Variante n.1 Calcolare lim
x→0+
ln(1 + x2) ex− 1 Risposta: 0
Variante n.2 Calcolare lim
x→0+
(ex− 1) ln(1 + x2) Risposta: +∞
Variante n.3 Calcolare lim
x→0+
ln(1 + x) ex2− 1 Risposta: +∞
1
Variante n.1 Calcolare il valore di k in modo che risulti:
Z 2 1
(x + k)dx = Z 3
2
(x − k)dx
Risposta: Gli integrali indefiniti dei due integrandi sono rispettivamente x2/2+kx+c e x2/2−kx+c, quindi il parametro k vale 1/2.
Variante n.2 Calcolare l’integrale definito Z 4
0
|x − 1|dx
Risposta: L’integrando `e dato da 1−x tra 0 e 1 e da x−1 tra 1 e 4, quindi, calcolando separatamente, l’integrale definito vale 5.
Variante n.3 Calcolare l’integrale definito Z 4
0
|x − 3|dx
Risposta: L’integrando `e dato da 3 − x tra 0 e 3 e da x − 3 tra 3 e 4, quindi, calcolando separatamente, l’integrale definito vale 5.
Variante n.1 Determinare autovalori e almeno un autovettore della trasformazione lineare T : R3 → R3 descritta dalla matrice
3 0 0
3 −1 1
3 1 −1
Si ricorda che, per definizione, un autovettore `e non nullo.
Risposta: λ0 = 3, λ±1= −1 ± 1. v0= (1, 1, 1), = v±1= (0, 1, ±1).
Variante n.2 Determinare autovalori e almeno un autovettore della trasformazione lineare T : R3 → R3 descritta dalla matrice
3 0 0
3 −1 2
3 2 −1
Si ricorda che, per definizione, un autovettore `e non nullo.
Risposta: λ0 = 3, λ±1= −1 ± 2. v0= (23, 1, 1), v±1 = (0, 1, ±1).
Variante n.3 Determinare autovalori e almeno un autovettore della trasformazione lineare T : R3 → R3 descritta dalla matrice
3 0 0
3 −1 3
3 3 −1
Si ricorda che, per definizione, un autovettore `e non nullo.
Risposta: λ0 = 3, λ±1= −1 ± 3. v0= (13, 1, 1), v±1 = (0, 1, ±1).
Variante n.1 Si consideri il seguente sistema nelle incognite x, y, z e dipendente dal parametro a:
x + ay = 1 2x − ay + z = 1
−y + az = 1.
a) Determinare i valori del parametro a per cui il sistema `e compatibile.
b) Nei casi in cui la regola di Cramer `e applicabile, si calcoli il valore di x usando tale regola.
Risposta: Compatibile se a 6= ± r1
3. In tal caso x = −2a2+ a + 1
−3a2+ 1
Variante n.2 Si consideri il seguente sistema nelle incognite x, y, z e dipendente dal parametro a:
x + ay = 1 2x + 3ay + z = 1 3y + az = 1.
a) Determinare i valori del parametro a per cui il sistema `e compatibile.
b) Nei casi in cui la regola di Cramer `e applicabile, si calcoli il valore di x usando tale regola.
Risposta: Compatibile se a 6= ±√
3. In tal caso x = 2a2+ a − 3 a2− 3
Variante n.3 Si consideri il seguente sistema nelle incognite x, y, z e dipendente dal parametro a:
x + ay = 1 2x + 4ay + z = 1 4y + az = 1.
a) Determinare i valori del parametro a per cui il sistema `e compatibile.
b) Nei casi in cui la regola di Cramer `e applicabile, si calcoli il valore di x usando tale regola.
Risposta: Compatibile se a 6= ±
√
2. In tal caso x = 3a2+ a − 4 2a2− 4
Variante n.1 Determinare la soluzione, con il suo dominio d’esistenza D, del seguente problema ai valori iniziali:
y0 = y/3x; y(8) = 3 e calcolare
lim
x→0+y0(x) Risposta: a)
y(x) = 3
2x1/3, D = (0, ∞) b)
∞
Variante n.2 Determinare la soluzione, con il suo dominio d’esistenza D, del seguente problema ai valori iniziali:
y0 = 2x/y; y(0) = 2 e determinarne gli eventuali asintoti.
Risposta: a)
y(x) =p
2x2+ 4, D = (−∞, ∞) b) y = +(−)√
2x a +(−)∞
Variante n.3 Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale:
y0 = −2y + 3
con il suo dominio d’esistenza D e determinare un’eventuale soluzione costante.
Risposta: a)
y(x) = 3/2 + c exp(−2x), D = (−∞, ∞) b)
y = 3/2
Variante n.1 Determinare il dominio di definizione, asintoti, gli intervalli di crescita, decrescita, eventuali minimi e massimi relativi e tracciare il grafico della funzione:
f (x) = 2x2+ 4x − 5 x2+ 2x − 3 . Risposta:
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-2 -1 1 2 3 4
Dominio x 6= −3, x 6= 1.
As.Vert. x = −3, x = 1.
f0(x) = −2(x2+ 2x − 3)−2(x + 1).
Massimo relativo per x = −1.
Variante n.2 Determinare il dominio di definizione, asintoti, gli intervalli di crescita, decrescita, eventuali minimi e massimi relativi e tracciare il grafico della funzione:
f (x) = 2x2− 3x − 5 x2+ 2x − 3 . Risposta:
Dominio x 6= −3, x 6= 1.
As.Vert. x = −3, x = 1.
f0(x) = (x2+ 2x − 3)−2(7x2− 2x + 19).
Sempre crescente.
Variante n.3 Determinare il dominio di definizione, asintoti, gli intervalli di crescita, decrescita, eventuali minimi e massimi relativi e tracciare il grafico della funzione:
f (x) = 2x2+ 9x − 5 x2+ 2x − 3 . Risposta:
-15 -10 -5 0 5 10 15 20
-8 -4 4 8 12
Dominio x 6= −3, x 6= 1.
As.Vert. x = −3, x = 1.
f0(x) = −(x2+ 2x − 3)−2(5x2+ 2x + 17).
Sempre decrescente.
