Per semplicità assumiamo, per il momento, che la temperatura sia costante lungo il processo:

1. REATTORE CONTINUO A MESCOLAMENTO (Continuous Stirred Tank Reactor, CSTR) Schematicamente un CSTR è rappresentato come segue:

Si tratta di un reattore ideale per il quale si assume che la velocità di agitazione sia così elevata da poter considerare la concentrazione e la temperatura uguali in ogni punto del reattore. Pertanto i bilanci possono essere riferiti all’intero reattore. Quanto detto implica che la corrente in uscita dal reattore ha la stessa concentrazione di quella presente nel reattore. Per modellare questo tipo di reattore s’impiegano le leggi di conservazione della massa e dell’energia.

1.1 CSTR ISOTERMO IN REGIME STAZIONARIO

Per semplicità assumiamo, per il momento, che la temperatura sia costante lungo il processo:

Processo isotermo ⇔ T = costante

Se la temperatura è costante vuol dire che la temperatura in uscita del reattore, che ricordiamo essere uguale – per un CSTR – a quella presente nel reattore, coincide con quella in ingresso;

pertanto non occorre nessuna equazione di bilancio per descrivere l’andamento della temperatura all’interno del reattore. Per modellare un CSTR ideale ed isotermo bisogna quindi scrivere solo bilanci di materia. In una forma del tutto generale questi possono essere scritti come segue:

= 0 q.tà entrante = q.tà uscente + q.tà che scompare per reazione + q.tà accumulata

Nel caso specifico, poiché stiamo modellando un reattore in regime stazionario, si ha che l’accumulo della specie che stiamo bilanciando è nullo. Pertanto nell’equazione di bilancio il termine riguardante l’accumulo deve essere posto uguale a zero. Detta ^{r C} ( ) la velocità di reazione di un generico processo in condizioni isoterme, il bilancio per un CSTR in condizioni stazionarie può essere scritto come segue:

Q C ×

= Moli entranti per unità di tempo.

Con il simbolo Q si è inteso indicare la portata volumetrica alimentata al reattore Q C ×

= Moli uscenti per unità di tempo.

Q C _i,in T _in

C _i,out T _out r _k (C _i,out ,T _out )

Q C _i,out T _out

(

)

V × r C = Moli reagite nell’unità di tempo.

Con il simbolo V si è inteso indicare il volume del fluido reagente contenuto nel reattore. Inoltre, poiché la miscelazione è perfetta, C

= C dove con C indichiamo la concentrazione all’interno del reattore. Pertanto si ha:

( ) ( )

in in

QC = QC V r C + ⇔ C − C = τ r C (1.1)

dove si è introdotto il rapporto τ = V Q che ha le dimensioni di un tempo e rappresenta il tempo di residenza del sistema, ovvero esprime il tempo che (mediamente) il fluido trascorre nel reattore. L’equazione (1.1) descrive il bilancio di materia per un reattore continuo a perfetta miscelazione (CSTR) in condizioni stazionarie, temperatura costante (processo isotermo) e per una generica reazione. Il grado di conversione può essere definito come segue:

(

)

x = C − C C (1.2)

da cui

( ¹ )

C = C

− x

Per com’è definita, x è una grandezza sempre positiva e ≤ 1, e rappresenta il grado d’avanzamento di una reazione. Riferendosi ad un reagente si ha x = 0 ⇒ C = C

(non si è avuta reazione, la concentrazione del reagente in uscita dal reattore è uguale a quella in ingresso);

1 0

x = ⇒ C = (si è convertito tutto il reagente alimentato al reattore, in altre parole, si è avuto il massimo della conversione). In termini di grado di conversione, l’equazione di bilancio (1.1) può essere riscritta come segue:

( )

( ¹ )

in in

C x = τ r C − x (1.3)

Nel caso di una reazione con cinetica del primo ordine si ha ^{r C} ( ) ^{≡ kC} e quindi la funzione

( ) (

( ¹ ) )

r C = r C − x assume l’espressione:

( )

( ¹ )

r C = kC = kC − x

e la (1.3) può essere scritta come segue:

( ¹ )

in in

C x = τ kC − x

(1.4) Il numero adimensionale k τ esprime il rapporto fra il tempo di residenza τ (tempo caratteristico dei fenomeni fluidodinamici) ed il tempo di reazione 1 k (tempo caratteristico dei fenomeni chimici). Questo importante parametro prende il nome di numero di Damköhler ( Da ), da cui

Da 1 x

= x

− ^(1.4’)

Invertendo la (1.4) si ricava la conversione in funzione del numero di Damköhler:

Da

x = 1+Da . (1.5)

Il numero di Damköhler contiene il parametro operativo principale e cioè, attraverso il tempo di

residenza τ , la portata Q . La (1.5) mostra che x → per Da 0 → (tempo di residenza breve ⇔ 0

portata elevata; poco tempo per reagire) mentre x → per Da → ∞ (tempo di residenza lungo 1

⇔ portata piccola; la reazione ha tutto il tempo per completarsi). È interessante rappresentare la (1.5) in grafico:

Figura 1.1 – Grado di conversione in funzione del numero di Damkohler, CSTR isotermo stazionario.

Si nota l’andamento crescente del grado di conversione al crescere del numero di Damkohler, ossia al diminuire della portata. Il valore x = 0.5 corrisponde a Da = (tempo caratteristico di 1 reazione uguale al tempo di residenza), il che conferma il fatto che il valore 1 k è il tempo di dimezzamento della concentrazione del reagente.

0 2 4 6 8 10

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

CONVERSIONE NEL CSTR ISOTERMO IN REGIME STAZIONARIO

Da

x

1.3 CSTR NON ISOTERMO IN REGIME STAZIONARIO

Per un riepilogo delle relazioni termodinamiche di base utili alla comprensione del seguito, si veda S. Turns, “Introduction to Combustion”, Cap. 2.

Che cosa accade se non è più possibile trascurare le variazioni di temperatura per effetto della reazione? Sicuramente l’equazione di bilancio di materia non sarà più sufficiente da sola a modellare un CSTR ideale. Infatti, ricordando che la velocità di reazione dipende dalla concentrazione e dalla temperatura, la (1.1) dovrebbe essere riscritta come segue:

( )

= ,

C

C

r C T τ

− (1.6)

Nell’equazione (1.6) sono presenti due incognite, ovvero la concentrazione C e la temperatura T . Quando il sistema non può essere considerato isotermo occorre affiancare al bilancio di materia anche un bilancio d’energia.

Vale sempre, come per ogni grandezza conservata, la relazione

q.tà entrante = q.tà uscente + q.tà distrutta + q.tà accumulata

Nelle quantità entranti e uscenti sono comprese sia le quantità legate alle correnti entranti ed uscenti, sia l’energia scambiata nel modo calore attraverso i confini del sistema, sia il lavoro meccanico. Se in luogo dell’energia interna usiamo l’entalpia, il lavoro di pulsione non va considerato nel bilancio e, se il lavoro meccanico “di elica” è uguale a zero, il bilancio di entalpia può essere scritto come segue:

out in

H H H q

∆ ≡ − =

ovvero (perfetta miscelazione):

H − H

=
q dove:

in in

H =
mh è la portata entalpica entrante, data dal prodotto di m
portata massica entrante per h

entalpia assoluta specifica per unità di massa della miscela entrante;

H =
mh è la portata entalpica uscente, data dal prodotto di m
portata massica uscente (uguale a quella entrante per regime stazionario) per h entalpia assoluta specifica per unità di massa della miscela uscente;

q
è la potenza termica ceduta dall’ambiente al sistema.

L’equazione di bilancio di energia si esprime quindi, in termini di grandezze specifiche, come

in

h h q

= − m

^(1.7)

Per miscele ideali l’entalpia della miscela si esprime come

( )

1 N

i i i

h Y h T

=

= ∑

= 0 (sistema stazionario)

= 0 (poiché l’energia totale si conserva)

dove Y

è la frazione di massa della specie i (massa della specie i divisa per la massa totale).

