Sul concetto di limite.
~Tota !*) di ]KAURO P~CONE (a Roma}
Sunto. - Si d~ un'esposizione compendiosa del concerto di limite per u n a w, riabile, intssa nella sua pi~ utopia acce$ione, anche co,he elemento di uno spazio astratto, nell'espres.
sio~e alla qualc quel concerto ~ pervenuto ai nostri giorni, cercando di mettere bene in vista le propriet~ c h e s i devon richiedere agli insiemi percorsi dalla variabile, per la determi.na~ione e la costru~ione di u+t suo limite eventuale.
Summary. - A brief and comprehensive e~position is given of the notion of limit of a variable, a variable being defined in the widest sense also as an element of an abstract space.
The notion is e~pressed in the more recent form it has acquired in our days. A n attempt is made to state clearly the requirements that have to be verified in the sets, where the variable moves, in order to carry out the determination and construction of its eventual limit.
F a r e una storia approfondita e ben d o c u m e n t a t a del concerto di limite per una variabile - - di questo possente utensile al quale tutto deve l'Analisi m a t e m a t i c a - - intendendo la variabile nella sua pifl ampia accezione, anche come ~lemento di uno spazio astratto, sarebbe c e r t a m e n t e opera grande e utilissima, per la quale perb io sono il meno idoneo.
Ma utile mi sembra pure, soprattutto a scopo costruttivo, u n ' e s p o s i z i o n e compendiosa di quel concerto, n e l l ' e s p r e s s i o n e alla quale ~ p e r v e n u t o ai nostri giorni, ehe metta bene in vista le propriet~ che si devon riehiedere agli iasiemi percors~ dalla variabile per la determinazione e per la eostruzione di un suo limite eventuale.
Ad un tentativo di una tale esposizione ~ dedicato lo seritto presente, v o l u t a m e n t e privo di c i t a z i o n i - salvo una finale riferentesi ad un contributo i n d u b b i a m e n t e dovuto a LEONIDA T O N E L L I - le quali, scelte senza prodi garvi tutta la circospezione dello storico, sarebbero state eerto gravemente imperfette, ed anche, forse spesso, lesive di legittime prioritY.
Mi si voglia scus~re anche per il fatto ehe, net simboli e helle locuzioni qui adottati, io non mi sia atteuuto alla moda 'invalsa ed abbia prefe- rito eonservare quelli introdotti, pih di otto lustri or sono, da C o s T ~ . ~ I ~
~A.RATHEODORY,
da me s e m p r e seguiti net miei corsi e net miei trattati, senza mat incontrare, nel far cib, incoavenienti di sorta, ed auzi ravvisando spesso in essi u n ' e s p r e s s i v i t ~ che non hanno, a mio avviso, quelli alla modm(*) Redatta a Portofino Vetta (agosto del 1958}.
350
M. PIcoNE:Sul concerto di limite
1. Lo s p a z i o e i s u o i i n t o r n i . - Sia A uno spazio di elementi, per g l ' i n t o r n i dei quali faremo le scguenti ipotesi.
~b Gl'intorni di un elemento ~ di A sono costituiti soltanto da elementi di A, contengono x ed altri elementi di .4.
~) Due intorni di un elemento h a n n o sempre prodotto, eontenente u n interne d e l l ' e l e m e n t o stesso.
~,} Considerati due elementi distinti di A, esistono sempre un i n t e r n e d e l l ' u n o e un i n t e r n e dell'altro, disgiunti.
5) Ogni elemento di un i n t e r n e ha un i n t e r n e in quello contenuto.
Adunque g l ' i n t o r n i sono insiemi aperti. Nel seguito, se con una deter- m i n a t a lettera indieherb un insieme di elementi di A, con la stessa lettera sopralineata ne indicherb
l'involucro,
clod l ' i n s i e m e {ehiuso} somma del medesimo e del sue derivato, con la stessa lettera p r e e e d u t a dalla ~ l ' i n s i e m e eomplementare.Se g['intorni degli elementi di A, verificano a n e h e 1' ulteriore ipotesi:
e} presi, eomunque, due intorni, ne esiste un terzo ehe li eontiene entrambi,
sottintenderemo sempre, allora, di aggregate allo spazio
A, l'elemento aU'infinito,
i cui intorni sono, per definizione, i c o m p l e m e n t a r i degli involueri degli intorni sopraddetti, e eontengono, per definizione, detto elemento. Diremo, alloraal finite,
gli e l e m e n t i di A gi~ introdotti eproprio
lo spazio da questi formate.Andiamo a dimostrare the, considerando, simultaneamente, g l ' i n t o r n i degli elementi al finite di A e quelli d e l l ' e l e m e n t o all'infinite, sussistorro an- cora le propriet~ a), ~). y) e ~).
Il verificarsi della p ropriet~ a) d accertato dall' aver conferito a l l o spazio A l ' e l e m e n t o all'infinite e dall'esistenza, per taluni intorni di elementi al finite di A, di elementi a questi esterni, come asserisee la proprieta y). La pro- prietk 5} degli intorni deil~elemento a l l ' i n f i n i t e discende d a l l ' e s s e r e questi e o m p l e m e n t a r i di insiemi c h i u s i . La propriet~ -f} datla eonsiderazione che se ~ d u n elemento al finite di A, I un intorni di ~, J - - ~ . I d u n i n t e r n e d e l l ' e l e m e a t o a l l ' i n f i n i t e disgiunto da I.
Dimostriamo infine la ~t). Siano J t e Js due intorni dell' elemento all' infi- n i t e ; /1--" ~J~, / 2 - " ~]~ saranno due intorni di elementi al finite. Sia [pro- priet~ ¢j] I uu interne di un elemento al finite di A, contenente/'1 - ~ / 2 . Si avr/~
e per l'intorno J - - - ~ I d e l l ' e l e m e n t o a l l ' i n f i n i t e
M. PICO~E: Sul concerto di l, imite 351
Se lo spazio A ~ metrico e si vuole attribuire, anche a l l ' e l e m e n t o all'in- finito di A, u n a distanza da u n elemento al finito, essa non pub esser minore dell' estremo superiore dell' insieme dei raggi degli intorni dell' elemento stesso.
Notisi che se tale estremo 6 infinito per un particolare elemento al fiuito di A, lo sark anche per ogni altro elemento, come segue dalla relazione triangolare delle distanze. In tal caso, a l l ' e l e m e n t o a l l ' i n f i n i t o di A, non si potrSt ehe a t t r i b u i r e distanza i n f i n i t a da un qualsivoglia elemento al finito di A.
2. I l i m i t i e i q u a s i - l i m i t i . - I n d i e h e r b s e m p r e c o n X u n i n s i e m e di elementi dello spazio A, con i X ! un insieme di tall insiemi, al quale alluderb, chiamandolo, per ovvio motivo fonico, un aggregato di insiemi. I n d i e h e r b con ~ l ' i n s i e m e somma di tutti gli X di i X } con II l ' i n s i e m e loro pro(lotto, e v e n t u a l m e n t e vuoto.
Dirb ehe 1' elemento ~o di A ~ u n limite della variabile ~ sutl' aggregato i X } e scriverb
lira ~[su { X {] = ~o,
se, in u n q u a l u n q u e intorno di Xo 4 contenuto u n insieme di i X ! , che ~!
u n quasi-limite della variabile ~c sull' aggregato i X }, e scriverb q lira x[su i X t] - - ~o
se un q u a l u n q u e intorno di ~o ha prodotto con un q u a l u n q u e insieme di { X }.
