Su u n a classe di s u p e r f i c i e - m o d e l l o
di u n a t r a s f o r m a z i o n e b i r a z i o n a l e fra due piani.
Memoria di 3/I~mo BALDASSARRI (a Padova).
Sunto. - S i dimos.tra che ogni F02n ~2, non rigata~ a residuo di genere hUllO delto S a l e , con n ~ 1~ contiene u n numero flnito N di coppie di reti omaloidiche di curve razionali normali d'ordine n-4-1, mutuamente residue rispetto i[ sistema delle sezioni iperpiane ] C I di F o . Gli spazii Sn+I delle curve di u n a coppia di reti associate empiono u n a s~essa forma cubica generabile con tre stelle omografiche di iperlgiani.
Ogni Fo 2n ~2 di quet tipo pub generarsi proiettivamente medianta (n -~- 1)stelle~ tre di s p a z i i an t l e le altre di iperpiani~ riferile proief,$ivamente con opportune condizioni.
( n - - l ) normale I n generale quelle stelle generano u n a suparfieie ¢ d'ordine 2n-4-2 4- • 2 '
hello Sa÷a. L a ep si riduee ad u n a superficie del tipo ~o ~ quando nella variet4 9enerata ccmpaiono sistemi di sp~zi opportuni, associati ai p u n t i basa delle reti omaloidiche di curvs pinna.
Tale generazione proiettiva consents di giungere ad u n a rappresentazione anali'tica delle superflcie del tipo ¢P ad F ~. Tenendo infine conto che le F "2a ~ ~ risultano dei modelli di trasformazioni birazionali piane T ~ d'ordine n~ conseguono intimi lagami e deduzioni~
che permettono di giungere f r a l' altro ad u n a rappreseutazione analitica della T n. Si segaalano infine atcune osservazioni che l'autore pensa possano contribuire a facilitate
lo studio dells T n.
Q u e s t o l a v o r o , c u i d e t t e r o origin~e a l e u n e o s s e r v a z i o n i del p r o f . BEI~IA- MINO SEGRE, VUOI e s s e r e u n a i n d a g i n e i f i t e s a a l l ' a p p r o f o n d i m e n t o dello s t u d i o d e g l i e n t i i p e r s p a z i a l i c h e s ' i n e o n t r a n o n e l l a r a p p r e s e n t a z i o n e di u n a t r a s f o r . m a z i o n e b i r a z i o n a l e p i a n a d~ordine n, T ' , c h e L. GODEAUX (~), s e g u e n d o u n a t i p i e a i d e a d e l l a g e o m e t r i a a l g e b r i c a , ha, c o n s i d e r a t o t e m p o f~ n e l l ' i n t e n t o di a p p l i c a r l a a d u n a r a p i d a r i s c o p e r t a d e l l e r e l a z i o n i f o n d a m e n t a ] i di CL]~BSCH.
E g l i r a p p r e s e n t a le e o p p i e di p u n t i o m o l o g h i in u n a T " f r a d u e p i a n i col p u n t i di u n a s u p e r f i c i e r a z i o n a l e F ~ + u d e l l o S,~+~, c h e r i s u l t a q u i v i n o r m a l e , a c u r v e s e z i o n i di g e n e r e .p ~ n - 1. L a F $i o t t i e n e , n e l m o d o pifi n a t u r a l e , f a c e n d o 1 i m m a g i n e p r o i e t ~ i v a del s i s t e m a s o m m a d e l l e r e t t e di u n p i a n o c o n le c u r v e di u n a r e t e o m a l o i d i c a di q u e l p i a n o .
T a l l F si p r e s e n t a n o d u n q u e c o m e s u p e r f i c i e r a z i o n a l i il c u i s i s t e m a di s e z i o n i i p e l : p i a n e ~ s o m m a di d u e s i s t e m i l i n e a r i di g e n e r e zero. I n u n m i o l a v o r o di c o n t e m p o r a n e a p u b b l i e a z i o n e t *) d i m o s t r o e h e t u t t e le F ~" d e l l o (l) I1 primo lavoro in merito di ]5. GODEAUX 3: Sur la reprdsentation des transf~ etc., Bull. de la Socigt~ des Sciences de Liege ,~ 19~2~ pp. 268.271. Ulter!ori riferimenti ad attri lavori saranno fatti di volta in volta.
(~) Ricerche s~lle F n di Sn-p~-I con n ~ 2p~ ~ Rendic. Sem. Mat. della Universit~ di P a d o v a , , T. XX, t951. I n questo lavoro si troveranno anehe condizioni necessarie e suffi- cienti perch~ una F n di Sn_~+ l con n > 2p sin a residuo di genere zero.
23"2 M. BALDASSAR~I: Su una classe di superticie-modePo, ecc.
S,,_p+, non rigate con m > 21o hanno il sistema delle sezioni iperpiane somma di un sistema lineare di genere zero, e di u n sistema residuo, cosicchi~
le superficie in esame si presentano a p p u n t o come superficie di residuo a genere zero. I n d i e h e r e m o s e m p r e tali superficie col simbolo Fo.
Da qui p a r t e la presente ricerca che prima di tutto si svolge a garantire l'inver~ibilit/~ della rappresentazione. Dimostro percib che v i c e v e r s a ogni Fo2~+~
dello S~+t, con h > 1, contiene semp'e almeno u n a coppia di reti di curve razionali e normali di ordine n + 1, m u t u a m e n t e residue rispetto il sistema [C ] delle sez~oni iper10iane.
P r o i e t t a n d o dallo S,÷1 di u n a di quelle curve la F 0 su un piano, una rete si proietta nella fete delle rette di quel piano, e l ' a l t r a in una t e r r a rete omaloidiea
P e r t a n t o ogni F n di quel tipo pub viceversa pensarsi come immagine di certe trasformazioni birazionali t h e restano n a t u r a t m e n t e individuate a meno di omografie. P e r b si rileva la osservazione che non la F 0 ~ un effettivo modello, ma, in generale, la F , rispetto u n a sua certa fissata coppia di reti, dubbio t h e perb pifi avanti viene rimosso.
Gli spazi S,+~ di a p p a r t e n e n z a delle curve di d u e reti r e s i d u e empiono unot unico~ forma che studio e che r i s u l t a essere u n a forma eubiea ~.+3 con u n a variet~ sestica doppia ad n dimensioni ed a curve sezioni ellittiche {~i.
N a t u r a l m e n t e esistono tante Ea ~,+a in tale si~uazione, che per brevith chiamo
• E**+a risulta il tip(~
congiunte ad Fo, q u a n t e coppie di reti esistono su F o L a 8
ben noto di forma c u b i c a generabile proiettivamente con tre stelle omografiche di iperpia~i.
A tal punto si p r e s e n t a v a essenziale ricercare s e viceversa u n a Z 3 ,~+~ di quel tipo proiettivo contenesse sempre delle F o ad essa congiunte.
L a risposta a f f e r m a t i v a che ottengo ~ ricca di conseguenze. Dimostro infatti anzitutto che u n a F 9 "+2 del tipo in esame pub sempre essere generala da n-+~ 1 stelle proiettive, di cut tre di Sn+u e le altre d'iperpiani. La gene- razioue indicata non si p r e s e n t a tuttavia s e n z ' a l t r o invertibile.
I n f a t t i n - ~ - 1 stelle di quel tipo scelte e legate genericamente g e n e r a n o 0 d ' o r d i n e 2 n - I - 2 + ' ( n 2 t ) , " a c u r v e sezioni di in generale u n a superficie
\ ]
( n - - 1 ) T u t t a v i a ~ possibile a~segnare le condizioni cut genere p - ~ n - - 1 + 2 "
devono sottostare le stellc e le omografie perch~ la gP si riduca ad una Fo, ed esse, nel modo pii: semplice ed elegante, si trovano consistere hello staecarsi dalla varietal generala di uno~ serie di spazii ~ te cut dimensioni costituisc~mo
(3) I I prof. BEmA~I:NO SEGr:E propose~ in seguito ad u n a c o n f e r e n z a t e n u t a da L. GO- DEAUX nel S e m i n a r l o della U n i v e r s i t h di Bologna, lo studio di tall v a r i e t ~ di st~azi. ]~ a tale o s s e r v a z i o n e del prof. SE~Re, che qui r i n g r a z i o , t h e risale lo spunto iniziale di questo lavoro.
hi. B~:bD.~SSARRI: Su una classe di supergcie-model~o, etc.
un sistema possibile di c a r a t t e r i s t i c h e per una T ' . Ed il legame ~ assai intimo, perch~ gli g2~ risultano a p p u n t o essere gli spazi a m b i e n t e delle curve razionali normali (~ ( f o n d a m e n t a l i ) i m m a g i n i sulla F0 degli intorni dei p u n t i f o n d a m e n t a l i della T ' .
