Universit`a degli Studi di Trento
CORSO DI ANALISI MATEMATICA II - LAUREA IN FISICA
DAVIDE PASTORELLO E ANDREA PINAMONTI
Foglio di esercizi 8
Nota preliminare: Le risoluzioni degli esercizi presentati sono volutamente schematiche e vari dettagli sono lasciati al lettore.
Esercizio 1. Sia f : R → R la funzione di periodo 2π definita da f (x) = x per x ∈ (−π, π]. Si determinino la serie di Fourier di f e la somma della serie numerica P∞
n=0 1 n2. Soluzione:
f `e dispari quindi an = 0 per ogni n ≥ 0. Mentre gli altri coefficienti di Fourier si calcolano esplicitamente:
bn= 2 π
Z π 0
x sin(nx)dx = 2
n(−1)n+1. La serie di Fourier di f `e :
2
∞
X
n=1
(−1)n+1
n sin(nx),
che converge puntualmente a f per x 6= (2k + 1)π con k ∈ Z e a 0 per x = (2k + 1)π con k ∈ Z. Per il calcolo della somma della serieP∞
n=0 1
n2 si pu`o utilizzare l’identit`a di Parseval:
∞
X
n=0
1 n2 = 1
4π Z π
−π
x2dx = π2 6 .
Esercizio 2. Sia f : R → R la funzione di periodo 2π definita da f (x) = |x| per x ∈ (−π, π]. Si determinino la serie di Fourier di f e la somma della serie numerica P∞
n=0 1 (2n+1)2. Soluzione:
f `e pari quindi bn= 0 per ogni n ≥ 1. Mentre gli altri coefficienti di Fourier si calcolano esplicitamente:
a0= 2 π
Z π 0
xdx = π an= 2
π Z π
0
x cos(nx)dx = 2
πn2(cos(nπ) − 1).
an= 0 per n pari e an= −πn42 per n dispari, quindi la serie di Fourier di f `e : π
2 − 4 π
∞
X
n=0
1
(2n + 1)2cos[(2n + 1)x], che converge puntualmente a f in R, in particolare:
f (0) = π 2 − 4
π
∞
X
n=0
1
(2n + 1)2 = 0 ⇒
∞
X
n=0
1
(2n + 1)2 = π2 8 .
Esercizio 3. Determinare la serie di Fourier di f (x) = 2 + sin x + 3 cos(2x).
Soluzione:
f `e un polinomio trigonometrico quindi si possono identificare direttamente i suoi coefficienti di Fourier:
a0= 4 an=
3 n = 2
0 n 6= 2 bn=
1 n = 1 0 n > 1
2
Esercizio 4. Sia f : R → R la funzione di periodo 2π definita da:
f (x) =
cos x |x| ≤ π2 1 π2 ≤ |x| ≤ π
Determinare a quale funzione g = g(x) la serie di Fourier di f converge puntualmente in [−π, π].
Soluzione:
f `e continua in −π2,π2, in π2, π ed in −π,π2 mentre in ±π2 presenta discontinuit`a : lim
x→π2+
f (x) = 1 lim
x→π2−
f (x) = 0, lim
x→−π2−
f (x) = 1 lim
x→−π2+
f (x) = 0.
Pertanto nell’intervallo [−π, π] la serie di Fourier converge puntualmente ad f per x 6= ±π2 mentre converge al valore 12 per x = ±π2. La funzione limite cercata `e quindi g : [−π, π] → R cos`ı definita:
g(x) =
cos x |x| <π2 1 π2 < |x| ≤ π
1
2 x = ±π2
Esercizio 5. Sia f : R → R la funzione di periodo 2π definita da:
f (x) =
x cos x −π ≤ x < π
π x = π
Discutere convergenza puntuale e uniforme della serie di Fourier di f . Soluzione:
f `e continua in ogni intervallo ((2k + 1)π, (2k + 3)π) con k ∈ Z, quindi la serie di Fourier ivi converge puntualmente a f . Mentre nei punti xk = (2k + 1)π con k ∈ Z f presenta discontinuit`a e:
lim
x→x−k
f (x) = −π lim
x→x+k
f (x) = π ∀k ∈ Z.
La serie di Fourier di f converge a 0 per x ∈ {xk}k∈Z.
Poich´e f `e di classe C1 in ogni intervallo ((2k + 1)π, (2k + 3)π) con k ∈ Z, la serie di Fourier converge uniformemente a f in ogni intervallo [a, b] con (2k + 1)π < a < b < (2k + 3)π e k ∈ Z.
Esercizio 6. Sia f : R → R la funzione di periodo 2π definita da:
f (x) =
−xπ −π ≤ x ≤ 0 x2 0 < x < π Discutere convergenza puntuale e uniforme della serie di Fourier di f . Soluzione:
Osservando che la funzione `e continua in 0 e che:
lim
x→−π+
f (x) = lim
x→π−
f (x) = π2,
si pu`o concludere che f ∈ C0(R). La serie di Fourier converge puntualmente a f in R.
Si consideri:
f0(x) =
−π −π < x < 0 2x 0 < x < π essendo:
lim
x→−π+f0(x) = −π lim
x→π+f0(x) = 2π,
si ha che f `e di classe C1 a tratti su R. La serie di Fourier converge uniformemente a f in R.
