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APPENDICE A: SVILUPPO ANALITICO DEL
MODELLO DEL LTM
A.1 Principio base di funzionamento del LTM e modellazione
della dinamica del sistema
Il principale fenomeno fisico sulla base del quale funziona il LTM, così come tutti i motori elettrici, è riassunto nella seguente definizione: quando un corpo di materiale ferromagnetico è investito da un campo magnetico questo risulta soggetto a una coppia magnetica che tende a trascinarlo verso le zone a campo più intenso ed ad allinearlo alle linee di campo stesse. Se il corpo si muove, la coppia magnetica compie lavoro convertendo energia elettromagnetica in energia meccanica. Tale conversione è completamente reversibile se si assume l’assenza di fenomeni di isteresi magnetica e di correnti parassite [8]. La corretta modellazione di un LTM passa attraverso la conoscenza precisa della sua geometria interna; se questa non è nota è possibile eseguire la modellazione del sistema basandosi su delle ipotesi semplificative.
Le ipotesi si cui si basa la modellazione del LTM sono:
• Il sistema è di tipo fault-tolerant a quattro motori indipendenti.
• In condizioni normal operative un motore è in Stand-by e gli altri tre sono attivi. • Ogni motore è pilotato da una sola bobina.
• Ogni bobina è controllata da una sezione elettronica separata.
• I quattro motori sono completamente disaccoppiati dal punto di vista magnetico.
Sulla base di queste ipotesi quindi la situazione è riconducibile allo schema semplificativo di figura A.1 [22].
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(a) (b)
Figura A.1: schema semplificativo per la modellazione di un LTM: architettura motore fault-tolerant (a) e schema del motore elettrico a magneti permanenti (b).
La figura precedente mostra essenzialmente come il LTM possa essere trattato come quattro motori indipendenti ognuno dei quali è rappresentato come un motore lineare di forza (Linear Force Motor, LFM) che applica ad una certa distanza dall’asse dello spool una forza magnetomotrice che moltiplicata per il raggio dello spool fornisce una coppia magnetomotrice. Tale coppia impartisce il moto di rotazione allo spool stesso.
Ognuno dei quattro LFM è costituito da una bobina, due magneti permanenti montati con polarità contrapposte, una molla di centraggio ed un’armatura in materiale ferromagnetico fissata rigidamente allo spool (vedi figura A.1b) [22].
La movimentazione dello spool è quindi realizzata attraverso la formazione di un campo magnetico che in parte è generato dalla corrente di pilotaggio circolante nella bobina ed in parte dai due magneti permanenti.
Poiché i magneti permanenti sono montati con polarità contrapposte generano dei flussi magnetici simmetrici rispetto ad un piano perpendicolare all’asse dello spool e passante per la sua mezzeria. In conseguenza di tale simmetria, se l’armatura è centrata rispetto alle battute metalliche, non sono presenti correnti di comando, e la molla di centraggio è montata in modo da risultare scarica, la configurazione è di equilibrio per il sistema.
Affinché ci sia movimentazione dello spool è necessario far circolare la corrente nelle bobine, in modo da generare un flusso magnetico aggiuntivo che è responsabile della generazione della forza magnetica F sull’armatura e quindi di una coppia Tm m.
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La coppia magnetica, la cui direzione è ovviamente subordinata dal verso in cui circola la corrente, provoca la rotazione dello spool consentendo la chiusura ed apertura delle luci di trafilamento.
A.1.1 Modello dei circuiti elettrici di alimentazione
Considerato il generico circuito di alimentazione del LTM, l’equazione che esprime il valore della corrente circolante nella bobina è data da [8]:
coil coil
V =R ⋅ + (A.1) i e
La forza elettromotrice è espressa dalla legge di Faraday, secondo la quale ogni volta che il flusso di campo magnetico (λ ) concatenato con un circuito varia nel tempo si genera nel circuito una forza elettromotrice indotta che è data dalla variazione di flusso nel tempo [8]; analiticamente si ha che: d e dt λ = (A.2)
Ovviamente, secondo la legge di Lenz, l’effetto della forza elettromotrice è sempre quello di opporsi alla causa che ha generato il fenomeno.
Combinando l’equazione 2.1 con la 2.2 si ottiene la seguente relazione:
coil coil d V R i dt λ = ⋅ + (A.3)
Considerando che una bobina è generalmente costituita da un numero N di avvolgimenti (o spire), se si suppone che il flusso magnetico della bobina (ϕ) sia concatenato con tutte le spire vale la seguente relazione:
d d
N
dt dt
λ = ⋅ ϕ
(A.4)
In realtà l’espressione precedente è una schematizzazione ideale: in effetti parte del flusso magnetico generato è distribuito nello spazio occupato dagli avvolgimenti e quindi concatena solo una frazione di questi. Va però detto che nella maggior parte delle applicazioni con nucleo ferromagnetico l’effetto dei concatenamenti parziali è relativamente modesto, in
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quanto la maggior parte del flusso è confinata nel nucleo, per cui è lecito ritenere che la relazione A.4 sia una buona approssimazione della situazione reale.
Il calcolo dei flussi magnetici all’interno del LTM viene effettuato riconducendo la situazione ad un circuito magnetico equivalente, sulla base dei flussi presenti all’interno del LFM evidenziati in figura A.2 [10].
Figura A.2: andamento qualitativo dei flussi magnetici nel LFM [10]. Le ipotesi sulla base delle quali si ricava il circuito magnetico equivalente sono:
• Il campo magnetico all’interno del LFM è definito da tre flussi magnetici primari: il flusso ϕc concatenato con la bobina ed i flussi ϕml e ϕmr concatenati ai magneti permanenti.
• I suddetti flussi definiscono gli unici possibili percorsi per le linee di flusso. • La riluttanza dei materiali ferromagnetici viene trascurata.
• Nei traferri in aria le linee di flusso sono dritte ed hanno forma regolare.
• Si assume che ogni magnete permanente sia un magnete in terre rare che lavora nel suo range lineare [10]. Si ipotizza di lavorare con magneti Sm2Co17.
• Si trascurano i fenomeni di isteresi magnetica e di saturazione nei materiali ferromagnetici.
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Sulla base delle ipotesi suddette lo schema del circuito magnetico equivalente è quello evidenziato in figura A.3 [10].
(a) (b) Figura A.3: circuito magnetico equivalente (a) e schema del LFM associato (b) [10].
Sostanzialmente ogni ramo del circuito impone al flusso magnetico di attraversare materiali differenti e traferri in aria (la cui grandezza è legata alla rotazione dello spool). Ogni tratto può quindi essere caratterizzato da una riluttanza (ℜ) dipendente dalla permeabilità magnetica μi del materiale attraversato, dalla lunghezza delle linee di flusso l e dalla sezione i del tubo di flusso Ai, analiticamente si ha quindi che:
A i i i i l μ ℜ = ⋅ (A.5)
In base all’analogia elettrica ogni porzione di tubo di flusso può essere modellata come un circuito elettrico dove la resistenza del circuito è pari alla riluttanza lungo tale percorso ed i generatori di tensione sono le forze magnetomotrici relative ai magneti permanenti e la forza magnetomotrice relativa alla corrente circolante nella bobina.
Quindi, relativamente alla figura A.3, se N i⋅ rappresenta la forza magnetomotrice circolante nella bobina costituita da un numero N di avvolgimenti, Φ è la forza m magnetomotrice associata ai magneti permanenti, ℜ è la riluttanza dei magneti permanenti e ed infine ℜ e l ℜ sono e riluttanze dei traferri (air gap) che sono variabili con la rotazione r dello spool, applicando il metodo delle maglie è possibile scrivere il seguente sistema di equazioni indipendenti:
137 0 0 l r m m e l l e r l m m l l l r c N i ϕ ϕ ϕ ⎛ ⎞ Φ ℜ + ℜ ℜ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ℜ + ℜ −ℜ ⎟ = Φ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ℜ −ℜ ℜ + ℜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⋅ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (A.6)
Supponendo che tutti i tubi di flusso abbiano la stessa area, le riluttanze sono date dalle seguenti equazioni:
(
)
(
)
max max A A A m e m l m r l r r μ θ θ μ θ θ μ ⎧ℜ = ⎪ ⎪ ⎪ − ⎪ℜ = ⎨ ⎪ ⎪ + ℜ = ⎪ ⎪⎩ (A.7)dove le è la lunghezza dei magneti permanenti e rm, θmax e θ sono rispettivamente il raggio, la
massima escursione angolare e la rotazione dello spool.
Combinando le relazioni A.6 e A.7 è possibile ricavare i flussi ϕc,
l m ϕ e r m ϕ , che risultano essere definiti dalle seguenti relazioni funzionali:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
, , , l l li r r ri m m m m m m m m c c m ci i f f i i f f i i f f i ϕ θ θ θ ϕ θ θ θ ϕ θ θ θ Φ Φ Φ = Φ + ⎧ ⎪⎪ = Φ + ⎨ ⎪ = Φ + ⎪⎩ (A.8)Inoltre tenendo conto della simmetria di rotazione che caratterizza il sistema è possibile scrivere le seguenti relazioni:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
max l r ri li m m m m m c m f f f f f f f θ θ θ θ θ θ θ θ θ Φ Φ Φ Φ Φ ⎧ ⎪ = = ⎪⎪ = − − ⎨ ⎪ ⎪ = ⎪⎩ (A.9)A questo punto noti flussi circolanti all’interno del circuito magnetico è possibile riscrivere le equazioni che regolano la dinamica della corrente del circuito di alimentazione. Considerando l’espressione A.4 si ha che:
138 c c c d d di N N dt dt dt i ϕ ϕ ϕ λ θ θ ∂ ∂ ⎡ ⎤ = ⋅ = ⎢ + ⎥ ∂ ∂ ⎣ ⎦ (A.10)
dove introducendo il coefficiente di forza controelettromotrice (Kb) e di autoinduttanza (Lcoil),
definiti dalle seguenti relazioni:
c coil c b L N i K N ϕ ϕ θ ∂ ⎧ = ⎪⎪ ∂ ⎨ ∂ ⎪ = ⎪ ∂ ⎩ (A.11)
la relazione A.10 assume la seguente forma:
b coil d di K L dt dt λ = θ+ (A.12)
dove la quantità Kbθ rappresenta la tensione mozionale, mentre la quantità Lcoil di dt rappresenta la tensione trasformatorica.
Combinando la relazione A.12 con la A.3 si ottiene:
coil coil b coil
di
V R i K L
dt θ
= ⋅ + ⋅ + ⋅ (A.13)
A.1.2 Modello della dinamica dello spool
Il modello della dinamica dello spool è ottenuto attraverso un semplice bilancio del momento della quantità di moto:
( )
,shaft shaft m flow friction
J θ+D θ=T θ i +T +T (A.14)
Nel caso si prenda in esame la DDV isolata (o come si dice “a secco”) la coppia di flusso idraulico non compare nel bilancio di quantità di moto, mentre compare quella di attrito. Il modello più semplice che si può utilizzare per esprimere la coppia di attrito è quello coulombiano, secondo cui:
sgn( )
friction friction
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La coppia magnetomotrice può essere calcolata attraverso il principio dei lavori virtuali: supponendo di imprimere uno spostamento infinitesimo virtuale dθ l’energia di campo
magnetico associata al suddetto spostamento virtuale è data da [22]:
( )
, 1(
)
12 l r 2
m m m m c
E θ i = Φ ϕ +ϕ + N i⋅ ⋅ (A.16) ϕ
Sulla base della precedente relazione il principio dei lavori virtuali si scrive come segue
[22]:
( )
, 1(
)
2 l r m m m c m m E i T θ ϕ ϕ N i ϕ θ θ θ ⎡ ∂ + ⎤ ∂ ⎢ ∂ ⎥ = = Φ + ⋅ ⋅ ∂ ⎢⎣ ∂ ∂ ⎥⎦ (A.17)Inserendo le relazioni funzionali A.8 si ricava la seguente espressione:
( )
( )
( )
( )
20 1 2
,
m
T θ i = f θ + f θ i+ f θ i (A.18)
Osservando la relazione precedente è possibile vedere che la coppia magnetomotrice è rappresentata da tre termini [10]:
• Il termine f0
( )
θ rappresenta l’azione esercitata dai magneti permanenti, dipende dalla posizione dello spool e può essere visto come una diminuzione della rigidezza della molla di centraggio.• Il termine f1
( )
θ i è il termine più importante ed è legato all’interazione tra il flussoindotto dalla corrente e dai magneti permanenti. • Il termine
( )
22
f θ i è il termine legato esclusivamente alla circolazione della corrente nella bobina; tale contributo risulta essere importante soltanto quando si considerano elevati valori della corrente.
