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Notazione matriciale

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Academic year: 2021

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I contenuti di queste slide non sono esaustivi ai fini del buon esito dell’esame. Fare riferimento anche alle lezioni tenute in aula ed ai testi consigliati:

G. Monegato, Fondamenti di Calcolo Numerico. Ed.

CLUT

A. Quarteroni, F. Saleri, ’Calcolo Scienifico, esercizi e problemi risolti con matlab e octave’ Springer.

M. Annunziato, DMI Universit `a di Salerno - documento provvisorio – p. 1/63

Sistemi di equazioni lineari

La risoluzione di un sistema lineare rappresenta un tipico esempio di problema inverso.

Il modello lineare è più generale del sistema lineare.

Molti di questi modelli possono essere discretizzati e ricondotti a sistemi lineari.

modello lineare:

y = Ax ⇒ αyy = Ax ⇒ αyy = Ax ⇒ αy111+ βy+ βy+ βy222 = A(αx= A(αx= A(αx111+ βx+ βx+ βx222)))

Ad una varietà di sistemi lineari corrisponde una varietà di algoritmi risolutivi.

M. Annunziato, DMI Universit `a di Salerno - documento provvisorio – p. 2/63

Metodi diretti e iterativi

Metodi diretti:

forniscono la soluzione esatta (in assenza errori di arrotondamento) in un numero finito di operazioni.

Esiste un procedimento algebrico per esplicitare tutte le incognite.

Si basano principalmente sul metodo di eliminazione di Gauss.

Metodi iterativi:

il problema lineare viene inizialmente trasformato, poi si procede per iterazione.

La soluzione è ottenuta come limite di una successione.

M. Annunziato, DMI Universit `a di Salerno - documento provvisorio – p. 3/63

Notazione matriciale

Si usa la notazione matriciale per scrivere in modo compatto i sistemi di equazione:

Ax = b A ∈ Rn×n: matrice dei coefficienti.

b ∈ Rn: vettore dei termini noti.

x: vettore dellenincognite.





a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

... ... ... ... an1 an2 . . . ann









 x1

x2

... xn





 =





 b1

b2

... bn





M. Annunziato, DMI Universit `a di Salerno - documento provvisorio – p. 4/63

(2)

Determinante di una matrice

Determinante della matrice A:

|A| = X

(p1,··· ,pn)

(−1)[p1,··· ,pn]a1p1· · · anpn

|A| = X

(p1,··· ,pn)

(−1)[p1,··· ,pn]a1p1· · · anpn

|A| = X

(p1,··· ,pn)

(−1)[p1,··· ,pn]a1p1· · · anpn

(p(p(p111, · · · , p, · · · , p, · · · , pnnn))): insieme di tutte le permutazioni degli indici 1, 2, · · · , n.

[p[p[p111, · · · , p, · · · , p, · · · , pnnn]]]: segno della permutazione.

M. Annunziato, DMI Universit `a di Salerno - documento provvisorio – p. 5/63

Metodo di Cramer

Metodo di Cramer per la risoluzione di sistemi lineari.

Calcolare il deteminante della matrice dei coefficienti.

sostituire la colonna j−esima con il vettorebdei coefficienti.

Calcolare il determinante di questa nuova matrice.

Dividere questo determinante per il precedente: si ottiene il valore dell’incognita xj.

M. Annunziato, DMI Universit `a di Salerno - documento provvisorio – p. 6/63

Complessità dello sviluppo di Laplace

Se si utilizza lo sviluppo di Laplaceper il calcolo del determinante (o la sua definizione), il metodo di Cramer risulta poco applicabile da un punto di vista pratico: si devono calcolare n + 1determinanti.

Infatti si trova che il numero di moltiplicazioni da effettuare è:

n − 1moltiplicazioni per ogni addendo.

n!addendi (permutazione di nindici).

In totale si hanno(n − 1)(n + 1)! moltiplicazioni.

La complessità computazionale è dell’ordine del fattoriale.

M. Annunziato, DMI Universit `a di Salerno - documento provvisorio – p. 7/63

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