Lezione 9 Travature elastiche

(1)

Lezioni del corso di

Elementi di Meccanica Strutturale

Università del Salento

Corso di Laurea in Ingegneria Industriale

prof. ing. Riccardo Nobile

1

Lezione 9 – Travature elastiche

a.a. 2021/2022

(2)

La formulazione del problema elastico vista in generale si riferisce ad un solido tridimensionale.

In maniera del tutto analoga, è possibile ricavare una formulazione semplificata per gli elementi monodimensionali come le travi.

Grazie a questa formulazione, saremo in grado di abbandonare il modello di corpo rigido che abbiamo adottato finora per eseguire l’analisi statica delle strutture.

In altre parole lo studio delle travature elastiche permette di determinare le reazioni vincolari e le azioni interne anche nei sistemi iperstatici.

Formulazione del problema elastico delle travi Introduzione

2

R. Nobile –Elementi di Meccanica Strutturale Travature elastiche

Uni ver sità del Salento

(3)

Una trave generica sarà definita dalla sua linea d’asse Γ e la corrispondente sezione trasversale A.

Poiché Γ è una curva regolare dello spazio, sarà possibile definire in ogni punto il versore tangente, che verrà associato alla direzione X, e un piano normale Π, su cui potremo fissare un riferimento Y, Z.

Formulazione del problema elastico delle travi Introduzione

3

Uni ver sità del Salento

(4)

Consideriamo una trave piana: essa sarà quindi definita da una curva regolare piana Γ, tale cioè che sarà possibile definire in ogni suo punto il versore tangente t e il versore normale n (per definizione diretto sempre verso il centro di curvatura).

Formulazione del problema elastico delle travi Travature elastiche piane

4

Uni ver sità del Salento

P

O

s x

y

t

n

(5)

Essendo inoltre una curva regolare sarà possibile individuare un’origine O e un riferimento locale, avente asse x diretto secondo il versore tangente t e l’asse y tale da formare una terna destrogira.

Si noti che, a seconda della curvatura, il versore n sarà coincidente o opposto a y.

Il generico punto P sarà univocamente individuato dall’ascissa curvilinea s

Formulazione del problema elastico delle travi Travature elastiche piane

5

Uni ver sità del Salento

P

O

s x

y

t

n

(6)

Formulazione del problema elastico delle travi Travature elastiche piane

6

Uni ver sità del Salento

Calcoliamo le derivate dei versori t e n utilizzando la figura riportata di seguito

𝑑 Ԧ𝑡

𝑑𝑠 = lim

Δ𝑠→0

∆Ԧ𝑡

∆𝑠 = lim

Δ𝜃→0

∆Ԧ𝑡

𝜌∆𝜃 = 1 ρ 𝑛 𝑑𝑛

𝑑𝑠 = lim

Δ𝑠→0

∆𝑛

∆𝑠 = lim

Δ𝜃→0

∆𝑛

𝜌∆𝜃 = − 1 ρ Ԧ𝑡

(7)

Imponiamo ora l’equilibrio del tratto di trave compreso tra P e P’, supponendo che sia infinitesimo.

Formulazione del problema elastico delle travi Equazioni indefinite di equilibrio

7

Uni ver sità del Salento

P

O

c q

P PP P P' P

(8)

Per fare questo asportiamo la parte destra e sinistra della trave, sostituendole con le azioni che esse esercitano

Formulazione del problema elastico delle travi Equazioni indefinite di equilibrio

8

Uni ver sità del Salento

^P

c q

P PP P P' P

- R - M M'

R'

𝑅^′ = 𝑅 +𝑑𝑅 𝑑𝑠 𝑑𝑠

𝑀^′ = 𝑀 +𝑑𝑀 𝑑𝑠 𝑑𝑠

(9)

Equilibrio alla traslazione

Formulazione del problema elastico delle travi Equazioni indefinite di equilibrio

9

Uni ver sità del Salento

P

c q

P PPPP' P

- R - M M'

R'

𝑅 + 𝑑𝑅

𝑑𝑠 𝑑𝑠 − 𝑅 + Ԧ𝑞𝑑𝑠 = 0 𝑑𝑅

𝑑𝑠 + Ԧ𝑞 = 0

(10)