E v i d e n t e m e n t e :
Se u n limite o un q u a s i - l i m i t e non a p p a r t i e n e a ~, esso d elemento d ' a c c u m u l a z i o n e per l ' i n s i e m e ~2;
se H non b vuoto, ogni suo elemento b q u a s i - l i m i t e della variabile X.
Un elemento q u a s i - l i m i t e non pub essere esterno ad un insieme del- l'aggregato, e o m u n q u e scelto e pertanto si ha il t e o r e m a :
I. Tutti e soli gli elementi q u a s i - l i m i t i di u n a variabile ~ su u n ag.
gregato i X ! sono quelli del prodotto degli involucri degli insiemi di I X ~.
Sussiste il seguente teorema fondamentale.
II. Se ta variabile x ammette u n timite Xo sull'aggregato i X !, essa non p u b ammettere u n quasi-timite sullo stesso aggreqato che sia distinto da xo.
Se. dunque, la variabile ammette limiti e quasi-limiti, il limite ~ unico ed anche t' unico quasi-timite.
DI~OS~RAZm~,. - Se gli elementi xo e :v~ di A tal finito o no) non coin- cidono, esistono due intorni Io di xo e I~ e x, disgiunti, e pertanto, un insieme di i X t contenuto in Io non pub possedere elementi in /1. Se, dunque, la variabile a m m e t t e u n timite xo e q u a s i - l i m i t i , questi eoineidono t u t t i con xo e non potr~t la variahile a m m e t t e r e un limite distinto da wo.
352 M. PICONE: Sul ~'oncctto di limite
U n a variabile x pus possedere pi~ elementi limiti. Essa sara allora sprov- vista di quasi-limiti. Se, per esempio, ogni insieme X d e l l ' a g g r e g a t o si corn- pone di ul~ solo elemento, ogni elemento d e l l ' i n v o l u c r o di ~ ~ limite della variabile. In tal easo questa non possiede elementi quasi-limiti, salvo quando l ' a g g r e g a t o consista di un solo insieme.
Il teorema I ei dice ohe:
III. Se la variabile x sull' aggregato i X ! possiede pii~ elementi quasi.
limiti, essa non pub ammettere u n limite. Cib accade, dunque, quando il prodotto di tutti gli invotucri degli insiemi di i X ! possiede p i ~ di u n elemento.
In particolare, dunque, se l ' a g g r e g a t o I X ! si eompone di un solo in.
sterne X, dotato di involaero provvisto di pifi di un elemento, la variabi.le non ha elemento limite e sono suoi q u a s i - l i m i t i tutti e soli i punti d.ell' invo- tuero di X.
Notiamo i t e o r e m i :
IV. L' insieme L degli elementi limiti di u n a variabile x su u n aggre.
gato t X I di insiemi di A, d chiuso.
D I M O S T R A Z I O I ~ E . - Sia xo un elemento di aceumulazione per L, Io un
q u a l s i v o g l i a intorno di xo, xl un elemento di L, eontenu$o in Io, /1 un intorno di xl eontenuto in Io. Ogni insieme di i X } eontenuto i n / 1 ~ contenuto anche in I0. La stessa dimostrazione vale per il t e o r e m a , che ~ eorollario anche di quello seeondo il quale il prodotto di pifi insiemi ehiusi ~ e h i u s o :
V. L ' i n s i e m e L' degli elementi q u a s i - l i m i t i di u n a variabile x su u n aggregato I X } di insiemi di A, d chiuso.
Si dira ehe l' aggregato i X ! ~ u n tessuto o che ~ un tessuto di insiemi.
se due qualsivogliano suoi insiemi non sono disgiunti, ehe ~ un gruppo di i~siemi, se, essendo un tessuto, nel prodotto di due c~ualsivogliano dei suoi insiemi ~ sempre contenuto un insieme dell'aggregato. E v i d e n t e m e n t e : se l ' a g g r e g a t o i X ! ~ costituito da un solo insieme esso ~ un gruppo, l'aggregato degli intorni di un elemento, al finito o all'infinito, di A, ~ un gruppo.
S a s s i s t e il teorema :
VI. Un elemento limite per u n a variabile x su u n tessuto i X ! di insiemi anche u n quasi-limite e q u i n d i (teor. I) su u n tessuto di insiemi u n a variabile non p u b possedere p i ~ di u n elemento limite.
DI~OSTRAZIO~E. - Se xo ~ un elemento limite, I un qualsivoglia intorno di x, Xo un insieme di i X } oontenuto in Io, poich~ ogni insieme di i X } ha elementi in Xo, li avr~ anehe in Io.
Diremo convergente la variabile ~ su un aggregato i X ! di insiemi dello spazio A e h e possieda un limite al finito. Indicato tale limite con l, diremo, anehe, allora c h e l a variabile converge s u l l ' a g g r e g a t o i X } verso 1.
M. PICONE: ~ul co'~eetto di ~indte 353
3. La condizione di Cauchy. - Sia I ~ un insieme di intorni di elementi al finito di A, diremo ehe l ' i n s i e m e r
rivopre la parle propria dello spazio A
se c o m u n q u e si a s s u m a un elemento al f i n i t o x0 di A, esiste s e m p r e un intorno di ~o a p p a r t e n e n t e a 1 ~. Sia t P t u n aggregato di tall insiemi P di intorni, si dice che l ' a g g r e g a t o I X ! di elementi diA, verifiva la condizione di Chachy, rispetto all'aggregato IF },
dei eon siderati insiemi r di intorni, se. c o m u n q u e si p r e s c r i v a u n insieme I' di tale aggregato, esiste u n insieme X di X}contenuto in u n intorno di r. Sussiste il t e o r e m a :
VII.
Condi~ione necessaria affin~b~ una variabile ~ su un aggregato X ! di insiemi X di elementi di A s i a convergente d the l' aggregato verifichi ta condizione di Cauehy, rispelto ad un qualsivoglia aggregato i F ! di insiemi di intorni ricoprenti la parle propria dello spacio A.
DIMOS~RAZIONE. - Se la variabile ammette un limite.xo, al finito, preso un qualsivoglia insieme P di t r ] e poscia a n intorno di x0 a p p a r t e n e n t e a 1 ~, in questo intorno ~ contenuto an insieme di {X}.
Si dice che A ~ uno
spa~io completo,
rispetto all' a g g r e g a t o f l ~ }, di in- siemi di intorni ricoprenti la sua p a r t e propria, s e , c o m u n q u e si a s s u m e u ngruppo I X 1
di insiemi di elementi di A, verificante la eondizione di CAUcHYrispetto al detto aggregato di insiemi di intorni, la yariabile ~ converge sul- l' aggregato / X t.
Se A ~ metrico, scelto a r b i t r a r i a m e n t e il numero positivo 8, l ' i n s i e m e 1~(8) degli intorni eircolari di raggio 8 dei suoi elementi al finito, ricopre la parle p r o p r i a di
A,
ed in tal caso, q u a n d o si dice che lo spazio ~ completo si sot- tointende t h e lo sia rispetto a l l ' a g g r e g a t o i I~(~)l di insiemi di intorni, de- scritto dall' insieme r(~), al variare del n u m e r o positivo 8.4. Subordinazione di una variabile ad u n ' a l t r a . - Si eonsiderino ora due variabili ~' e ~" su due aggregati I X ' ! e t X " I di insiemi di elementi dello stesso spazio A. Si dir~ c h e l a p r i m a ~
subordinata
alla seconda, se, comun- que si consideri u n insieme X", in esso ~ contenuto almeno un isieme X'.Sussistono i teo~remi seguenti.
V I I I .
Se la variabile ~' d subordinata alla variabile ~" ogni limite della seconda lo ~ della prima, ogni quasi-limite di questa lo d di queUa.