A sua volta si studiano poi delle condizioni sufficienti perch~ cib avvenga e queste vengono sfruttate a fornire una rappresentazione analitica delle superficie considerate, e quindi, in definitiva, delle T n piane, la quale, nella s u a speciale forma, costituisce di per se un interessante risultato.
Consegue da cib ehe ogni forma Z3 n+a del tipo generabile con stelle omo- grafiche d ' i p e r p i a n i contiene una infinith di superficie F o d ' o r d i n e 2 n - J - 2 ed anzi ogni modello proiettivo della E ne eontiene certo sistemi proiettiva.
mente dislinti.
Accenno quindi, senza alcuna p r e t e s a di approfondimento, ad una que- stione molto interessante. Si vede che u n a F contiene p e r n > 2 u n n u m e r o di coppie di reti associate maggiore di uno, il ebb fornisce gi~ una conoscenza utile nel Problema della classificazione delle T " ; esso si pub infatti interpre- tare nel senso che le reti omaloidiche delle T" possono sempre ottenersi s o m m a n d o due opportune reti omaloidiche di gradi r e d s con r, ad esempio, maggiore di uno e r + s ~---n + , 1 , disposte relativamente in m(~do di avere grado relativo n~ e quindi sottraendo dai sistema trovato la fete delle rette del piano. Tutto cib, come si fh notate, riflette questioni aritmetiche sulle c a r a t t e r i s t i c h e che non sembrano dimostrabili in modo semplice e diretto.
I1 n u m e r o N di coppie di reti costituisee molto p r o b a b i l m e n t e u n a funzione a l q u a n t o complessa dellc caratteristiche, ed offre le solite difficolth di deter- minazione di tutti i p a r a m e t r i n u m e r i c i delle T ' : facili a determinarsi con sempliei considerazioni nel caso singolo, quasi impossibili in generale. Tut- tavia diamo in proposito alcune osservazioni, notando t h e it p r o b l e m a t e s t a come uno dei pifi interessanti perch~ risulta anche collegato alla considera.
zione delle trasformazioni proiettive della F0 in s~.
Pifi t h e altro, concludendo, qui si sono volute tentare aIeune vie e com- piere alcune esplorazioni. L ' a r d u o campo della casistiea delle T " ne resta certo avvantaggiato : ad esempio si pensi che il p r o b l e m a della classificazione delle T " r e s t a cosl ricondotto a quello della classificazione delle ( n - t - 1 ) - p l e di stelle generanti, helle condizioni che abbiamo gih detto. Si tratta certo aneora solo di indirizzi che r i c h i e d e r e b b e r o un pifi concreto quadr% nonch~
u n a schematizzazione formale che ne rendesse agile 1' applicazione, per potersi dire v e r a m e n t e utili. T u t t a v i a in un campo cosi povero di strumenti generali e in cui il caso particolare rifiuta legami e m u t a m e n t i ]egaliz.
zabili rispetto i casi anche prossimi, alcune prospettive uniformi valide a t r a s f o r m a r e un ostico p r o b l e m a di c a r a t t e r e aritmetieo in una pii~ agevole gamma di problemi a carattere continu% possono ritenersi, se p u r e complesse talvolta, p u r s e m p r e utili. Ed ~ in tale spirito che questo lavoro ~ stato pensato.
An~al~ di Matema~ica 30
234 ~V[. BALI)ASSARRI: ~ t una classe di superficie-modeYo, ecc.
1 . - - Sia T " u n a trasformazione birazionale fra due piani = e .-:', e siano
t p'~l e I~'nl le due reti omaloidiche associate alla T ' .
E s p o n i a m o d a p p r i m a b r e v e m e n t e la rappresentazione iperspaziale della T ' , c o n s i d e r a t a da L. GODEAUX (').
Si consideri, ad esempio sul piano ~, il sistema lineare completo somma della rete [ ~ ' [ e della rete dclle rette del piano. II sistema che si ottiene risulta formato di curve d' ordine n - , - 1, genere p = n -- 1 ed ha dimensione n + 4 e grado 2n + 2~ L a sua immagine proiettiva in uno spazio S,~+t risu]ta quindi una superficie F d ' o r d i n e 2 n + 2 a curve sezioni di genere n - - 1 .
Analogamente si pub o p e r a t e sul piano =', ottenendo, se si vuole nello stesso Sn+~, una superficie F' che risulta omografica a l l a F : b ora possibile scegliendo o p p o r t u n a m e n t e i p a r a m e t r i arbitrari delle omografie t h e inter- vengono nel processo considerato far si che F coincida con F'.
Da cib consegue che una trasformazione T" p e n s a t a come insieme delle sue ~ coppie di elementi associati pub s e m p r e porsi i n e o r r i s p o n d e n z a bira.
zionale cot p u n t i d i u n a superficie F ~+2 n o r m a l e i n u n o spazio S,+2, i v i r a z i o n a l e ed a curve sezioni di genere p ~ n - 1.
2. -- Sin qui giunge la r a p p r e s e n t a z i o n e di L. GODEAUX, ehe egli pot adopera per r i c a v a r e le relazioni che legano le car~/tteristiche d i u n a T".
Non resta perb garantito, e del resto n e p p u r e analizzato, sino a qual punto la r a p p r e s e n t a z i o n e considerata costituisca un modello, cio~ quali siano, viceversa, i caratteri che deve avere una superficie F dello S,+4 per poter essere considerata come r a p p r e s e n t a t i v a d i u n a T ' .
5[oi vogliamo approfondire come prima cosa tale ricerca e, in questo scopo, iniziamo col dimostrare il t e o r e m a :
TEOREMA 1. - Ogni superficie F 0 , a r e s i d u o di genere zero, d ' o r d i n e 2n-~- 2.
n o r m a l e i n u n o S.+4, contiene s e m p r e a l m e n o u n a coppia di reti di curve C' e C" r a z i o n a l i n o r m a l i d ' o r d i n e n + 1, r e s i d u e l ' u n a dell'allra rispetto il s i s t e m a delle sezioni i p e r p i a n e I CI d e l l a Fo.
Notiamo subito che se si considera il sistema lineare delle sezioni iper- plane C della superficie Fo, questo risulta di grado 2n + 2, e le curve C risul- tano di genere p, con p---~ n - - 1 poich~ la deficienza della serie caratteri-
n-~-3
stica ye~+2 del sistema ] C I , serie ehe non ~ certo speciale, ~ nulla.
P e r t a n t o per un ben noto criterio la razionalit~ della F o (ovvero la sua riferibilith ad una rigata), discende gih immediatamente.
Si proceda ad imporre s u c c e s s i v a m e n t e n punti doppi alle curve C e st, considerino i successivi sistemi algebrici F , , . . . , F~ che cosi si ottengono. Se I~ ad esempio risultasse riducibile come sistema, intenderemo che F~ indichi una sua c o m p o n e n t e irriducibile di dimensione massima.
(4) IA. GODEAUX~ Un8 reprdsentation des transl, birationelles~ etc., (( l - ~ m . Acad. r o y a l o de B e l g i q u e ~, T. X X I V , Fasc. 2~ pp. 5-7.
M. B~DASSARRI: S u una classe di superfic~;e-model'o, ecc. 235
I | sistema F~ eui si arriva, poieh~ la imposizione d i n p u n t i doppi com- porta at p i i e n condizioni, ~ a n sistema di dimensione eguale almeno a quattro.
] n o l t r e le curve C* cui si a r r i v a sono c e r t a m e n t e carve spezzate in v ~ 2 C~ C~ ... C*, e cib perch~ il genere p ~ eguale ad componenti t h e diciamo * *
n - 1 (~).
Ciascuua C* varierh in uu eerie s i s t e m a algebrico El, e poichi~ si pub sempre pensare che due dei punti doppi imP0sti siano in due generiei p u n t i di Fo, dub almeno di quei sistemi r i s u l t e r a n n o c~ ~, dovendo esistere due certe componenti collegate in quei due punti.
Se f r a le C* se ne considerano due C~ e Cj* con i ~ j a p p a r t e n e n t i ad u n a stessa C* e si considerano le C7 prossime a quella C~*, pub essere ehe esse incontrino o no la -* C i . Nel seeondo case la C* non sarebbe i n c o n t r a t a da n e s s u n a C~, e queste descriverebbero quindi u n a superficie non conte- n e n t e la C*, e percib Fo sarebbe spezzata. D u n q u e le C/* incontrano le C*, e secondo u n grade cos~ante, pari al n u m e r o dei p u n t i di collegamento che connettono ia C 7 con la C*.
Si p r e n d a n o allora due C*, e si consideri il gruppo tolale delle lore intersezioni pari a 2n + 2. Se con d~s indichiamo i gradi r e l a t i v i di u n a C*
con u n a Cj* (in partieolare di u n a C~ con u n a C*), si ha, tenendo conto che
~. d,j > n (~):
(C*, C*) ---- E d~ 4- 2 E d~j "--- 2 n -+- 2, e q u i n d i
E di~ ~ 2.
