█ Esercizi di matematica per la classe III

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█ Esercizi di matematica per la classe III

Prime proprietà delle Funzioni

Appunti e complementi per gli studenti

Franco Fusier - 2008

(2)

Indice

1. Domini, codomini, iniettività, suriettività, invertibilità ... 4

1.1 Esercizi di base ... 4

1.1.1 Esercizio n. 1 (risolto, )...4

1.1.2 Esercizio n. 2 (risolto, )...4

1.1.3 Esercizio n. 3 ()...5

1.1.4 Esercizio n. 4 ()...5

1.1.5 Esercizio n. 5 () ...5

1.1.6 Esercizio n. 6 ()...6

1.1.7 Esercizio n. 7 ()...6

1.1.8 Esercizio n. 8 ()...6

1.1.9 Esercizio n. 9 ()...6

1.1.10 Esercizio n. 10 ()...6

1.1.11 Esercizio n. 11 () ...7

1.1.12 Esercizio n. 12 (risolto, ) ...7

2. Funzioni composte ... 8

2.1 Esercizi con funzioni composte ... 8

2.1.1 Esercizio n. 13 () ...8

2.1.2 Esercizio n. 14 () ...8

3. Funzioni pari – dispari... 9

3.1 Richiami di teoria ... 9

3.2 Esercizi sulle funzioni pari – dispari... 9

3.2.1 Esercizio n. 15 ()...9

3.2.2 Esercizio n. 16 ()...9

3.2.3 Esercizio n. 17 ()...10

3.2.4 Esercizio n. 18 ()...10

3.2.5 Esercizio n. 19 ()...10

3.2.6 Esercizio n. 20 ()...10

3.2.7 Esercizio n. 21 ()...10

3.2.8 Esercizio n. 22 ()...10

3.2.9 Esercizio n. 23 ()...10

4. Prolungamenti e restrizioni di funzioni ... 10

4.1 Richiami di teoria ... 10

4.2 Esercizi su prolungamenti e restrizioni di funzioni ... 10

4.2.1 Esercizio n. 24 (risolto, ) ...10

4.2.2 Esercizio n. 25 ()...11

4.2.3 Esercizio n. 26 ()...11

4.2.4 Esercizio n. 27 ()...11

4.2.5 Esercizio n. 28 ()...11

4.2.6 Esercizio n. 29 ()...11

4.2.7 Esercizio n. 30 ()...11

4.2.8 Esercizio n. 31 ()...11

4.2.9 Esercizio n. 32 ()...11

4.2.10 Esercizio n. 33 ()...11

5. Esercizi di riepilogo ... 12

5.1 Determinazione del dominio (insieme di esistenza) ... 12

5.1.1 Esercizio n. 34 ()...12

5.1.2 Esercizio n. 35 ()...12

5.1.3 Esercizio n. 36 ()...12

5.1.4 Esercizio n. 37 ()...12

5.1.5 Esercizio n. 38 ()...12

5.1.6 Esercizio n. 39 ()...12

(3)

5.1.7 Esercizio n. 40 ()...12

5.1.8 Esercizio n. 41 ()...12

5.1.9 Esercizio n. 42 ()...12

5.1.10 Esercizio n. 43 ()...12

5.1.11 Esercizio n. 44 ()...12

5.1.12 Esercizio n. 45 ()...12

5.1.13 Esercizio n. 46 ()...13

5.1.14 Esercizio n. 47 ()...13

5.1.15 Esercizio n. 48 ()...13

5.1.16 Esercizio n. 49 ()...13

5.1.17 Esercizio n. 50 ()...13

5.1.18 Esercizio n. 51 ()...13

5.1.19 Esercizio n. 52 ()...13

5.1.20 Esercizio n. 53 ()...13

5.1.21 Esercizio n. 54 ()...13

5.1.22 Esercizio n. 55 ()...13

5.1.23 Esercizio n. 56 ()...13

5.1.24 Esercizio n. 57 ()...14

5.1.25 Esercizio n. 58 ()...14

5.1.26 Esercizio n. 59 ()...14

5.1.27 Esercizio n. 60 ()...14

5.1.28 Esercizio n. 61 ()...14

(4)

R. ..

...