Equilibrio alla rotazione (polo P)

Formulazione del problema elastico delle travi Equazioni indefinite di equilibrio

10

Uni ver sità del Salento

P

c q

P PP P P' P

- R - M M'

R'

𝑀 +𝑑𝑀

𝑑𝑠 𝑑𝑠 − 𝑀 + 𝑃^′ − 𝑃 × 𝑅 +𝑑𝑅

𝑑𝑠 𝑑𝑠 + 𝑃^′ − 𝑃 × Ԧ𝑞𝑑𝑠 + Ԧ𝑐𝑑𝑠 = 0 (𝑃^′ − 𝑃) = 𝑑𝑠Ԧ𝑡

𝑑𝑀

𝑑𝑠 𝑑𝑠 + 𝑑𝑠Ԧ𝑡 × 𝑅 + 𝑑𝑠Ԧ𝑡 × 𝑑𝑅

𝑑𝑠 𝑑𝑠 + 𝑑𝑠 Ԧ𝑡 × Ԧ𝑞𝑑𝑠 + Ԧ𝑐𝑑𝑠 = 0

(11)

Equilibrio alla rotazione (polo P)

Formulazione del problema elastico delle travi Equazioni indefinite di equilibrio

11

Uni ver sità del Salento

P

c q

P PP P P' P

- R - M M'

R'

(𝑃^′ − 𝑃) = 𝑑𝑠Ԧ𝑡

𝑑𝑀

𝑑𝑠 𝑑𝑠 + 𝑑𝑠Ԧ𝑡 × 𝑅 + 𝑑𝑠Ԧ𝑡 × 𝑑𝑅

𝑑𝑠 + Ԧ𝑞 𝑑𝑠 + Ԧ𝑐𝑑𝑠 = 0

= 0

𝑑𝑀

𝑑𝑠 + Ԧ𝑡 × 𝑅 + Ԧ𝑐 = 0

Poiché la curva è piana il momento M sarà sempre diretto secondo l’asse z, uscente dal piano, così come tutte le altre componenti vettoriali.

(12)

Formulazione del problema elastico delle travi Equazioni indefinite di equilibrio

12

Uni ver sità del Salento

𝑅 = 𝑁 Ԧ𝑡 ± 𝑇𝑛

Proiettiamo le due equazioni vettoriali secondo le componenti di x, y, z esprimendo R in funzione delle sue componenti dirette secondo la direzione tangente t e quella normale n.

Il segno della componente in direzione normale dipende dal fatto che le direzioni y e n non sempre coincidono

P

O

s x

y

t

n

(13)

Formulazione del problema elastico delle travi Equazioni indefinite di equilibrio

13

Uni ver sità del Salento

Proiettiamo l’equazione di equilibrio alla traslazione:

𝑑𝑅

𝑑𝑠 + Ԧ𝑞 = 0 𝑁𝑑 Ԧ𝑡

𝑑𝑠 +𝑑𝑁

𝑑𝑠 Ԧ𝑡 ±𝑑𝑇

𝑑𝑠 𝑛 ± 𝑇𝑑𝑛

𝑑𝑠 + Ԧ𝑞 = 0

𝑑 Ԧ𝑡 𝑑𝑠 = 1

𝜌 𝑛 𝑑𝑛

𝑑𝑠 = − 1 ρ Ԧ𝑡

𝑁

𝜌 𝑛 + 𝑑𝑁

𝑑𝑠 Ԧ𝑡 ±𝑑𝑇

𝑑𝑠 𝑛 ∓ 𝑇

𝜌 Ԧ𝑡 + Ԧ𝑞 = 0

𝑑𝑁 𝑑𝑠 ∓ 𝑇

𝜌 + 𝑞_𝑥 = 0

±𝑑𝑇 𝑑𝑠 +𝑁

𝜌 + 𝑞_𝑦 = 0

(14)

Formulazione del problema elastico delle travi Equazioni indefinite di equilibrio

14

Uni ver sità del Salento

Proiettiamo l’equazione di equilibrio alla rotazione:

