CAPITOLO 1

CAPITOLO 1

IL CANALE RADIOMOBILE

E IL SISTEMA DI

TRASMISSIONE OFDM

INTRODUZIONE

In questo capitolo verranno considerate le problematiche legate alle tipiche condizioni di propagazione sperimentate in ambiente wireless, introducendo il modello matematico con il quale può essere schematizzato un canale radiomobile. Viene descritto il problema del multipath e le conseguenze ad esso associate e viene fornita una definizione di fading distinguendone diverse tipologie. Verrà trattato sia il modello statico di canale, sia quello tempo-variante, introducendo le definizioni di selettività nel tempo e in frequenza.

Una volta chiarite le difficoltà che presenta una comunicazione senza fili a livello di propagazione fisica, verrà descritto il sistema di modulazione e trasmissione OFDM ( Ortogonal Frequency Division Multiplexing ), che affronta questi problemi ottenendo ottimi risultati. Verrà dettagliatamente descritto lo schema del trasmettitore e del ricevitore, le caratteristiche del segnale trasmesso, la tecnica di modulazione efficiente, e tutte le caratteristiche che hanno reso OFDM una delle tipologie di trasmissione più importanti e gettonate degli ultimi anni. OFDM rappresenta, inoltre, la base per ulteriori evoluzioni di tecniche di comunicazioni wireless come il BICM-OFDM, che verrà descritto nel capitolo successivo.

1.1

IL CANALE RADIOMOBILE

1.1.1 IL MULTIPATH

Il modello adottato nel caso di comunicazioni radiomobili è quello di canale multipath: il segnale, emesso dal trasmettitore, raggiunge il ricevitore seguendo più percorsi, ciascuno caratterizzato da una certa attenuazione, ritardo e sfasamento. Ciò si verifica principalmente a causa dell’uso di antenne poco direttive, necessario per garantire la mobilità dei terminali, e della presenza di ostacoli di grandi dimensioni rispetto alla lunghezza d’onda del segnale, che inducono riflessioni multiple generando un certo numero di eco.

Gli elementi cruciali per la caratterizzazione del canale radiomobile sono il numero tipico di ritardi indotti dall’ambiente, l’entità di tali ritardi, la frequenza utilizzata per la trasmissione, la presenza o meno di un percorso in visibilità diretta (Line of Sight) fra trasmettitore e ricevitore.

In generale il canale può essere visto come un sistema lineare tempo variante. Considerando l’inviluppo complesso, è possibile ottenere una risposta impulsiva di questo tipo [1]

(

0

)

( )0

( )

0

(

0

( )

0

)

1

,

C N t n n n

c t t

c t

δ

t

t

τ

t

=

=

∑

−

−

(1.1.1)

dove

t

è il tempo ordinario,

t

₀ è l’istante di applicazione,

c t

_n

( )

₀ e

τ

_n

( )

t

₀ sono, rispettivamente, il coefficiente complesso e il ritardo associati al cammino n-esimo,

( )

0

C

N

t

è il numero di cammini all’istante

t

₀. Queste ultime tre quantità sono processi aleatori che, per semplicità, supponiamo statisticamente indipendenti fra loro. In particolare si assume che i ritardi abbiano una densità di probabilità del primo ordine di tipo esponenziale negativo.

Il segnale ricevuto, in quanto somma di più repliche ritardate, risulterà allungato, e quindi il canale è, in generale, dispersivo nel tempo. Lo è anche in frequenza a causa dell’effetto Doppler, in base al quale ogni componente frequenziale del segnale subisce una diversa traslazione in frequenza secondo la formula

0

cos

V

f

f

c

α

∆ =

(1.1.2)

essendo

V

la velocità relativa fra ricevitore e onda elettromagnetica incidente,

α

l’angolo fra la direzione di propagazione dell’onda e lo spostamento del terminale,

c

la velocità della luce.