D~MOSTRAZIO~E. - Se xo 4 u n limite di w" su
I X " },
preso, ad arbitrio a n intorno I di xo, in questo ~ contenuto un insieme X" di { X" !, e quindi tutti gli insiemi X' di{ X ' !
che sono contenuti in X". Se xo, 4 un q u a s i - l i m i t e di ~' su t X' }, preso ad arbitrio un intorno I di wo, tutti gli insiemi X' hanno prodotto con /, e quindi il prodotto I . X" di un qualsiasi insieme X" con /, non b mai vuoto, contenendo esso, almeno, quello di I con g l ' i n s i e m iX'
con- tenuti in X".A . ~ l ~ di Mat~pn~,'~c~ 4S
354 M. PICONE: Sul concerto di limite
IX. Supposta la variabile ~ sull'aggregato I X ' t subordinata alla va.
riabile x/~ sull'aggregato i X " i, se, questo, verifies la ~ n d i z i o n e di Cauchy, rispetto ad u n aggregato i [~I di insiemi di intorni, la verifi, ca anche quella.
5. II prineipio generale della teoria dei iimiti. - S i a y - - f ( ~ c ) una fun- zione definita in an arbitrario insieme E dello spazio A, avente il eoinsieme F in uno spazi0 B, i cui intorni degli elementi possiedano le propriet~ ~), ~), y), $), ed e v e n t u a l m e n t e a n e h e la z). P e r un insieme X di elementi E, indi.
cheremo con f(X) il coinsieme, in F, della f(~) relativo a l l ' i n s i e m e X. Evi- dentemente, se ~ X t b tm aggregato di insiemi contenuti in E. ~[(X)! b u n aggregato di insiemi eontenuti in F e questo b an tessuto o un gruppo, seeon- dochb quello b un tessuto o un gruppo. ~[a, ovviamente, pub t f ( X ) t essere un tessuto o un gruppo nella piu completa arbitrarietK d e l l ' a g g r e g a t o {X}.
Si dir~ t h e 1' elemento yo di B ~ un limite o u n quasi-limite di f(x} su { X }, secondoeh~ yoi~ un limite o un q u a s i - l i m i t e di y su
If(X)}
e si soriver~, rispettivamente,lim f(x)[su { X I ] - - Yo, q lira f(x)[su { X } ] -- Yo-
Si dirk ehe ta funzione f(~v) ~ continua n e l l ' e l e m e n t o ~¢o di E, se, consi- derato il g r u p p o { I(xo) t degli intorni di xo la funzione ha per limite f(xo) sul gruppo i E . I(xo) t di insiemi d i A. Sussiste il prineipio generule della teoria dei limiti dato dal t e o r e m a :
X. Scdto ad arbitro u n aggregato { X t di insiemi contenuti in u n in.
sieme E di elementi' di uno spazio A, essendo in E definita u n a funzione f(x), se la variabile ~v sull'aggregato I X ! ha per limite o per quasi-limite u n ele.
menlo di E, ove la f(~v) ~ ~ntinua,~irisulta
f( [su I x t ] = f( im [su I ])
tim oppure
q lira f(a~i[su { X } ] = f ( q lim x[su i X 11.
DIMOS~RAZlO~]~. - Indicato con xo il limite o i l q u a s i - l i m i t e di x su { X !, detto J un arbitrari0 intorno di f(xo), hello spazio B, esiste un intorno I di X,o, tale t h e se x a p p a r t i e n e a E . I, f(x) a p p a r t i e n e a J e quindi per ogni insieme X di i X !, eontenuto in I o avente con questo prodotto, risulter~ f ( X ) con- tenuto i n J o con questo di prodotto non vuoto.
Sia A uno spazio me,rico e a~o un eleraen~o al finito di A. Su ogni in-
~ieme X di elementi ai finito di A r i e s c e definita una ~unziowe, reate e non uegativa, e s p r i m e n t e la distanza d'~o, w) di un elemento ~c di X da Xo. Deno- teremo con I X ~l~ l ' i n s i e m e delle distanze degli elementi ~ di X da ~vo. Evi- dentemente, a~o sark limite o q u a s i - l i m i t e della variabile x sull'aggregato i X } di insiemi di elementi al finito di A, seeondoch~ lo zero ~ limite o quasi-
M. PICONE: Sul coueetto d¢ limite 355 limite della variabile dtxo, x.) s u l l ' a g g r e g a t o ;!XI.~ o } di insiemi di h u m e r i reali e non negativi.
Cosi, se a l l ' e l e m e n t o a l l ' i n f i n i t e di A, deve attribuirsi distanza i n f i n i t a dai suoi elementi al finite, eondizione neeessaria affinch~ detto elemento sia limite o q u a s i - l i m i t e delia variabile x s u l l ' a g g r e g a t o I X ! di insiemi di ele- menti al finite di A ~ ehe t ' i n f i n i t o sia tale per la variabile d(xo, x) s u l l ' a g g r e - gate i I X ~ } di h u m e r i reali e non negativi, q u a l u n q u e sia l'elemento al finite Xo di A. Ma sussiste il teorema seguente.
XI. Se all'elemento a l l ' i n f i n i t e dello spazio metrico A deve attribuirsi distanza infinita dai suoi elementi al finite, condizione sufficiente affineh~ il detto elemente sia limite o quasi-limite della variabile oc sull'aggregato i X } d' insiemi, di elementi al finite di A, d che l' infinite sia limile o quasi-limite della variabile dixo, ~c} sull' a.qgregato { I X I~'o i degli insiemi 1 X ~.~ delle distanze dei p u n t i di X da u n elemento at finite x~o, arbitrariamente fissure i n A.
DI~OSTRAZlO~E. - Sia soddisfatta la condizione e n u n e i a t a e sia /1 un i n t e r n e arbitrario di un arbitrario elemento x.~, al finite, di A. Sia I0 un i n t e r n e di Xo contenente /1. Se in ~Io ~ contenuto a n insieme X di {X}, questo 6 contenuto aneho in ~I~, poieh~ ~I0 6 eontenuto in ~ / ~ ; se ~Io h a prodotto con qualsivoglia insieme X di ~X}, eib avviene anehe per C I r .
Dalle osservazioni test~ fatte segue l ' i m p o r t a n z a , a n e h e per la rieerea degli eventuali limiti di un aggregate di insiemi di elementi di uno spazio astratto, della considerazione del ease partieolare di insiemi di n u m e r i reali, eib ehe a n d i a m o a fare nel n o seguente.
6 . I I c a s e r e a l e . - Lo spazio A si r i d u e a era a l F a s s e reale. Di un
n u m e r o reale xo, denoteremo con I(~o, 8} il sue i n t e r n e di raggio 8, eio~ la totalit~ dei h u m e r i x (sottointenderemo sempre reali) verifieanti la relazione x - - x 0 i < 8 . Oltre a l l ' e l e m e n t o a l l ' i n f i n i t e , che indieheremo con ~ , aggre- gheremo ad A, l ' e l e m e n t o , che indicheremo con - - c ~ , i cui intorni sono tutti gli intervalli aperti, dei humeri minori di un n u m e r o ), a r b i t r a r i a m e n t e fissato e l'~,lemento, che indieheremo con + ~ , i cui intorui son() tutti gVintervait~ aperti, dei humeri m~)ggiori di ull an uumero k. a r b i t r a r i a m e ~ t e fissato. P e r ogni n u m e r o )~ denoteremo con I'fk~ e l"(k~ g l ' i n t o r n i sopraddetti r i s p e t t i v a m e n t e di - - c ~ e di + c~. Cosi per un n u m e r o arbitrario xo, risulta
mentre son() intorni di c~ tutti e sell g l ' i n s i e m i I'(x,, - - 8} + I"(Xo + ~,
c o m u n q u e si scelgano il n u m e r o x~ e il n u m e r o positive ~. Si pone, per definizione.
