3.Dinamica d’assetto

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3.Dinamica d’assetto

L’assetto è utile a definire l’orientamento di un sistema di riferimento rispetto ad un altro, come ad esempio quello del sistema di riferimento solidale al satellite rispetto al sistema di riferimento Geocentrico.

La rotazione reciproca dei due sistemi e quindi del satellite intorno al suo baricentro è importante per diverse ragioni legate all’aerodinamica, al puntamento dell’eventuale carico pagante, al puntamento delle antenne e al puntamento dei motori che è di vitale importanza per una missione a bassa spinta.

3.1 Sistemi di riferimento

Sistema di riferimento inerziale

Un sistema di riferimento inerziale è un sistema di riferimento solidale rispetto alle stelle fisse. Il sistema di riferimento Geocentrico Equatoriale in questo senso, trascurando la precessione degli equinozi, è considerabile come un sistema di riferimento inerziale.

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Sistema di riferimento corpo

Un sistema di riferimento corpo è un insieme di assi ortogonali tra loro e tali da formare una terna levogira la cui origine è posta internamente o sulla superficie del satellite. Questo sistema di riferimento si muove insieme al satellite ed è utile per definire la posizione reciproca di oggetti sul satellite o per definire l’orientamento del satellite rispetto ad un sistema di riferimento esterno.

Assi principali di inerzia

Spesso è utile nella modellazione della dinamica del satellite descrivere il sistema rispetto agli assi principali di inerzia.

Questo sistema di riferimento ha come origine il baricentro del satellite ed è tale che la matrice dei momenti di inerzia è diagonale. Questi momenti di inerzia sono allora chiamati momenti principali di inerzia.

3.2 Cinematica d’assetto

La cinematica d’assetto descrive l’evoluzione dell’assetto di un sistema di riferimento nel tempo.

Sono possibili diversi sistemi di rappresentazione per l’assetto ed i più comuni sono: Asse e Angolo di Eulero, gli angoli di Eulero, la matrice dei coseni direttori e i quaternioni.[4]

Asse e Angolo di Eulero

La rappresentazione più semplice per rappresentare la rotazione relativa di due sistemi di riferimento è composta da un asse principale unitario, ˆe, ed un angolo, Φ . Essendo il vettore normalizzato permette solo due gradi di libertà ed il terzo è dato dall’angolo. Un modo semplice e conciso per esprimere la rotazione è usando un vettore rotazione, un vettore tridimensionale non normalizzato la cui direzione è data dall’asse e la cui intensità coincide conΦ :

ˆe Γ = Φ

In questo modo è chiaro che la rotazione è data dall’asse di rotazione e dall’angolo del quale si deve ruotare il sistema di riferimento intorno all’asse. Questo concetto è formalizzato dal teorema di Eulero che afferma che l’orientamento relativo di una coppia qualunque di sistemi di riferimento in un dato istante è univocamente

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determinata da un angolo di rotazione e da un asse passante per l’origine comune dei sistemi di riferimento.

Figura 3.1 L’asse e l’angolo di Eulero

Per avere un’idea della misura dell’asse e dell’angolo di eulero è necessario analizzare autovalori e autovettori della matrice di rotazione.

La matrice di rotazione può a sua volta essere derivata dalla combinazione di asse e angolo principale di Eulero tramite la formula di Eulero:

3 2

3 1

2 1

0

cos (1 cos ) sin 0

0 T e e C I ee e e e e − = Φ + − Φ − Φ − −

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Gli angoli di Eulero

Un altro modo per descrivere l’assetto di un sistema è tramite una sequenza di rotazioni intorno ai singoli assi x, y e z. Queste rotazioni sono quelle necessarie a sovrapporre il primo sistema di riferimento al secondo.