L’entalpia assoluta specifica per unità di massa della specie i si scrive poi

( )

ref

T

i f i p i

T

h T = h + ∫ c dT

in cui h

è l’entalpia di formazione per unità di massa della specie i valutata alla temperatura di riferimento T

e c

è il calore specifico a pressione costante per unità di massa della specie i . Sostituendo l’espressione di h T

( ) nelle espressioni dell’entalpia di ingresso e di uscita della miscela si ha:

0

, , ,

1

in

ref

N T

in i in f i p i

i T

h Y h c dT

=

 

 

= +

 

 

∑ ∫

;

0

, ,

1 ref

N T

i f i p i

i T

h Y h c dT

=

 

 

= +

 

 

∑ ∫

Il calore specifico è, in generale, funzione della temperatura. Per semplicità si supponga che i calori specifici a pressione costante siano costanti ed uguali per tutte le specie. In questa ipotesi, sostituendo nel bilancio di energia (1.7) si ottiene:

( ) ( )

0 0

, , ,

1 1

N N

i in f i p in ref i f i p ref

i i

Y h c T T Y h c T T q

= =

m

 + −  =  + −  −

   

∑ ∑

da cui

( )

1 1

N N

p in i f i i in f i

i i

c T T Y h Y h q m

= =

− = ∑ − ∑ −

^{. (1.7’)}

In questa equazione si individuano tre termini. Il primo, c

( T

− T ) , contiene esplicitamente il valore della temperatura nel reattore. Il secondo termine,

1 1

N N

i f i i in f i

i i

Y h Y h

= =

∑ − ∑ , è la differenza delle entalpie di formazione di prodotti e reagenti e si può considerare come l’energia termica liberata per effetto della reazione. Essa dipende dalla temperatura solo indirettamente (attraverso la composizione dei prodotti). Il terzo termine, −

q m , contiene il carico termico utile e le perdite e dipende anch’esso dalla temperatura anche se non esplicitamente.

Risulta utile trovare una espressione semplificata del secondo termine. Si consideri il caso di un chilogrammo di miscela reagente in proporzioni stechiometriche che reagisce con conversione completa a pressione costante. La quantità

0 0

, , ,

1 1

N N

r i f i i in f i

i i

h Y h Y h

= =

∆ ≡ ∑ − ∑

dove le frazioni di massa sono ora quelle corrispondenti a reazione completa di miscela stechiometrica, è detta entalpia di reazione per unità di massa di miscela reagente, valutata ad una certa temperatura, ed è uguale al calore che bisogna sottrarre al sistema per rendere isoterma la trasformazione. Nell’esempio, se T = T

, ∆ h

rappresenta la variazione di entalpia fra reagenti e prodotti di una reazione chimica, per conversione completa di un chilogrammo di miscela stechiometrica di reagenti che avviene a temperatura costante T

. La quantità

r r

q = −∆ h , (1.8)

detta calore di reazione, è quindi l’energia termica per unità di massa di miscela stechiometrica per conversione completa a pressione costante.

Una grandezza che si trova più facilmente tabulata quando si tratta di combustione è il potere calorifico inferiore LHV . Esso rappresenta l’energia liberabile in forma termica per combustione completa per unità di massa di combustibile con formazione di acqua allo stato vapore, ed è legato al calore di reazione dalla ovvia relazione, che si ricava moltiplicando LHV per la portata di combustibile e dividendo il risultato per la portata totale di una miscela stechiometrica:

( ) ^{( )}

1

= × = 1 ×

+ +

fuel r

fuel ossidante stech stech

q m LHV LHV

A F

m m ^(1.9)

Un generico processo di combustione può riguardare una miscela povera o al più stechiometrica combustibile/comburente ( Φ ≤ ) e svilupparsi in maniera completa ( 1 x = ) o incompleta ( 1 x ≤ ) . 1 In queste condizioni l’energia liberata in forma termica sarà in generale pari solo ad una frazione del calore di reazione sopra definito, sia perché la miscela è substechiometrica, sia perché la reazione è incompleta. Del primo aspetto si tiene facilmente conto applicando la relazione analoga alla (1.9) alla miscela effettiva ed utilizzando la definizione di rapporto equivalente:

( ^{A F} )

( ^{A F} )

Φ = (1.10)

per ricavare il calore di reazione massimo effettivo per unità di massa della miscela:

( ) ( )

( )

,

1

1 1

r eff

stech

stech

q LHV LHV

A F A F

A F LHV

= × = =

+ +

Φ

= Φ Φ +

(1.11)

Consideriamo per un attimo il sistema adiabatico ( q
= 0 ). In queste condizioni, per conversione completa, il bilancio di energia (1.7’) si scrive

( )

( )

,

p max in r eff

stech

c T T q LHV

A F

− = = Φ

Φ +

avendo così determinato in T

la temperatura massima ottenibile con la miscela data, a partire da T

, per conversione completa e sistema adiabatico. La quantità

, r eff

max max in

p

T T T q

∆ = − = c (1.12)

rappresenta quindi il massimo incremento di temperatura ottenibile per effetto della reazione chimica, in corrispondenza di un dato rapporto equivalente Φ e per conversione completa.

Nel caso realistico di conversione incompleta ( x ≤ ) si può determinare l’energia termica totale 1

liberata (riferita ad un chilogrammo di miscela reagente) come uguale al calore di reazione

effettivo q

moltiplicato per il grado di conversione x raggiunto. Questa dipendenza lineare

non è in realtà esatta, essendo l’entalpia di una miscela una funzione complessa di composizione e

temperatura, ma per i nostri scopi è accettabile. Così facendo è finalmente disponibile una

espressione semplificata, c

∆ T

x , per il secondo termine della equazione (1.7’).

1.3.1 CSTR NON ISOTERMO IN REGIME STAZIONARIO; CASO DIABATICO

Considerando lo scambio termico con l’esterno, il bilancio d’energia (1.7’), per unità di massa e di tempo, può essere scritto come segue:

(

)

p

T T T x q

− = ∆ − mc

^(1.13)

Definiamo ora la temperatura adimensionale θ come

in max

T T θ = T ⁻

∆ (1.14)

e definiamo inoltre il parametro adimensionale β ^come

( )

max

p in in

stech

T LHV

A F c T T

β = ^Φ = ^∆

Φ + (1.15)

per scrivere

p in

x q θ mc T

= − β

^(1.13’)

Il parametro β dipende, per una assegnata reazione chimica, dai due parametri “operativo” Φ , cioè il rapporto equivalente, e T temperatura di ingresso al combustore. Esso è un parametro

“termodinamico” in quanto riferito alle variazioni di entalpia tra reagenti e prodotti ed ai relativi effetti sulla temperatura del sistema.

Possiamo adesso tornare all’equazione di bilancio di materia (1.6). Come si è detto, la velocità di una reazione chimica dipende in generale dalla composizione della miscela reagente e dalla temperatura della miscela stessa. La composizione fornisce la misura del numero di urti che possono avvenire tra le molecole mentre la temperatura controlla quanti di questi urti sono efficaci ai fini dell’avvenire di atti chimici elementari (rottura di legami e formazione dei nuovi legami previsti dalla reazione in oggetto). Una espressione molto usata per modellare la dipendenza dalla temperatura della velocità r C T di reazioni che avvengono in fase gassosa è ( ^, )

la legge di Arrhenius, in base alla quale l’equazione di bilancio di materia (1.6) si può scrivere quindi

( )

= exp

in a

C C E

k f C

τ RT

−  − 

 

  ^(1.6’)

Consideriamo ora il caso semplice di reazione del primo ordine, in cui ^{f C} ( ) ^{≡ C} , ricordiamo la definizione di grado di conversione

in in

C C

x C

≡ −

e sostituiamo le espressioni della concentrazione in funzione del grado di conversione

( ¹ )

C = C

− x

e della temperatura T in funzione della temperatura adimensionale θ

( ¹ )

in max in

T = T + ∆ T θ = T + βθ

nella (1.6’), per ripresentarla nella forma

( )

( )

=

1 exp

1

a in

x k x E τ RT

βθ

 − 

−  

 +  ^(1.6’’)

Introduciamo ora un nuovo parametro adimensionale:

a in

E

γ = RT (1.16)

Il parametro γ può essere definito un parametro “cinetico” poiché contiene informazioni sull’energia di attivazione della reazione, anche se contiene un parametro “operativo” come la temperatura di ingresso T