356 M. PICONE: Sul concerto di limite
e per ogni numero x,
Ovviamente, ad entrambi gli elementi - - c ~ e Jr-c~ dovremo attribuirc, come a l l ' e l e m e n t o c~, distanza infinita da un qualsivoglia numero.
P e r ogni insieme X di humeri reali, indicheremo con d(X), - e ' ( x ) <
l ' e s t r e m o inferiore e con e"iX),
- < e " ( x ) __< +
l ' e s t r e m o superiore e a d ogni aggregato {X} di tall insiemi faremo corri- spondere due elementi di A (eventualmente coincidenti) definiti al mode seguente.
L' estremo infersuperiore, che indicheremo col simbolo e * { X } ,
essendo
e * { X ) = - - ~ ,
se ~ sempre e'(X) - - - - c~, al variare di X in { X !, e, nell' altro caso, l' estremo superiore d e l l ' i n s i e m e di n u m e r i {e'(X)} descritto da e'(X) al variare di X in {X}.
L'estremo superinferiore, t h e indicheremo col simbolo e** { X t,
essendo
e** { X ) = + ~ ,
se ~ sempre e"(X) - - -]- c~, al variare di X in { X [, e, nell'altro caso, ]'estremo inferiore d e l l ' i n s i e m e di n u m e r i {e"(X)! deseritto da e"{X) a] variare di X in { X I .
Se, per esempio, numero, si avr~t
tutti gl'insiemi di I X ! si compongono di un sol
e* { X } = estr. sup. di 5, e** { X ) = estr. inf. di 2~ ; se 1' aggregato {X} si oompone di un solo insieme, e* { X } = estr. inf. di X, e** { X t = estr. sup. di X.
Sono proprietY., determinanti r elemento e ' I X ! le seguenti.
a*) Uomunque si assegni u n numero ~ < e* t X }, ei6 ehe ~ possibile solo
M. P~cor~E: Sul concerto di Iimite 357
se e* i X ! > - - c,% e q u i n d i u n qualsivoglia numero se e* t X ! = -{- c,¢, esiste u n insieme di I X ! contenuto i n I"(),);
b*l comunque si assegni u n n u m e r o k > e* i X }, cib the d possibile solo se e* t X ! < ~ c,o , e q u i n d i u n qualsivoglia numero se e* l X } : -- c~, ogni insiene di i X ! ha n u m e r i in I'(X).
Sono proprietY, d e t e r m i n a n t i l ' e l e m e n t o e * * t X !, le s e g u e n t i .
a**} Comunque si assegni u n n u m e r o ), > e**{X}, cib the ~ possibile, solo s e e * * i X } < ~ c~, e q u i n d i u n qualsivoglia n u m e r o s e e * * { X } = - - ~ , esiste u n insieme di I X } contenuto il I ' ( k ) ;
b**) comunque si assegni u n n u m e r o k < e**i X !, cib che d possibile solo s e e * * I X ! > - - c~, e q u i n d i u n qualsivoglia numero s e e * * X } : ~ ogni insieme di i X ! ha n u m e r i i n I"(k).
Si h a d u n q u e ehe : Se e* t X t : ~ c~, l ' e l e m e n t o ~ c~ di A ~ a n l i m i t e p e r 1' a g g r e g a t e I X !, se e* i X } : - - c~, l' e l e m e n t o - - ¢x) ~ un. q u a s i limite.
Se e * * { X ! - - - - c ~ , l ' e l e m e n t o - - ~ ~ u n l i m i t e p e r l ' a g g r e g a t o {X}, se e** i X ! : ~ c~, l ' e l e m e n t o ~ c~ ~ u n q u a s i - l i m i t e .
S u s s i s t o n o i t e o r e m i s e g u e n t i .
XJI. Se k d u n numero, ed esiste i u i:X ! u n insieme X i cui n u m e r i non sono i n f e r i o r i a ),, si ha e ' I X } > ) , ; se esiste i n { X } u n insieme X i cui h u m e r i non superano k, si ha e * * { X ! ~ ),. Pertanto se la variabile x/ sul.
l'aggregato I X ' t ~ subordinata a l l a variabile ~¢" sull'aggregato ~ X " I, si h a :
e* tX" <e* IX'l, e** lX"l >=e** 1X'}.
DIMOST~ZXONE. - Se, p e r u n i n s i e m e X di t X } riesce e'(X) ~ ),, l' e s t r e m o s u p e r i o r e d e l l ' i n s i e m e d e s c r i t t o d a e'(X), cio~ e * I X !, n o n potr~ essere infe- riore a k. Eec. Se ), ~ u n n u m e r o a r b i t r a r i o m i n o r e di e* { X " } , esiste u n in.
s i e m e X " c o n t e n u t o in 1" 0,), e q u i n d i u n i n s i e m e X ' del pari c o n t e n u t o in I " ( k ) , m a a l l o r a si ha, p e r q u a n t o a b b i a m o e r a visto, e * l X ' l ~ e q u i n d i
~* ~ X ' I ~ e* I X " l, d a t a l~arbitrarieti~ di ),. Eec.
X I I I . Se la variabile x ha s u i X ! u n limite, diverse da c~, questo n o n supera e* i X } nd d inferiore a e** i X !. Pertanto, condizione necessaria affinchd x, a m m e t t a su i X } u n limite, diverse da co, d che riesca e** i X ! ~ e* { X !.
D I ~ o s T ~ z I o m ~ . - Se il l i m i t e ~ - - c ~ , q u e s t o n o n s u p e r a e e r i e e*, nel- l ' a l t r o ease, detto ~ u n a r b i t r a r i o n u m e r o m i n o r e del l i m i t e , esiste u n i n s i e m c X~ di {X} e o n t e n u t o in I"(),) e q u i n d i , p e r it teor. prec., r i s u l t e r k ), ~ e*, d o n d e , d a t a 1' a r b i t r a r i e t k di ),, lira ~ X } ~ e*.
X I V . Se la variabile ~ ammette s u I X } u n q u a s i - l i m i t e , diverse da c~, questo non ~ inferiore a e* { X }, nd superioc'e a e** f X }. Pertanto, ~ n d i ~ i o n e necessaria afflnchd la variabile x, a m m e t t a s~ i X ! u n q u a s i - l i m i t e diverse da
~ , d ehe riesca e* i X ! ~ e** I X !.
358 M. PICONE: Sul concerto di limi$e
DrMOSVRAZIONE. - Se ii q u a s i - l i m i t e 6 - { - ~ , q u e s t o non ~ i n f e r i o r e a e*, n e l l ' a l t r o easo, detto )~ u n n u m e r o m a g g i o r e del q u a s i - l i m i t e , in ogni X di i X ! esiste un n a m e r o m i n o r e di ),, e si avrk, d u n q u e , p e r ogni X,
e'(X) < ~,
d o n d e t ' e s t r e m o s u p e r i o r e e* d e l l ' i n s i e m e {e'(X)! n o n potr/~ s u p e r a r e L Ecc.
Corollario dei t e o r e m i X I I I e X I V d il s e g u e n t e .
XV. Condizione necessaria affinvhd u n a variabile x su urt aggregato i X } di insiemi di n u m e r i abbia limili e quasi-l~mili (diversi da c¢)) e q u i n d i (teor. I) u n limite unico (diver~o da ~ ) ehe sia anehe l'unieo quasi-limite, d che riesca
e ' i X ! = e** i X !.