Figura 3.2 Gli angoli di Eulero

Esiste un numero infinito di sequenze di rotazioni che possono essere usate per descrivere una trasformazione di coordinate. Per la maggior parte delle trasformazioni 3 rotazioni sono sufficienti portando così ad avere 12 combinazioni di possibili rotazioni successive. E’ comunque vero che alcune rotazioni specifiche possono aver bisogno di un numero di rotazioni diverso. Un altro aspetto importante da considerare è che la trasformazione da un sistema di riferimento all’altro non è unica e possono esistere diverse sequenze di rotazioni con le quali raggiungere la trasformazione.

Gli angoli di Eulero presentano singolarità per ognuna delle 12 combinazioni possibili delle tre rotazioni. Queste singolarità rendono questa rappresentazione sconveniente per la simulazione ma gli angoli di Eulero rimangono comunque una valido strumento perché intuitivamente meglio comprensibili.

I Quaternioni

La determinazione dei quaternioni come rappresentazione comoda e utile per la simulazione d’assetto parte dalla considerazione che l’asse e l’angolo di Eulero

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costituiscono una rappresentazione libera da singolarità. I quaternioni derivano infatti da questi e sono anche detti Parametri simmetrici di Eulero.

Un quaternione è un insieme composto da quattro valori scalari dipendenti l’uno dall’altro, q q q q₁, ₂, ₃, ₄, tali che i primi tre valori formano un vettore, detto parte vettoriale ed il quarto rappresenta la parte scalare [5].

1 2 4 3 q q q q q     =     

Il quaternione per la determinazione dell’assetto può essere ottenuto a partire dall’asse di Eulero, e, e dall’angolo di rotazione principale Φ nel modo seguente:

(

)

4 sin 1, 2, 3 2 cos 2 i i q e i q Φ = Φ

E’ quindi chiaro che i quattro valori q q q q1, 2, 3, 4devono soddisfare l’equazione di

vincolo

2 2 2 2

1 2 3 4

1 q

+

q

+

q

+

q

=

Questo vincolo riporta i quaternioni ad avere solo tre parametri indipendenti come gli angoli di Eulero o l’asse e l’angolo di Eulero.

Dal momento che i quattro elementi del quaternione soddisfano l’equazione di vincolo si può dire che l’orientamento dell’assetto varia sulla superficie di una sfera unitaria in quattro dimensioni senza incontrare singolarità.

Il principale vantaggio dei quaternioni rispetto alla combinazione di asse e angolo di Eulero (che è anch’essa una rappresentazione non singolare composta da quattro parametri) sta nel fatto che i primi non richiedono la valutazione di funzioni trigonometriche computazionalmente esigenti quando derivati dalla matrice di rotazione.

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Si ha infatti che:

(

)

3 2 2 4 4 3 1 2 1 0 2 2 0 0 T T q q C q q q I qq q q q q q − = − + − − −

che espresso rispetto ai valori dei singoli elementi del quaternione diventa:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 2 4 2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 1 4 2 2 2 2 1 3 2 4 2 3 1 4 1 2 3 4 2 2 2 2 2 2 q q q q q q q q q q q q C q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q − − + + − = − − + − + + + − − − + +

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3.3 Equazioni del moto

Siamo ora in condizione di individuare la posizione e l’evoluzione dell’assetto di un sistema di riferimento nel tempo. E’ sufficiente quindi adottare una delle rappresentazioni precedentemente elencate per descrivere il cambiamento di assetto di un satellite.

Equazioni della cinematica d’assetto

Ognuna delle rappresentazioni precedentemente mostrate è collegata ad un set di equazioni che ne descrive il cambiamento nel tempo. Come già detto i quaternioni hanno il vantaggio di essere una rappresentazione compatta oltre che non singolare per la cinematica di assetto ed è per questo motivo che si è deciso di farne uso all’interno del simulatore. Si tralasceranno quindi le restanti rappresentazioni per concentrarci sui quaternioni e sull’equazione della cinematica di assetto loro collegata.