. -= - = xy f 1(x) 1 x

1.1.9 Esercizio n. 9 (....) Data la funzione

2: 1 2 20 + +. .

xf R R x x , rispondere alle seguenti domande:

1) si tratta di una funzione iniettiva?

5) qual è il suo codominio?

6) si tratta di una funzione suriettiva?

7) dimostrare che si tratta di una funzione pari.

R. ..

...

no . ;1 ; no 2;1

2: 2 1 -+ . .x

f D C x x f f , rispondere alle seguenti domande:

1) qual è il suo dominio (inteso come campo di esistenza)?

11) dimostrare che l’espressione analitica di f -1 coincide con quella di

1. Domini, codomini, iniettività, suriettività, invertibilità

1.1 Esercizi di base

1.1.1 Esercizio n. 1 (risolto, )

Data la funzione f :R→Rx→x³, rispondere alle seguenti domande:

3) la funzione è biunivoca?

4) qual è la sua funzione inversa?

Risoluzione

Per dimostrare che f è iniettiva si può procedere in questo modo:si pone f(x₁)= f(x₂)e si cerca di dimostrare che questo implica necessariamente x₁=x₂.

Imponendo f(x₁)= f(x₂) si ha:

0 ) )(

(

0 ₁ ₂ ₁² ₁ ₂ ₂²

3 2 3 1 3 2 3

1 =x →x −x = → x −x x +xx +x =

x

Poiché il falso quadrato non si annulla mai, deve necessariamente essere x₁=x₂. La funzione è dunque iniettiva.

Per verificare la suriettività della funzione si determina il suo codominio:

3 3

( )

y= f x =x → =x y()

per ricavare questa espressione non abbiamo dovuto imporre nessuna limitazione sul valore di y⇒C_f = . La funzione è quindi suriettiva e anche biunivoca. R

La funzione inversa è f⁻¹( )x = ³ x (vedi ).

Data la funzione f :R→Rx→x²−x, rispondere alle seguenti domande:

2) la funzione è invertibile?

Risoluzione

Per verificare se f è iniettiva si procedere in questo modo:si pone f(x₁)= f(x₂)e si determinano le condizioni che devono soddisfare x₁ e x₂.

(

₁² ₂²

) (

₁ ₂

) (

₁ ₂

)(

₁ ₂ 1

)

0

2 2 2 1 2

1 −x =x −x → x −x − x −x = x −x x +x − =

x

L’equazione è soddisfatta per x₁=x₂∨x₁=1−x₂

Poiché f(x₁)= f(x₂) anche quando x₁ =1−x₂ ≠x₂, la funzione non è iniettiva e quindi non può essere invertibile.

Dimostrare che f è biunivoca e determinare l’equazione y = f -1(x) della funzione inversa.

R. ..

...

. -= - = xy f 1(x) 1 x

2: 1 2 20 + +. .

R. ..

...

no . ;1 ; no 2;1

2: 2 1 -+ . .x

(5)

R. ..

...

. -= - = xy f 1(x) 1 x

2: 1 2 20 + +. .

R. ..

...

no . ;1 ; no 2;1

2: 2 1 -+ . .x

11) dimostrare che l’espressione analitica di f -1 coincide con quella di 1.1.3 Esercizio n. 3 ()

Data la funzione

{ }

2 2 1

: −

→ −

→

− x

x x R R

f , rispondere alle seguenti domande:

4) sia adesso f R^: −

{ }

² →Cf ; qual è la sua funzione inversa?

R. ^;

{ }

^{1 ;} ^; ¹^{( )} ² ¹

1

si R no f x x

x

− −

⎡ − = ⎤

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

1.1.4 Esercizio n. 4 ()

Sia ABC un triangolo; consideriamo la corrispondenza che associa, ad ogni punto P di AB, il punto medio del segmento PC. Si tratta di una funzione? Qual è il suo dominio? Qual è il suo codominio? La funzione è iniettiva?

R.[si; segmento AB; segmento che congiunge i punti medi di AC e BC; si]

1.1.5 Esercizio n. 5 ()

Data la funzione ₂

2 4 0

1 : 2

x x x x

R R

f → → + + , rispondere alle seguenti domande:

1) dimostrare che si tratta di una funzione pari;

5) determinare le controimmagini di 100 y= 9 ; 6) dimostrare che∀ ∈x D_f , 1

( ) f x f

x

= ⎜ ⎟⎛ ⎞⎝ ⎠.