Tale limite non pub allora essere che e * - - e * * . N o t i a m o a n e o r a i t e o r e m i s e g u e n t i .
XVI. Se l' aggregato i X ! d u n tessuto riesce e* t X } ~ e** i X t. E quin.
di (teoremi X I I I e XV) condizione necessaria affinchd u n a variabile z am- metta s u Un tessuto di insiemi u n limite (diverso da o¢} d ehe riesca e* -- e**
e i l limite non pub essere che e* - - e**. Pertanto (toot. XII) se la variabile x' sut tessuto I X ' I ~ subordinata alla variabile x" sul tessuto I X " I, l'intervallo determinato dagli eslremi della p r i m a ~ vontenuto in quello delerminato dagli e,~tremi d~Ua se~onda.
DIMOSTRAZIONE. - Questa' ~ s u p e r f l u a se e * - - - cx~, o p p u r e e** ---- -{- c~.
S i a e * * - " - ~ . C o m u n q u e si p r e s e r i v a u n n u m e r o k esiste u n i n s i e m e X ) e o n t e n u t o in ['1;~). Ma ogni i n s i e m e X di i X } h a p r o d o t t o c o n X~., d u n q u e in ogni tale i n s i e m e vi ~ u n n u m e r o m i n o r e di )~, e si a v r h p e r t a n t o e'iX} < ~, d o n d e e*~_~), e quindi, d a t a l ' a r b i t r a r i e t k di k, e * : - ~ . Allo stesso modo si d i m o s t r a t h e se e* - - -~- c¢, a n e h e e** - - -}- ~ .
S i a n o d u n q u e e* e e** e n t r a m b i finiti. Detto ), u n n u m e r o m i n o r e di e*
e ~ u n n u m e r o m a g g i o r e di e**, esiste u n i n s i e m e Xx di { X t e o n t e n u t o in I"0, ) e u n i n s i e m e XE~ e o n t e n u t o in I'(t~} e p e r t a n t o i n u m e r i di X~ X~
aplaartengono s i m u l t a n e a m e n t e a I'(~ } e a 1'%t , o n d e s e g a e e h e ). < ~. D a t a l ' a r b i ~ r a r i e t h di ), < e* di ~ > e**, se ne d e d u c e ehe e* <:e**.
X V I I . Se l' aggreyato i X ! d u n gruppo, gli eslremi e* i X l e e** i X t sono ~ a s i - l i m ~ t i della vari, abile x sull'aggregato.
D I M O S T R A Z I O N E . - L i m i t i a m o e i a c o n s i d e r a r e l' e s t r e m o i n f e r s u p e r i o r e . S e e * - - - c~, a b b i a m o gi~ visto e h e esso ~ u n q u a s i - l i m i t e , se e * - + oc, a b b i a m o gik visto t h e esso ~ u n l i m i t e e q u i n d i a n e h e a n q u a s i - l i m i t e , per essere i X t u n gruppo. S i a d u n q u e e* finito. Assegnato u n n u m e r o positivo a r b i t r a r i o ~, esiste u n i n s i e m e X~ di i X l e o n t e n u t o in I"(e*--'8}. S i a X u n q u a l u n q u e i n s i e m e di { X i, in X X ~ vi 6 u n i n s i e m e X' di i X }, ed in questo,
M. PICOSE: Sul concerto di limite 359
come in q u a l u n q u e altro, esiste u n n u m e r o di I'(e* + 8 ) . T a l e n u m e r o 4 di X, ed 6 a n e h e di F i e - - 8 ) perch~f a p p a r t i e n e a X~. Ogni i n s i e m e X di i X ! h a p e r t a n t o h u m e r i n e l l ' i n t o r n o a r b i t r a r i o I{e*, 8) d i s * .
P e r u n a v a r i a b i l e x su u n g r u p p o i X } di i n s i e m i r e a l i esistono d u n q u e s e m p r e d u e suoi q u a s i - l i m i t i tdistinti o coincidenti) daft d a g l i e s t r e m i infer- s u p e r i o r e e s u p e r i n f e r i o r e di I X } e n e l l ' i n t e r v a l l o che h a p e r e s t r e m o i n f e r i o r e il p r i m o e p e r s u p e r i o r e il secondo sono c o n t e n u t i ~teor. XIV) t u t t i g!i e v e n . t u a l i u l t e r i o r i q u a s i - l i m i t i , d i v e r s i d a ~ . Gli e l e m e n t i e* t X } e e** i X } h a n n o , d u n q u e , p e r u n g r u p p o di insiemi, il c a r a t t e r e di limiti, il prim(, i n f e r i o r e ed il secondo s u p e r i o r e a t u t t i gli altri. ]~ p e r eib che gli e l e m e n t i indicati, li c h i a m e r e m o , r i s p e t t i v a m e n t e , il limits infsriors e il limite supsriore d e l l a varia.
bile :v sul g r u p p o i X f di i n s i e m i di n u m e r i : r e a l i , d e n o t a n d o l i coi s i n g o l i : lira' x,[su t X } ] = s* {'X }, l i m " x[su i X } ] = e** i X }.
S u s s i s t o n o i t e o r e m i s e g u e n t i .
X V I I I . Condizions necessaria s sufficients affinchd u n a variabile x, su u n gruppo i X ! di insiemi di n u m s r i reali abbia u n limite, diverso da ~ , d the i suoi limiti inferiors e superiors coincidano.
D~OSTRAZlO~E. - L a necessit/t d e l l a condizione e s t a t a d i m o s t r a t a col teor. X VI. Q u a n t o a l l a s u f f i c i e n z a , e s s a ~ s t a t a gik d i m o s t r a t a q u a n d o riesce lira' x~ - - lira" x " - - - c~, o p p u r e lira' ~ -" t i m " x --- -}- ~ . S u p p o n i a m o d u n q u e c h e sia lira' x - - l i m " ~ -- l, essendo l u n n u m e r o . A s s u n t o a p i a c e r e u n n u m e r o positivo 8, esistono u n i n s i e m e .X"~ c o n t e n u t o in I"il -- 8) e u n o X'~ e o n t e n u t o in I'(l + 8} e p e r t a n t o ogni i n s i e m e di i X ! , c o n t e n u t o i n X ' v X " s ~ c o n t e n u t o n e l l ' i n t o r n o I'(l + 8}I"(l ~ ~} a r b i t r a r i o di l.
XIX. Lo spazio dei ~ u m e r i reali d completo e quindi, somunque si fissi il n u m s r o naturale r, d cdmpleto anchs lo spazio dells r - p l e di h u m e r i reali.
DIMOSTRAZIONE. - Se il g r u p p o i X ! di i n s i e m i di h u m e r i r e a l i v e r i f i c a la c o n d i z i o n e di CAUCHV, e o m u n q u e si fissi u n i n t o r n o I~xo, 8}, esiste u n i n s i e m e X di i X ! c o n t e n u t o in I(xo, ~) e si h a d u n q u e (teor. X I ] )
x o - - ~ <~ lim' w < lim" x <_~ xo + ~,
d o n d e ]a f i n i t e z z a di l i m ' x e di l i m " x e d a t a l ' a r b i t r a r i e t ~ di 8, la loro egua- glianza. L a v a r i a b i l e x sul g r u p p o {X} ~ d u n q u e c o n v e r g e n t e .
Si noti i n f i n e il t e o r e m a :
X X . Condizione necessaria affinchd u n a variabiIe x~ su u n gruppo I X } di insiemi di n u m e r i reali abbia per limite l ' ~ d che nessuno dei suoi limiti, inferiore e superiore, sia u n numero.
