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Esercizio 1 Calcolare il

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Academic year: 2021

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(1)

Esercizio 1 Calcolare il

x→0 lim 1 − 2x  1/ sen x

.

Esercizio 2

Determinare i punti estremanti della restrizione di f (x) =

Z 2x 0

1 − t

|t + 4| dt all’intervallo (−1, 2].

Concludere l’esercizio elencando i punti trovati e specificando quali sono di massimo e quali di minimo (in caso contrario l’esercizio non verr` a valutato).

Esercizio 3

Spiegare per quale motivo il dominio della funzione ln x :=

Z x 1

1 t dt

`

e la semiretta (0, +∞).

(2)

Esercizio 1

Calcolare g 0 (1), essendo g(y) la funzione inversa di f (x) = e 2x + x.

Esercizio 2

Determinare la formula di MacLaurin del quinto ordine di f (x) = x 4

Z 2x 0

2 cos t − |t|

|1 − 4 cos t| dt.

Avvertenza: lo svolgimento richiede pochi semplicissimi calcoli.

Esercizio 3

Provare che una serie geometrica converge se e solo se il valore assoluto della sua ragione

`

e minore di 1.

(3)

Esercizio 1 Calcolare

Z 0

−2

log 1 + |x + 1| dx.

Esercizio 2

Mostrare che l’equazione 1 + exp x − |x − 1| = 0 ammette almeno una soluzione negativa.

Esercizio 3

Enunciare il teorema di esistenza del limite per le funzioni monotone e darne una dimo- strazione nel seguente caso:

x→−∞ lim f (x),

dove f : R → R `e una funzione crescente e non limitata inferiormente.

(4)

Esercizio 1

Determinare l’asintoto sinistro di

f (x) = p

4x 2 + |x − 5|.

Esercizio 2 Calcolare il

x→+∞ lim 1 x

Z 3x 0

2 + t + t 3 1 + t + t 3 dt.

Esercizio 3

Sia F una primitiva di una funzione f : J → R definita in un intervallo J ⊆ R. Provare che se G ` e un’altra primitiva di f , allora esiste un numero c ∈ R tale che G(x) = F (x) + c,

∀ x ∈ J .

(5)

Esercizio 1

Determinare i punti in cui la seguente funzione non ` e derivabile:

f (x) = x p

4x 2 + |x|.

Esercizio 2

Calcolare il seguente integrale:

Z −1

−3

log(|t|) dt.

Esercizio 3

Sia a un numero reale non negativo. Supponiamo che per ogni ε > 0 si abbia a ≤ ε.

Provare che a = 0.

(6)

Esercizio 1

Calcolare f 5 (0), essendo

f (x) = x 5 2 cos x + 4 .

Avvertenza: lo svolgimento richiede pochi semplicissimi calcoli.

Esercizio 2

Determinare il dominio della seguente funzione (motivando la risposta):

F (x) = Z 2x

−x

1 1 − t 3 dt.

Avvertenza: lo svolgimento richiede pochi semplicissimi calcoli.

Esercizio 3

Spiegare per quale motivo la funzione ln x ` e suriettiva.

(7)

Esercizio 1

Determinare i punti estremanti della restrizione di

f (x) = arctang exp p|x 2 − 1| + x 

all’intervallo [0, 2].

Suggerimento. Il problema si semplifica notevolmente se si tiene conto della monotonia di tre funzioni.

Concludere l’esercizio elencando i punti trovati e specificando quali sono di massimo e quali di minimo (in caso contrario l’esercizio non verr` a valutato).

Esercizio 2

Determinare l’asintoto sinistro di

f (x) = p|x 2 − 1| + x.

Esercizio 3

Dare un esempio di funzione derivabile, con derivata nulla (in ogni punto del suo dominio),

ma non costante.

(8)

Esercizio 1

Determinare i punti estremanti della restrizione di

f (x) = arctang 3

p1 + |x 2 − 1| + |x + 1|

!

all’intervallo [−2, 2].

Suggerimento. Il problema si semplifica notevolmente se si tiene conto della monotonia di alcune funzioni.

Concludere l’esercizio elencando i punti trovati e specificando quali sono di massimo e quali di minimo (in caso contrario l’esercizio non verr` a valutato).