Suggerimento

Per determinare il codominio C della funzione si può procedere in questo modo: _f

si pone ₂

2

4 2 1

x x y= x + + ;

se y∈C_fallora è sicuramente y>0, in quanto il secondo membro è positivo ∀x∈D_f .

L’equazione precedente può essere utilizzata per risalire ai valori della variabile indipendente; si scrive dunque yx² =x⁴+2x²+1⇒x⁴+

(

2−y

)

x²+1=0.

L’ultima equazione (biquadratica) ammette soluzioni se e solo se:

⎩ →

⎨⎧

≥

−

= Δ

>

0 4 ) 2 ( 0

y 2

y

⎩⎨

⎧

≥

∨

≤

⇒

≥

−

>

4 0

0 4 0

2 y y y

y

y ⇒ y≥4, quindi C_f = ;

[

4+∞

[

R. _⎢⎣^⎡

[

+∞

[

= = =− =− _⎥⎦^⎤

3 , 1

3 3,

, 1 3

;

; , 4

; no x₁ x₂ x₃ x₄

no

R. ..

...

. -= - = xy f 1(x) 1 x

2: 1 2 20 + +. .

R. ..

...

no . ;1 ; no 2;1

2: 2 1 -+ . .x

(6)

R. ..

...

. -= - = xy f 1(x) 1 x

2: 1 2 20 + +. .

R. ..

...

no . ;1 ; no 2;1

2: 2 1 -+ . .x

Verificare che f :x→ x2 +2 è una corrispondenza biunivoca tra R e R ma non tra Z e Z.

R.[quando f opera sugli interi non è suriettiva…]

1.1.7 Esercizio n. 7 ()

Sia γ una semicirconferenza avente per estremi i punti M e N (compresi) e sia r una retta retta esterna alla semicirconferenza e perpendicolare ad MN. Si consideri la corrispondenza che ad ogni punto P∈r associa il punto Q in cui la tangente a γ tracciata da P incontra la semicirconferenza. Rispondere ai seguenti quesiti:

1) si tratta di una funzione?

R.

[

si; si; arco MN estremi esclusi; no

]

1.1.8 Esercizio n. 8 ()

Sia A l’intervallo

(

⁰^,¹

]

; si consideri la funzione f :R⁺ → A definita da

² 1 ) 1

(x x

f = + .

Dimostrare che f è biunivoca e determinare l’equazione y= f⁻¹(x)della funzione inversa.

R. ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ = ⁻ = −

x x x

f

y 1

)

1(

1.1.9 Esercizio n. 9 () Data la funzione

2

: ₂ 1

2

0 +

→ +

→ x

x x R R

f , rispondere alle seguenti domande:

R. ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎢⎣ ⎞

⎡ no

no ;1 ; 2

; 1

1.1.10 Esercizio n. 10 () Data la funzione

2 1 : 2

−

→ +

→ x

x x C D

f _f _f , rispondere alle seguenti domande:

1) qual è il suo dominio (inteso come campo di esistenza)?

11) dimostrare che l’espressione analitica di f ⁻¹ coincide con quella di f .

R. ..

...

. -= - = xy f 1(x) 1 x

2: 1 2 20 + +. .

R. ..

...

no . ;1 ; no 2;1

2: 2 1 -+ . .x

(7)

R. ..

...

. -= - = xy f 1(x) 1 x

2: 1 2 20 + +. .

R. ..

...

no . ;1 ; no 2;1

2: 2 1 -+ . .x

R.

[

^R−

{ }

²^; ^R−

{ }

²^; ^si ^si

]

1.1.11 Esercizio n. 11 ()

Data la funzione f :R→Rx→x³+3x² +3x, rispondere alle seguenti domande:

13) qual è la sua funzione inversa?

14) Dimostrare che la funzione non è né pari né dispari.

Suggerimento

Riscrivere l’espressione analitica della funzione in modo più conveniente (sfruttando in modo opportuno i prodotti notevoli, ad esempio ricorrendo al “completamento del cubo”).

R.

[

^si^; ^si^; ^f ⁻¹⁽^x⁾⁼⁻¹⁺³ ^x⁺¹

]

Data la funzione f :R→Rx→x³−x, verificare se f è iniettiva.

