia costruitoconprecisione,è sempreincertoper ottenereunesattolavoro inisquadro.

Figura36.

Parleremodelledissi,comesièdello dellafigura21.Molteelissisipossonofare ed in diverse dimensioni aseconda delle loca- litàe dei bisogni nelle fabbriche, nella prima.

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(31)

figura 56, composta daduecircoli,ladicui lineaAB,clicnoi lachiameremolineanor- maleodanche, lineamadre, perchèdaque- stadevonoscaturire tutte le altre operazioni;

suquesta lineasiappoggiailcompasso esi farannoiduenivali,da cui surf iranno le inter- sezioniCD, posciasimetteilcompasso inD, siallargatantoilmedesimoacciò possa ar- rivare collapunta opposta a fare la porzione dicerchio g^/i,indi colla stessaapertura inC clisseche le sue proporzioni saranno di20 partidi lunghezzae di15parli dilarghezza.

Figura 57.

Un' elisse dì proporzione diversasifarà con tre circoliintersecatiVunonel!1

altro, figura37;data la lineanormaleA Bsifa- rannoiIrecircolie colla stessa apertura di compasso,ponendosi inf.,sifarannole dueintersecazioniCD, indi collapunta dei compasso inD,allargandoilmedesimoal bisogno,sifarà laporzione di cerchiogA, poi inCsi faràlaporzione di cerchiotfc,e l'elittieosarà fatto daunaproporzione di20 partiinlunghezzaenumero15partiin larghezza.

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13(31]**- Figura.10.

Altradisseiliuniiproporzionediversa tracciali!,ossiaguidali)daduequadrali ,

figura 58,sìfurailpara lcllogrammo CD EF, diviso indueparliegualicollalineaA B ,

faremo poscia le diagonaliA C AD, indiB E BF,edavremoiduecentriGH;ilcom- passosiponeinHesifalaporzionedi cerchioDF,poi nel centroCsifarà l'altra porzione di ccrcliioCE,trasportando poscia ilcompasso nel puntoAsifarà laparte di cerchioGD, trasportandosipure inBsifarà l'altra porzionedicerchioEF,edavremo un'disse di20parli dilunghezzaeparti 145/4 dì larghezza.

Figura59.

Elisseformaladaduetriangoli,figura 59, dala la lineaA Be sia divisa tale lunghezza intreparti,siappoggiailcompasso inEe sifanno ledueporzioni di cerchioCODO,si trasportailcompasso in0esifarannoidue pezzi di cerchioDECE,noiavremoledue intersecazioniC D, daremo unalineadal centroD, che passa con precisione pel centro E, prolungandosi a piacere del disegna-

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toro;altralim adalì0, poialtredue daC 0 CE,equindiavremo duetriangoliequi- lateri;eollaslessaaperturadelcompasso, stando in 0,sidescrivauna porzione dì cir- coloih,simile in E,aliròcircolofy^sitras- portailcompasso inCallargandoloper fare laporzione di cerchio hf,poi in Dallapor- zione di cerchioir/,eavremomVelisselunga parti 20, larga partilifl]4.

Figura 40.

Un'arcata fatta aduepunti,praticata dai muratori,vienenominala in architetturaano fattocollaregoladellospago, edaqual- cunodenominalo arcoallagiardiniera.La regola più sicuraper simili arcafesiè quella diadoperareunafunicellaraccomandala a duechiodifillincllipuntief.ilmetodo per trovaretalipunii viene descrittocome segue. Fallalalinea a livellodaAB,sidivide inmelaesifapunto in D, poisipren- deràlamisuradaDAesitrasporta tale misura inCcontinuando oblìiiquamentead osservarequandoquestamisura vaatoc- carelalineaA11 ,allorainquelpuntosi applicaunchiodofesiripetelaslessa

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cosa ine,applicandovi purealtrochiodo, siattaccolacorda inamboichiodi, clic abbia tanta capacità nella sualunghezzadi toccareilverticeC, cpoi conunlapisod altrosisegna l'arcoguidalodallacorda e sarà fallo.Con[aleregolasipuò disegna™

un'elissc,ina riescila di cattiva figura.