Possiamo iniziare lo studio della cinematica d’assetto supponendo che il quaternione al tempo

(

t+ ∆ sia pari alla composizione del quaternione al tempo t e di un quaternione t

)

che rappresenta la rotazione nel tempo t∆ :

(

)

( )

4 3 2 1 3 4 1 2 2 1 4 3 1 2 3 4 q q q q q q q q q t t q t q q q q q q q q ′ ′ − ′ ′ ′ ′ ′ ′ − + ∆ = ′ − ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ − − −

con: ₁ sin ₁ sin ₁ sin ₁ cos

2 2 2 2 u v w q′=e Φ q′=e Φ q′=e Φ q′= Φ . Si ha quindi:

(

)

( )

0 0 cos sin 0 2 2 0 w v u w u v v u w u v w e e e e e e q t t I q t e e e e e e  −    − Φ Φ   + ∆ =  −    ₋ ₋ ₋   

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Per piccoli intervalli di tempo è quindi possibile effettuare le seguenti approssimazioni: cos 1 sin 2 2 2 2 t t

ω

ϕ

= ∆

ω

Φ = Φ = Φ = ∆

e ricavando

e e e

_u

, ,

_v _w dalla relazione

ω

=

ω

e

si può scrivere

(

)

1

( )

2 q t+ ∆ =t _I + Ω∆t q t_   dove: 0 0 0 0 w v u w u v v u w u v w

ω

− − Ω = − − − −

Andando a valutare la relazione precedente al limite ∆ → si ricava: t 0

(

)

( )

0 1 lim 2 t q t t q t dq q t dt ∆ → t + ∆ − = = Ω ∆

Nota quindi la velocità angolare possiamo integrare e trovare il quaternione che definisce il nuovo assetto del satellite.

Si possono incontrare durante l’integrazione numerica errori che portano il quaternione a non avere più modulo unitario ma è sufficiente effettuare una semplice normalizzazione per correggere questo inconveniente.

Equazioni della dinamica d’assetto

La dinamica d’assetto si occupa della variazione nel tempo dell’assetto del satellite rispetta ad un altro sistema di riferimento in risposta a forze e coppie esterne.

Per lo studio della dinamica rotatoria di un corpo rigido lo strumento analitico da utilizzare è composto dalle Equazioni di Eulero:

dh M dt =

dove il momento angolare h, espresso in assi corpo, e dato da:

xx x xy y xz z yx x yy y yz z

I

h

I

ω

=

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L’equilibrio alla rotazione si può quindi scrivere come:

h

+

ω

×

h

=

M

che, sostituendo ed andando a calcolare, porta a:

2 2 2 2 2 xx x xy y xz z xy x z yy y z yz z xz x y zz z y yz z x yx x yy y yz z yz x z zz x z xz x xx x z xy z y xz z y zx x zy y zz z xx x y xz y z xy y yy x y yz z x x I I I I I I I I I M I I I I I I I I I M I I I I I I I I I

ω

ω ω

ω

ω ω

ω

ω ω

ω

ω ω

ω

ω ω

ω

ω ω

+ + − − − + + + = + + − − − + + + = + + − − − + + + 2 y

ω

z Mz     = 

Riscrivendo il sistema rispetto agli assi principali di inerzia si ottiene una notevole semplificazione infatti si annullano tutti i termini contenenti i prodotti di inerzia:

(

)

(

)

(

)

x x z y z y x y y x z x z y z z y x y x z I I I M I I I M I I I M

ω

ω ω

ω

ω ω

ω

ω ω

 ₊ ₋ ₌  + − =   + − = 

E’ possibile notare che, se il termine tra parentesi è non nullo, la rotazione attorno ad un asse è influenzata non solo dalle coppie esterne attorno a tale asse ma anche dalle velocità angolari relative ai due restanti assi.

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3.4 Coppie di disturbo

Su di un satellite agiscono delle coppie che influenzano direttamente la dinamica (le equazioni di Eulero) e fanno variare le componenti della velocità angolare. Tramite una parametrizzazione di assetto possiamo, conoscendo le velocità angolari, arrivare ai parametri di assetto che ci indicano come è orientato il satellite e che ci permettono di determinare le coppie che dipendono dalla posizione. Coppie legate direttamente all’assetto del satellite sono il Gradiente di Gravità, ed il campo magnetico mentre indirettamente la pressione di radiazione solare e la resistenza aerodinamica sono influenzate da questo tramite la sezione in vista che varia rispetto al flusso incidente. La coppia dovuta al disallineamento della spinta è invece indipendente dall’assetto del satellite ma funzione solo della geometrica dello stesso.