Tutti questi fenomeni degradano le prestazioni causando, in particolare, il fenomeno di evanescenza del segnale, noto come fading. Questo è dovuto principalmente agli effetti di una somma distruttiva di diverse repliche del segnale trasmesso, e si può manifestare in modo imprevedibile anche a causa di minime variazioni dello scenario di propagazione. Il fading può essere classificato in vari modi:

• Fading veloce: si verificano variazioni significative del livello di intensità del segnale all’interno di un singolo intervallo di segnalazione

• Fading lento: si verificano variazioni significative su molti intervalli di segnalazione

• Fading su larga scala: variazioni significative si manifestano a seguito di spostamenti del terminale molto maggiori della lunghezza d’onda

λ

del segnale • Fading su piccola scala: variazioni significative a seguito di spostamenti

confrontabili con

λ

• Fading piatto in frequenza o selettivo in frequenza

1.1.2 MODELLO STATICO DI CANALE

Se le caratteristiche del canale non variano nel tempo, o lo fanno in modo molto lento, si dice che il canale è non selettivo nel tempo, ed è possibile considerare un modello

( )

(

)

1 C N n n n

c t

c

δ

t

τ

=

=

∑

−

(1.1.3)

dove

c

_n,

N

_C e

τ

_n sono variabili aleatorie indipendenti fra loro. Il segnale ricevuto sarà, quindi,

( )

(

)

( )

1 c N n n n

r t

c s t

τ

w t

=

=

∑

−

+

(1.1.4)

essendo

s t

( )

l’inviluppo complesso del segnale trasmesso e

w t

( )

un processo di rumore additivo gaussiano bianco. Si dimostra che, fissato un certo istante

t

₀,

r t

( )

₀

può essere caratterizzato come una variabile aleatoria con densità di probabilità di Rayleigh, nel caso in cui non ci sia un percorso in visibilità diretta fra trasmettitore e ricevitore (canale non Line of Sight). In caso contrario la densità di probabilità è di Rice.

Consideriamo ora il canale da un punto di vista frequenziale, valutandone la trasformata di Fourier e facendo sempre riferimento ad una rappresentazione in banda base

( )

2 1 C n N j f n n

C f

c e

− π τ =

=

∑

(1.1.4)

E’ possibile definire la banda di coerenza

B

_C come l’intervallo di frequenza all’interno del quale la risposta di frequenza è fortemente correlata con se stessa, e quindi non varia apprezzabilmente

max

1

1

10

C

B

τ

=

∆

(1.1.5)

con

∆

τ

_max definito come la massima differenza fra il ritardo relativo all’ultima replica e quello relativo alla prima.

Il canale si definisce piatto in frequenza se la banda

B

del canale trasmesso risulta inferiore alla banda di coerenza del canale

C

B

≤

B

(1.1.6)

In caso contrario si parla di canale selettivo in frequenza.

Notiamo quindi che la selettività in frequenza è un concetto relativo, che dipende anche da quale segnale vogliamo trasmettere. Inoltre il grado di selettività in frequenza diventa tanto maggiore quanto più grande è la differenza fra i ritardi dei diversi percorsi. In particolare, poiché la banda del segnale trasmesso può essere approssimata con l’inverso dell’intervallo di segnalazione

T

_S, possiamo considerare il fading piatto in frequenza se si verifica la condizione

max

T

S

τ

∆

(1.1.7)

In queste condizioni l’effetto del canale è quello di una moltiplicazione con un coefficiente complesso, uguale per tutte le frequenze, e quindi non si verifica distorsione, ma solo attenuazione e sfasamento.

1.1.3 IL MODELLO DI CANALE TEMPO VARIANTE

Se le condizioni del canale variano velocemente, il modello di canale statico perde la sua validità. In primo luogo dobbiamo individuare un criterio che ci permetta di distinguere quando un canale può essere considerato piatto nel tempo e quando, invece, è necessario considerarne la selettività temporale. La grandezza che rende possibile questa scelta è l’intervallo di coerenza

T

_C , definito come il massimo intervallo

temporale all’interno del quale le condizioni di propagazione sul canale non subiscono variazioni di rilievo. Se l’ intervallo di segnalazione è maggiore di

T

_C, il fading è veloce e il canale è selettivo nel tempo; in caso contrario il fading è lento ed è possibile applicare al canale il modello statico.