𝑀 = 𝑀𝑘

±𝑇 Ԧ𝑡 × 𝑛 = −𝑇𝑘

𝑑𝑀

𝑑𝑠 − 𝑇 + 𝑐 = 0 𝑑𝑀

𝑑𝑠 + Ԧ𝑡 × 𝑅 + Ԧ𝑐 = 0 𝑑𝑀

𝑑𝑠 + Ԧ𝑡 × 𝑁 Ԧ𝑡 ± 𝑇𝑛 + Ԧ𝑐 = 0

= 0

(15)

Formulazione del problema elastico delle travi Equazioni indefinite di equilibrio

15

Uni ver sità del Salento

Travi curve

𝜌 = ∞ 𝑑𝑁

𝑑𝑠 ∓ 𝑇

𝜌 + 𝑞_𝑥 = 0

±𝑑𝑇 𝑑𝑠 +𝑁

𝜌 + 𝑞_𝑦 = 0 𝑑𝑀

𝑑𝑠 − 𝑇 + 𝑐 = 0

Travi rettilinee

𝑑𝑁

𝑑𝑠 + 𝑞_𝑥 = 0 𝑑𝑇

𝑑𝑠 + 𝑞_𝑦 = 0 𝑑𝑀

𝑑𝑠 − 𝑇 + 𝑐 = 0 𝑦 ≡ 𝑛

(16)

Dopo aver definito le equazioni di equilibrio della trave, occorre definire gli spostamenti e le deformazioni associate, ricordando che la curva piana è in realtà la linea d’asse di una trave, per cui ad ogni punto P sarà associata una sezione trasversale A, contenuta nel piano normale Π.

Applicando dei carichi alla trave, questa cambierà la sua geometria. In particolare il punto P potrà spostarsi secondo la direzione x o in direzione trasversale y. I due spostamenti saranno quindi identificati con u e v.

Formulazione del problema elastico delle travi Spostamenti

16

Uni ver sità del Salento

O x

y

u v

P' P

(17)

A seguito dello spostamento subito da P, la direzione tangente subirà una rotazione, definita dall’angolo φ.

Inoltre la sezione trasversale, che era prima normale alla linea d’asse, potrà aver subito una ulteriore rotazione φ_T.

Formulazione del problema elastico delle travi Spostamenti

17

Uni ver sità del Salento

(18)

In definitiva gli

spostamenti che

caratterizzeranno la generica sezione della trave in corrispondenza del punto P saranno due spostamenti e una rotazione:

Formulazione del problema elastico delle travi Spostamenti

18

Uni ver sità del Salento

O x

y

u v

P' P

𝑢

𝑣 = 𝑣_𝑀 + 𝑣_𝑇 Φ = 𝜑 + 𝜑_𝑇

(19)

Consideriamo il caso di una trave rettilinea di lunghezza l sollecitata da uno sforzo di trazione N.

Sperimentalmente si osserva che l’effetto di N è di allungare la trave della quantità Δl.

Tutte le sezioni si mantengono piane e normali alla linea d’asse

Formulazione del problema elastico delle travi Deformazioni estensionali dovute a N

19

Uni ver sità del Salento

𝜀 = ∆𝑙 𝑙 𝜀 = 𝑑𝑢

𝑑𝑥

(20)

Per la trave soggetta a deformazioni estensionali è quindi possibile identificare le grandezze caratteristiche e le tre equazioni che permettono di formulare il problema elastico.

Formulazione del problema elastico delle travi Deformazioni estensionali dovute a N

20

Uni ver sità del Salento

Deformazione Spostamento Caratteristica di Deformazione

Caratteristica di Sollecitazione

Estensionale 𝑢 𝜀 𝑁

Deformazione Equazione di congruenza

Equazione costitutiva

Equazione di equilibrio Estensionale

𝜀 = du

dx 𝜀 = 𝜎

𝐸

𝑑𝑁

𝑑𝑥 + 𝑞_𝑥 = 0

(21)

Poiché la deformazione ε e la corrispondente tensione normale σ è uniforme in tutti i punti della sezione, la sua risultante N sarà data semplicemente da:

Formulazione del problema elastico delle travi Deformazioni estensionali dovute a N

21

Uni ver sità del Salento

𝑁 = 𝜎𝐴

Combinando le tre equazioni di congruenza, costitutiva e di equilibrio si otterrà l’equazione delle linea elastica estensionale:

𝜀 = du dx 𝜀 = 𝜎

𝐸

𝑑𝑁

𝑑𝑥 + 𝑞_𝑥 = 0 𝑁 = 𝜎𝐴

𝑁 = 𝐸𝐴du dx du

dx = 𝜀 = 𝜎

𝐸 = 𝑁 𝐸𝐴

𝐸𝐴d²u

dx² + 𝑞_𝑥 = 0 d²u

dx² = − 𝑞_𝑥 𝐸𝐴

(22)

Consideriamo il caso di una trave rettilinea di lunghezza l sollecitata da un momento flettente M. Sperimentalmente si osserva che l’effetto di M è di provocare una variazione della curvatura della trave. La trave, inizialmente rettilinea, si disporrà a formare un arco di cerchio con raggio di curvatura ρ e angolo al centro θ.

Formulazione del problema elastico delle travi Deformazioni flessionali dovute a M

22

Uni ver sità del Salento

1

𝜌 = −

𝑑²𝑣 𝑑𝑥² 1 − 𝑑𝑣

𝑑𝑥

2 3 2

1

𝜌 ≅ −𝑑²𝑣 𝑑𝑥² L’equazione di congruenza si ottiene legando lo spostamento

caratteristico della flessione v alla Caratteristica di Deformazione 1/ρ

(23)

Consideriamo un elemento infinitesimo della trave e confrontiamo la configurazione deformata e indeformata. Si osserva che la fibra baricentrica non cambia la sua lunghezza mentre la fibra elementare posta a distanza y dall’asse baricentrico subisce un allungamento dato da:

Formulazione del problema elastico delle travi Deformazioni flessionali dovute a M

23

Uni ver sità del Salento

𝜀 = 𝜌 + 𝑦 𝜃 − 𝜌𝜃

𝜌𝜃 = 𝑦 𝜌 𝜀 = 𝑑𝑢

𝑑𝑥 = 𝑦 𝜌

(24)

Per la trave soggetta a deformazioni flessionali è quindi possibile identificare le grandezze caratteristiche e le tre equazioni che permettono di formulare il problema elastico.

Formulazione del problema elastico delle travi Deformazioni flessionali dovute a M

24

Uni ver sità del Salento

Flessionale 𝑣 1

𝜌

𝑀

Equazione di equilibrio Flessionale 1

𝜌 = −𝑑²𝑣

𝑑𝑥² 𝜀 = 𝑦

𝜌 = 𝜎 𝐸

𝑑𝑀

𝑑𝑥 − 𝑇 + 𝑐 = 0

(25)

Poiché la deformazione ε è variabile linearmente con y, anche la corrispondente tensione normale σ sarà variabile linearmente. Possiamo quindi determinare la risultante, pari a 0, e il momento risultante, pari a M, della distribuzione di tensioni attraverso i seguenti integrali:

Formulazione del problema elastico delle travi Deformazioni flessionali dovute a M

25

Uni ver sità del Salento

𝜎 = 𝐸𝑦

𝜌 න

𝐴

𝜎𝑑𝐴 = න

𝐴

𝐸

𝜌 𝑦𝑑𝐴 = 𝐸 𝜌 න

𝐴

𝑦𝑑𝐴 = 0

න

𝐴

𝜎𝑦𝑑𝐴 = න

𝐴

𝐸

𝜌 𝑦²𝑑𝐴 = 𝐸 𝜌 න

𝐴

𝑦²𝑑𝐴 = 𝐸𝐽_𝑧 1

𝜌 = 𝑀 z

y

A

dA

G

y

(26)

Formulazione del problema elastico delle travi Deformazioni flessionali dovute a M

26

Uni ver sità del Salento

Combinando le tre equazioni di congruenza, costitutiva e di equilibrio si otterrà l’equazione delle linea elastica flessionale:

𝑑²𝑣

𝑑𝑥² = − 𝑀 𝐸𝐽_𝑧 𝑀 = 𝐸𝐽_𝑧 −𝑑²𝑣

𝑑𝑥² 1

𝜌 = −𝑑²𝑣 𝑑𝑥² 𝜎 = 𝐸𝑦1

𝜌 𝑀 = 𝐸𝐽_𝑧 1

𝜌

(27)

Formulazione del problema elastico delle travi Deformazioni flessionali dovute a M

27

Uni ver sità del Salento

Combinando le tre equazioni di congruenza, costitutiva e di equilibrio si otterrà l’equazione della linea elastica flessionale:

𝑑𝑀

𝑑𝑥 − 𝑇 + 𝑐 = 0 −𝐸𝐽_𝑧 𝑑³𝑣

𝑑𝑥³ − 𝑇 + 𝑐 = 0 𝑇 = −𝐸𝐽_𝑧 𝑑³𝑣 𝑑𝑥³ + 𝑐

𝑑𝑇

𝑑𝑥 + 𝑞_𝑦 = 0 −𝐸𝐽_𝑧 𝑑⁴𝑣

𝑑𝑥⁴ + 𝑑𝑐

𝑑𝑥 + 𝑞_𝑦 = 0 𝑑⁴𝑣

𝑑𝑥⁴ = 𝑞_𝑦

𝐸𝐽_𝑧 − 1 𝐸𝐽_𝑧

𝑑𝑐 𝑑𝑥 In genere c = 0 o costante per cui si ha: 𝑑⁴𝑣

𝑑𝑥⁴ = 𝑞_𝑦 𝐸𝐽_𝑧

(28)

Consideriamo il caso di una trave rettilinea di lunghezza l sollecitata da un taglio costante T. Per garantire l’equilibrio, sarà presente anche un momento flettente M = Pl. Se la lunghezza della trave è sufficientemente piccola, il momento M e la relativa deformazione caratteristica di flessione tenderà a diventare trascurabile.

Sperimentalmente si osserva che le sezioni della trave tenderanno a scorrere l’una rispetto all’altra mantenendosi parallele fra loro. Le sezioni non saranno più ortogonali alla linea d’asse

Formulazione del problema elastico delle travi Deformazioni di scorrimento dovute a T

28

Uni ver sità del Salento

x y

v

l

𝛿 = 𝑑𝑣_𝑇 𝑑𝑥

(29)

Per la trave soggetta a deformazioni di scorrimento è quindi possibile identificare le grandezze caratteristiche e le tre equazioni che permettono di formulare il problema elastico.

Formulazione del problema elastico delle travi Deformazioni di scorrimento dovute a T

29

Uni ver sità del Salento

Scorrimento 𝑣_𝑇 𝛿 𝑇

Equazione di equilibrio Scorrimento

𝛿 = 𝑑𝑣_𝑇

𝑑𝑥 𝛿 = 𝑇

𝐺𝐴/𝜒

𝑑𝑇

𝑑𝑥 + 𝑞_𝑦 = 0

(30)

Formulazione del problema elastico delle travi Deformazioni di scorrimento dovute a T

30

Uni ver sità del Salento

Combinando le tre equazioni di congruenza, costitutiva e di equilibrio si otterrà l’equazione delle linea elastica di scorrimento a taglio:

𝑑𝑣_𝑇

𝑑𝑥 = 𝑇 𝑇 = 𝐺𝐴/𝜒𝑑𝑣_𝑇 𝐺𝐴/𝜒

𝑑𝑥 𝛿 = 𝑑𝑣_𝑇

𝑑𝑥 𝛿 = 𝑇

𝐺𝐴/𝜒 𝑑𝑇

𝑑𝑥 + 𝑞_𝑦 = 0 𝑑²𝑣_𝑇

𝑑𝑥² = − q_y GA/χ

Il parametro adimensionale χ è detto fattore di taglio e dipende dalla geometria della sezione

- sezione rettangolare χ = 6/5 - sezione circolare χ = 10/9 - sezione circ. cava sottile χ = 2

(31)