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Pressione di radiazione solare

I satelliti non sono corpi sferici perfetti ma invece un’insieme di superfici piane e curve di materiali differenti. Questa varietà di superfici può creare una coppia di disturbo dovuta al non bilanciamento della forza applicata dalla pressione di radiazione solare. Questa pressione di radiazione è data, analogamente a quanto già indicato per le perturbazioni orbitali, da:

6 2

4.5 10

sat SR SR SR sat

r

N

F

p

A

p

r

m

α

−

= −

=

⋅

Di conseguenza il corrispondente momento dovuto alla pressione di radiazione sarà dato da:

SR COP SR

M

=

r

×

F

Si introduce quindi l’ulteriore complicazione di determinare la posizione del centro di pressione della radiazione in funzione dell’assetto del satellite.

Gradiente di Gravità

Un satellite in orbita intorno alla Terra è soggetto ad una coppia di natura gravitazionale dovuta al fatto che l’estensione del satellite porta elementi diversi del satellite a risentire in maniera diversa della forza di gravità.

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Consideriamo ora un generico elemento f, del corpo B, di massa dm, detti R e r i vettori posizione rispettivamente del baricentro del corpo rispetto al centro della Terra e dell’elemento f rispetto al baricentro, la coppia generata sarà:

(

)

3 Gm dm dM r R r R r ⊕ = − × + +

e quindi, integrando rispetto su tutto il corpo B, si ha:

(

)

3 B Gm M r R r dm R r ⊕ = − × + +

∫

Il valore di r è molto più piccolo rispetto a R e può quindi essere considerato come una perturbazione:

(

)

3 3 3 2 ₂ ₂ 3 ₂ ₂ ₃ ₃ 2 2 2 2

2

1 r

2 R r

1 2

R r

R

r

R

r

R r

R

− − − − ₋



⋅



₋



⋅



+

=

+

⋅

=

_

+

_

≅

_

+

_









da cui, sviluppando in serie intorno a r = e semplificando si ottiene: 0

(

)

3 1 3 2 B Gm R r M r R r dm R R ⊕  ⋅  = − ×_ − _ +  

∫

Riferendoci però al baricentro la scrittura si semplifica ulteriormente e si giunge a:

(

)(

)

5 3 B Gm M R r R r dm R ⊕ =

∫

⋅ ×

da cui, rispetto al sistema baricentrale principale di inerzia:

(

)

2 _ˆ _ˆ

3 _o

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dove

ω

_orappresenta il moto medio sull’orbita, Rˆil vettore unitario congiungente il centro della Terra con il baricentro del satellite espresso rispetto al sistema di riferimento del satellite e J in tensore principale di inerzia. [6]

Disallineamento della spinta

Il disallineamento della spinta rispetto al baricentro del corpo è un disturbo di cui tenere di conto soprattutto nel caso di missioni a bassa spinta. Un seppur piccolo disturbo, dovuto agli inevitabili errori sulle tolleranze di progettazione, se agente in un lungo periodo porta fatalmente ad un grande errore sull’assetto e quindi sulla stessa direzione della spinta voluta.

Banalmente la coppia di disturbo dovuta al disallineamento della spinta è data da:

T T

M

=

r

×

T

dove sia il vettore posizione del motore, r_T, che il vettore spinta, T , sono espressi nel sistema di riferimento baricentrale principale del satellite.

Magnetico

I satelliti ed i veicoli spaziali in genere sono costruiti con materiali magnetici e contengono numerosi circuiti elettronici e fili elettrici. Questi materiali e fili in cui circola corrente producono un campo magnetico che circonda il satellite e che interagisce con il campo magnetico terrestre nella stessa maniera in cui si comporta un bussola. Il campo magnetico locale tenderà quindi ad allinearsi al campo magnetico terrestre facendo nascere una coppia di disturbo rispetto al baricentro del satellite pari a:

mag

M =m B×

dove m rappresenta il dipoli magnetico residuo del satellite e B il valore del campo magnetico terrestre in quel punto.