Per calcolare

T

_C immaginiamo di trasmettere una sinusoide pura a frequenza

f

₀, e consideriamo un intervallo di tempo abbastanza piccolo da poter ipotizzare il canale statico. A causa dell’effetto Doppler, che introduce una traslazione frequenziale

∆

f

_n su ogni replica, il segnale ricevuto sarà

( )

(2 ) 1 C n n N j f t n n

r t

c e

π∆ +ϑ =

=

∑

(1.1.8)

e, fissato un istante temporale, il suo modulo avrà densità di probabilità di Rayleigh (o di Rice) con potenza

σ

_R2. Supponiamo inoltre che

r t

( )

sia un processo stazionario almeno in senso lato e calcoliamone la densità spettrale di potenza. In base al modello di Clarke, si ottiene che

( )

2 0 0

1

1

R R D

S

f

f

_f

_f

f

σ

π

=



₋



− 







per

f

₀

−

f

_D

≤

f

≤

f

₀

+

f

_D 0 altrove (1.1.9)

essendo

f

_D la massima traslazione frequenziale dovuta all’effetto Doppler, ottenuta dalla 1.1.2 per

α

=

0

. Il tempo di coerenza può essere definito come il primo nullo nella funzione di autocorrelazione del processo

r t

( )

, che si ottiene antitrasformando la 1.1.8. Per convenzione si assume

1

C D

T

f

=

(1.1.10)

Se il segnale trasmesso non è una sinusoide, ma un segnale a banda stretta, ossia tale che il rapporto fra la sua frequenza centrale e la sua banda sia praticamente unitario, allora si può considerare che ogni componente frequenziale all’interno di una singola replica del segnale, subisca una stessa traslazione frequenziale. Con questa

approssimazione, e nell’ipotesi di canale piatto in frequenza, si dimostra che la conseguenza dell’effetto Doppler sul segnale ricevuto, ovvero l’effetto della tempo varianza del canale, è una distorsione moltiplicativa

( )

( ) ( )

r t

=

s t d t

dove

d t

( )

ha d.d.p. di Rayleigh (o di Rice). Il ricevitore deve essere in grado di seguire le variazioni di

d t

( )

.

Nel caso di canale selettivo sia nel tempo che in frequenza l’analisi diventa molto complicata e può essere utile scegliere un approccio pragmatico, costruendo dei modelli di canale riferiti a scenari specifici. Considerando il segnale ricevuto

( )

( ) (

)

1 c N n n n

r t

d

t s t

τ

=

=

∑

−

(1.1.12)

si stilano dei profili ritardo-potenza in cui si fissano le varianze 2

n

R

σ

dei processi di distorsione moltiplicativa, considerati indipendenti fra loro, i ritardi

τ

_n e, ovviamente, il numero di cammini multipli

N

_C. Tali profili sono standardizzati e fanno riferimento a scenari tipici, come Tipical Urban (TU), Hilly Terrain (HT), Rural Area (RA) ecc. Ciò è sufficiente nel caso in cui si voglia schematizzare il fading a breve termine mentre, per considerare il fading a lungo termine, è necessario modellare le potenze

2

n

R

1.2

LA TECNICA DI TRASMISSIONE OFDM

1.2.1 SCHEMA DI PRINCIPIO E FORMATO DEL SEGNALE

Una delle migliori soluzioni per superare le difficoltà imposte da un canale affetto da fading selettivo in frequenza, è la tecnica di modulazione OFDM (Ortogonal Frequency Division Multiplexing). Trasmettere un segnale a larga banda su un’unica portante attraverso un tipico canale radiomobile introdurrebbe, come accennato nel capitolo precedente, una notevole distorsione sullo spettro del segnale trasmesso (problema di selettività in frequenza). Osservando la questione nel dominio del tempo [2] ci si rende conto che l’intervallo di segnalazione T necessario per trasmettere il segnale a larga banda su singola portante dovrebbe essere molto piccolo, addirittura inferiore alla durata della risposta impulsiva di canale h(t)

Fig 1.2 Effetto dispersivo del canale nel dominio del tempo

A causa dell’elevata interferenza intersimbolica diventa indispensabile l’uso di un equalizzatore che, vista l’entità della distorsione, risulterebbe però troppo complesso, ed introdurrebbe ritardi insostenibili.

L’idea alla base di ogni modulazione multiportante è quella di suddividere la trasmissione di un unico flusso di dati ad alta velocità di segnalazione 1/T, in un numero

flussi. In questo modo il segnale a larga banda viene scomposto in una molteplicità di segnali a bassa velocità, con intervallo di segnalazione

S

T

=

NT

( 1.2.1 )

Ovviamente N deve essere scelto in modo che Ts sia notevolmente maggiore del ritardo Td di canale. In questo modo il problema dell’interferenza è notevolmente ridotto.