Ora, dovendo, come si ~ detto, almcno due C* e C7, descrivere sistemi almeno ~ , distinti o no, bisogna t h e questi due sistemi abbiano almeno grade uno, a meno che uno di essi sia composto con le curve di un sistema ~ 1 il che per u u a F 0 ~ da e s c h d e r s i . P e r t a n t o , cib escluso, quei gradi devono essere proprio uno, e quindi i due sistemi c<) ~ r i s u l t a n o due reti (omaloidiche) di curve razionali, e come conseguenza si ha che v ~ 2 perch~ la somma delle dimensioni deve essere eguale a quattro.
Quindi, concludendo, la superficie F~, contiene almeno u n sistema ~ di sezioni iperpiane spezzate in due componenti razionali C ' e C ' . Queste sezioni risulSano, in definitiva, quelle eseguite con gli i p e r p i a n i n - t a n g e n t i la superficie Fc. , ehe, come corollario, risultano effettivamente c~ ~ e non pifi.
Si noti che avendo sempre supp¢)sto di operare su componenti |'~ irridu- cibili b ovvio che in generale "potranno presentarsi pifi coppie del ripe delle (5) Le proprieth (in piccolo) dei sistemi algebrlci contenenti curve spezzate, sono state da me approfondite nella no~a: Sui sistemi algebrici di cu~'ve~ etc, ~ Rendie. Sere. ~¢~at. della Univ. di Padova % Vol, X I X , 1950, p. 396.
(6) Questa relazione ~ vera pel fatto chela F0 ~ a residue di genere zero. Aitriraenti essa pub non essere verificata. Si ¢onfrouti il lavoro citato in (~).
236 5f. ]~AU)ASSAn~: S u u n a classe di super~cie-model'o, ccc.
reti C' e C", r e s i d u e l ' u n a d e l l ' a l t r a r i s p e t t o il s i s t e m a delle sezioni iper- p l a n e . I n o l t r e ~ i m m e d i a t e e h e d o v e n d o ad e s e m p i o p e r a n n C ' p a s s a r e gli c o ~ {e n o n pi~t) i p e r p i a n i s e g a n t i le C", e s s a d e v e g i a c e r e in u n S'~+1, cio~
le c u r v e C ' e C" sono r a z i o n a l i e n o r m a l i e d ' o r d i n e n + 1 (~).
P e r t a n t o l a F 0 p o s s i e d e d u e r e t i o m a l o i d i c h e di c u r v e r a z i o n a l i e n o r m ~ l i di o r d i n e n ~ - 1 , di g r a d e r e l a t i v e n. N a t u r a l m e n t e esse p o t r a n n o in g e n e r a l e p r e s e n t a r s i c o n a l t r e c o p p i e , dello stesso tiP0 , e ~ t r o d i f f e r e n t i c o m p o n e n t i i r r i d u c i b i l i d e l s i s t e m a E.
L e d u e reti ] C ' [ e I C " [ h a n n o g r a d e r e l a t i v e n. Si c o n s i d e r i a l l o r a u n a c e r t a C' e sin £ il s u e upazio e ~' u n p i a n o o p p o s t o ad £ . P e r p r o i e z i o n e d a l l o s p a z i o £ la s u p e r f i c i e F 0 si r a p p r e s e n t a b i u n i v o c a m e n t e s u l p i a n o r:'.
A l l e d u e r e t i t C ' ] e I C " ] v e n g o n o a c o r r i s p o n d e r e su ~' r i s p e t t i v a m e n t e u n a r e t e o m a l o i d i c a ] / " I di c u r v e d ' o r d i n e n e la r e t e d e l l e retie. Se si f i s s a i n v e c c u n a c u r v a C" ed ~ :d' il s u e s p a z i o a m b i e n t e e d a a" si p r o i e t t a la F 0 su u n p i a n o o p p o s t o r:", la F 0 si r a p p r e s e n t a a n c o r a b i u n i v o e a m e n t e s u ~:" e le r e t i ] C " I e I C ' I si r a p p r e s e n t a n o r i s p e t t i v a m e n t e s u u n a r e t e o m a l o i d i c a di c u r v e d ' o r d i n e n I P " I e n e l l a f e t e delle r e t t e : Se si c o n s i d e r a n o c o m e c o r r i s p o n d e n t i d u e p u n t i P ' e P " di ~' e 7:" q u a n d o sono p r o i e z i o n i d i u n o stesso p u n i c P d e l l a F, si o t t i e n e u n a c o r r i s p o n d e n z a bira- z i o n a l e f r a u' e ~", i m m a g i n e d e l l a identit'~ s u l l a s u p e r f i c i e Fo~ tale c h e s e P ' d e s c r i v e u n a r e t t a ~" il p u n t o P d e s c r i v e u n a C" e q u i n d i il p u n t o P " u n a o t t r v a ~9 Hn.
P e r t a n t o si t r a t t a di u n a t r a s f o r m a z i o n e T '~ in c u i l e r e t i ] ~ " 1 ~ ] P " ' I s o n o le d u e r e t i o m a t o i d i c h e conjugate. D u n q u e u n a Fo e~÷2, n o n rigatc~, dello S , ÷ ~ i n d i v i d u q , a m e n o di omografie, u n a t r a s f o r m ~ z l o n e T ' , q u a n d o , q u a l o r a la F o p o s s i e d a pii~ t o p p l e di reti associate, si stabilisca di r i f e r i r s i a d u n a di esse.
Si noti c h e p u b e s s e r e t h e d u e d i f f e r e n t i c o p p i e di reti a s s o c i a t e s i a n o p r o i e t t i w m e n t e e q u i v a l e n t i , ed in tal c a s e si potr~t d i r e c h e l a F 0 s t e s s a b u n m o d e l l o d e l l a T ' , ma~ in m a n c a n z a di tale c o n o s c e n z a , ~ n e c e s s a r i o r i f e r i r s i a l l a s i n g o l a c o p p i a di r e t i , e n o n a l i a F 0 s o l t a n t o .
(7) Si noti the la dimostrazione esegaita conduce a]la conseguenza che g'li n punti di contatto degli iperpiani n-tangenti F o devono giacere in uric spazio Sn-1 e non di dimen.
sione minore. Tale proprieth, viceversa~ ammessa, fh immediatamente conseguire ii teorema perch~ ullora se r ed s sono gli ordini delle eomponenti della curva spezzata e p e ~ le diraensioni dei Io1~0 spazii ambience, si deve avere : r 4- s --~ p + z -~ 2n + 2, da eui necessa- mente" ,a ~-~--r, v ~-s~ e quindi quelle due curve sono razionali e normati. Si giunge cos~
tenendo conto che in tal case la serie segata dalle residue di una C r (o una C s) su una C non speciale, a due sistemi lineari residui rispetto i C] di curve razionali norma]i.
Proietta~do aliora dallo spazlo Sr d i u n a C ~ (con r ~ n - t - i } s u uno spazio opposto la F~ si trova quivi una F0" a curve se~ion[ razioi~ali~ e ne consegue con semplioi analisi c h e l a F contiene sempre almeno dt~e reti di curve razionall llormali d' ordine (n ~-1}.
~[. BALDASSARRI: S~t u n a c~asse d i superfic~;e-modet~o, ecc. 237 3. - - P a s s i a m o era ad occuparci di certe variet~ connesse con le super.
ficie-modello considerate.
Sia d u n q u e F o u n a superficie d'ordine 2n + 2, non rio~ata, normale nello S,,_~ e s i a n o : I C ' [ e I C " I due reti di emwe razionali d~ordine n + l associate nel modo noto in Fo, che per brevith di discorso diremo talora prima e s e c o n d a rete.
Le C' e ]e C" giaceiono in spazi ad n + 1 dimensioni, rispettivamente S',,+t ed S"n+I, che si distribuiscono in due sehiere doppiamente infiaite.
Consideriamo ad esempio gli S'~+l. Essi empiono entro lo S.+a u n a cer~a variet~ E che dev'essere u n a forma. Infatti altrimenti p e r un suo pTanto generico p a s s e r e b b e r o infiniti spazi S , _ 1 , e quindi gli S',,+1 dovrebbero segare un certo S',~+~ seeondo degli S,,_t perch~ una doppia infinith di questi d o v r e b b e r i e m p i r e lo S',~+1. Mu allora due S'n+~ starebbero entro uno stesso S,~+s, ehe dovrebbe contenere anche u n a C", e quindi, perch~ le due C, e s a u r i r e b b e r o la intersezione di quello S~+~ con la Fo, una. di quelle C' do.
vrebbe coineidere con quelIa C", e cib ~ assurdo perch~ le due reti sono prive di c u r v e comuni, quando sia n > 1 come d'ora in poi supporremo sempre (~).