Figura-SI.

SÌvede da molti muratori fabbricare ar- chisopra porle e finestre conunasemplice curvatura senza conoscere la forza dell'arco nellasua resistenza;vedilignea41: le vòlte fatteintalemodoportano secoildisordine che per drizzare dal sotto in suilvòlto stesso,viene applicataunaesuberante quantità dicalce,pcrcui inpocotemposuccedono scre- polatureesistacca dai mattoniilcemento;

inoltre clicilvòlto fallo intalmodo nonsiadi molla durata, sene ha prova sufficiente in laute case,chevannopresto incedimento;ma qualora fosse eseguilo coi) precisione, procurando cheimattonicorrispondano al centro C, sarebbeilvólto dilunga durata;main talilavorisarebbe necessariochesifabbri- casse nelmododellafigura seguente.

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Presa clicsiavrà lalarghezzadellaluce dellaporlasi£aun*inlersecazionein0, figura 42; su tale intersecazionesifacentro per guidareimattonialraggio, esidescriva unsemicerchio supcrioredaDE, laqualcurva supcriorehatanta forza disostenereimmenso peso,tenendoimattoni nella parte inferio- reperfettamentea livello.Daqualcheduno de' nostri esperticapi-mastrimuratori viene praticatoquesto belmetodo, e sene dàlode, maconverrebbe chedatuttifossepraticato untaleutilissimosistema.

Leantecedenti figure 41e 42, èbenvero clicnon hannoalcuna relazione collaGeo- metria,matrattandosi diparlaredelle arti e mestieri e di cose arcuale,hocredutobene d'introdurreanchequestapiccoladisserta- zionechenonsaia discara agli artefici.

Avendodescritto cosìilmetododelleolissi tratteremo sul circolo e sua divisione.Ilcìr- colosembra unacosa da poco, per la ragione cheancheuncicco faràuncircolo perfetto mentreè guidalo dauncompasso.Ognuno sachedopofattoilcircolo,ilsesto,ossia

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oca*»

compasso, offreunamisura della sesta parte della circonferenza,c quindi quasi tutti tengon per certo cheildiametro del circolo sia la sua terzaparte.Essendouningannoilcredere queste cose, loproveremocol fattoe colle massimeadottate daipiù distinti Geografi an- tichie moderni, e ciò colla figura seguente.

Figura45.

Conunprecisocompassosifaràuncir- colo,figura 43, e noi, perfarmeglio cono- scerecon facilità l'operazione, calcoleremo che questo circolo sia largo sette braccia,oppure settemetri, e ciòcomemeglio richiederà l'o- perazione; bastiisolochelalarghezzasia divisa in sette partidaA B,cosicchépare che vidovrebbero essere 21 di queste parti in tutta la periferiadelcerchio,mainvece sono22parti,cioè tre voltecomeildiametro edunsettimo dello stossodiametro. Molli insi- gniautorihannocercato laquadratura nel circolo,mavane furono le loro ricerche. Eucli- de,ilgran maestro della Geometria, e l'impa- reggiabile Archimede,ambod'accordo,hanno divisoildiametro in selle parti eguali, ven- Uducdelle quali,comedissidi sopra, sono la

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veramisura del circolo, per cui, volendo met- tere la sua superficie in quadratura, supposto clic,comesiè dolio,ilcircolo sialargenti dia- metrometri sette,avremolosviluppo dimetri 22,che divisi in quattro parli daranno metri

!>l/4per ogni lato; moltiplicati posciaTimo per l'altro risulteranno metri superficiali5025;

dunque uncircololargometri 7 di diametro ha la superficie quadrata metri 30, 2o.

Figura44.

Faremo untriangolo nel circolo.Conaper- turadelcompasso che ha servitoa fareil circolo,lodivìderemo in sci partiabedef, tirandounalineada ac,poida ee,poi un'al- trada ae,avremoiltriangoloequilatero;

lealtreletterebd fservirannoper la divisione delF esagono;suddKidcndol'esagono avremoun dodecagono,c così aforzadi suddivisionisidividerà in48angoliedin 96(1),per trovare tulli questi angolicirap- porteremo alla tabellaAdiquesto opuscolo.