Fig 1.3 L’aumento dell’intervallo di segnalazione rende sopportabile la dispersione del

segnale

Da un punto di vista frequenziale l’effetto è quello di realizzare N trasmissioni a banda stretta, ciascuna su una diversa portante. E’ evidente che, se il canale era fortemente selettivo sulla banda B del segnale a singola portante originale, lo sarà molto meno, o non lo sarà affatto, sulla banda B/N che caratterizza ciascun sotto-flusso trasmesso. L’obbiettivo è fare in modo che ciascun canale sperimenti un fading piatto in frequenza. Il metodo più immediato per realizzare una trasmissione multiportante consiste nel trasmettere gli N flussi a banda stretta su intervalli frequenziali completamente disgiunti. Tale tecnica, detta FDM (Frequency Division Multiplexing) risulta però scarsamente efficiente dal punto di vista spettrale, dato che la non idealità dei filtri

impone una certa spaziatura fra le sottobande utilizzate, come mostrato in Fig 1.4. La tecnica OFDM prevede invece una parziale sovrapposizione fra i diversi sottocanali (Fig 1.5), in modo da massimizzare l’efficienza mantenendo l’indipendenza dei diversi flussi grazie a criteri di ortogonalità ( di qui il nome Ortogonal FDM ).

Fig. 1.4 Spettro di un segnale FDM

Fig. 1.5 Spettro di un segnale OFDM

Lo schema di principio di un trasmettitore OFDM [3] è riportato in figura 1.6. I simboli Cn in ingresso al sistema appartengono all’alfabeto di una modulazione lineare arbitraria, generalmente M-PSK o M-QAM, e sono caratterizzati da un rate 1/T. Il convertitore serie-parallelo, che crea gli N sotto-flussi a bassa velocità (1/T)/N, induce una sorta di partizionamento “a blocchi” dei simboli d’ingresso, ove la durata Ts di un blocco corrisponde alla durata di un simbolo OFDM, ed è pari a N simboli di sorgente. L’indice m tiene proprio in conto la successione dei diversi blocchi, mentre l’indice k è l’indice di sottoportante. L’espressione del segnale modulato è dunque

( )

1 ( )

₍

₎

2 0 SC N m j kf t k S m k

x t

c

p t

mT e

π +∞ − =−∞ =

=

∑ ∑

−

_k( )0 _{k k}( )0 S

k

z

Y

c H

T





=

=









(1.2.2)

Fig 1.6 Schema di principio di una modulazione OFDM

ove

p t

( )

è un impulso rettangolare di ampiezza unitaria e diverso da zero per

0

≤ ≤

t

T

_s e dove i simboli di sorgente

c

_k( )m sono normalizzati a potenza unitaria

( )m 2

₁

k

c

=

. Naturalmente dobbiamo essere in grado di demodulare questo segnale in maniera ottimale. Lo schema del demodulatore ottimo del generico sottoflusso k-esimo su canale AWGN, e in assenza degli altri sottocanali, è quello di Fig. 1.7 , che prevede la conversione in banda base del segnale, il filtraggio adattato con campionamento e la

decisione a soglia finale. La variabile di decisione sul simbolo della sottoportante numero k è dunque ( )

( )

{

}

0 0

1

exp

2

S T k SC

z

r t

j

f t dt

T

π

=

∫

−

(1.2.3)

Fig. 1.7 Schema del demodulatore ottimo da applicare ad ogni sottoflusso di dati

La presenza degli altri sottocanali induce però in generale una interferenza sulla decisione. Calcoliamo l’effetto della presenza del sottocanale i, i ≠ k sulla variabile di decisione del ricevitore ottimo per il canale k. Per l’intervallo di segnalazione con m=0, trascurando l’effetto del rumore si ottiene una componente di interferenza :

( ) ( ) ( ) ( )

(

)

2 0 0 2 2 0 , ₀

1

2

SC S S SC SC j i k f T T j if t j kf t i k i i SC

e

I

c e

e

dt

c

j

i

k f

π π π

π

−

−

=

=

−

∫

(1.2.4)