Inoltre uno S',~+~ ed uno Sn+~ si tagliano in spazi Sn_l, e quindi ogni S"n+~ giaee entro la varieti~ E, che risulta quindi una forma luogo di due schiere doppiamente infinite di spazii S,+~ d'indice finito.
4. - - Vediamo ora di ehe tipo risulti la varieti~. Seghiamola percib con uno S, generico dello Sn+~. Si trova in questo una E* eontenente almeno due sistemi a l g e b r i c a m e n t e distinti d ' i n d i c e finito di rette. L a 2]~ b quindi u n a forma p l u r i r i g a t a (s dello S 4. P e r t a n t o per un teorema (Lo) che caratte- riz~a tail forme o la E* b una p l u r i r i g a t a impropri% clog eontiene un sistema irriducibile d ' i n d i c e due di retto, il che nel nostro caso non ~, o la ~* ~ a curve sezioni elli~tiche, che ~ d u n q u e il solo caso possibile.
D ' a l t r a parte In E non pub possedere una V,,.~ doppia, il che si vede ripetenclo u n r a g i o n a m e n t o fatto poeo sopra, e quindi ia X~ non possiede u n a superficie doppia. ~ e scende che la E~ e quindi la E deve cssere una una forma cubica.
]1 tipo di ~.3 =a in esame ~ il ben noto tipo contenente due sistemi di rette d ' i n d i c e uno, ed un sistema residuo d'indice q u a t t r o rispetto il sistema totale d ' i n d i c e sei che deve essere posseduto da una forma c u b i c a dello S~. Tale ,-3v*'~
(s} P e r n - - - - t , si ottiene la s u p e r f i c l e di VEaO~ESE la cui v a r i e t ~ E associata ~ bell nora. I I c~so ~ r e l a t i v a m e n t e eccezionale, perch5 in tal eas% e solo in quest% le due r e t i I C'I e t C " I coincidono in una f e t e uniea.
(g) M. BALD~SSARRI~ L e v a r i e t ~ p l ~ r i r i g a t e a tre d i m e n s i o n i , ~ R e n d i c . Sere. Mat. d e l l a U n i v . di P a d o v a ,,, V o l . XIX~ 1950, p. 172.
(i0) ~ o ~ a eitata sopra, p. 3 4 0 , (Aggiun~a ...).
238 ~ . ] ~ A S S a ~ R ~ : S u u n a ctasse di superficie-model!o, ecc.
contiene, c o m ' ~ note, sei punti doppi. Ne deriva c h e l a Z eontiene una variet~ del sesto ordine e d i m e u s i o n e n, A~, doppia per essa.
Si seghi era la ~E con uno S~ generico. Si trova qui u n a forma cubica, studiata da E.
VENERO~I,
luogo di due schiere di piani trisecanti secondo certe g~-~ una sestica, doppia per la forma, che deve essere ellitfiea (~'); quindi la variet'~ A~ ~ a curve sezioni ellittiche.Si sa, d ' a l t r a parte, dalla classificazione delle varietit a curve sezioni eltittiche (~) che te A,~ di tale tipo con n > 4 sono n e c e s s a r i a m e n t e coni aventi uno S,,_~ come vertice, e quindi per n > 4 la Z stessa r i s u l t a un cone cubieo con quel vertiee, ed essa si ricava dalla Z~ di S~ per proiezione da uno S,,_~ esterno.
P o s s i a m o d u n q u e concludere e e l t e o r e m a :
TEOREM~ 2. - Gli s p ~ z i i S'~+~ ed S",~+~ di d u e r e t i associate di u n a Fo ~'÷') n o n r i g a t a dello S.+~ e m p i o n o u n a f o r m a cubica ~,+~ c h e : c o n t i e n e u n a h~
d o p p i a a c u r v e s e z i o n i ellittiche. P e r n > 4 la f o r m a ~2 ~ u n cone a v e n t e T e r vertice a l m e n o u n o S . _ ~ .
5. - - Quanto abbiamo fin' e r a trovato r a p i d a m e n t e pub essere dimostrato per ultra via che qui esponiamo per gli interessanti sviluppi che essa permette.
Sia Fo u u a . s u p e r f i c i e dello stesso tipo e ]C' I e I C"] le due solite reti.
F i s s i a m o tre certe C' ed i relativi S'+~+~ che diciamo ~'~ ~'~ £~: Questi tre spazi sono centri di tre stelle E'~, Z'~ e Z'~ d ~iperpiani.
Diciamo allora corrispondeuti tre iperpiani, uno di c i a s c u u a stella, q u a n d o essi proiettano lo S"n+~ di u n a C'. L e eorrispondenze cosi generate fra le stette sono e v i d e n t e m e n t e univoehe. Inoltre s e a d esempio l ' i p e r p i a n o per £, descrive un faseio, variando quindi interne ad uno S~+2, t h e taglier~ Fo nell'unico p u a t o base del fascio di C" segate da quegli ipevl>iani su F 0 fuori di C', gli iperpiani corrispondenti varieranno interne ai due S~,+2 che con- giuugono £~ e £3 con q u e l pun~o, e quindi d e s c r i v e r a n u o ancora dei fasci.
Si conclude che le corrispondenze cosl definite fra le tre stelle "~' ~ sono delle omografie, e quindi vale il t e o r e m a :
TEOREYI~ 3. - Gli s p a z i S",~+1 d i u n a s c h i e r a d e l l a f o r m a E sono p r o i e t t a t i d a tre S'.+, d e l l ' u l t r a s c h i e r a secondo reti p r o i e t l i v e d ' i p e r p i a n i .
Consideriamo v i c e v e r s a ire a r b i t r a r i S ' , + t d i u n o S~+4 :¢'~, a'~ ed £~, e leghiamo le relative stelle d ' i p e r p i a n i con due omografie Q,~ e 1~.2~. R i s u l t a aHora i m m e d i a t a m e n t e da classiche osservazioni (~:~) cb.e il luogo delle inter- se~ioni di iperpiani corrispondenti ~ nna forma cubica, luogo di due schiere di Sn+l in posizione m u t u a e s i m m e t r i e a di spazi centre e spazi intersezione;
(ii) E. VENERO~J~ S~ un fascio d'ipersuperficie cubiche dello Ss~ ¢ ~endlc. Ist. Lomb. ~ (2) 38 (i903), p. 523.
~i~) G. SCORZA, Le va, riet~ a curve sezioni eltittiehe, ~ Anna]i !V[at. ,, XV, p. 217, (i~) C. SEG.RE~ ~ Atti .~.cca4. 4i Torino ,, T. 22~ (1887)~ p. 791.
1V[. B~D.~ssh~a~: ~qu una classe di super/~c~;e-modello, eve. 239 per un sue punto p a s s a uno S,,+, di c i a s c u n a sehiera, due spazi di sehiere diverse si segano secondo degli S~+1, e due della stcssa schiera secondo degli S,+~.
]~ aneora p r e s s ' a poco i m m e d i a t e osservare che i p u n t i per i quali pas.
sane c~S,~+l si hanno eonsiderando l ' i n t e r s e z i o n e degli S,,+e corrispondenti delle tre stelle.
P r e c i s a m e n t e se si prende ad es. uno S'n+~, e lo si considera come spazio centre, le altre due stelle di S~+e segano dentro esso due stelle omo- grafiche aventi due S,,_e dello .S',~+~ come centri, ehe generano una V : ~ ]uogo di spazi S,~_s, cosiech~ associando due S ' ed S " , Io Sn~_~ che li contiene taglia sulla varieth doppia u n a V~_~, e quindi essa ~ , p p u n t o una h~ conte- 6
nente due reti r e s i d u e rispetto il sistema delle sezioni iperpiane di V2_~ cubiehe.
Si noti che per un punto della A~ escono due schiere c,~ ~ di S,,+~ del primo e seeondo sistema, che sono quelli dei due fasci di ~%~ e V ~ pas- santi p e r quel pnnto, e che sono le due schiere di spa~ii di due coni cnbiei che empiono ta intersezione della E ~ +,+~ con il cone quadrico polare del punto.
Possia~no pertanto e n u n c i a t e il teorema:
T]~o~E~A 4. - L a E a ,+s assoeiata ad u n a coppia di reti di u n a Fo ~'+'~ non rigata dello S,+~, p u b 9enerarsi proiettivamente come luogo delle intersezioni degli i p e r p i a n i di tre stelle omografiche.
6. -- ]~ senz'altro il case di osservare c h e l a v3 .~,,+~ cosi caratterizzata non b det~o d e b b a essere di ripe generale entre ta sun famiglia.