360 M. Pxco~z:
Sul concerto di limite
DtMOSTRAZIONE. - Se, p e r esempio, fosse l ' - - l i m ' x u n n u m e r o , in ogni i n t e r n e d e l l ' i n f i n i t e che a b b i a l' per p u n t o esterno, n o n pub, p e r intero, essere e o n t e n u t o u n i n s i e m e di i X } poichd t u t t i g l ' i n s i e m i di {X} h a n n o p u n t i in u n q u a l s i v o g l i a i n t e r n e di l'. Se lira' x - - lim" ac -- -- c~, o p p u r e lira' x ---- - - lira" x - - -1- ~ , 1' i n f i n i t e d l i m i t e di x, se lira' ac - - - - c~ e lira" x - - q- ~ , si pub a s s e r i r e che
lira x -- c~.
q u a n d o e solo q u a n d o (cfr. teor. XI), i n d i c a t e con { [ X I } l ' i n s i e m e dei valori a s s o l u t i dei n u m e r i di X, si abbia
lim ac[su t l X I}] - - "}- ~x~.
7. C r i t e r i suttleienti di e o m p l e t e z z a per u n o spazio m e t r i e o di sueees.
s i o n i . - S i a A uno spazio m e t r i c o il cui e l e m e n t o g e n e r i c o x consiste in u n a s u c c e s s i o n e
acl, a c 2 , . . . , X,~,...
di r - p l e di n u m e r i reali, r d e s i g n a n d o u n n u m e r o n a t u r a l e a r b i t r a r i a m e n t e fissato. Dirb di p r / m a
specie
lo spazio A se esso v e r i f i e a le ipotesi a), ~),~'I, ~), ~), del n ° 1 e a l l ' e l e m e n t o a l l ' i n f i n i t e d e v e a t t r i b u i r s i d i s t a n z a i n f i n i t a d a ogni e l e m e n t o al finite. I n d i c a t a con
d(ac', x")
la d i s t a n z a f r a d u e e l e m e n t i al f i n i t e di A, la p a r t e p r o p r i a di A ~ p e r c o r s a d a l l a s u c e e s s i o n ex(acl, x , , . . . , x , , . . . )
q u a n d o , fissato u n e l e m e n t o x (o~ di A, al finite, r i e s c ad(ac'°', ac) < + ~ .
Dirt) di
sec~nda specie
lo spazio A se esso v e r i f i e a le ipotesi a), ~), T), $) avendo, q u a l u n q u e sueeessione, d i s t a n z a f i n i t a d a u n a ac(o~ a r b i t r a r i a m e u t e fissata.S u s s i s t o n o i s e g u e n t i teoremi.
XXI.
Se, presi due elementi x'(x~', ac~', ...) e x"(ac~", x2", ...) qualsivogliano, al finite, dello spazio A, di prima o di seconda specie, risulta
(1) lim lack' - - ac~" [ - - 0(*) (k - - 1, 2, ...~,
d(x,. ~,) .-* 0
c, ondizione necessaria affinchd una variabile x su u n aggregate i X ! di insiemi di elementi di A, al finite se A d di p r i m a specie, ~nverga verso l' elemento llll, 12, ...), d che ogni variabile aca sull' aggregate i X } degli insiemi Xa, proie.
zioni degli insiemi X sutlo spazio delle
r - p l e xkdi humeri reali, converga verso lk; affinchd la variabile ac sull'aggregato I X } abbia per quasi-limite l'elemento lIl~, 12, ...) di A, al finite se A d di prima specie, d che ogni varia.
bile ac, snll' aggregate i Xk} abbia per quasi-limite lk.
(*) Con ! x h ' - - x k " desi~'no il modulo del v e t t o r e x k ' - - x k " e r componenti.
M. PICON~: S u t concerto dl limite 361
DIMOSTRAZlONE. - I n virth della (1), esiste una funzione positiva 8k(s)del n u m e r o positive ,, tale da aversi t x ~ ' - - ~ 1 < 8, non a p p e n a sia d(x', ~ " ) <
< 8Js). Se, d u n q u e , per un elemento x di u n insieme X di i X ~, risulta d(~, 0 <
~(*),
ne seguir~t, per la r - p l a wk di X~,
e o m u n q u e sia state seelto il n u m e r o positive ,.
X X l I . L o spazio A s i a di p r i m a specie. 8e, p e r ogni nutaero n a t u r a l s n, d d s f i n i t a u n a f u n z i o n e o o n t i n u a e n o n negativa
~,(p,, p~,..., p.),
delle q u a n t i t d n o n negative p t , p~, ..., p . , tale d a aversi, c o m u n q u e si ass**, m a n e due elementi, al finite, x/ e x" di A,
(2)
(3)
a(~', ~") > %,(I ~,' - - x./' I, I =,' - ~ , I " .... , t ~ , , ' - -
®,," I),
d(x', a~") = lim ?.()x.' - - xx" t, l a)( - - x,': I, " . , i~- ' - - x." i},
) t ~ Q O
e sussiste la (1), lo spazio A d oomplato.
DIMOS~RAZIONE. - Sia { X i un gruppo di insiemi di elementi al fini(o di A, verificante la eondizione di CAUOHV. I n virt/t della (1) taJe condizion(, 6 soddisfatta anch(, da ciaaeun gruppo i Xkt e quindi, per la eompletezza (reef. XIX) dello spazio dells r - p i e di h u m e r i reali, esiste, per ogni i n d i t e k, una r - p l a t k di h u m e r i reali tall da aversi
l i m ~ck[su { Xk 1] = lk.
Dice t h e la successions l(l~, 12,...) ~ uu elemento al finite di A, verso eui converge x su {X }. Xssegnato, invero, ad arbitrio, il n u m e r o positive 8, aia X(*) un insieme del gruppo { X t per eui si ~bbia
d i a m X (~) < ~ . 8
P e r una coppia qualsivoglia a~ e ~' di elementi di X(~), risultertt, for®a della (2),
(4) ~o.(]xt--x~'l, I x , - - z,' ], ... , [ x , - - ~ . ' ] ) < ~ . 8
in
La variabile Xk' sul gruppo { Xk Xk (~) } converge verso 1 k e pertanto, fissato
Ans,di di M a # c w ~ a 46
362 M. P~CO,~E: ,qUl concerto di l i m i t e c o m u n q u e l ' e l e m e n t o x in X '~), segue, d a l l a {4},
donde, p a s s a n d o al l i m i t e p e r n - ~ . t e n e n d o conto d e l l a t3),
d{z, ~)< ~ < a.
ESEMPI. - Sia a u n a quantitfi positiva, a r b i t r a r i a m e n t e fissata, s u c c e s s i o n i ~' e
x",
si p o n g a- - , p e r ~ > t,
k - = l - -
(5~
dlx', a¢')xk" :~" p e r a < 1,
= ~ I z ~ , ' - - , ,
~--~-I
o p p u r e
e p e r d u e
d{x',
a¢') - - e s t r . s u p . I m'k - - x"k I% p e r :¢ =< 1.Lo spazio A riesce a l l o r a m e t r i c o e di p r i m a specie. L a s u a p a r l e propria percorsu, v a l e n d o le (5t, d a l l a s u c c e s s i o n e x p e r cui la serie
OD
l ~ k i ~
riesce c o n v e r g e n t e e, v a l e n d o la (6h d a q a e l l a per cui rieuce l i m " I ~c~ ] < --[- c~.
k ~ o ¢
I n e n t r a m b i i casi, lo spazio A ~ c o m p l e t e . Esso, infatti, s o d d i s f a le ipotesi del leer. X X I I , ponendovi, nel p r i m o
= I~E pk ~ , p e r , ~ 1,
%,.tpl, P2 .... , p , t
t _ _ v ~ . - , . per ~ ~ ~ .