Formulazione del problema elastico delle travi Deformazioni di scorrimento dovute a T

31

Uni ver sità del Salento

La freccia dovuta al taglio è in genere molto più piccola di quella originata dalle sollecitazioni di momento flettente e può in genere essere trascurata per travi la cui lunghezza è almeno 10 volte la dimensione trasversale della sezione. Le frecce di taglio diventano rilevanti nel caso di travi tozze (lunghezza comparabile alle dimensioni trasversali della sezione)

(32)

Le travi piane e caricate nel piano non sono interessate da sollecitazioni di torsione. Da un punto di vista pratico, però, è utile formulare il problema elastico anche per le travi sollecitate a torsione, limitandosi al caso di interesse pratico di travi rettilinee. Gli alberi dei motori, delle turbine, delle trasmissioni meccaniche sono infatti sollecitate da momenti torcenti rilevanti.

Per piccole deformazioni, la torsione, così come avviene per lo sforzo normale, è una condizione di sollecitazione indipendente dalle altre.

Per poter impostare il problema è necessario innanzitutto ricavare l’equazione indefinita di equilibrio a torsione.

Formulazione del problema elastico delle travi Deformazioni di scorrimento dovute a M

_t

32

Uni ver sità del Salento

(33)

Imponendo l’equilibrio alla rotazione di un elemento infinitesimo di trave su cui agisce un carico torcente distribuito m si ha:

Formulazione del problema elastico delle travi Deformazioni di scorrimento dovute a M

_t

33

Uni ver sità del Salento

^𝑀^𝑡 ⁺

𝑑𝑀_𝑡

𝑑𝑥 𝑑𝑥 − 𝑀_𝑡 + 𝑚𝑑𝑥 = 0

𝑑𝑀_𝑡

𝑑𝑥 + 𝑚 = 0

x y

z

m M

M'

(34)

Consideriamo il caso di una trave rettilinea a sezione circolare di lunghezza l sollecitata da un momento torcente M_t. Sperimentalmente si osserva che la sezione di estremità subisce una rotazione θ attorno alla linea d’asse. La generatrice AB nella configurazione indeformata assumerà la configurazione di un tratto di elica cilindrica, con inclinazione γ rispetto alla generatrice.

Formulazione del problema elastico delle travi Deformazioni di scorrimento dovute a M

_t

34

Uni ver sità del Salento

𝛾 = 𝑑𝜃 𝑑𝑥

Il parametro di spostamento caratteristico sarà quindi la rotazione θ e l’equazione di congruenza sarà data da:

(35)

Per la trave soggetta a deformazioni di torsione è quindi possibile identificare le grandezze caratteristiche e le tre equazioni che permettono di formulare il problema elastico.

Formulazione del problema elastico delle travi Deformazioni di scorrimento dovute a M

_t

35

Uni ver sità del Salento

Torsione 𝜃 𝛾 𝑀_𝑡

Equazione di equilibrio Torsione

𝛾 = 𝑑𝜃

𝑑𝑥 𝛾 = 𝑀_𝑡

𝐺𝐽₀/𝑞

𝑑𝑀_𝑡

𝑑𝑥 + 𝑚 = 0

(36)

Formulazione del problema elastico delle travi Deformazioni di scorrimento dovute a M

_t

36

Uni ver sità del Salento

Combinando le tre equazioni di congruenza, costitutiva e di equilibrio si otterrà l’equazione delle linea elastica torsionale:

𝑑𝜃

𝑑𝑥 = 𝑀_𝑡 𝐺𝐽₀/𝑞 𝑀_𝑡 = 𝐺𝐽₀/𝑞𝑑𝜃

𝑑𝑥

𝑑²𝜃

𝑑𝑥² = − 𝑚 𝐺𝐽₀/𝑞

Il parametro adimensionale q è detto fattore di torsione e dipende dalla geometria della sezione

- sezione circolare q = 1 𝛾 = 𝑑𝜃

𝑑𝑥

𝛾 = 𝑀_𝑡 𝐺𝐽₀/𝑞 𝑑𝑀_𝑡

𝑑𝑥 + 𝑚 = 0