Di cib ci si convince subito con le seguenti riflessioni. L a superficie Fo r a p p r e s e n t a t a sul piano 7: mediante un sistema lineare t h e p r e s e n t a gli stessi punti base multipli della rote omaloidica I~nl.
Si consideri uno 01 di questi punti~ supposto i-plo. I1 sue interne si trasforma su F o in u n a c u r v a razionale e normale (cfr. ~. 2) ~o ~ giaeente entre un certo Si.
Sulla ¢o *, supposto che le C' corrispondano alle ~', gli spazi S'~,+1 della, prima schiera ~egano una g~, e pertanto gli S~..~ che essi segano sullo S,:
devono p a s s a r e tutti per uno spazio centre S~-a, ehe b effettivo a p p e n a che, i ~ 3 . tie6 a p p e n a t h e la t ~ ' { possieda punti base almeno tripli. I~. tale situa~ione ta ~,~+~ de~e quindi a c q u i s t a r e il carattere di cone anche ~e q$ <: 5o
~ o n solo m a l o S, stesso ris~alta luogo delle intersezioni di due spazi S'~+, variabili, e quindi lo S~ dove essere contenuto nella 5~. Se quii~di i - - - n =- 1.
q u e s t a deve contenere uno S,~_~ mentre g e n e r a l m e n t e essa contiene solo s p a , i di dimensione ~, .... 2, e quindi Ia ~3 ~ ancora di ripe speciale.
U n o spdzio S., del tipo c o n s i d e r a t e sopra verrh chiamato nel seguito uno spazio fondamentale e a4 esso r i s e r v e r e m o il simbolo ~ . Si noti t h e per una d a t a Fo ~'+2 esistono due gruppi di spazi fondamentali in relazione alla simmetria delIe reti I C'{ e C" 1. Quando vi sarh bisogno di distinguere indi-
240 ~ . BA~>ASS~RR:: SU una classe di superficie-model[o, ecc.
c h e r e m o con ~ ' gli spazi f o n d a m e n t a l i contenenti curve ~o ~ razionali i - s e c a n t i le C ~ e ~"k quelli in s i m m e t r i e a situazione (l~).
Avremo mode .pif~ avanti di precisare tale situazione, accontentandoci per il m e m e n t o di queste osservazioni.
5Te segue che appunto secondo la dimensione m a s s i m a $ del gruppo di spazi f o n d a m e n t a l i la ~3 pub essere di tipi differenti. I n t a n t o se ~ < n - - 1 la ~3 ~ in g e n e r a l e uno S~,_5 cone, m a se ~ - - - n ~ 1 la Z ~ diviene uno S~_~-cono e per d i - p i h tale ehe dal sue S,~--4 vertice esso proietta u n a variet/~ contenente due piani doppi.
t~ notevole che la ~3 non possa invece mai u l t e r i o r m e n t e speeializzarsi divenendo uno S~,_~-cono. I n tal case ir~fatti la 5~ conterrebbe, in u n a stessa schiera, tre spazi P-,-1 in corrisponde~za ai quali si avrebbero tre ~o'-~ e quindi tre puuti multipli eli molteplicit/~ n - - 1 nella rete ?'~ il che b assurdo a p p e n a n > 2.
Cosl restano d u n q u e precisati gli unici due tipi proiettivi di E che hanno interesse pel nostro argomento.
7. - - ])] era possibile fornire Ia rappresentazione analitica della ~,~+~ t h e si ottiene, secondo usualissimi modi, dalla sua generazione proiettiva, che noi qui diamo s(~ltanto per r importanza t h e avranno nel seguito tall equazioni.
In linea del tutto g e n e r a l e si possono considerare nove forme lineari V,~
netle coordinate proiettive ~c0~c , ...x,~+~, ed in funzione di esse l ' e q u a z i o n e
(1) %0 ~,~ %2 ---0.
Converrcmo sempre che le: ?t0---~?~l ~--~t2---'~0 siano le equazioni di un S'~ ed allora a n a l o g a m e n t e : ~om ~ %,+ --~ %m ~ 0, saranno le equazioni di un S".
La varietk 5~, doppia per la Z, viene i m m e d i a t a m e n t e r a p p r e s e n t a t a dallo a n n u l t a r e i minori del secondo ordine di (l). Si trovano cosl quattro quadriche i n d i p e n d e n t i la cui iutersezione ~ appunto la A~.
La generazione proiettiva della A~ come luogo di spazi S,,-2 pub essere messa in evidenza dalle f o r m u l e :
(2) )'0: ~, :~2 -~ % 0 : % ~ : ~ , ll ~-- 0, 1, 2)
dalle quali per eliminazione delle ~.~ si trovano appunto le quattro quadriche per 56
(~4) t'~ b e n note t h e le s i n g o l a r i t h base p r e s e n t a t e d a reti omaloidiche l pnl e t9 ~**[
tel;alive ad u n a stessa T n fra due piani, sono i n g e n e r a l e n o n le stesse, b e n s i conjugate.
Lo stesso sar~ d u n q u e p e r g l ' i n s i e m i delle d i m e n s i o n i dei d u e sistemi dl spazii f o n d a m e n t a l L Cfr. a d e s , H. HUDSOn, Cremona Transformations~ Cambridg% 1927, pp 18 e sg.
di E si scrive subito sotto f o r m a di d e t e r m i n a n t e :
M. BA~DASSARRI: SU una classe di super~cie-modello, ecc. 241 Le tre stelle proiettive di spazi S,+~ generanti A sono in tale case le stelle:
)~0~. - - ~l~+0 ~ 0 (l = 0, 1, 2)
(3) i ~ , ~ - - Z(¢+~ = 0
Se le ~+a sono scelte in mode generieo la (1) r a p p r e s e n t a aiiora uno S,_5-cono, il che, supposto n ~ 5, si rende manifesto scegliendo addirittura le ~+a in mode che le equazioni q 0 + ~ : 0 diane nove faccie delia piramide fondamentale. L a (1) assume allora la forma:
(4) x~ x~ x~ - - 0 ,
X6 ~7 X8
ehe mostra trattarsi appunto di u n torte con vertice lo spazio (AgA~o ... A,+÷~) se A+ sono i vertici delia p i r a m i d e fondamentale.
Si pub era cercare come devono invece essere scelte le %a affinchi~ la (1) risulti uno S,~_~-cono avente due spazi Sn-~ direttori. Si osservi percib che baster~ scrivere l ' e q u a z i o n e della E~ di S 7 che si ottiene segando il cone con uno S 7 generieo ehe possiamo s u p p o r r e essere lo S 7 : wa = x 9 . . . x,+a - " 0.
Basra in tale ease scrivere le q~h in mode che ire eerti S~ eorrispondenti delle tre stelle Y/~ Z'~ Y"3 abbiano in comune un piano, ed 6 p e r f e t t a m e n t e ovvio che percib basta scrivere la (1) nella f o r m a :
a~o + x,+ + ~°0 ~0 + ~++ + ~0,. xo -+- ~,.++ + ~o++
i5) x, ~ + 0 + + , 0
+ , + x + + + , ,
x , + x + + + , + = 0 ,nella quale le +++ sono repine lineari in x+, w+. ~ ehiaro ohe i d u e piani fondamentali in tale sorittura sono preoisamente i due piani (AoA~A+) e tA+A+A+).
La (5) stessa p e n s a t a enlro uno S,~++ qualsiasi r a p p r e s e n t a appunto it tipo di Y, che c' interessa.
8. - F i n e a tal punto noi cj siamo p r e o e c u p a t i di caratterizzare le Fo e le Y~ congiunt% ma ci ~ ancora ignoto come si possa viceversa data una Y.
del ripe considerate eostruire dentro essa, qualora ve ne siano, tutte le F0 ~'~÷~
ehe sono ad essa congiunte, volendo con cib significare che abbiano u n a eoppia di reti curve razionali e normali d ' o r d i n e n + 1 distribuite entre le due schiere dei lore spazi propri, o, pifi strettamente, se si preferisce, della A~.
]~ ovvio che un primo scope di u n a tale ricerca, d' ordine critico, sara garantirsi ehe e f f e t t i v a m e n t e i caratteri sin qui trovati delle E ed esplicita.
mente rieonoseiuti siano suffieienti a d e t e r m i n a r l a come variet~ eongiunta ad u n a F+, ed altro scope, di ben pifi costruttivo rilievo, indagare pi~t pro- f o n d a m e n t e sul meccanismo r a p p r e s e n t a t i v o che qui si sta cercando di met- tere a punto.
A n n a ~ t d i M a ~ a t ~ 81
242 ~[. B ~ S S ~ R ~ : Su una classe di super~cie-modello, etc.
Risulter~ a n c h e sine a qual punto u n a E, possibile sede di /~0 ad essa congiunte, dctermini le F , stesse.