Questa interferenza si annulla quando _SC

S

q

f

T

=

,

q

intero, cioè quando le sottoportanti sono ortogonali. Naturalmente è conveniente scegliere il minimo di questi valori, per tenere le sottoportanti il più vicino possibile e quindi limitare la banda del

1

1

SC S

f

T

NT

=

=

(1.2.5)

In queste condizioni la modulazione prende il nome di OFDM, ha la minima occupazione spettrale e i dati dei vari sottocanali possono essere recuperati senz’alcuna interferenza con una batteria di ricevitori come in Fig. 1.7. Per ricostruire il flusso dati originario, sarà poi sufficiente “riformattare” il flusso da parallelo a seriale con un convertitore P/S duale di quello di Fig.1.6.

Segnaliamo fin da subito il punto debole della modulazione OFDM: l’inevitabile instabilità di frequenza

∆

f

della portante recuperata nel ricevitore per la demodulazione in banda base. Se normalmente deve essere

f

1

T

∆

, ora dovrà essere

1

f

NT

∆

, pena l’insorgere di interferenza inter-portante. Si ha quindi un requisito di stabilità in frequenza notevolmente maggiore rispetto ad una modulazione tradizionale.

Continuando la nostra analisi, riportiamo dunque l’espressione del segnale OFDM

( )

( )

(

)

1 0

2

exp

N m k S m k S

j

kt

x t

c

p t

mT

T

π

+∞ − =−∞ =





=

−









∑ ∑

(1.2.6)

Volendo adesso ricavare l’occupazione spettrale di questo segnale, iniziamo con l’osservare che questo è costituito dalla somma di N segnali dati statisticamente

( )

1 ( )

(

)

1

( )

0 0

2

2

exp

exp

N N m k S k k m S k S

j

kt

j

kt

x t

c

p t

mT

x t

T

T

π

π

− +∞ − = =−∞ =













=

_

−

_





=

















∑ ∑

∑

(1.2.7)

Si dimostra che la corrispondente densità spettrale di potenza è data da

( )

1 0 N x k S

k

S

f

S f

T

− =





=



−







∑

(1.2.8)

dove

S f

( )

è la densità spettrale del generico sotto-flusso a velocità 1/Ts privato

della modulazione sulla sottoportante:

( )

( )

{ }

( )

(

)

2 2 ₂

sin

m k S S S

E c

S f

P f

T

c

fT

T

=

=

(1.2.9)

Questa è proprio la situazione rappresentata indicativamente nella Fig.1.8, nella quale la somma dei vari spettri dei sotto-canali non è stata effettuata, e in cui si nota anche che gli spettri dei vari sotto-canali sono sovrapposti. La condizione di ortogonalità delle sottoportanti garantisce però l’assenza di interferenza inter-portante e la demodulabilità dei dati. Notiamo anche come ogni sottoflusso di dati sperimenti un fading praticamente piatto.

dà luogo ad una risposta in frequenza estremamente piatta in banda e con un rapido decadimento verso lo 0, e che queste caratteristiche sono tanto più accentuate quanto più alto è il numero delle sottoportanti. Il segnale OFDM non è rigorosamente limitato in banda, ma l’occupazione spettrale, definita con i consueti criteri della banda a –20 o –40 dB, o della banda al 99% della potenza, è comunque di poco maggiore della banda di Nyquist 1/T , e quindi l’efficienza spettrale della modulazione è elevata.

1.2.2 IMPLEMENTAZIONE EFFICIENTE DELLA MODULAZIONE

Nella pratica realizzare la modulazione in base allo schema di principio di Fig 1.6 sarebbe estremamente complesso, soprattutto nel caso in cui il numero N di portanti fosse molto elevato. Per pervenire ad una tecnica di modulazione efficiente iniziamo considerando il segnale (1.2.6); campionando a frequenza _C

1

S

N

f

T

T

=

=

e considerando, per semplicità di notazione, solo il primo simbolo OFDM (m=0), si ottiene la seguente sequenza

[ ]

1 ( )0 2 1 ( )0 2 0 0 j kn j kn N N S N N k k k k

nT

x n

c

p

e

c e

N

π π − − = =





=

_

_

=





∑

∑

(1.2.10)

con

0

≤ ≤

n

N

−

1

. Osserviamo che la sequenza x[n] è pari alla antitrasformata

discreta di Fourier della sequenza degli N simboli di sorgente c₀(0),c₁(0),...,c(0)_N−₁ che

contribuiscono a formare il simbolo OFDM n° 0. Ciò suggerisce un procedimento di modulazione efficiente poiché la trasformata inversa può essere calcolata con un algoritmo veloce di (I)FFT. Il segnale analogico modulato (in banda base) può allora essere ottenuto sovracampionando la sequenza x[n] e inviandola ad un convertitore D/A seguito da un opportuno filtro anti-immagine.