Esercizio 2

Determinare l’asintoto sinistro di

f (x) = |x 2 − x| sen(2/x).

Esercizio 3

Spiegare per quale motivo le serie con tutti i termini di segno costante non possono essere

indeterminate.

(9)

Esercizio 1

Determinare la formula di MacLaurin del settimo ordine di f (x) = x 7 cos 3 x + |x|x 8

cos x + √

4 + 2x 5 .

Attenzione! Se si svolgono troppi calcoli significa che non si hanno le idee chiare sulla formula di Taylor.

Esercizio 2

Determinare l’asintoto sinistro di

f (x) = |x 2 − x| 1 − exp(1/x) .

Esercizio 3

Sia {a n } una successione di numeri reali. Cosa significa affermare che la serie

X

n=1

a n

ha per somma S?

(10)

Esercizio 1

Determinare i punti estremanti della restrizione all’intervallo [−3, 0] della funzione f (x) =

Z x

1

|t + 1| cos t dt

Concludere l’esercizio elencando i punti trovati e specificando quali sono di massimo e quali di minimo (in caso contrario l’esercizio non verr` a valutato).

Attenzione! Se si svolgono troppi calcoli significa che si hanno gravi lacune.

Esercizio 2

Sia a un numero reale non negativo. Supponiamo che a sia minore o uguale a c, qualunque sia il numero positivo c. Provare che a = 0.

Esercizio 3

Siano a e b due numeri reali. Provare che se a ` e razionale e b non lo ` e, allora 2a + 5b/3 ` e

irrazionale.

(11)

Esercizio 1 Calcolare

x→+∞ lim (πx − 2x arctang 3x).

Esercizio 2

Provare che l’equazione

arctang(e x − |x + 1|) = 0 ammette almeno una soluzione negativa.

Esercizio 3

Siano f e g due funzioni reali, entrambe definite nello stesso sottoinsieme A di R. Sup- poniamo che f sia continua e che g non lo sia. Dedurre, dal teorema di continuit` a delle funzioni combinate, che f + g ` e una funzione discontinua.

Mostrare con un esempio che nelle suddette ipotesi (i.e. f continua e g discontinua) la

funzione prodotto f g pu` o essere continua.

(12)

Esercizio 1

Determinare il carattere della seguente serie numerica:

X

n=3

2 n + 4 .

Esercizio 2 Calcolare il

x→+∞ lim Z x+5

x

2t + cos t t − 4 dt.

Esercizio 3

Sia f : (0, 1) → R una funzione strettamente crescente. Provare che f non ammette n´e

massimo n´ e minimo.

(13)

Esercizio 1

Determinare il carattere della seguente serie numerica:

X

n=3

2n − 1 5n + 4 .

Esercizio 2

Determinare l’immagine della funzione

f (x) = 2

|x + 3| − 3

usando esclusivamente la definizione di immagine (altrimenti l’esercizio non sar` a valu- tato).

Suggerimento. Fissare un arbitrario numero c ∈ R e stabilire se sta (o non sta) nell’im- magine di f , cio` e se l’equazione . . .

Esercizio 3

Siano n, m ∈ N e sia f (x) = o(x n ) per x → 0. Provare che se m < n, allora f (x) = o(x m )

per x → 0.

(14)

Esercizio 1

Sia f : R → R la funzione iniettiva definita da

f (x) = 1 + 2x + x 3 + x 5 . Calcolare (f −1 ) 0 (1).

Esercizio 2

Determinare i punti estremanti della restrizione all’intervallo [−1, 4] della funzione f (x) =

Z −x 1

sign(t + 2) dt.

Concludere l’esercizio elencando i punti trovati e specificando quali sono di massimo e quali di minimo (in caso contrario l’esercizio non verr` a valutato).

Attenzione! Lo svolgimento richiede pochi semplicissimi calcoli.

Esercizio 3

Siano f (x) = o(x m ) e g(x) = o(x n ) per x → 0, dove m, n ∈ N. Provare che se m < n,

allora f (x) + g(x) = o(x m ) per x → 0.

(15)

Esercizio 1 Calcolare il

x→−∞ lim |x| 3 sin(1/x) + x 2 .

Esercizio 2

Determinare il carattere della seguente serie:

X

n=3

(−1) n+1 n 2 + 2n .