:., ,~,i seeondo.
v,,{p~. P2, .... P , l - - m a x p:,.
X X I I i . L o s p a z i o A s i a d i s e c o n d o specie. Se, p e r o g n i n u m e r o n a l u r a l e n.
,~ d e f i n i t a u.na f u n z i o n e n o n ~ e g a f i v q
:;,*tPl. P~, .... p,i.
d e l l e q u a n t i t ~ n o n negati.ve p x , P2 .... , p , , , n u b i a e c v r d i n u a p e r p~ - - p z - - ...
-~ p~ - - O, tale d a a v e r s i
(7t d(a:', x"~ - - lira %,(t xl' - - xl" t, t~ x~' - - x 2 " l , .... i x , ' - - x,," },
M. PICONE: Sul concerto di limite 363
uniformemente al variare comunque di x' e di x", u n a variabile x su u n gruppo I X ! di insiemi di elementi di A, converge quando convergono le variabili x~ sui g r u p p i I X k t ( k - 1, 2, ...) e se xk converge verso l~, la variabile ~c converge verso l(l~,
12, ...).
DIMOSTRAZIOI~E. - Scelto, ad ~rbitrio, u n n u m e r o positivo ~, f i s s i a m o a n n u m e r o n a t u r a l e v tale d a a v e r s i :
ld(x', x " ) - - ~ ( I x ~ ' - - x ~ " I , I x , , ' - - x . 2 " l , . . , [ x ~ ' - - x , " l ) [ < - ~ . R i s u l t i
~ P ~ , P*, ..., P~) < -2, p e r
p~ < E~(~), p~ < ~,(~), ..., p~ < ~t~).
Esiste, per ipotesi, u n i n s i e m e X ~, ~ di I X t, tale t h e , p e r ogni suo ele- m e n t o x, si a b b i a
I x , - z, I < ~,(~), (~ = 1, 2, ..., v).
P e r ogni e l e m e n t o x di u n i n s i e m e di I X ! c o n t e n u t o nel p r o d o t t o X0, ~) • X (~, ~) ... X (~, ~)
risulter~t
d(x, l)<Td~x, Z)--~(txl--lll, t~2--~t,..., !~--t~1)I+
X : ( I V . NeUe ipotesi del toot. prec., so, inoltre, sussiste la (1), lo spazio A d completo.
DIMOSTaAZIOSE. - Se s u s s i s t e latl~, v e r i f i c a n d o il g r u p p o i X ! la c o n d i z i o n e di C ~ U C H V , le v e r i f i c a a n c h e ogni g r u p p o I X , }, d o n d e la c o n v e r g e n z a di c i a s c u n a v a r i a b i l e xk e per il teor. prec., della ~ stessa.
ESEMPIO. - S i a
~ { p ) , ~P~P), .... ~,(p), ...,
u n a succeaaione di fun~ioni non n e g a t i v e e c r e s c e n t i d e l l a quantit~t non n e g a t i v a p, n u l l e e c o n t i n u e p e r p - - 0 , tali t h e , c o m u n q u e si a s s u m a n o d u e quantitfi non n e g a t i v e p' e 7~", .~i abbia
~,~p' + P " t ~ '~,¢p } + ~kip"b, tk - - t, 2, ...), ed esista u n n u m e r o t h e non sia a u p e r a t o dal valore di u n a q u a l s i v o g l i a di ease. Sin a~, a.., .... u n a su(-ceasioue di quantit'~ positive p e r le q u a l i la aerie
a , + a~ -t- ... + a ~ + . . . .
364 )[. PICO~E: S'tll eo~wetto di li,mite
riesca convergente. Posto, allora, per due successioni x' e x",
5~G
d(x', x,")= ~ a~kt xk'--xk" I),
lo spazio A risutta metrico e di seconds specie e, ponendovi
k ~ l
sono soddisfatte le ipotesi del teor. XXIV.
Si possono soddisfare le eondizioni contemplate per le funzioni 'Ok(P), prendendole non negative ed oquilimitate, nulle per p - - 0 , dotate delle deri- r a t e prime e seconde, con derivate prime positive e soconde non positive.
I n partieolare, per
1 p
ak -- k--~' ~k(P) -- 1 q - p '
si ha la ben nora m a t r i c e di FR/~(~KI~r. Ma si pub, per esempio, con la con- vergenza della aerie a termini positivi Zak, porre anche, ovviamente,
~ P yk(l -- e--~kP), Yk arc tang akp, ...,
con le a,, ~ , ¥~ costanti positive arbitrarie, tall t h e le successioni i ~ / a ~ t e i'f~! siano limitate.
Quanto precede pub sabito estendersi alla eonsiderazione di uno spazio metrieo A, il cui e l e m e n t o generieo x sia una suceessione x~, x ~ , . . . , x,,, ...
di elementi, l'elemonto x , { k - - 1 , 2, ...) appar~enendo ad uno spazio metrieo Ah.
Sussiste inalterato il teor. XXI quando si sostituisca la I1) con la
(8} lira d(x~', x.~") ---- O, (k = 1, 2, ...).
d l ~ ~, ~ ) ~ 0
Sussiste il teor. X X I I quando gli si aggiunge l'ipotesi della eompletezsa degli spazi Ak {k -- 1, 2, ...} e le {2~ e (3} si sostituiscano, rispettivamente, con ]c
v vp
~9) d(x', x"} = lim ~,,[d(xl', xl")~ d~x2', x~"~, .... dlx,,', ~,,"~l.
Sussiste altreai il toot. X X I I I quando si soatituisca la {7p con la t.q~.
Sussiste, infine, il teor. XXIV, helle ipotesi del ~ o r . XXII1, ore si sostitui.
sea la (7} con la (9) e si aggiunga l'ipotesi della completezza degli spazi Aklk = 1, 2, ...).
8. ¥ a r l a z i o n e t o t a l e di u n a f u n z i o n e m e t r i c s . - S i a y - - f i x ) una funzione definita in un arbitrario insieme E dello spazio A, avente il coinsieme in uno
M. P~corcF: Sttl concerto di lhnite 365
spazio m e t r i c o B. D i r e m o a l l o r a c h e l a f a n z i o n e 6 metrics. S i s i X ! u n a g g r e g a t e di i n s i e m i di A, tall che. p e r ogni e l e m e n t o x co', e o m u n q u e seelto in E, esist~a a n o od uno solo i n s i e m o X d e l l ' a g g r e g a t e , i n s i e m e ehe i n d i e h e . r e m o con X(xC°)). a cui x t°~ a p p a r t i e n e . Seelto, ad arbitrio, u n e l e m e n t o x (t~ in E, s i a n o : x c~) u n e l e m e n t o di EX(xcl)), x (s) a n e l e m e n t o di EX(xC~),..., w~+ ~) a n e l e m e u t o di EX(x,~t), e si f a c e i a la s o m m e
- - E d[f(x~k'),
f(x~':+"~],
k = l
(3hiamerb v a r i a z i o n e totale della f u n z i o n e f(x), n ~ l ' i n s i e m e E, rispetto air aggregate i X i, l ' e s t r e m o s u p e r i o r e d e l l ' i n s i e m e d e s e r i t t o da z, al v a r i a r e e o m n n q u e , di v e degli e l e m e n t i x ~ , x (~, ..., x ~, "x ~ . E s s a potr~ i n d i e a r s i col simbolo :
vr[E, ix t].
E v i d e n t e m e n t e :
L e fnnn:ioni c o s t a n t i in u n i n s i e m e , vi h a n n o v a r i a z i o n e totale n u l l s rispetto ad un q n a l s i v o g l i a a g g r e g a t e t X !.
Se, c o m u n q u e si a s s u m e l ' e l e m o n t o x (o~ di E, r i s u l t a re(o) =_ E X lxCO~),
la v a r i a z i o n e totale di u n a q u a l s i v o g l i a funzione, n e l l ' i n s i e m e E, rispetto a l l ' a g g r e g a t e i X !, vale zero.
Se !' e l e m e n t o x ~2) a p p a r t i e n e a X ( x ~) e l' e l e m e n t o x c~) a X(x~Z~), p e r ogni f n n z i o n e f(x) a v a r i a z i o n e totale f i n i t e in E, rispetto a l l ' a g g r e g a t e i X ! , r i s u l t a {(x'~'t = f ( z ' % I n p a r t i e o t a r e , se t u t t i gli i n s i e m i di {X! e o i n e i d o n o con E. le u n i e h e f u n z i o n i a v a r i a z i o n e totale f i n i t a in E, rispetto ad a n tale
~ggregato. sono | e eostanti.
Se B 6 Io spazio dei h u m e r i reali, delta, la fun~,ione f(~c}, m o n o t o n e nel l' insieme E, rispetto all'aggregate { X !, q u a n d o , e o m u n q n e si a s s u m e l ' e l e m e n t o x. (°) di E. si abbia, sempre, in EX(xC°~).
f(x) > / ( x , ' ' ) , oppure semi)re
f(~t < flute,).
e, n o n det:res~ente, nel primo ease [crescente ae ~: , e m p r e
f(~l >flxc°ql,
n o n crescente, nel seeondo l de~rescente ue ~'~ s e m p r e fix} < f(x(°~)], ogni fnn~iom~,m o n o t o n e n e l l ' i n s i e m e E, rispetto a l l ' a g g r e g a t e t X !, vi ha varia~ione t.otale, rispetto a l l ' a g g r e g a t e stesso, uon sup~.riove a l l ' e s t r e m o superiom,, i~ E. di 2 f ( x ) .
XXV. Se B ~ u n o spazio lineare, ~ l t e m p o eomplesso, tale ~he. par due eoppi~ qualsivogliano di s,~oi elementi u, v e u', v', si abbia sempre, p e r esempio,
d(au "4- by, av' "4- bv') < a d(u, u') q- I b i air, v').
366
c o n u n q u e si a s s u m a n o le costanti ct e b. reali o complesse " se f~Ixl, fzlxl, .... f~,txl, sono piix, f u n z i o n i definite nell' insieme E, eel lore coinsiemi i n B. e cx, cz, .... cp costanli reali o c o m p l e s s e posto
f i z z = " f~I
k~--: 1
r i i u l t a
P
k=~t
X X V L Se l ' i r ~ i e m e E ' d eontenuto nell'in~ieme E, r i s u l t a v~[~', t x !1 < vr[~, i x !].
D i m o s t r i a m o il t e o r e m a :
X X V I I . Se la f u n z i o n e metrica
f(xl
d a variazione totale finita nel.l' insieme E. rispetto a l l ' a g g r e g a t e I X !, l' aggregato i f ( E X } ! verific, a la condi- zione di GAucI~Y. Pertanto, la f u n z i o n e fq~c) converge s u l l ' a g g r e g a t o i E X }, se questo d u n gruppo e lo spazio B d complete,
D r M o s T a A Z I O N E - Se l ' a g g r e g a t o i f ( E X } ! n o n v e r i f i c a s s e ta c o n d i z i t m e di CAUCH¥, d o v r e b b e e s i s t e r e u n n u m e r o p o s i t i v e $, tale ehe, p e r q u a l s i v o g l i a i n s i e m e di :, X ! si a b b i a
d i a m f ~ E X ) > 2~.
S c e l t o , atlova, ad a r b i t r i o , l ' e l e m e n t o x a) di E, in E X I x a~) d o v r e b b e e s i s t e r e u n e l e m e n t o x (~ p e r eui r i s u l t i
in EXix~ e'~) u n e l e m e n t o x a) p e r cui r i s u l t i
.... ir~ E.X~x'"*~ u a ,~ ~met:to' ,,:~.,-xJ p e r cui ri~ulti
d[f(x""t, ftx'"+ ~') > ~.
.'~e s e ! , t t i r e b l ) ~ , . ,'~¢,~ '~ i]ll~tlOi~(} a;~turah' a r b i t r a r i o .
; > v ~ .
.\,:tunque, ae .1 ,~ tlUC~ spazio m e t r i e o . B q u e l l o dei h u m e r i reati. ~. per ogni e l e m c n t o x ~'~) d e l l ' i u s i e m e E. supl)osto, tale i n s i e m % dotage di (.,)mph,- m(,nmre. Xt~c(°)l 6 l ' i n s i e m e degli ~qementi di E. p e r eui
dlx, ~E~ ~ d(x (°~, ~E},
ogni f u n z i o n e f(x~ t h e sin u n a c o m b i n a z i o n e l i n e a r e di f u n z i o n i l i m i t a t e in P,, ivi m o n o t o n e r i s p e t t o all' a g g r e g a t e I X !, dl tali i u s i e m i , il q u a l e e v i d e n t e m o n t e
M. PICONE: Sttl co,tcetto di timite 367
u n gruppo, riesce eonvergente sull' aggregato stesso.
Cost, se A fi uno spazio di successioni x (x~, x~,...) di h u m e r i reali, B quello dei n u m e r i reali, e, per ogni elemento ~c°)(~1'°), x~o)...) dell' insieme E, X ( ~ '°~) 6 F i n s i e m e degli elementi di A per cui riesce
t--1)r~4x~ - x~ '°') > 0 (k - - 1, 2, ...),
rl, r~,..,
essendo u n a fissata sueeessione di n u m e r i naturali, ogni funzione f(wl ehe sia u n a eombinazione lineare di funzioni limitate in E, ivi monotonerispetto
a l l ' a g g r e g a t e {X }, di tali insiemi, fi a variazione totale finita in E, rispetto a questo aggregate ed 6 quindi convergente sull' aggregate { E X I se questo 6 u n gruppo. Cib aeeade so, p e r esempio, essendo a (al, a 2 , . . . ) e b (bl, b2 .... ) due suceessieni di n u m e r i reali p e r le quali si abbia(-- 1)"k(b k -- a~) > 0, ~k - - 1, 2, ...), E fi l' insieme delle sueeessioni x p e r le quali s i m u l t a n e a m e n t e risulti
( - - 1)~k(x, - - ak} > 0, (-- 1)"~(bk - - z~) > 0, (k - - 1, 2, ...).
0SSERVAZmNE. - N a t u r a l m e n t e , si pub - - a patto di fare eosa utile - - modificare, con grand e arbitrariet/~, la definizione di variazione totale di una funzione metriea: P e r esempio, si
potrebbe,
per ogni elemento ~ dell' insieme E, eonsiderare la funzioneper la quale riesce
v(z)
= v r [ E x ( z ) , fx }].
o < v(zl <
v:[E, t x
t],e, adottata u n a eerta definizione dell' integrale
f v(zldz,
E
a t t r i b u i r e il valore di tale integrale a quello della variazione totale della f(x) nell' insieme E, rispetto all' aggregate { X }. Nel ease particolare ehe lo spazio A sia metrieo e lineare e l ' i n s i e m e