Per fare in modo che la sequenza x[n] abbia la stessa potenza media statistica della sequenza dei simboli di sorgente c_n, la IFFT viene riformulata come segue:

[ ]

1

N−1 ( )0 j2_Nπkn

Supponiamo adesso che il segnale modulato venga ricevuto senza distorsioni di canale, ma con aggiunta di rumore Gaussiano bianco:

( )

( )

( )

r t

=

x t

+

w t

(1.2.12)

Il demodulatore per il sottocanale k-esimo calcola la variabile di decisione in base alla (1.2.3). Campionando il segnale ricevuto alla frequenza _C

1

S

N

f

T

T

=

=

, e

approssimando l’integrale con una sommatoria, si ottiene

( )0 1

_{[ ]}

2 0

1

N j kn N k n

z

r n e

N

π − − =

≅

∑

,

r n

[ ]



r nT

(

)

(1.2.13)

che è l’espressione della trasformata discreta diretta di Fourier della sequenza ricevuta. La trasformata viene eseguita naturalmente con un algoritmo veloce che consente di calcolare tutte le variabili di decisione in un intervallo di simbolo OFDM, e per normalizzazione viene riformulata come segue:

( )0 1

_{[ ]}

2 0

1

N j kn N k n

z

r n e

N

π − − =

=

∑

,

k

=

0,1,....,

N

−

1

(1.2.14)

Lo schema del sistema di trasmissione OFDM è dunque quello mostrato in Fig.1.10. Come si nota, oltre alle funzioni già descritte, compare anche un blocco “Aggiunge portanti virtuali”, mentre il numero di simboli di sorgente utili per simbolo OFDM non è pari a N ma a N−N_v . L’inserzione delle cosiddette “portanti virtuali” è una maniera

vincolo, per esigenza di realizzazione, sulla particolare dimensione del calcolatore di (I)FFT utilizzato nel modem (che normalmente elabora blocchi di lunghezze pari a potenze di 2). In sede di formattazione del simbolo infatti, al blocco degli N−N_v

simboli utili vengono posposti N_v simboli nulli in modo da arrivare alla lunghezza

fissata del blocco di simboli di sorgente che contribuisce a formare il simbolo OFDM tramite IFFT. La presenza di questi simboli nulli in testa e in coda fa sì che le corrispondenti sottoportanti vengano azzerate, cioè diventino “virtuali” o “soppresse”.

Fig. 1.10 Schema a blocchi di un sistema di trasmissione OFDM

1.2.3 EQUALIZZAZIONE DEL SEGNALE OFDM

Torniamo adesso alla questione della compensazione delle distorsioni di canale prodotte dalla propagazione per cammini multipli. Indicando come di consueto, con h(t) la risposta impulsiva (in banda base) del canale e trascurando il rumore nel ricevitore, il segnale ricevuto sarà:

( )

( )

( )

( )

₍

₎

_{( )}

2 1 0 S j kt N m T k S m k

y t

x t

h t

c

p t

mT e

h t

π +∞ − =−∞ =





=

⊗

=



_

−



_

⊗



∑ ∑



(1.2.15)

Portando l’operazione di convoluzione all’interno della sommatoria e ponendo

( )

( )

2 S j k T k

p t

p t e

π

=

(considerando cioè l’impulso traslato alla frequenza

S

k

T

) si ottiene:

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

1 1 0 0 N N m m k k S k k S m k k m

y t

c

p t

mT

h t

c

γ

t

mT

+∞ − − +∞ =−∞ = = =−∞

=

∑ ∑

−

⊗

=

∑ ∑

−

(1.2.16)

Concentrandosi sul k-esimo flusso dati a tempo di simbolo OFDM Ts , si nota che

( )

k

t

γ

è proprio l’impulso elementare di tale trasmissione così come viene ricevuto nel demodulatore. Questo impulso ha in generale una durata maggiore di

