FORMULARIO DI MATEMATICA E FISICA

1

FORMULARIO DI MATEMATICA E FISICA

Sommario

MATEMATICA ... 2

ALGEBRA ... 2

DISEQUAZIONI... 5

GEOMETRIA... 6

GEOMETRIA ANALITICA ... 7

FUNZIONI – ESPONENZIALI LOGARITMI ... 9

TRIGONOMETRIA ... 11

CALCOLO COMBINATORIO ... 12

PROBABILITA’ ... 12

PERCENTUALI ... 12

PROGRESSIONI ... 12

LOGICA ... 13

STATISTICA ... 13

FISICA ... 14

GRANDEZZE E MISURA ... 14

VETTORI E FORZE ... 15

CINEMATICA ... 16

DINAMICA ... 17

FLUIDI ... 18

TERMOLOGIA E TERMODINAMICA ... 19

ELETTROMAGNETISMO ... 20

2

MATEMATICA ALGEBRA

INSIEMI NUMERICI

POTENZE

PRODOTTI NOTEVOLI

POTENZA DEL

BINOMIO

n! = 1·2· … ·n

SCOMPOSIZIONI

3 EQUAZIONI

DI 1° GRADO

DISEQUAZIO NI DI 1°

GRADO

SISTEMI LINEARI

VALORE

ASSOLUTO

OPERAZIONI CON I RADICALI

RAZIONALIZ ZAZIONI

0 0





 

a a se a

se a a

a a b a

a a

b a

b   

a a b a

a a

b a

b

n n m

n n m

n m

n m













0x = 0 indeterminata – 0x = b impossibile

4 RADICALI

DOPPI

EQUAZIONI DI 2° GRADO COMPLETE ax²+bx+c=0

EQUAZIONI DI 2° GRADO INCOMPLETE

Relazione tra coefficienti e

radici e scomposizio

ne ax²+bx+c=0

Equazioni binomie

axⁿ+ c=0

Equazioni

trinomie ax²ⁿ+bxⁿ + c=0 t = xⁿ at² + bt + c = 0 Risolvi ed applica metodi delle equazioni binomie

a

ac b

b a

x b

2 4 2

2





 





 

a b ac b

a b x

 



 



 





 





2

2 4 2

2

a x b

x b

ax x bx

ax  

 







2 2 1

0 0

) (

a x

  c

a

x    c

Spuria Pura

soluz a no

c

a x c

a

c n

















 0 0

n pari

n dispari ⁿ

a

x   c

5

DISEQUAZIONI

DISEQUAZIONI DI 2° GRADO

DISEQUAZIONI DI GRADO > 2

E FRATTE

Studiare i segni dei fattori ..

0 ) (

0 ) (



 x B

x A

SISTEMI DI DISEQUAZIONI

Un sistema di disequazioni contiene n disequazioni da risolvere singolarmente:

La soluzione del sistema è l’intersezione delle soluzioni delle singole disequazioni: S = S1S2 …

Grafico:

UNIONE DI DISEQUAZIONI

( A(X) <≤ >≥0 ) U (B(x) <≤ >≥0) Soluzione S = S1 U S2 Grafico:

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI

IRRAZIONALI CON RADICE QUADRATA (C.E.: A(x)  0)

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON MODULO

0 ) (

0 ) ( ) (

) ) (

( 

 





 

x A

x A x A

x x A A

Le soluzioni sono gli intervalli con i segni richiesti

Sempre > 0 ! Studiare ≥0 se è P(x) ≤≥0 Per le fratte ≥0 solo al Numeratore

6

GEOMETRIA

PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO (intersezione di

..)

Altezze Bisettrici Mediane Assi Bisettrici angoli esterni POLIGONO

DI n LATI

SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI=

(n – 2)· 180°

ANGOLO DI UN POLIGONO REGOLARE (LATI E ANGOLI UGUALI) =

n n2)180 (

CIRCONFERENZA

Un quadrilatero è: INSCRIVIBILE se gli angoli opposti sono supplementari, CIRCOSCRIVIBILE se ha uguali le somme dei lati opposti .

CONVERSIONI MISURE ANGOLI

AREE DI FIGURE PIANE

TEOREMI SUI TRIANGOLI RETTANGOLI

APPLICAZIONI

DEL TEOREMA DI

PITAGORA QUADRATO TRIANGOLO EQUILATERO

SOLIDI

L’asse di un corda passa per il centro.

Raggio e retta tangente sono perpendicolari.