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Il campo magnetico terrestre

E’ evidente come per poter correttamente stimare l’intensità della coppia di disturbo dovuta al campo magnetico terrestre è necessario disporre di un modello del campo magnetico terrestre sufficientemente preciso e affidabile. Il campo magnetico terrestre è in prima approssimazione simile al campo magnetico generato da una sfera magnetizzata o da un dipolo ruotato.

Figura 3.5 Il campo magnetico terrestre nella approssimazione di dipolo

Al 1999 l’asse del dipolo risultava ruotato di 11.5° rispetto all’asse di rotazione terrestre con una deriva approssimativa di 0.2°/anno. La sua intensità sulla superficie terrestre varia dai 30000 nT all’equatore ai 60000 nT in prossimità dei poli. Inoltre esistono alcune anomalie nell’intensità del campo magnetico che fanno pensare che l’asse non sia solo ruotato ma che non passi neanche attraverso il centro della Terra.[7]

Il modello maggiormente accettato per il campo magnetico terrestre è l’”International Geomagnetic Reference Field” (IGRF) pubblicato dalla International Association of Geomagnetism and Aeronomy (IAGA).

L’IGRF è principalmente costituito da un gruppo di coefficienti Gaussiani, g_nme m

n

h , che vengono pubblicati ogni 5 anni dalla IAGA per essere utilizzati nel modello armonico. I coefficienti per una data epoca sono indicati dalla sigla IGRF e dall’anno di diffusione, come IGRF2000. Il modello comprende sia i coefficienti per l’epoca in questione che le variabili per le variazioni secolari così da poter estrapolare i valori dei coefficienti Gaussiani alla data richiesta.

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In accordo con la fisica del problema il campo magnetico terrestre, B, è definito come il gradiente cambiato di segno della funzione potenziale V:

B

= −∇

V

Sebbene un semplice modello di dipolo dia una buona approssimazione del campo geomagnetico è possibile ottenere un modello più federe utilizzando un modello armonico sferico per il potenziale scalare come:

(

)

(

)

( )

1 1 0

, ,

cos

sin

n k n m m m n n n n m

a

V r

a

g

m

h

m

P

r

θ φ

θ

+ = =

 

=

_{ }

+

 

∑

dove a è il raggio della Terra, r, θ e

φ

sono le coordinate geocentriche. I coefficienti g_nme h_nmsono i coefficienti Gaussiani forniti dalla IAGA per l’IGRF e Pnm

( )

θ

rappresenta il polinomio di Legendre associato quasi normalizzato di Schmidt di grado n e ordine m.

Questa è l’equazione su cui è basato il modello IGRF.

Figura 3.6 La sfera rappresenta la superficie terrestre, la superficie più esterna rappresenta una iso – superficie dove l’intensità del campo magnetico è pari a

25000 nT. Il punto in basso mostra la posizione della anomalia sud atlantica

Resistenza atmosferica

L’atmosfera è un sottile strato di gas che aderisce alla superficie del pianeta a causa dell’attrazione gravitazionale. Tutti i veicoli spaziali in una fase o in un’altra della loro vita devono attraversare questo strato e, come già indicato parlando delle perturbazioni che influivano sull’orbita del satellite, la resistenza atmosferica gioca un ruolo importante nella dinamica dell’assetto del satellite. In tutti quei casi, infatti, in cui il satellite, per parte della sua orbita o per tutta l’orbita, viene a contatto con gli strati più

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densi dell’atmosfera si genera sul satellite una forza di resistenza aerodinamica che da luogo ad una coppia pari a:

2 1 2 rel D D D rel rel v M r c A v v

ρ

  = − ×_ _  

dove c_D rappresenta il coefficiente di resistenza aerodinamica, A rappresenta la sezione frontale del satellite rispetto al flusso incidente e

ρ

rappresenta la densità atmosferica alla quota del satellite, mentre v_rel rappresenta la velocità del satellite relativa alla Terra, già precedentemente calcolata, ma scritta nel sistema di riferimento baricentrale principale di inerzia.