T

_S per effetto della distorsione di canale. Se la risposta impulsiva del canale ha durata finita pari a

T

_k , la durata di

γ

_k

( )

t

è pari a

T

_S

+

T

_k. È possibile allora evitare l’interferenza

intersimbolica causata dal canale spaziando i simboli OFDM di un intervallo maggiore

di

T

_S , e precisamente aumentato di una quantità

T

_g chiamata intervallo di guardia. Se infatti l’intervallo di guardia è scelto in modo che

T

_k

≤

T

_g, due impulsi consecutivi

( )

k

t

γ

e

γ

_k

(

t

−

(

T

_S

+

T

_g

)

)

non si sovrappongono e l’ISI viene cancellata. Il segnale trasmesso sarà allora:

( )

1 ( )

(

(

)

)

{

(

(

)

)

}

0

exp 2

N m k S g S g S m k

x t

c

p t

m T

T

j

π

k t

m T

T

T

+∞ − =−∞ =

=

∑ ∑

−

+

−

+

(1.2.17)

In pratica, si introduce un “gap” temporale tra due simboli OFDM consecutivi nel quale il segnale modulato viene annullato. In ricezione, la “coda” del simbolo OFDM nell’intervallo di guardia viene semplicemente ignorata e lasciata fuori dal blocco di N campioni su cui calcolare la FFT. Naturalmente l’uso dell’intervallo di guardia peggiora l’efficienza spettrale del sistema: dovendo mantenere una velocità d’informazione costante, introdurre un intervallo di guardia diverso da zero significa ridurre il tempo di simbolo OFDM

T

_S e quindi aumentare la banda utilizzata sul canale che è circa pari a

S

N T

. D’altro canto, sappiamo che i ritardi massimi che si incontrano quando la propagazione avviene per cammini multipli, sono dell’ordine di qualche decina di µs, che è poi l’ordine di grandezza dell’intervallo di guardia che deve essere adottato per avere protezione dal multipath. Considerando che l’intervallo di simbolo è pari a qualche centinaio di µs, la perdita di efficienza è modesta. Naturalmente, ciò avviene proprio perché la durata dei simboli su ogni sottoportante è di parecchio maggiore di quella della risposta del canale. Viceversa, in una modulazione monoportante, la durata del simbolo è pienamente confrontabile con quella della risposta del canale, e un approccio simile porterebbe a intervalli di guardia eccessivamente lunghi e penalizzanti l’efficienza.

L’approccio dell’intervallo di guardia ha uno svantaggio che deve essere preso in seria considerazione: per poter effettuare correttamente la demodulazione, in particolare per poter correttamente calcolare la FFT, il ricevitore deve esattamente allinearsi alla parte

vincoli molto stretti alla sincronizzazione di simbolo nel ricevitore. Modificando leggermente il formato del segnale modulato però, è possibile ottenere un buon funzionamento del ricevitore anche con errori di sincronizzazione di simbolo non trascurabili, purché naturalmente di entità limitata. La modifica consiste nel “riempire” l’intervallo di guardia con una estensione ciclica o prefisso ciclico del simbolo OFDM, cioè con la ripetizione degli iniziali

T

_g secondi sui

T

_S totali del simbolo stesso. Nel modulatore questo si fa, in pratica, “anteponendo” agli N valori ottenuti all’uscita del calcolatore di IFFT i primi

N

_g valori ottenuti dallo stesso, intendendo che

g g S

T

=

N T

N

(Fig. 1.11).

Fig. 1.11 Il prefisso ciclico

Lo scopo del prefisso ciclico è quello di “emulare” una condizione in cui il segnale all’ingresso del canale fosse periodico di periodo

T

_S . Questo segnale periodico ideale sarebbe, concentrandoci sulla ricezione del simbolo con m=0,

( )

1 ( )0 2 0 S N j kt T k k

x t

c e

π − =

=

∑

,

x t

( )

=

x t

(

+

T

_S

)

e quindi lo spettro del segnale in ingresso al canale sarebbe a righe con frequenza fondamentale

1

T

_S . Dalla stessa formulazione del segnale modulato, si vede che il coefficiente di Fourier k-esimo nello spettro a righe sarebbe banalmente

X

_k

=

c

_k( )0 ,

0,1,...,

1

k

=

N

−

. Allora anche il segnale

y t

( )

in uscita dal canale sarebbe periodico dello stesso periodo, e il suo k-esimo coefficiente di Fourier sarebbe

( )0 k k k S S

k

k

Y

X H

c H

T

T









=





=













(1.2.19)

ove evidentemente

H f

( )

è la risposta in frequenza del canale di trasmissione. D’altro canto, il circuito di Fig.1.7 che produce la variabile di decisione

z

_k( )0 per il generico k-esimo sottocanale, non è altro che un calcolatore di coefficiente di Fourier ; quindi, trascurando il rumore di ricezione, si conclude che

( )0 ( )0 k k k S

k

z

Y

c H

T





=

=









(1.2.20)

Come evidenziato in Fig. 1.11, ora un errore di sincronismo

ε

T

_S sul riconoscimento dell’inizio del blocco, semplicemente risulta in una “traslazione ciclica” nel verso opposto del segnale osservato dal “calcolatore di coefficiente di Fourier”, per cui la variabile di decisione risulta :

( )0 ( )0 j2 k N k k S

k

z

c H

e

T

π ε





=









(1.2.20)

Naturalmente, affinché la condizione di (pseudo)periodicità si verifichi, l’intervallo di guardia deve essere allungato di un fattore pari proprio al massimo errore di sincronismo

ε

_MAX

T

_S che si desidera tollerare.

Riprendendo in considerazione la presenza del rumore di ricezione e generalizzando all’intervallo di simbolo OFDM m-esimo si ha:

( )m ( )m j2 k N ( )m k k k S

k

z

c

H

e

w

T

π ε





=





+





(1.2.21)

Poiché comunque l’andamento della risposta in frequenza del canale è arbitrariamente variabile e deve essere compensata sottoportante per sottoportante, conviene introdurre la risposta del canale modificata dall’errore di sincronismo

' j2 k N k S

k

H

H

e

T

π ε





=









(1.2.22)

Ottenendo quindi l’espressione finale della k-esima variabile di decisione in presenza di distorsione di canale, errore di sincronismo e rumore

:

z

_k( )m

=

c

_k( )m

H

_k'

+

w

_k( )m

(1.2.23)

sui simboli di informazione. La compensazione di tale distorsione di canale (ed eventualmente degli errori di sincronismo) può essere effettuata facilmente se è disponibile una stima della riposta in frequenza del canale in corrispondenza di ogni sottoportante. Un possibile schema di equalizzazione è quello mostrato in Fig.1.12, la cui bontà è strettamente legata a quella dello stimatore di canale

Fig. 1.12 Equalizzazione in frequenza per un segnale OFDM

Infatti la variabile di decisione “equalizzata”

z

_{EQ k}( )m_, risulta

( ) ( ) ' ( ) '( ) , ^ ^ ' ' m m m k k m EQ k k k k k k

H

w

z

c

c

w

H

H

=

+

≅

+

(1.2.24)

ove l’uguaglianza non è esatta a causa degli errori di stima della risposta del canale. Per la modalità con cui viene effettuata, questo tipo di compensazione delle distorsioni di

canale è nota come “equalizzazione in frequenza” ed è tipica della modulazione OFDM o multiportante in generale.

Per effettuare la stima dei coefficienti complessi '

k

H si inviano insieme al segnale

alcune sottoportanti pilota, modulate con sequenze note al ricevitore. L’andamento della risposta in frequenza sulle altre sottoportanti è ricavata dalle prime per interpolazione polinomiale. Alcune portanti pilota sono posizionate su valori fissi dello spettro, mentre altre sono trasmesse su frequenze variabili, al fine di ridurre al minimo la probabilità che una o più di esse cadano in corrispondenza dei notch del canale, ovvero le frequenze su cui esso comporta una forte attenuazione.

Nel caso in cui la trasmissione non sia di tipo broadcast, ma sia presente un canale di ritorno dal ricevitore al trasmettitore, la stima di canale può essere usata dal trasmettitore stesso per adattarsi nel modo migliore alle condizioni di propagazione. Da qui nasce l’idea della modulazione adattativa e dell’allocazione dinamica delle risorse di cui tratteremo in capitoli successivi.