Risoluzione

Per verificare se f è iniettiva si come al solito: si pone f x( )₁ = f x( ₂) e si determinano le condizioni che devono soddisfare x e ₁ x . ₂

Per risolvere questo esercizio dobbiamo organizzare opportunamente i calcoli, in modo raggiungere una forma facilmente trattabile, l’esercizio risulta comunque un po’ più complicato di quelli svolti in precedenza.

Si procede nel modo seguente:

3 3 3 3 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2 ( 1 2)( 1 1 2 2 1) 0

x − =x x −x →x −x = −x x → x −x x +x x +x − =

Notiamo adesso che l’equazione x₁²+x x_{1 2}+x₂²− = presenta, sotto opportune condizioni, 1 0 soluzioni:

2 2 2

2 2 2 2 2

1

4( 1) 4 3

2 2

x x x x x

x − ± − − − ± −

= = se ₂² 2 3 ₂ 2 3

4 3 0

3 3

x x

− ≥ → − ≤

risulta sempre positivo, a maggior ragione avremo (x₁²+x x_{1 2}+x₂²+ > 1) 0 ∀x x₁, ₂∈ . R

Possiamo quindi concludere che l’equazione f x( )₁ = f x( ₂) risulta soddisfatta, quando

2

2 3 2 3

3 x 3

− ≤ , anche per x₁≠ ; la funzione non è dunque iniettiva. x₂ Osserviamo che affinché f sia iniettiva deve risultare:

1, 2 , ( )1 ( 2) 1 2

x x A f x f x x x

∀ ∈ = ⇒ =

in questo esempio non è rispettata la condizione ∀x x₁, ₂∈ … . A

R. ..

...

. -= - = xy f 1(x) 1 x

2: 1 2 20 + +. .

R. ..

...

no . ;1 ; no 2;1

2: 2 1 -+ . .x

(8)

R. ..

...

. -= - = xy f 1(x) 1 x

2: 1 2 20 + +. .

R. ..

...

no . ;1 ; no 2;1

2: 2 1 -+ . .x

2. Funzioni composte

2.1 Esercizi con funzioni composte

2.1.1 Esercizio n. 13 () Date le funzioni:

f

f C

D

f : → definita da 1

1 ) 1

( ₂ −

= + x x f

g

g C

D

g: → definita da

1 ) 2

( = −

x x g Si richiede di:

1) determinare i due domini D , _f D (intesi come insiemi di esistenza); _g 15) determinare i due codomini C^f

, C^g

;

16) determinare l’espressione della funzione composta h= f g; 17) determinare il dominio della funzione h.

R.

[

^D^f ^{= ;}^R ^D^g ^{= R}⁻

^{}

¹ ^;^C^f ⁼

^]

⁻¹^;⁰

^]

^;^C^g ⁼^R⁰^; 2

) 1 ( 4 ) 4

( =− + −

x x

h ;

{ }

1

−

=

=D R

D_h _g

]

2.1.2 Esercizio n. 14 () Date le funzioni:

f

f C

D

f : → definita da f(x)= x³ ⁵ +1

g

g C

D

g: → definita da

2 ) 1

( = +

x x g Si richiede di:

1) determinare i due domini D , _f D (intesi come insiemi di esistenza); _g 18) determinare i due codomini C , _f C ; _g

19) determinare l’espressione della funzione composta h= f g; 20) determinare il dominio e il codominio della funzione h.

R.

[

^D^f ^{= ;}^R ^D^g ^{= R}⁻

^{{ }}

⁻² ^;^C^f ^{= ;}^R ^C^g ⁼^R⁰^; ³ 5 1 ) 2 ( ) 1

( +

= + x x

h ; D_h = R−

{ }

−² ;

{}

¹

−

= R

C_h

]

R. ..

...

. -= - = xy f 1(x) 1 x

2: 1 2 20 + +. .

R. ..

...

no . ;1 ; no 2;1

2: 2 1 -+ . .x

(9)

R. ..

...

. -= - = xy f 1(x) 1 x

2: 1 2 20 + +. .