. Sostituiamo la (1.16) nella (1.6’’) per ottenere, con facili manipolazioni algebriche:

( ) ( )

0

exp 1 exp 0

x k x 1 γβθ

γ τ

βθ

 

−   −   −   +   = (1.6’’’)

Riconosciamo ora che il fattore k

≡ k

exp ( − γ ) è di fatto la costante di velocità di reazione

( )

k T valutata per T = T

. Se adottiamo per il numero di Damköhler una definizione generalizzata:

Da = k

τ , con k

= k

exp ( − γ ) (1.17)

formalmente coerente con quella del reattore isotermo, e la sostituiamo nell’equazione (1.6’’’), otteniamo la forma finale adimensionale dell’equazione di bilancio di materia per un CSTR stazionario non isotermo con reazione del primo ordine:

( )

Da 1 exp 0

x x 1 γβθ

βθ

 

− −   =

 +  (1.18)

che va associata all’equazione di bilancio di energia

p in

x q θ mc T

= − β

^(1.13’)

Conviene a questo punto fornire un’espressione per q
. La forma più semplice prevede una dipendenza lineare dalla temperatura, del tipo

( )

q
= US T − T

dove U è un coefficiente (globale) di scambio termico, S è una superficie di scambio e T

è la temperatura dell’elemento destinatario del calore utile, o la temperatura esterna al reattore se parliamo di perdite. Nella (1.13’) riconosciamo che m
= ρ Q = ρ V τ ^{, dove} ρ è la densità della miscela in ingresso, e utilizziamo l’espressione della temperatura T in funzione della temperatura adimensionale θ per riscrivere il tutto come

( )

1

p

x US

θ V c τ β θ θ

ρ β

= − − (1.13’’)

Sfruttiamo ora la definizione di Da ed introduciamo un ulteriore parametro adimensionale φ

:

0

Da

rif

rif p

US k

k V c τ φ

ρ ^{≡ (1.19)}

per sostituire nella (1.13’’) e trovare

( )

Da

0

θ φ θ θ

− − − =

x (1.20)

Il sistema è quindi retto, in definitiva, dalle seguenti due equazioni:

( )

( )

0

Da 1 exp 0

1

Da 0

γβθ βθ θ φ θ θ

 

− −   =

 + 

− − − =

x x

x

(1.18, 1.20)

La soluzione di questo sistema non lineare trascendente fornisce quindi il grado di conversione e la temperatura adimensionale al variare di cinque parametri:

• il parametro termodinamico β , indicativo della “termicità” della reazione;

• il parametro cinetico γ , indicativo dell’energia di attivazione della reazione;

• il parametro operativo Da , che contiene la dipendenza dalla portata alimentata;

• il parametro operativo φ

, che contiene informazioni sul carico termico e sulle perdite;

• il parametro operativo θ

, che rappresenta la temperatura esterna al reattore.

1.3.2 CSTR NON ISOTERMO IN REGIME STAZIONARIO; CASO ADIABATICO In condizioni adiabatiche ( φ

= 0 ) si ha, dalla (1.20):

θ = x

e quindi l’equazione di bilancio di materia (1.18) si semplifica in

( )

Da 1 exp 0

1

x x x

x γβ

β

 

− −   =

 +  (1.21)

che è ora disaccoppiata dall’equazione di bilancio dell’energia e può essere risolta indipendentemente. La (1.21) governa il grado di conversione x in regime stazionario adiabatico.

La soluzione di questa equazione trascendente fornisce quindi il grado di conversione al variare di tre soli parametri: β ^, γ e Da . Si noti che in questo caso – e solo in questo, adiabatico e senza scambi di energia nel modo lavoro – esiste un legame “stechiometrico” ( θ = ) tra temperatura x raggiunta e grado di conversione: possiamo commentare che, trovandoci in assenza di perdite, la variazione di energia potenziale chimica si ritrova tutta in variazione di energia termica della miscela uscente.