(i)Quntnnqw!clmnlCnouehe siadivi™ In più Ini! e piò an- enlìvieneilenoni i u:i III ji"f;.|uim.i|uiiiiliilcm-iiihmia rliiesn diviso indiversi Inll si ilici'ilimli.ii<l.ll;i.Iiìi'mi,i.iiiii-appuntoililunmu di llilann,e qoasl Milo [(chhac ili lille Eolico nani» Il coro diviso In IjuIi-Mann- imlisonc.

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Questafiguraèilcosidettoquadrante gradualo adoperalo dagli Astronomi e Geo- grafi,e diviso in180gradi,comeappunto trovasi divisoilGoniometro,ilquale coir ajufo del quadrante sarà piùbeneintesodaludi.

'Figura46.

Sipotrà fareuntriangoloanche senza ajulo delcircolo;sifareia(hicpuntiasor1cAB,fìg.4G, e conun'apertura dicompasso faremodue porzioni dicerchioAG BG, nella cui inter- secazioneG avremoiltriangolo equilalero.

Ficlra47.

Per inscrivereilquadralo inuncircolo, figura 47, l'operazione ècosìsemplicein tuttelesue parti chenonha bisogno di es- seredimostrala. Tuttavia, per dire qualche cosa suipoligonichehannorelazionecon questi quadrali, nolcrcmocheper fare questa figuraoccorre la lineaAB, posciaallargando ilcompassosifaranno ledueintersezioniCD, esidarà la perpendicolare; poidaAiiiD

sifarà lalineaobhliqua continuando anche

negli altri trelatie"siavràilquadralo; sud-

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dividendoilquadratoavremol'ottagono,c suddividendo l'ottagonoavremoilsedicesimo, ccosìcontinuando le suddivisioniavremo altriangoliminori.Se poisidovessero fare molte divisioni in luoghi grandiosi, che fosse impedito l'uso del compasso,siricorrerà alla tabellaAdig'già citata:

Figura 48.

Datoilcaso diavereunquadrato in cui sidovesse fareunottagono,l'operazione è semplice affatto;sitirerannoleduediago- naliA D CB,ed avremoilcentro E; colcom- passosiprenderà la misura daA Eesifarà laporzione di cerchiof g,^{poi in}Bl'altra porzionehe,indi inGsifarà l'altraporzione tk,e in fineDper quellamn,tiratepoi le diagonalidalA,da

g n,daek edamf, avremol'ottagono perfetto.

Fisciù-19.

Inuncerchioformareilpentagono. Que- sta operazionel'hopresa dalleopere del Bi- biena.Tirala la lineaABsidivideràilse- midiametro inparti16, vedi figura 49:si mettailcompasso inAallargandolo sino alla cminta parte della divistonefattadalsenù-

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-««(Mie».

diametro esifaràuncircolocd,sironde necessario laperpendicolare efper tutte ic buoneregole,siprenda colcompasso la di- stanzadaed,e questa saràunlatodelpen- tagono, ossia la quintaparte del circolo, clic con talemisurasifaràladivisione;volen- dolo poi in diecio ventiparlisìpratiche- ranno le suddivisioni.

FiguraSO.

Trovandoa casounpezzo dimarmoarcuato, delqualesivogliaconoscereilcentro dellacirconferenza,siopererà nelmodose- guente. SiailmarmoÀ, figura SO,sifaccia un'apertura dicompasso a genio di chi opera, ecollapuntainBsifacciailsemicerchio cil,v collapuntainE1altraporzione di cerchiodc,lastessaoperazionesifarànei puntiFGperavereleIntersezionihi, posciatirandoduelineesulleintersezioni suddette, prolungandole in K,avremoinque- stopuntoilcentro del circolo dellaporzione dimarmoarcuato.

Figuraiti.