Esercizio 3

Sia f : J → R una funzione reale definita in un intervallo. Provare che se G : J → R `e una

primitiva di f , allora ogni altra primitiva (di f ) si ottiene aggiungendo una costante a G.

(16)

Esercizio 1

Determinare l’asintoto sinistro della funzione la cui equazione del grafico ` e y = exp  1

x



p x 2 − 4x .

Esercizio 2

Calcolare f 0 (0), f (3) (0) e f (5) (0), dove f (t) =

t 5 cos(4t)

60 + t 2 + t 3 + 2t 2 − 2t − 1 + t 5 sin t .

Suggerimento. Scrivere prima la formula di MacLaurin del quint’ordine di f . L’esercizio richiede pochi semplicissimi calcoli.

Esercizio 3

Provare che una serie converge solo se il suo termine generale ` e infinitesimo.

(17)

Esercizio 1

Calcolare, giustificando la risposta, il

s→3 lim g(s) , essendo g(s) la funzione inversa di f (t) = t + t 3 + t 7 .

Esercizio 2

Determinare i punti estremanti della restrizione all’intervallo [1, 4] della funzione f (x) =

Z x 5

e t sen t

|t| + 3 dt.

Concludere l’esercizio elencando i punti trovati e specificando quali sono di massimo e quali di minimo (in caso contrario l’esercizio non verr` a valutato).

Attenzione! Lo svolgimento richiede pochi semplicissimi calcoli.

Esercizio 3

Ricordiamo che una serie geometrica converge se e solo se il valore assoluto della sua ragione ` e minore di 1. Provare soltanto che una serie geometrica di ragione q converge solo se |q| < 1.

L’esercizio verr` a valutato solo se, nello svolgimento, lo studente dimostra di aver compreso

il significato di “solo se” (non svolgere la parte riguardante l’implicazione “se”).

(18)

Esercizio 1 Calcolare il

x→−∞ lim

1

px 6 (1 − cos(1/x 3 )) .

Suggerimento. Utilizzare la formula di MacLaurin della funzione . . .

Esercizio 2

Calcolare il numero f (3) − f (1), dove f : R → R `e la funzione definita da f (x) =

Z x 0

|2 − t| dt.

Esercizio 3

Applicare il criterio integrale per le serie numeriche per provare che il numero

X

n=1

1 n 2 + 1

`

e compreso tra π/4 e π/2.

(19)

Esercizio 1

Tra le (due) soluzioni dell’equazione Z x

0

sign(t − 1) dt = 0 determinare quella appartenente alla semiretta [1, +∞).

Esercizio 2

Determinare l’asintoto sinistro di

f (x) = p

4

x 4 − 8x 3 .

Suggerimento. Scrivere f (x) nella forma f (x) = mx + q + r(x), con r(x) → 0 per x → −∞.

Allo scopo utilizzare la formula di MacLaurin della funzione . . .

Esercizio 3

Enunciare il criterio del confronto per le serie numeriche e darne una dimostrazione.

(20)

Esercizio 1

Determinare i punti estremanti della restrizione di f (x) = |x − 1| exp x all’intervallo [−2, 2].

Concludere l’esercizio elencando i punti trovati e specificando quali sono di massimo e quali di minimo (in caso contrario l’esercizio non verr` a valutato).

Esercizio 2

Calcolare il seguente integrale:

Z +∞

2

2

|2 − x 2 | + 1 dx.

Esercizio 3

Determinare la formula di MacLaurin del terz’ordine di una funzione f : R → R, di classe C 3 , sapendo che f (0) = 2 e che la formula di MacLaurin del second’ordine della sua derivata ` e

f 0 (x) = 1 + x − x 2 + o(x 2 ).

Suggerimento. Utilizzare due noti teoremi riguardanti la formula di Taylor.

(21)

Esercizio 1

Stabilire se l’equazione

2 cos x − p|x + sin x| + 2 = 0 ammette almeno una soluzione negativa.

Esercizio 2

Calcolare il seguente integrale:

Z 3

−2

sign(x + 1)|x − 2| dx.

Esercizio 3

Sia f : J → R una funzione definita in un intervallo e sia F : J → R una sua primitiva.