Si osserva infine che per β = 0 , ossia per reazione in cui non vi è conversione di energia

potenziale chimica in energia termica (e quindi, nelle ipotesi fatte, reazione isoterma), nella (1.21)

l’esponenziale è =1. Pertanto l’espressione si riduce a x − Da(1 − x ) = 0 , che restituisce quella del

reattore isotermo (1.5).

1.4 ESEMPI E SOLUZIONI NUMERICHE

Il sistema (1.18, 1.20) e l’equazione (1.21), che poi è un caso particolare del sistema (1.18, 1.20), si possono risolvere numericamente con un metodo di Newton vettoriale (il sistema) ovvero scalare (eq. 1.21). Il metodo è realizzato nei codici MATLAB newton_vec.m e newton.m che fanno parte del software allegato al testo di Quarteroni e Valli, al quale si rinvia per la descrizione del metodo. Il codice newton_vec.m contiene in realtà come caso particolare il caso scalare (vettore con una sola componente) e quindi può essere adoperato anche per il caso adiabatico (una sola equazione). Tali codici richiedono due moduli scritti dall’utente, uno che calcola il vettore dei residui (IL residuo nel caso scalare) e un altro che calcola gli elementi della matrice Jacobiana (LA derivata prima nel caso scalare).

1.4.1 CASO ADIABATICO: SOLUZIONE ADIMENSIONALE

Considerando per primo il caso scalare (eq. 1.21) il problema si pone nel modo seguente: trovare gli zeri della funzione

( ) ( )

F Da 1 exp 0

1

x x x x

x γβ

β

 

≡ − −   =

 + 

Per l’applicazione del metodo di Newton è necessario calcolare l’espressione della derivata:

( ) ( )

( )

2 2 2

1 2

F 1 Da exp

1 1

x x x

x x x

γβ γ β β γβ

β β

 − + + +   

′ ≡ +    

+  + 

 

 

Figura 1.2 – Grado di conversione in funzione del numero di Damkohler, CSTR adiabatico stazionario, reazione esotermica, per diversi valori del parametro β e per γ = 1

0 2 4 6 8 10

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Da

x

Conversione di CSTR adiabatico, _γ =1

β =0

β =1

β =10

Nella figura 1.1.2 è riportato il diagramma delle soluzioni del sistema adiabatico, al variare del numero di Damköhler, per tre valori del calore di reazione adimensionale β e per l’energia di attivazione adimensionale γ = 1 . La curva azzurra corrisponde a β = 0 vale a dire reattore isotermo e, difatti, l’andamento è identico a quello visto in figura 1.1 per il caso più semplice (isotermo). All’aumentare della termicità della reazione (reazione esotermica) e cioè per valori positivi di β , la conversione corrispondente ad un dato valore di Da è maggiore. Nella figura 1.1.3 è riportato lo stesso diagramma, per γ = 5 , dal quale si vede che all’aumentare di γ a parità di tutto il resto aumenta anche la conversione.

Figura 1.3 – Grado di conversione in funzione del numero di Damkohler, CSTR adiabatico stazionario, reazione esotermica, per diversi valori del parametro β e per γ = 5

In condizioni spinte quali quelle della combustione (alti valori di gamma e beta) si riscontra il fenomeno cosiddetto di blowout. Nella figura 1.4, ricavata per un intervallo più ristretto del numero di Damköhler, sono riportati tre casi, per tre valori di β . Già per β = 0.3 si nota bene come esista un valore critico per il numero di Damköhler, in corrispondenza del quale, diminuendo ulteriormente Da , il combustore passa rapidamente da un regime “acceso” a un regime “spento”.

Si nota inoltre che la criticità aumenta all’aumentare di β , fino a “spezzare” la curva delle soluzioni in due rami, uno relativo al regime “acceso” e l’altro al regime “spento”. Le estremità di questi rami individuano due valori di Da , estremi di un intervallo (di molteplicità) all’interno del quale esistono due soluzioni stabili per il sistema, una “accesa” e una “spenta”.