P e r favorite at pifi la r i e e r c a p r e m e t t i a m o a l e u n e riflessioni. Si con- sideri u n a F0 ~"+~ dello Sn.4. Si sa gii~ (cfr. n. 2) che essa contiene di conseguenza almeno due reti I C'I e i C ' I di curve razionali normali d'or- dine n-4-1. Si fissi una, ad esempio, c u r v a C' e sia a'o il sue spazio ambiente.
Su u n a qualsiasi C" si fissi u n gruppo F-,~ di n punti arbitrari, e si scelga uno arbitrario S,~+~ per il l~n. Esso taglia Fo in un gruppo di 2n + 2 punti il cui residue rispetto il ~-, ~ un gruppo di h A - 2 punti, contenuti in u n certo S~+~ ehe dieiamo %.
Gli S~+~ p e r z~ segano allora su Fo u n a c~ ~ di gruppi F, che, c o m ' b facile vedere, giaeeiono ognuno su u n a certa C".
Si consideri infatti u n iperpiano qualsiasi z del fascio che ha il c e n t r e sullo S,,+~, che conterr~ la sezione iperpiana C¢ di F 0 . Sulla C~ gli S,,+~ pas- santi per % segano fuori del gruppo f i s s o c h e b in ~,, u n a g~, un gruppo della quale b appunto il l~n.
D' altra parte le C" segano su C~ u n a g~+l della quale f/~ p a r z i a l m e n t e parte il r,,, che quindi avri~ come resto un certo punto R, il eui r e s i d u e
2 - - 1
rispetto !a g,~+~ b a sua volta u n a certa g:,. Le g~ e g,~ h a n n o quindi un gruppo in c o m u n e (il F~) ed essendo serie complete (perchb C~ ha g e n e r e p ~ n - 1) si ha g~ ~ g,~, Quindi intanto tutti gli S~+e per z~ ehe giaeeiono in u n iperpiano z c o n t e n e n t e S~+2 segano su F , gruppi di n punti ehe g i a c ciono su curve C". D ' a l t r a p a r t e ogni Sn.2 per z~ r i e n t r a in tale ipotesi, e quindi b vera la propriet~ che abbiamo e n u n c i a t a .
Si noti per di pifi che eosi si viene a stabilire u n a corrispondenza biuni-, voca fra la stella di S,,.2 per z~ e le cur~e C". I n f a t t i un S,~_u per z~ taglia su Fo u n gruppo F , p e r eui passa u n a C" e non pil't di u n a perchb la r e t e I C"] b omaloidica, e viceversa se si prende u n a C" essa sth in uno S",~_1 che taglia ~ in uno S,~_~ per eui non possono passare d u e S~-1 n - s e c a n t i la C"
ehe ha ordine n 4 - 1 .
L a corrispondenza r i s u l t a anzi proiettiva: infatti gli S,~.2 per z~ di u n fascio appartengono ad un iperpiano che sega su F0 u n a C~ e la C" associata a quegli S,,+2 dovendo segare u n a g~ fuori di u n punto fisso sulla C appar- tengono pure ad un faseio: p r e e i s a m e n t e al faseio di C" passanti p e r quel punto R. Viceversa, se si p r e u d e il fascio di C" passanti p e r u n punto R, e se ne scelgono due fra esse, i due S,~.~ per % associati giacciono in un iperpiauo suila cui sezione i p e r p i a n a C la g~ segata dagli S,+e p e r % con- tiene gii~ i due gruppi segati dalle C" e quindi la g t stessa d e v ' e s s e r e segata dalle C" del fascio, ed anzi si pub dire ehe l ' i p e r p i a n o cosi d e t e r m i n a t e passa pel punto R.
Si giunge cosi t r a m i t e la proiettivith esistente fra le C" e gli Sn+u per ¢~
M:. BALDASSARRI: .SU una classe di superficie-model[o, ecc. 243 ad una corrispondenza p u r e biunivoca fra i punti P di F o e gli iperpiani p e r z~.
Se in fine si considera uno S,,+2 generico per ~'0 esso taglia, come sappiumo, F o in un solo punto P, cui si pub associare l ' i p e r p i a n o su determinato. Nasce cosi u c a corrisponden~a generalmente biunivoca fra la stella di S,,~_e che ha il centro in ~'o e la stella d ' i p e r p i a n i che ha per centro %.
Si vede f a c i l m e n t e che q u e s t a eorrispondenza ~ una proiettivith. Infatti, se lo S,,+,~ per ~'0 varia entro un iperpiano il punto P varia sulla C" inter- sezione r e s i d u a dello iperpiano con Fa fuori della C~' e o n t e n u t a in ao" L'iper- piano corrispondente nella stella di centro %, deve allora contenere sempre il gruppo F~, associato a qnella C" e quindi dovr~ muoversi intorno un certo S,,.2 contenente ~t, cio~ descrivere an fascio, e viceversa, se si prendono gli iperpiani~ per ~ di un faseio, it gruppo relativo allo S,,+u centro del fascio individua una sola ~C" su cui deve variare /:' e pertanto gli S~.2 per %' associati si muovono entro l ' i p e r p i a n o per %' che contiene quella C".
Si ha quindi u n a corrispondenza generalmente biunivoca, cio~ una trasfor- mazione birazionale ehe associa p e r b forme di prima specie, e quindi una proiettivith.
Tuttocib pub essere raccolto n e l l ' e n u n c i a t o s e g u e n t e :
TEO~E~A 5. - Se si considera u n a F0 e'+~, dello Sn+4 e si sceglie uno S',+~, ~o', contenenle u n a C0'e uno S , + ~ a~, residuo, rispetto la serie intersezione di F 0 con gli S,+~, dello S,+~ di u n g r u p p o - F , appartenente ad u n a C", e si associa ad ogni S,÷,~ p e r ~o' l' iperpiano vontenente i gruppi F. che gli S,+~ per ¢~, segano s~lle C" p a s s a n t i pel p u n t o P segato da quello S,_+~.
per %' su F+, si ottiene, fra gli S,+_~ per %' e gli iperpiani per ~ , u n a corri.
spondenza prolettiva.
9. - - Le deduzioni del n u m e r o p r e c e d e a t e permettono allora d : i n d i c a r e i m m e d i a t a m e n t e una generazione proiettiva della F 0.
Si considerino infatti tre S'~+l: :¢'o, a'~, a'o e ( n - 2) S.+1 del tipo di ~l ehe diremo : % ,, % ... ~,,__~.
Esiste allora per quanto abbiamo detto una catena di proiettivith fra gli elementi delle stelle di S,,+e che hanno per centri a'0q.'ye e le stelle d'iper- piani avente per eentri i ~ , generate nel m pdo indieato al n u m e r o p r e c e dente. Inoltre n + 1 spazi associati s' ineontrano generalmente in un solo punto P attesa la genericiti~ dei ~ e quindi si pub senz'altro dire che il luogo delle intersezioni delle n - t - 1 stelle proiettive considerate i~ la Fo "-'*+~ pifi e v e n t u a l m e n t e un certo n u m e r o di spazi~ e questi in corrispondenza a quelle particolari (n ÷ 1)-ple di spazi associati che si tagliassero eventual.
mento in spazi di dimensione maggiore di zero, fuori di eventua!i rette della F 0 .
244 )/[. BALDASSARRI: SU una classe di superfic~e-modello, ecc.
Si p u b quindi intanto e n u n e i a r e :
TEOREMA 6. - Una F~ ~÷~ delto Sn÷~ si pub sempr¢ generare come luogo dei p u n t i d'intersezione di tre stelle di S.+~ e di n - - 2 stelle d'iperpiani convenientemente associate i n determinate 19roiettivit~ nella generazione com- parendo perb anche verti spazi oltrech~ la F~.
1 0 . - Analizziamo ora pifi a p p r o f o n d i t a m c n t e come si generino quei certi spazii. Si consideri percib u n punto f o n d a m e n t a l e 0 ~ della rete [ ~" [ . h d esso corrisponde su F 0 una certa c u r v a razionale n o r m a l e ~o ~ giacente in u n certo spazio f o n d a m e n t a l e ~'~. L a to * risulta i - s e c a n t e le C'. Si p r e n d a allora un p u n t o P della ¢o '*. Lo S+~2 che congiunge lo S ' , + i ad es. :¢', con P contiene quindi i ÷ 1 punti della ~o ~ e quindi la contiene tutta e4 analoga- mente per :¢'~ e :¢'~. Poich8 d'altra parte la corrispondenza fra la stella £o e la stella ~ , ad es., b proiettiva e quindi a s s o l u t a m e n t e biunivoea, anche gl'iperpiani per ~ associati a quelli S,~+~ che contengono ~o ~ devono contenere t a t t a (o~, e quindi abbiamo scoperta u n a (n + 1)-pla di spazi corrispondenti che si tagliano in uno S~.