L’atmosfera terrestre

I carichi aerotermodinamici agenti su di un veicolo in volo atmosferico dipendono dalle proprietà dei gas atmosferici che a loro volta dipendono dalla rotazione terrestre, dalla radiazione solare e dal campo magnetico. Avere a disposizione un modello delle proprietà termodinamiche dell’atmosfera è quindi cruciale per l’analisi ed il dimensionamento del veicolo spaziale. La maggior parte dei modelli di atmosfera si concentrano sulle variazioni verticali delle variabili termodinamiche, ed in particolare della densità, andando a trascurare spesso le altre variazioni. Sono comunque disponibili modelli dell’atmosfera terrestre che tengono conto del flusso solare e di altre variabili ma, quantomeno inizialmente, si è deciso di utilizzare un modello funzione della sola quota di volo.

L’Atmosfera Standard è in genere modellata come un insieme di strati consecutivi con variazioni di temperature specifiche rispetto alla quota. Per le quote basse il sostanziale equilibrio termico ed idrostatico può essere rappresentato in strati con una variazione lineare della temperatura mentre i fenomeni instabili presenti alle quote più alte richiedono un modello di variazione non lineare per la temperatura.[8]

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Per ottenere la variazione di densità con la quota è necessario integrare l’equazione idrostatica che, approssimando il cambiamento di accelerazione di gravità con la quota e sostituendo è uguale a:

(

)

(

)

0 1 i i g h dp p R T a h h

β

− = − + −    

E’ a questo punto semplice ottenere un valore per la densità dalla temperatura e dalla pressione usando l’equazione di stato:

p RT

ρ

=

Figura 3.7 Andamento della densità atmosferica con la quota secondo il modello di Atmosfera Standard

I dati utilizzati per il modello di atmosfera provengono dai modelli di Atmosfera “1976 U.S. Standard Atmosphere” e “1962 U.S. Standard Atmosphere” e sono riportati nella seguente tabella.

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3.5 Controllo d’assetto

Abbiamo visto fin ora come l’assetto di un veicolo sia influenzato da numerosi fattori. Il mantenimento di un determinato assetto o il cambiamento dell’assetto con una determinata legge nel tempo è spesso cruciale per il successo di una missione. E’ quindi necessario esercitare una qualche forma di controllo d’assetto sul satellite.

Controllo è il nome dato al lavoro effettuato per ottenere un determinato risultato desiderato e sono utilizzati numerosi metodi e leggi di controllo per governare l’assetto di un satellite.

L’esempio più semplice di controllo di assetto è il controllo a doppio sparo. Il controllo a doppio sparo è ottenuto tramite una semplice legge di controllo del tipo on – off del seguente tipo:

(

)

0sgn

Q= −Q

θ τθ

+

dove

(

θ τθ

+

)

è la funzione di commutazione che in questo caso particolare è data da una combinazione di θ e

θ

. Il controllo a doppio sparo è utilizzato, combinato con altri sistemi di controllo d’assetto, su molti satelliti sia di interesse commerciale che scientifico. Banalmente il controllo a doppio sparo è ottenuto fisicamente con delle coppie di motori poste intorno al satellite così da generare una coppia che contrasti la coppia di perturbazione che porterebbe il satellite a derivare dall’assetto voluto.

Un grado di complessità maggiore nel controllo è ottenibile tramite il controllo con ruote di reazione o ruote di inerzia. In questo caso il controllo è ottenuto applicando una coppia di intensità opportuna ad un rotore interno al satellite così che il satellite subisca una coppia uguale e contraria. Una possibile legge di controllo per la variazione di momento angolare della ruota, in funzione dell’angolo da controllare θ è data da: