™ ™ mutua mutua posizione posizione di di due rette due rette nello nello spazio spazio

Esercitazione

Esercitazione N.5 N.5

13 aprile 13 aprile 2007 2007

Geometria nello spazio Geometria nello spazio

™ ™ mutua mutua posizione posizione di di due rette due rette nello nello spazio spazio

™ ™ rette sghembe: comune perpendicolare, distanza rette sghembe: comune perpendicolare, distanza

™ ™ distanza distanza pto- pto -pto pto , , pto- pto -piano piano

™ ™ simmetrie simmetrie

™ ™ sfera e piani tangenti sfera e piani tangenti

ESERCIZIO1.

Mutua posizione di rette nello spazio

• Nel caso b) dire qual’è la reciproca posizione delle rette al variare di λ∈R.

Rappresentazione cartesiana di una retta nello spazio

La retta è data come intersezione di due piani non paralleli

aX+bY+cZ+d = 0 : piano di vettore normale N=(a,b,c) a′X+ b′Y +c′Z = 0 : ″ ″ ″ N^′= (a′,b′,c′)

π

N

π

π^′

r ur = Nπ x Nπ′

a) questo esercizio l’abbiamo già risolto (cfr.esercitazione.N.2- es.5 ) nell’ambito della teoria dei sistemi lineari, ed era: ρ(.) = 2 ∀λ∈R in entrambi i casi

b) rλ ∩ sλ =∅ ⇔il sistema costituito da entrambi i sistemi è incompatibile. Avevamo trovato che:se λ≠ 0,-1,2 NON ci sono SOL.ⁿⁱ. Geometricamente la reciproca posizione delle due rette è una delle seguenti :

Per distinguere i due casi , determiniamo i vettori direzionali :

r_λ : _⎩^⎨⎧_x^λx₊⁻_λy^y−₌^z₀^=λ ⇒ _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − −

0 1

1 1 λ

λ ⇒ u_rλ =(λ,-1, λ²+1)

s_λ : _⎩^⎨⎧_(λ^λx₊⁺_2)x^(λ+₊^2)y_λz=⁼₀⁰⇒ _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

+ λ λ

λ λ

0 2

0

2 ⇒

sλ

u =(λ(λ+2),- λ²,-(λ+2)²)

rλ

u ⁄⁄ u_sλ ⇔ 1

) 2 ( 1 ) 2 (

2 2 2

+ +

= −

−

= − +

λ λ λ

λ λ

λ ⇒ rette sghembe ∀ λ≠ 0,-1,2

Rette parallele

(complanari con vettori dir. ⁄⁄ ⁾ Rette sghembe (non complanari)

>0 <0

c) Determinare rλ ∩ sλ al variare di λ∈R Si era trovato che:

λ≠ 0,-1,2 ⇒ r_λ ∩ s_λ = ∅ ( vedi b) )

λ=0:unica sol.^ne (0,0,0) cioè i tre piani si intersecano nel pto (0,0,0)

λ = -1 : unica sol.^ne ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

3 1 3 1 3

1 ″ ″ ″

λ = 2 : unica sol.^ne ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − −

9 8 9 2 9

4 ″ ″ ″

Vediamo ora geometricamente il caso λ = 0 ( gli altri sono analoghi):

r_λ :

⎩⎨

⎧

= +

=

−

− 0 λy x

λ z y

λx ⇒ r0 :

⎩⎨

⎧

=

=

−

− 0 x

0 z y

s_λ : _⎩^⎨⎧_(λ^λx₊⁺_2)x^(λ+₊^2)y_{λz =}⁼₀⁰ ⇒ s0:_⎩^⎨⎧_2x²y₌⁼₀⁰

⇒ _⎩^⎨⎧y_x=⁼₀⁰

z

y

x r₀

S0

ESERCIZIO2.

Fasci di piani

r∩π = ? : t+2t-3t-1=0 per nessun t∈R ⇒ r∩π = ∅ ⇒ r ⁄⁄ π

π

r s

Sia β un piano del fascio per r.

Se fosse β∩π = s con s t.c.

s∩r = ⎨P⎬ allora P∈π∩r : assurdo. Quindi s ⁄⁄ r

π

Cerchiamo h su π , h⊥r , quindi h⊥s , essendo s ⁄⁄ r .

♦ h⊥s ⇒ u_h ⊥ u_s

♦ h∈π ⇒ uh ⊥ Nπ

⇒ uh = us x Nπ

⇒ u_h = (1,1,3)x(1,2,-1) ⇒ u_h = (-7,4,1)

Un pto su π , ad es. P(1,0,0) : h: (1,0,0)+t(-7,4,1)

h: (1-7t,4t,t) , t∈R h

s r

β

Un altro modo di procedere: intersecare π con un qualsiasi piano β⊥r ( β⊥π ), dunque con Nβ ⁄⁄ ur . Così la retta h =π ∩ β è tale che uh ⊥Nβ cioè uh ⊥ur. h:

⎩⎨

⎧ β π ⇒

⎩⎨

⎧

= + +

=

−

− +

0 3z y x

0 1 z 2y x

ESERCIZIO3.

Rette sghembe

Siano r:

⎩⎨

⎧

=

= 0 z

1

x ed s:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

t z

t y

t x

t∈R.

a) Dimostrare che r ed s sono sghembe

b) Determinare tutte le rette incidenti sia r che s

c) Tra le rette trovate in b) determinare quella perpendicolare ad entrambe (la comune perpendicolare ad r ed s)

d) Determinare la distanza tra r ed s.

r ed s sghembe ⇔ r, s non complanari

⇔ r non parallela ad s ed r non incidente s

r: ⎩⎨⎧

=

= 0 z

1

x ed s:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

t z

t y

t x

t∈R. Troviamone i vettori direzionali:

ur = Nα x Nβ , α: x-1=0 ⇒ Nα = (1,0,0) β: z=0 ⇒ Nβ = (0,0,1)

⇒ _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

1 0 0

0 0

1 (minori a sgn alterno (0,-1,0)) ⇒u_r = (0,1,0)

s: ⎪

⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

t z

t y

t x

⇒ u_s= (1,1,1).

ur non è parallelo a us= (1,1,1) quindi r non è parallela ad s.

Vediamo se r ed s hanno pti a comune :

r: ⎩⎨⎧

=

= 0 z

1 x , S:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

t z

t y

t x

⇒

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

=

=

=

=

=

t z

t y

t x

0 z

1 x

⇒ t=1,t=0 assurdo : r, s non incidenti

r ed s non sono né parallele, né incidenti e quindi sono sghembe.

Un altro modo:A,B,C,D sono complanari ⇔ (D-A)⋅(B-A)x(C-A)=0

b) determinare tutte le rette incidenti sia r che s

Q P

A B

C

D

Basta prendere due punti distinti su r e due pti distinti su s e fare il prodotto misto (D-A)⋅(B-A)x(C-A)

r r

s

Rette PQ, con P variabile su r , Q variabile su s

S:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

t z

t y

t x

⇒ Q(t,t,t)

r: ⎪

⎩

⎪⎨

⎧

=

=

= 0 z

v y

1 x

⇒ P(1,v,0)

Rette PQ :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+

= +

= +

=

0)λ - (t t z

v)λ - (t t y

1)λ - (t t x

t corre su s, v su r e λ sulle rette PQ

c) Tra le rette trovate in b) determinare quella perpendicolare ad entrambe (la comune perpendicolare ad r ed s).

Deve risultare u_PQ ⊥ r e u_PQ ⊥ s, quindi imponiamo l’annul- lamento dei due prodotti scalari :

⎩⎨⎧

=

⋅

=

⋅

0 (1,1,1) t)

v, - t 1, - (t

0 (0,1,0) t)

v, - t 1, -

(t ⇒

⎩⎨

⎧

=

−

−

=

−

0 1 v 3t

0 v

t ⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

2 v 1

2 t 1

⇒

per questi valori si trova la retta n:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+

= +

= +

=

0)λ - (t t z

v)λ - (t t y

1)λ - (t t x

⇒

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

+

=

=

−

=

2λ 1 2 z 1

2 y 1

2λ 1 2 x 1

d) I valori trovati t=2

1 , v = 2

1ci danno risp. i punti P e Q giacenti sulla comune perpendicolare n , che sono anche i punti di mi- nima distanza tra r ed s.

t=¹₂ su r ⇒ P(1, ¹₂,0) v=¹₂ su s ⇒ Q(₂¹, ₂¹,₂¹)

Quindi d(r,s)= d(P,Q) = 2 P Q ²

Q P 2 Q

P x ) (y y ) (z z )

(x − + − + −

=

2 ) 1 2 (0 1 2) 1 2 (1 2)

(1−1 ²+ − ²+ − ² = . Q Vettore direzionale Q-P delle rette PQ

al variare di λ∈R

…ALTRO METODO PER DETERMINARE

LA COMUNE PERPENDICOLARE A DUE RETTE SGHEMBE

n: ⎩⎨⎧

n n

u a parallelo

e s contenente

iano

u a parallelo

e r contenente

iano p

p

u_r= (0,1,0), u_s= (1,1,1) ; _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ 1 1 1

0 1

0 ⇒ u_n= u_rxu_s =(1,0,-1)

r: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

= 0 z

t y

1 x

S:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

t z

t y

t x

Il piano contenente r e parallelo ad un ( in forma parametrica) è :

⎪⎩

⎪⎨

⎧ +

= +

= +

=

(-1)s 0 z

(0)s t y

s ) 1 ( 1 x

⇒ α :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

= +

= -s z

t y

s 1 x

⇒ x=1-z cioè α : x+z-1=0

A B

r

n

s

ur non parallelo a us ⇒

∃ w=u_rxu_s non nullo e ⊥ ad u_r,u_s

Il piano contenente r e parallelo a w interseca il piano contenente s e parallelo a w in una retta n ⊥ ad r ed s

⇒ n è la comune perpendicolare alle rette sghembe r,s ( w ⁄⁄ un ).

I pti A e B giacenti sulla comune perpendicolare n , sono anche i punti di minima distanza tra r ed s.

Il piano contenente s e parallelo ad un ( in forma parametrica) è :

⎪⎩

⎪⎨

⎧ +

= +

= +

= (-1)s t z

(0)s t y

s ) 1 ( t x

⇒ β:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

= +

= s - t z

t y

s t x

⇒ (1^a+3^a=2⋅2^a) x+z=2y⇒ β : x-2y+z=0

Quindi n:

⎩⎨

⎧ β

α ⇒ n:

⎩⎨

⎧

= +

−

=

− +

0 z 2y x

0 1 z

x

Confrontiamolo con il risultato trovato in c)

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

+

=

=

−

=

2λ 1 2 z 1

2 y 1

2λ 1 2 x 1

♣ Vettore direzionale di questa retta è ( ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

2 ,1 0 2,

1 che è parallelo ad un= (1,0,-1)

♣ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ 2 ,1 2 ,1 2

1 è pto di entrambe le rette

⎩⎨

⎧

= +

−

=

− +

0 z 2y x

0 1 z

x e

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

+

=

=

−

=

2λ 1 2 z 1

2 y 1

2λ 1 2 x 1

.

⇒ OK ! le rette coincidono.

ESERCIZIO5.

Fasci di piani – distanze