Volendotrovareilvertice diuntriangolo da farsi inunluogovastoeincomodo,e

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-*»(«)Km- clicnonsiabbiano mezzi diadoperareil compasso, lasquadra olariga,sifaràlabase del triangoloAlì,figuraiil,e con apertura dicompasso agemodeldisegnatoresifa- ranno ledueligure triangolari ednell'estre- mità della baseAB,sifacciaunalineada Ache passa per l'intersecazionef,edun'al- tralinea inBeliopassa pere,queste linee saranno prolungata tantodapoterl'areunain- tersecazione Gclic-saràilverticedel triangolo.

FiguraÌ52.

Questo è quellostrumento, già citatoda principio,dettodaifalegnamisquadra di cuil'angoloA, comesiè detto,sichiama retto,illatoBè l'obbliquo;iGeometri di- cono a questo lato ipotenusa{i),faccio conoscere inquesla figura le sue proporzioniche nascono naturalmente, di cuigliarteficile devonotenere amemoriaper risparmiodi temponel fareuncalcolo incose grandi.II IatoAC,figuraài,sìsupponelungome- triJi,e similemisura saràillatoAD, allora illato defl" ipotenusaCDsaràsempre due quinti eunquattordicesimo più lungojdegli (l)](alienami, niMirili'LL-iii e In m:,i.-i.-i,ir |urlf Jl'j;IÌ iirlvllnj, la liuca ilijgiyinlcdettaipolulliitii,l.i> lumiunoin™-linea a rjn:;a.

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««li )e*

allridue.Questa èlavera regolaper sapere fjuìinfosialungalalineadiagonale, cioè sei latidell'angolo rettosono di metri 3, la dia- gonale sarà di metri 7,07,103.

Ftcuiu33.

L'ipotenusaviene fattadaiGeometri nel modoseguente,figura1>3 :questafigura vieneadoperata per fare linee asquadra in grandi lavori, eme nesono servito più volte perimpianto di fabbriche dinuovacostru- zione,eper riparti o scomparti di grandi pavimenti,nonessendovi altraoperazione più giusta diquestaperformare la squadra. Iri- dareun' ideaesaltadelmododifarlacon prestezza,bisognaimmaginarsi di avereun calcoloche sia decimale; infattisivedeche ilquadraloDcontiene2i5riparli:questo quadralo da sè solodeve avere la supcrlicie degli altridue,ed in allora l'ipotcnusa è falla conprecisione;ilquadraloEcontiene16 riparti;l'altroF neha 9, che l'uno e Tallio farà25, cosicchéilIatoÀ Bsarà diviso ini»

partì,illatolìCin4 parli, e l'altro latoAC inIre parli;questa operazione è mollo utile per le professioni che adoperano di sovente lasquadra.

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-.-*>)(

Figura«4.

Questa figura l'ho presatalqualesivede dalleopere delrinomalo Bibicna, collade- scrizione falladaluimedesimo,cheripu- tandola utile,hocredulobeneilicompren- derla inquesto opuscolo.Dal circolo011QP, volendoneunoche contenga doppiasuper- ficie,facciasiilquadratoAlìCD,che abbiaatoccareilcircologiàfatto;mediante poi le diagonaliA D BC, facciasi altro circolomaggiori: cheabbia a toccaregli angoli

ABC

D, che sarà di superficieundop- pio delprimo cerchio, e cosìilquadraloE FG Hsarà largoundoppio delprimoquadralo.

Figura88.

Pertrovareconfacilitàilcentro inun circolo e nello stessotempotrovareildia- metro. Sia già fattouncircolo,figuraSii,senza

basterebbe la slessa operazione clicsiè falla allafiguraSO,mapermaggiore prestezzasi prenderàuncompasso della larghezzacomesi vuole,esifarannodueporzioni di cerchio a6, appoggiando la punta del compasso in ctf, ondeavere le due intersecazioni, sulle quali

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sifaràpassareunalineaclicattraversaII rimilo,poh tuttaesatfe/./.a,edavremoeentro ediametro inunasolaoperazione.

Figura 30.