Inoltre q u e s t e sono le u n i c h e eceezioni t h e si possono avere alla dimen- sione detl'interse~ione di n - } - 1 spazi corrispondenti, e quindi it t e o r e m a p r e c e d e n t e si pub p r e c i s a r e a f f e r m a n d o t h e :
TEOaEMA 7. - Gli spazi the si presentano nella generazione proiettiva di cui al Teor. 6 sono gli spazi fondamentali ~'~ relativi alla rete di C', se gli ~'~
sono presi come spazi di curve C'
Cib fa subito c o m p r e n d e r e che non sar~ cer,~o possibile invertire la pre- cedente geaesi m e d i a a t e arbitrarie s~elle proiettive, e ehe si dovrh, per rendere effettiva la inversione, c e r c a r e o p p o r t u n e condizioni, che, come si pub gi/~
intaire, e e o m u a q u e d i m o s t r e r e m o pith avanti, consisteranno in sostanza net- l ' i m p o r r e a p p u n t o l ' e s i s t e n z a di queg]i spazi fondamentali come intersezioni di convenienti (n + 1)-ple a s s o c i a t e delle stelle: che questo, a stretto rigore, non si possa ancora dire r i s u l t a dal fatto t h e non si pub per il momento e s c l u d e r e che nella generazione indicata siano i n t i m a m e n t e contenuti alcuni pifl remoti legami, t h e ne concedano l ' e s i s t e n z a e t h e non siano stati fin
qui aneora e s p l i c i t a m e n t e avvertiti.
11. - - P r i m a di p r o e e d e r e u l t e r i o r m e n t e ~ bene indieare come vengono generate, nella p r e c e d e n t e genera~ione, che diremo per brevi~/~ u n a G-genera- zione le due reti C' e C" e le relative curve f o n d a m e n t i a) '~ ed to ''~.
Se si considerano ire iperpiani associati delle stelle £0 £~ e ~'~ essi si
~,~+a congiunta alia Fo ~-~+"~. Le n - ~ - t stelle con- tagliano in uno S",+1 della
siderate sono segate allora da quel ,'~"~1 secondo n ~= 1 fasci d ~iperpiani dello S" n4-~ fra loro proiettivi ehe generano a p p u n t o la C"~+~ relativa a quel S".
~ . BALDASSARRI: SU una classe di superficie-moddlo, ecc. 245 L a G',+~ relativa ad uno S' resta inveee generata come intersezione parziale fli n 4- 1 stelle dello S ed essa risulta a p p u n t o d' ordine n + 1 solo pereh~ dalla iutersezione completa di quelle stelle si staccano gli spazi se~ione di quello S' con gti spazi f o n d a m e n t a l i ~2'~.
L e c a r v e ~o '~ entre gli I2'~ sono generate come luogo delle intersezioni delle C ~ con lo 12'~, che descrivono a p p u n t o u n a g~ i cui gruppi determinano la¢o '~, e si potrebbero anche pensare come provenienti dalla generazione delle C" in corrispondenza a quelli S" per i quali la generazione relativa degeneri.
Resin da vedere come risultino generate le to . Se si prende lo spazio ~ "~ "
d i u n a di q u e s t e ehe proviene dallo spezzarsi d i u n a C', esso ~ segato seeondo a n sistema oc ~ di spazi S , _ t dagli S " (in quanto ch~ la C" seno i - s e c a n t i della ~)"~) ed ~ segato in un sistema c~ ~ di punti dagli S s intersezioni degli n - 2 iperpiani delle stelle ~ . La ~o~" risulta allora come luogo degli c~ ~ p u n t i ~i questo sistema che giacciono negli S~_~ lore corrispondenti. ~ ovvio e ne:le stesso tempo interessante come eib generaliz~i la genesi e l e m e n t a r e d i u n a conica comb luogo delte ceppie associate ed ineidenti in una polarith, piana, che b a p p u n t o il case che si p r e s e n t a per i == 2.
L'osservazione ehe abbiamo gi~ adoperata, ehe ctuando u n a C' (e lo stesso per una C') si spezza in u n a C'~ e u n a C'~, u n a delle due curve risulti f o n d a m e n t a l e discende ovviamente d a l i ' o s s e r v a r e che siccome le C" segano sulla C' totale and g,~ su una delle due eomponenti 4i ordine i esse do- vranno segare una g e E viceversa ogni to "~ pub pensarsi cosi ot~enuta perch~
imponendo essa una sold ¢cnd:i~.one alle C ~ ne esistono c,~ ~ che la eontengono°
1 ~ . - L a genera~ione p r o i e t t i w esposta nei h u m e r i precedenti pub subire certe specializzazioni senna che restino alterati i risultati. Ess% come si vedr~ subito, non hanno un~ p o r t a t a generate nel sense t h e non possono essere applicate ad ogni Fo, bensl a tipi particolari.
Si s u p p o n g a per questo di avere u n a trasformazione T" t h e possied~,, un p u n t o f o n d a m e n t a l e doppio, ovvero i - p i e m a tale c h e la g,~ dei gruppi di tangenti d i u n a , aul'va ~ di t .~'I in quel punto si spe~zi in una g ~ e u n a ~ier~e residua. 1~ chiaro che per ogni ripe di T " . per qualsiasi n, si possono trovare
particolari trasforma~ioni di questo ~ipo~ lasciando ifivariate le caratterist, iche d ' o r d i n e del gruppo ~ondaraental% cosicch~ ia restrizione che s ' i m p o n e ~on incide perb sostanzialmente per certi tipi di questioni, come ad esempio i~o classifieazione delle .7'~~.
Supp¢)sto c o m u n q u e di avere and, tale T "~, la F0 e~÷2 a,::,~ociatu conterr~
allora una eerta conica ehe vogliamo chiamare semplicemente ~", da con°
siderarsi, eventua.lmen~e come parte di un~, e u r v a fondamentale del proprio sistema, immagine di quella certa g.2 ~.
Gli iperpiani per il piano a di to" segano su F o a n sistema lineare di c u r v e C TM di genere n ~ 3 triseeanti to". Quanto ~ s~ato detto nei numeri
246 IV[.. BA~,OASSARRI: SU una e~asse di supert~cie-modello, e ec.
p r e c e d e n t i pub allora qui essere r i p e t u t o con leggere modifieazioni suppo- nendo di scegliere i ~ nel s e g u e n t e modo. Si p r e n d a ancora un arbitrario g r u p p o di n - p u n t i . D,~_~ su una C" e un g r u p p o 1~ di d u e punti su co". Si consideri uno S~÷~ che c o n t e n g a il gruppo totale F , _ 2 d - r ~ e la conica co".
Esso taglia ancora su F 0 a n gruppo di n - - 3 punti. Si dica infine % uno S,~+l che contenga questo gruppo e co" (re ne sono ~ in corrispondenza alle diffe- renti posizioni timiti che possono essere assunte dallo S~÷i % di un S,~+~
prossimo a quello considera~o e non c o n t e n e n t e ~").
Allora se si p r e n d e un iperpiano -c ehe passi per lo S,~+e considerato, gli S~÷~ di esso per % segano sulla sezione i p e r p i a n a C 2" r e s i d u a una g._e t h e eontiene il gruppo ~-,_~ ed ~ la serie completa individuata da quel gruppo perch~ C :" ha genere n - - 3 . D ' a l t r a parte quel g r u p p o b segato anche da u n a C " e se si considera il suo residuo rispetto la g,~--I ehe esse segano sulla C TM (si ricordi che le C" segano sulla sezione i p e r p i a n a totale una g~,÷i 2
e nel nostro easo segano u n a g ~ su to"} si trova ancora un punto R che giace su C TM e la cui serie r e s i d u a rispetto la g,~_~ dee' assere a n c o r a la g~_.~
segata dagli Sn+~ per (~ entro z. Dopo cib ~ chiaro che i ragionamenti pre.- c e d e n t e m e n t e fatti conservano la loro validiti~ e che si pub giungere analo- gamente ad una generazione proiettiva della F0 in cui i ¢T~ sono scelti in modo da contenere tutti il piano :¢ di u n a conica f o n d a m e n t a l e co".
]~ anzi ormai a n c h e ovvio che si p o t r e b b e volendo abolire la ipotesi spe- ciale fatta che ta Fo contenga u n a conica f o n d a m e n t a l e ~o", in quantochb ci si p o t r e b b e riferire alla moltiplicit~ minima che a p p a r e nel sistema fonda- mentale, e se questa risulta v > 2, si pub c o n s i d e r a t e u n a generazione proiet.
tiva in cui tutti i ~ passino per lo ~2~' contenente la c u r v a co"~. Si doeth allora scegliere un gruppo d i n ~ v punti-F~_~ su u n a C" e un gruppo di punti sulla co"~ e considerare uno Sn÷~ che passi per questo gruppo e con- tenga ~"~. Dopodicib si dovrh riferirsi ad u n a serie completa g~_~ su u n a c u r v a intersezione i p e r p i a n a r e s i d u a C '-'~+e-~ di genere n - - ~ - - 1 , che sarh v ÷ i seeante la co , r i m a n e n d o perb essenzialmente valide le conclusioni. "~
Vogliamo raccogliere tutt9 quanto nel t e o r e m a :
TEORE~& 8 . - I n u n a G-generazione .di u n a F0 en+~ dello S,+l ~ lecito scegliere i centri ¢~ i n modo the essi contengano u n qualsiasi spazio fonda- mentate ~"~.