0 2 4 6 8 10

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1 Conversione CSTR adiabatico, γ =5

Da

x

β =0

β =1

β =10

Figura 1.4 – Grado di conversione in funzione del numero di Damkohler, CSTR adiabatico stazionario, reazione esotermica, per diversi valori del parametro β e per γ = 15

Si osservi la curva per β = 0.5 . Percorrendo il grafico da destra a sinistra, si vede che il ramo

“acceso” termina nel punto B , la cui ascissa è il valore critico di Da , che possiamo chiamare Da

, corrispondente al blowout. A sinistra di Da

esistono solamente soluzioni di regime “spento”, una per ogni valore di Da .

Percorrendo invece il grafico da sinistra a destra, lungo il ramo “spento”, si vede che il ramo

“spento” termina nel punto A di accensione, in corrispondenza del quale si individua un altro valore critico Da

, maggiore di Da

, a destra del quale esistono solamente soluzioni di regime

“acceso”, una per ogni valore di Da .

Nell’intervallo ( Da

, Da

) di molteplicità, individuato in figura dal rettangolo ombreggiato, esistono quindi per il combustore sia la soluzione “accesa” che quella “spenta” e sono entrambe stabili: il sistema si posiziona in quella più vicina allo stato iniziale in un eventuale transitorio.

Esiste in realtà in questo intervallo anche una terza soluzione, instabile. Il luogo dei punti corrispondenti al regime instabile (in nero nella figura 1.5) collega i due rami “acceso” (in rosso nella figura 1.5) e “spento” (in blu nella figura 1.5). I tre rami formano una “curva ad S”, caratteristica del funzionamento a regime di questo sistema. Questa curva completa è riportata in figura 1.5 ed è stata calcolata con lo stesso metodo (di Newton) facendo attenzione a scegliere bene il tentativo iniziale, come si vede nel codice MATLAB corrispondente.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

beta=0.3

Da

x

CSTR stazionario adiabatico, γ =15

beta=0.4 beta=0.5

B

A

Figura 1.5 – Grado di conversione in funzione del Damkohler, CSTR adiabatico stazionario, reazione esotermica, per β = 2 e γ = 10 : diagramma completo delle soluzioni (curva a “S”).

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Da

x

Conversione, CSTR stazionario adiabatico

Parametri:

gamma = 10

beta = 2

1.4.2 CASO NON ADIABATICO: SOLUZIONE ADIMENSIONALE

Per il caso vettoriale (due equazioni) i due moduli ausiliari si ottengono partendo dalle espressioni (1.18,1.20), ponendo ad esempio x

≡ x ed x

≡ θ e calcolando le espressioni delle derivate parziali prime:

( ) ( )

( ) ( )

2

1 1 2 1 1

2

2 1 2 1 2 0 2

F , Da 1 exp 0

1

F , Da 0

x x x x x

x

x x x x x

γβ β φ θ

  

≡ − − =

  

  + 

 ≡ − − − =



( )

( )

1 2 1 1 2

2

1 2 2 2 2

2 2

0

1 2

F F Da 1

1 Da exp ; exp

1 1 1

F F

1 ; 1 Da

x x x

x x x x x

x x

γβ γβ γβ

β β β

φ

 ∂   ∂ −   

= + = −

     

∂  +  ∂ +  + 

 

 ∂ ∂ 

 = = − − 

∂ ∂

 

 

Di seguito si riporta il grafico delle soluzioni in funzione del numero di Damköhler, per due valori di

β , con γ = φ

= 1 . Si nota come la conversione aumenti con β , specialmente ai bassi valori del numero di Damköhler.

Nella figura successiva si esamina quindi l’influenza del coefficiente di scambio termico φ

. Per

evidenziarne gli effetti, si considera il caso di β = 1 e γ = 2 , cioè una reazione con energia di

attivazione più alta e quindi con cinetica più sensibile al valore della temperatura. Si osserva come

un valore più alto di φ

conduca a soluzioni con temperature molto più basse e conversioni

sensibilmente inferiori a parità del numero di Damköhler.

0 2 4 6 8 10 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Da x , θ

Conversione e temperatura, CSTR stazionario non adiabatico

θ , β =1 x, β =1 θ , β =4 x, β =4

0 2 4 6 8 10

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Da x , θ

Conversione e temperatura, CSTR stazionario non adiabatico

θ , φ 0 =1 x, _φ

0 =1 θ , _φ

0 =10 x, _φ

0 =10