Daròfinea questi Elementi culla figuraìi(i, laquale inunsolo circolo presentatullele operazioni antecedenti. Questa figura è trat- tatac disegnatailamolli insigni autori sotto diversi aspetti;fraglialtriilcelebremate- maticoLorenzo Mascheroni,ladescrive dif- fusamente, ed essendo di facile costruzione, nonsarà disutile averla posi a in quest'opuscolo perusodegli artefici. DatouncircoloAlìCD,e fattelealtreduelinee di crocieraA B CD, tire- remolalineaCAperavereilquadrato che poi, suddiviso colla lineaEA, darà l'ottagono, c così suddividendo, inFA,viene fuoriilsedice- simo angolo, ossia dceaesagono. Colla lineaG 11abbiamodialo del triangolo, suddiviso poi inB11,siottiene l'esagono, sei angoli; suddividendo poscia inRII,avremoildodeca- gono.DaG K abbiamoilsettagono;questo angolo è difficile con brevità ditempofarlo sortire dal circolo;maquisivede che colla semplice operazione diunpezzodicircolo

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daIKcollapunt :idelcompasso in G,siot- tieneilsettimoangolo;suddividendo poi LG, ne sorteilquattordicesimo: inquestaope- razioneabbiamoillatodel settagonoanche daGI.Siccome poisappiamo chelaporzione delcerchioG BH, è la terza parte di questo circolo, cosilosuddivideremo in tre parli, e daMH avremolanonesima parte del circolo.DaNA abbiamoiliatodelpentagono, os- sialaquinta parte del circolo, e quindi suddiviso in0A, ne viene fuori la decima, ossia decagono; poiancorasuddividendoPA, la vente- sima:abbiamodetto cheA Nèillatodelpenta- gono; divideremo questa porzione di cerchio in tre parli,e inNQavremoilquindicesimoango- lo.Conqueste operazioni, tanto sempliciquan-

tobelle,sipuòairinnnilo dividereun circolo.

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Hocredulobene<lilimitarmiaqueste pochefigure,cornoquelleclicpiùdifre- (juciiteoccorrono ncll' esercizio delle arti e mestieri.Altrecose avreipotuto aggtugncre, che a[>[ >uriengonoallaGeometriaapplicata alle arti.manon ho voluto accrescere di troppo ilvolumetto, e quindilaspesa della edizione, affinchèognunose lopossacomodamente provvedere, procurando cosìI

1 interessedi ehinefal'acquisto,e neltemposlessodei PiiLuoghi, a cui, redizione è dedicata.

Iiagijtta<)liodi diversemisure ragguagliale eoi metro, come dulia Tabella15.

Ilsislemametricodecimale delle misure,che idotti diFrancia, sul finire delsecoloXVIII, introdussero acomunevantaggio,vennean- che in Italia attivato, essendosi riconosciuto eccellente siffatto metodo,ilquale facilitale operazioni delconleggio e delle misure. i\è solo le contabilitàpubblicheeprivale,ma ilcommerciocleartilolleabbracciarono untalesistema,chenonverrà forse più ab- bandonato, essendoilcalcolodecimalemolto utileccomodo adogni nazione.

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InquestopiccolovolumeItovoltilopei' taiilointrodurre tutte quellemisure che ini vennefallodiraccogliereda diversi libri an- tlclii,edanclic di recente pubblicati, non che da qualche gentile persona, clicmifucortese dinonpoche cognizioni, rispettoaipaesi Stranieri.

11metro è quella unità fondamentale, ehe venne,come^sièdettodisopra,adottata pei pesi e misure;edilmetro fu considerato ladecimiliionesimaparte delquarto delino ridiano terrestre(1).

(l) Su ijnrilo olreliiiiiHrn rei iiKTÌrì::i[,n,lMrT..,kml;i iliPirici

rtllir.<J1j[SSSUlnlL'Ac- j»rlil>;iri|.-imi-Iniii^kIMO.rpiiljin in .le

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TABELLAB 'irulrrurf.'Akevemigriti'iif'wed'I rullìii

in cun-istttwdrit-a tulli'iiwiin»,

DIVE11SIDENOHI

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(50)

(51)

(52)

4V

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