Pifi avanti a v r e m o modo di a d o p e r a r e q u e s t a proprieth come u n a note- vole fonte di semplificazione in alcuni casi speciali.
1 3 . - ]~ ora il momento di affrontare la ricerca delle condizioni sotto cui la G-generazione della F0 pub divenire definizione della F0 stessa.
I1 p r o b l e m a ehe e i p r o p o n i a m o ~ il s e g u e n t e : come si devono seegliere n -~ 1 stelle hello S , . ~ , tre di spazii S n ~ ed n ~ 2 d' i p e r p i a n i di centri i n certi S,~_1 r i s p e t t i v a m e n t e o:o' :¢~' ~ ' e ~ ... ~ - 2 e come p u r e delte p r o i e t t i v i t ~
M. BALDASSA~I~I: SU una elasae di ~uperfic*~-modello, etc. 247 f r a esse affinch~ il luogo delle intersezioni delle n + 1-ple di spazii associati sia u n a Fo 2"+~ dello S~+~.
P e r arrivare alla risoluzione del problema, not s u p p o r r e m o in u n primo momento di considerare n + 1 stelle del tipo suddetto generieamente scelte nello S,,+~ e legate da proiettivit~ affatto arbitrarie 7:~a se le stelle le indi- chiamo cot simboli Z~ dove per i - ~ 0, 1, 2 s u p p o r r e m o di avere le tre stelle di Sn ~_2.
In tale situazione proponiamoci di studiare la superficie (I) c h e s i ottiene come luogo delle intersezioni di (n + 1)-ple di spazi assoeiati.
Cominciamo pereib con 1' osservare che tre iperpiani delle stelle Z, ~t e ~ associate nelle omografie che le ~:o,, ~ , s u b o r d i n a n o fra gli iperpiani si tagliano in uno spazio S",,+~ della seconda schiera di spazi della variet~
~3 -~,,+a generata delle ~:ia fra le prime ire stelle d ' i p e r p i a n i . Vediamo quale s i a i l luogo di punti t h e la (I) possiede entro quel S". Si osservi percib Che poich~ quello S" giace, ad esempio con £0, entro un iperpiano, in esso gli S,,+~ 05 Z~ segano un faseio d' iperpiani S,~ che ha per centro lo S~_1 inter- sezione dello S" con £0- Lo stesso si dica p e r £~ e ~-2'. Agli S~+~ di quel fascio di Zj corrisponde ad esempio in 7:~ un faseio d ~iperpiani di ~ ehe avr~ come centro a n certo Sn+~, fagcio che ~ tagliato dallo S" ancora in u n fascio d ' i p e r p i a n i dello S". Si ottengono quindi in definitiva hello S" (n + 1) fasci d ' i p e r p i a n i fra loro proiettivi ehe generano u n a C"n+l razionale e n o r m a l e nello S". I centri dei fasci risultano notorlamente n - s e c a n t i la C",~+1. Si pub d u n q u e dire c h e l a qb conterr~ intanto u n a fete di curve razio- nali normali d ' o r d i n e n + 1 C" e ehe gli S,+~ passanti per ¢~4, %,... %-2 segano fuori dei ~ la tp in n punti.
allora facile trovare 1' ordine ~(n) di (I). Si consideri infatti ad esempio uno S~+e p e r z,~_~. Esso taglia la (P in grujppi di ~(n) punti, n dei quali non stanno in ~ - 2 . e il r i m a n e n t e x in ~n_~. Questo numero ~v si determina immediatamente. Si pensi infatti un iperpiano generico per a,_~. Esso taglia le n stelle ,~, ~', , -~', ..., E,~_~ ancora in n stelle con analoghe caratteristiehe ehe generano quindl la (I)' corrispondente a t F o r d i n e ¢~(n--1), e siccome il ~ _ ~ ha dimensione n + 1 il n u m e r o delle intersezioni di esso con (I)' sar~ appunto
~(n ~ 1). Si ottiene quindi la relazione r i c o r r e n t e :
~ { n ) = n + ~ ( ~ - - 1).
Poieh~ com'~ noto e come risulta anehe dal preeedente, ~(3) -~- 3 + ~(2~
3 + 6, si h a :
n(n + 1)
~ ( n ) ~ n + ( n - - 1 ) + . . . + 5 + 4 + 3 + 6 - - - 3 + 2 - - 2 n + - 2 + % dove con r~ si ~ indicato il genere di una c u r v a p i a n a d' ordine n priva di punti multipli, part a ( n - l )
2 "
248 IVL B~Z)ASSA~RI: S u u n a ct~sse di superfici~e-mv.delto, ecc.
Si conclude da cib che la (I) ~ una superficie d' ordine 2n + 2 + ~: dello S,+~, che sar~ d u n q u e a c u r v e sezioni di g e n e r e : 19 ~ n - 1 4-r~. Inoltre, oltre la fete di curve razionali normali d'ordine n-+: 1 C", t h e abbiamo gi~
m e s s a in evidenza, essa eonterr~ una rote r e s i d u a rispetto il sistema I Ct delle sezioni i p e r p i a n e di (I) di c u r v e C' d ' o r d i n e n - ~ - 1 - 4 - r : giacenti negli spazi S' di Z~ ,,-a di genere ~, normali in quegli spazi. U n a C' e u n a C" hanno in eomune n p u n t i come risulta dalla p r e c e d e n t e generazione delle C'.
Se si pone monte alla generazione ad esempio della C 0' t h e giace entro o: 0' si vede che essa risulta generata come luogo delle interzioni di n - s p a z i associati di n - s t e l l e delto S',~+1, due di spazi S~-i e ( n ~ 2 ) d ' i p e r p i a n i dello S', fra loro proiettive, ed anzi ogni C' pub pensarsi cosl generata in quantoch~ si p r e ~ d a il suo spazio come centro e s ' i n t r o d u c a u n a o p p o r t u n a omografia prodotto nella stella ehe ha quello spazio come centro.
P o s s i a m o con eib enunciar~ il t e o r e m a :
TEOREMA 9. - II luogo detle intersezioni degti spazi omologhi di n + i stelle proiettive dello S,+~, di cut tre di spazi S,+~ e le altre d ' i p e r p i a n i u n a superfioie • d' ordine 2n -~- 2 t - normale nello S~4.~. L a superfieie (P eontiene due reti di curve, u n a ]C" I di curve razionali normali generate con
(°y
fasoi proiettgvi d'iperpiani, e u n a I C' I di curve d'ordine n -~- 1 -~,- normalg in spazi S'.+1 generate mediante le in~ersezioni degli spazi omologhi d i n stelle proiettive dello S', tre di Sn-1 e le altre di S . .
E chiaro che la superfioie (I) t h e abbiamo ottenuta ~ la i m m a g i n e nello S~÷~ del sistema completo di c u r v e t h e si ottiene aggiungendo ad u n a rote n - - 1) la rete delle retie del di c u r v e ~'~ plane d ' o r d i n e n e genere p = 2
suo piano.
14. - S t u d i a m o ora come si possa provocare la riduzione della superficie (I) ad una F 0 del nostro solito tipo.
S u p p o n i a m o percib che le n - t - 1 stelle Z, siano talmente riferite (in eerie %k) che esista u n a (n + 1)-pla di spazi omotoghi i quali s ~intersichino in un Sk con k > 1. I1 luogo delle intersezioni degli spazi omologhi d e g e n e r a allora e v i d e n t e m e n t e nello S h e in u n a superficie residua qb'. Vogliamo deter- minare F e q u i v a l e n z a dello Sa net c a r a t t e r i della (I). Osserviamo che Io Sk taglia ad esempio ]o S , ÷ 1 % in un Sk-2, in quanto giace con esso in un iperpiano. U n S.,+2 generico p e r % continua a segare ~' [uori di % soltanto e ancora in n punti, in quanto la rete di C" c o n t i n u a ad essere u n a fete di C ''n÷l con le stesse caratteristiche di generazione di prima. Quindi basra calcolare t ' e q u i v a l e n z a dello Sa_~ entro % rispetto il gruppo delle n + 2-~-rc intersezioni che a b b i a m o p r i m a determinato. Gib ~ semplice quando si finga