Poiché dalle relazioni A.8 si evince che i flussi in gioco non sono funzioni lineari di θ e dalla relazione A.18 si nota come Tm non è una funzione lineare di i, evidentemente Tm
140
A.1.3 Calcolo dell’area dei tubi di flusso e del numero di avvolgimenti della bobina
Per implementare la modellazione fin qui riportata è necessario andare ad esprimere il valore dell’area dei tubi di flusso, il numero di avvolgimenti della singola bobina ed il valore della forza magnetomotrice dei magneti permanenti.
Assumendo che la lunghezza dei magneti permanenti (le) e la grandezza del traferro
magnetico (rm⋅θmax) siano parametri noti è possibile esprimere il valore di Φ , A ed N. m Se Hc è la coercitività magnetica dei magneti permanenti ed lm la loro lunghezza, la forza
magnetomotrice dei magneti permanenti è data dalla seguente relazione [10]:
m H lc m
Φ = ⋅ (A.19)
Per calcolare il numero di avvolgimenti per la singola bobina (N) e l’area della sezione dei tubi di flusso (A) è sufficiente calcolare l’induttanza equivalente relativa al numero di bobine attive (Leff_coil) ed il guadagno coppia-corrente equivalente relativa al numero di bobine
attive (Kfi_eff), che sono espresse dalle seguenti relazioni [22]:
(
)
(
)
(
)
max 2 max 2 _ max 0 2 A 2 2 m m m m c eff coil coil coilm m m r l r l d N L n L N r di l l θ θ θ ϕ μ θ = ⋅ ⎛ ⎞ + + ⎜ ⋅ ⎟ ⋅ ⋅ ⎜ ⎟ = ⋅ = = ⎜ ⋅ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (A.20)
(
)
(
)
_ 0 max max A 1 c fi eff coil b m m m N H dT K n K di r r l θ μ θ θ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = = ⋅ ⎛ ⎞ ⋅ ⋅ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (A.21)dove ncoil è il numero di bobine attive, Lcoil è l’induttanza della singola bobina e Kb è il
guadagno forza corrente della singola bobina.
Risolvendo contemporaneamente le relazioni A.20 e A.21 si ottiene l’espressione dell’area della sezione del tubo di flusso ed il numero di avvolgimenti della singola bobina, secondo le seguenti relazioni:
(
)
(
max)
_ max 1 A m fi eff m m c r K r l H N θ θ μ ⋅ ⎛ ⎞ ⋅ ⋅ ⋅ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ⋅ ⋅ (A.22)141
![Figura A.2: andamento qualitativo dei flussi magnetici nel LFM [10]. Le ipotesi sulla base delle quali si ricava il circuito magnetico equivalente sono:](https://thumb-eu.123doks.com/thumbv2/123dokorg/7361676.94439/4.892.139.783.312.668/figura-andamento-qualitativo-magnetici-ipotesi-circuito-magnetico-equivalente.webp)
