Appendice A. Che relazione c’è fra il momento torcente applicato e gli stress di taglio risultanti? Si immagini di dividere il solido, lungo l’asse

Appendice A.

Che relazione c’è fra il momento torcente applicato e gli stress di taglio risultanti? Si immagini di dividere il solido, lungo l’asse z (asse di rotazione), in sezioni di spessore infinitesimo dz: su ciascuna sezione, di ascissa zi, insistono le due sezioni adiacenti, rispettivamente di ascisse zi-1 e zi+1, attraverso i momenti Mi ed

Mi+1=Mi+dMi (si veda la figura A.1).

FIGURA A.1: Generica sezione compresa fra zi e zi+1.

L’angolo di torsione θ_i di ciascuna sezione non è costante con l’asse z; in particolare, è massimo in corrispondenza dell’estremo libero (dove si applica la coppia di forze) e diminuisce spostandosi verso l’estremo bloccato.

Gli stress di taglio τ_xz e τ_yz, invece, possono essere considerati costanti lungo l’asse della trave.

dz y x z Mi+dMi Mi zi zi+1 z - 112 -

Come si comporta Mi ?

Si osservi la figura A.2, che mostra una generica sezione di coordinata zi, ruotata di un angolo θ_i, su cui agisce il momento torsionale esterno di valore Mi e gli stress di taglio τ_xz

( )

x y, e τ_yz( , )x y .

FIGURA A.2: Sezione della trave; su ogni area infinitesima ds=dxdy della faccia, agiscono gli stress di taglio τ_xz

( )

x y, e τ_yz( , )x y .

Il momento esterno deve equilibrare la distribuzione interna degli stress, perciò si scrive: .

( )

, ( , ) i xz yz A M =

∫

⎡_⎣τ x y y⋅ −τ x y x dxdy⋅ _⎤⎦ , (A.1)

dove, con il termine A, si indica la sezione della trave. τyz dy τxz dx θi y z Mi x - 113 -

Questa relazione è valida per tutte le sezioni, quindi si conclude che il momento M è costante al variare di z, mentre varia con x ed y.

Nel 1903, Prandtl introdusse una funzione Φ

( )

x y, , che chiamò “funzione di stress” ed espresse il momento con tale funzione, nel seguente modo [7]:

( )

2 ,

A

M =

∫

Φ x y dS (A.2)

Per sezioni rettangolari, la funzione di stress è uno sviluppo in serie di Fourier [7]:

, , cos cos mn m n odd m x n y C h t π π Φ =

∑

,

dove h e t sono i lati della sezione ed i vari C_mn sono i coefficienti di Fourier.

Dalle (A.1) e (A.2) si osserva che esiste una relazione fra la funzione di stress e le funzioni τ_xz

( )

x y, e τ_yz( , )x y , che quindi risultano essere sviluppi in serie di Fourier.