Esercizio 1. Usare la regola di de L'Hopital per calcolare i seguenti limiti 1. lim

ESERCIZI PROPOSTI PER IL TUTORAGGIO DEL 23/11/2010

Esercizio 1. Usare la regola di de L'Hopital per calcolare i seguenti limiti 1. lim

x→0

log(cos x)

x ,

2. lim

x→0

log(sin x) log x , 3. lim

x→1

log x x − 1 , 4. lim

x→+∞ x − log x.

Soluzione. Nel primo e terzo limite abbiamo una forma indeterminata del tipo ⁰ ₀ . Applicando la regola di de l'Hopital otteniamo

x→0 lim

log(cos x) x

H = lim

x→0 − sin x cos x = 0,

x→1 lim log x x − 1

H = lim

x→1

1 x = 1.

Nel secondo limite abbiamo invece una forma indeterminata del tipo ^∞ _∞ e applicando nuovamente la regola di de l'Hopital si ottiene

lim

x→0

log(sin x) log x

H = lim

x→0

cos x x sin x = 1.

Per l'ultimo limite possiamo usare la regola di de l'Hopital dopo aver scritto x = log(e ^x ) e otteniamo

x→+∞ lim x − log x = lim

x→+∞ log  e ^x x



= log



x→+∞ lim e ^x

x

 H = log



x→+∞ lim e ^x



= +∞.

 Esercizio 2. Utilizzare la formula di Taylor per calcolare sin(10 ⁻¹ ) a meno di 1/100 .

Soluzione. La serie di Taylor della funzione sin x vicino a 0 è sin x = X

k≥0

(−1) ^2k+1 x ^2k+1 (2k + 1)! . Il resto di Lagrange per il polinomio di Taylor di ordine n è

R n+1 (x) = (sin ξ) ⁽ⁿ⁺¹⁾ (n + 1)! x ⁿ⁺¹ ,

dove ξ ∈ (0, x). Se indichiamo con P n (x) il polinomio di Taylor di ordine n di sin x abbiamo allora

| sin x − P n (x)| = M n+1

(n + 1)! |x| ⁿ⁺¹ ,

dove M n+1 è il massimo di (sin x) ⁽ⁿ⁺¹⁾ in (0, x). In questo caso M n+1 = 1 . Dunque per sapere no a che ordine dobbiamo fermarci nello sviluppo di Taylor dobbiamo capire qual'è il primo n ∈ N che verica la disuguaglianza

1 (n + 1)!

 1 10

 n+1

< 1 100 .

1

2 ESERCIZI PROPOSTI PER IL TUTORAGGIO DEL 23/11/2010

Otteniamo n = 1 e quindi

sin  1 10



= 1 10

è il valore di sin(10) ⁻¹ a meno di 1/100. 

Esercizio 3. Utilizzando la formula di Taylor trovare le prime tre cifre decimali del numero e.

Soluzione. Lo sviluppo di Taylor della funzione e ^x è e ^x = X

n≥0

x ⁿ n! .

Per x = 1 otteniamo il valore e. Ragioniamo allo stesso modo del precedente esercizio. In questo caso possiamo maggiorare M n+1 con 3 e dunque ci chiediamo quale sia il primo n ∈ N che verica la disuguaglianza

3

(n + 1)! < 1 1000 . Si ottiene n = 6, da cui

e =

6

X

n=0

1

n! = 8660

5040 = 1, 718254 . . .

è il valore delle prime tre cifre decimali di e. 

Esercizio 4. Mostrare, usando il resto della formula di Taylor, che

|1 − x ²

2 − cos x| ≤ x ⁴ 24 . Soluzione. La serie di Taylor della funzione cos x è

cos x = X

k≥0

(−1) ^2k x ^2k (2k)! . Il polinomio di Taylor di ordine 3 di questa funzione è

P 3 (x) = 1 − x ² 2 . Dunque

|P 3 (x) − cos x| ≤ |R 4 (x)|

e poichè M 4 = 1 , si ha

R 4 (x) = x ⁴ 24 .