R. ..

...

no . ;1 ; no 2;1

2: 2 1 -+ . .x

3. Funzioni pari – dispari

3.1 Richiami di teoria

Definizione 1

Una funzione f :A→Bsi dice “funzione reale di variabile reale” se e solo se A⊆ e R R

B⊆ . Definizione 2

Una funzione reale di variabile reale f :D_f →C_f si dice pari se e solo se ∀x∈D_f anche Df

x∈

− e f(x)= f(−x). Definizione 3

Una funzione reale di variabile reale f :D_f →C_f si dice dispari se e solo se ∀x∈D_f anche Df

x∈

− e f(x)=−f(−x). Osservazione 1

Una funzione pari non è mai iniettiva, in quanto f(x)= f(−x)∀x∈D_f, quindi non è neanche invertibile.

Osservazione 2

Una funzione dispari può essere o non essere invertibile: occorre verificare caso per caso.

3.2 Esercizi sulle funzioni pari – dispari

Dire se le seguenti funzioni sono pari o dispari (salvo diverso avviso, ipotizzare che il dominio di ogni funzione coincida con il suo insieme di esistenza).

3.2.1 Esercizio n. 15 () 5

1 ) 5

( ₂

5

−

= + x x x

f R. Funzione né pari né dispari

Suggerimento

Per verificare se f è pari o dispari (o non ha proprietà particolari), si determina –prima di tutto– il suo dominio (inteso come insieme di esistenza):

{

⁻ ⁵^; ⁵

}

−

= R D_f

e si nota che è soddisfatta la prima condizione, cioè ∀x∈D_f anche −x∈D_f. Dobbiamo quindi verificare la seconda condizione calcolando il valore di f( x− : )

5 1 5 5 ) (

1 ) ( ) 5

( ₂

5

2 5

− +

= −

−

− +

= −

− x

x x

x x f

Si nota immediatamente che f(−x)≠ f(x) e f(−x)≠−f(x), quindi f non è né pari né dispari.

3.2.2 Esercizio n. 16 () 5

) 1

( ₂

4

−

= + x x x

f R. Funzione pari

R. ..

...

. -= - = xy f 1(x) 1 x

2: 1 2 20 + +. .

R. ..

...

no . ;1 ; no 2;1

2: 2 1 -+ . .x

(10)

R. ..

...

. -= - = xy f 1(x) 1 x

2: 1 2 20 + +. .

R. ..

...

no . ;1 ; no 2;1

2: 2 1 -+ . .x

x x x x

f( )= ³+ R. Funzione dispari

3.2.4 Esercizio n. 18 ()

2 3

4 1

)

( x x

x x

f −

= + R. Funzione né pari né dispari

3.2.5 Esercizio n. 19 ()

4 2

:R Rx x x

f ⁺ → → − R. Funzione né pari né dispari

3.2.6 Esercizio n. 20 ()

:R Rx x3

f ⁻→ → R. Funzione né pari né dispari

3.2.7 Esercizio n. 21 () x

x x x

f −

= ₃⁴+1 )

( R. Funzione dispari

3.2.8 Esercizio n. 22 () x

x x x

f( )= ⁵−2 ³+5 R. Funzione dispari

3.2.9 Esercizio n. 23 ()

2

4 5

3 )

(x x x

f = + R. Funzione pari

4. Prolungamenti e restrizioni di funzioni

4.1 Richiami di teoria

Definizione 4

Date due funzioni f e g si dice che f è una restrizione di g (oppure g è un prolungamento di f ) se e solo se D_f ⊂D_g e f(x)=g(x)∀x∈D_f.

Osservazione 3

Le due funzioni f e g assumono gli stessi valori quando sono applicate sugli elementi comuni ai due domini, la funzione g è però definita anche su ulteriori elementi che non appartengono al dominio di f.

4.2 Esercizi su prolungamenti e restrizioni di funzioni

Dire se le seguenti funzioni sono una la restrizione/prolungamento dell’altra (salvo diverso avviso, ipotizzare che il dominio di ogni funzione coincida con il suo insieme di esistenza).

4.2.1 Esercizio n. 24 (risolto, ) 6

2 3 )

(x = x³ − x² − x+

f g(x)= x−3⋅ x² −2

R. ..

...

. -= - = xy f 1(x) 1 x

2: 1 2 20 + +. .

R. ..

...

no . ;1 ; no 2;1

2: 2 1 -+ . .x