Provare che G : J → R `e una primitiva di f solo se esiste c ∈ R tale che G(x) = F (x) + c, per ogni x ∈ J .

N.B. L’esercizio verr` a valutato solo se, nello svolgimento, lo studente dimostra di aver

compreso il significato di “solo se”. Pertanto, per evitare confusione, non svolgere la parte

riguardante l’implicazione “se” (altrimenti l’esercizio non verr` a valutato).

(22)

Esercizio 1

Determinare la formula di MacLaurin del quinto ordine di f (x) = cos x + x 3 + |2x − cos x| + x 5

4 − 2x + |x| 9 cos 2x.

Esercizio 2

Stabilire se

X

n=2

2

2 n + | cos n| ≤ π − 2.

Esercizio 3

Dare un esempio di funzione reale di variabile reale f : A → R con un punto di massimo

x 0 ∈ A in cui f risulti derivabile con derivata non nulla.

(23)

Esercizio 1 Calcolare il

x→+∞ lim

 sen 1

|x|

 log x

Esercizio 2

Determinare l’asintoto destro della seguente funzione:

f (x) = x 2

 2

x − cos 2 x

− 1



Esercizio 3

Sia A ⊂ R un insieme limitato superiormente. Cosa significa affermare che un numero b ∈ R `e l’estremo superiore di A?

Sia C = {1, 3, 4} ⊂ R. Verificare, mediante la definizione di estremo superiore, che

sup C = 4.

(24)

Esercizio 1

Mostrare che tra tutti i rettangoli di area assegnata il quadrato ` e quello di perimetro minimo.

Esercizio 2

Calcolare il limite (per n → +∞) della seguente successione:

( 1 n

n

X

k=5

5 3 k

)

Esercizio 3

Siano f (x) = o(x m ) e g(x) = o(x n ) per x → 0, dove m, n ∈ N. Provare che

f (x)g(x) = o(x m+n ) per x → 0.

(25)

Esercizio 1

Determinare i punti estremanti della restrizione della funzione f (x) =

Z 8 1+2x

sign(t + 3) 2 + |t| dt all’intervallo [−3, 0].

Concludere l’esercizio elencando i punti trovati e specificando quali sono di massimo e quali di minimo (in caso contrario l’esercizio non verr` a valutato).

Attenzione! Lo svolgimento richiede pochi semplicissimi calcoli.

Esercizio 2 Determinare il

n→+∞ lim

√ 1 n

n

X

k=1

6 (−3) k .

Esercizio 3

Enunciare il criterio del confronto per le serie numeriche e darne una dimostrazione.

(26)

Esercizio 1

Determinare il dominio della seguente funzione:

f (x) = Z 2

3x

sign(t 2 − 2) (4 − t) √

t 2 − 1 dt.

Suggerimento. Applicare il teorema di integrabilit` a per determinare quali x ∈ R appar- tengono (o non appartengono) al dominio di f .

Esercizio 2

Determinare la formula di MacLaurin del second’ordine di

f (x) = x sign(4x 2 − cos 3x) + |2x − cos x|.

Esercizio 3

Spiegare per quale motivo il limite per x → +∞ di arctang x ` e uguale a π/2.

(27)

Esercizio 1

Determinare l’asintoto sinistro della funzione f (x) = sign  cos x − 2x

x + 3



+ exp  2 x



p x 2 + 4x .

Esercizio 2

Determinare l’insieme dei valori del parametro λ per i quali l’equazione 3(1 − λ) + 9|x| exp x = 0

ammette almeno una soluzione negativa.

Esercizio 3

Spiegare per quale motivo il limite per x → 1 di arctang x ` e uguale a π/4.

(28)

Esercizio 1 Calcolare il

x→−∞ lim

p

3

x 3 − 9x 2 − x 2 x − 2

.

Suggerimento. Utilizzare la formula di MacLaurin della funzione . . .

Esercizio 2

Provare che tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato, quello di area massima ` e un quadrato.

Esercizio 3

Sia f : J → R una funzione continua definita in un intervallo e sia F una sua primitiva.

Provare che, fissati due punti a, b ∈ J , vale la seguente uguaglianza (nota come formula fondamentale del calcolo integrale):

Z b

a

f (x) dx = F (b) − F (a).

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