L’angolo alla circonferenza che insiste su una corda è la metà dell’angolo al centro corrispondente

Un triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo.

AH = (AB·AC)/BC

TEOREMA DI PITAGORA: AB² + AC² = BC² I° TEOREMA DI EUCLIDE: AB² = BH·BC AC² = CH·BC

II° TEOREMA DI EUCLIDE: AH² = BH·HC

2 l

d  2 ³

h l

Teorema di Eulero

Facce + Vertici – Spigoli = 2

7

GEOMETRIA ANALITICA

DISTANZA e PUNTO MEDIO

TRA 2 PUNTI A(x1 ; y1) B(x2 ; y2)

Equazione della

RETTA

Coefficiente

Angolare

Parallelismo e Perpendicolarità

Retta passante

per 2 punti A(x1 ; y1) B(x2 ; y2) Fasci

DISTANZA PUNTO - RETTA

CIRCONFERENZA

CIRCONFERENZA E RETTA

1

'' 2

''B y y

A  

1

' 2

'B x x

A  

  



2 1

2 x y y

x

AB   



 



  

; 2 2

2 1 2

1 x y y

M x

Intercetta b qc b

ma Coeff. angolare q

mx y  Forma esplicita Forma implicita

0



by c ax

1 2

1 2

x x

y m y



 

m m 1 '   '

m m 

1 2

1 1

2 1

x x

x x y y

y y



 





)

; (x₀ y₀ A

2

)

; (

b a

c by r ax

A

d





 

 0



 bx c ax



 



 

; 2 2

b C a

b c c a

r  



 







 



 







2 2 2

2

2

 2



8 PARABOLA

con asse //

asse y

PARABOLA con asse //

asse x

Ellisse con i fuochi sull’asse x

Ellisse con i fuochi sull’asse y

Iperbole con i fuochi sull’asse x

Iperbole con i fuochi sull’asse y

Altre equazioni dell’iperbole

a x b

a: 2 



 



  a a F b

4

;1 2



 



   a a V b

; 4

2 d y a

4 : 1



 



   a b F a

; 2 4 1 a

y b a: 2

x a

d 4

: 1



 



  

 a

b V a

; 2 4

9

FUNZIONI – ESPONENZIALI LOGARITMI

DEFINIZIONE DI FUNZIONE

“Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge che fa corrispondere ad ogni elemento xA uno ed un solo elemento yB.”

Per indicare che f è una funzione di A in B si scrive :

f : A B ; f : xA  yB; oppure y = f (x)

L’elemento x si chiama variabile indipendente o argomento della funzione. L’elemento Y si chiama variabile dipendente o immagine (in corrispondenza di x) della funzione.

L’insieme A dei valori x per i quali esiste il corrispondente valore della y si dice campo di esistenza o insieme di definizione o dominio della funzione. L’insieme f(A) di tutti gli elementi associati ai valori di A si chiama codominio della funzione.

FUNZIONI INVERTIBILI

Una funzione f si dice biettiva sul codominio B se ogni elemento di B è associato una sola volta ad un elemento di A.

Una funzione biettiva è anche invertibile : cioè se f : x A  y B è biettiva e associamo ad ogni valore y del codominio l’elemento x del dominio otteniamo una nuova funzione detta funzione inversa :

f ^-1 : y  B  x  A.

FUNZIONI COMPOSTE

Siano date due funzioni f: x  A  y  B e g: y  C  z  D. Se B e C hanno elementi comuni sia I = B  C (intersezione di B e C). Dato che ad ogni elemento x associato ad un elemento y = f(x)  I si può associare l’elemento g(y) = g(f(x)) associato ad f(x) si forma la funzione composta z = f•g(x) = g(y) = g(f(x)) : AD.

Il dominio della funzione composta può anche non coincidere con l’insieme A ma esserne un sottoinsieme.

CLASSIFICAZI ONE

CALCOLO DEL DOMINIO

FUNZIONI MONOTONE

Una funzione si dice CRESCENTE in un intervallo se: x1 < x2  f(x1)  f(x2) Una funzione si dice DECRESCENTE in un intervallo se: x1 < x2  f(x1)  f(x2)

FUNZIONI PARI,

Una funzione y = f (x) si dice pari se: f(-x) = f(x)  x A Una funzione y = f (x) si dice dispari se: f(-x) = -f(x)  x A

10 DISPARI

PERIODICHE

Una funzione y = f (x) si dice periodica di periodo T, con T > 0, se, per qualsiasi numero k intero, si ha:

f(x) = f(x + kT)

Funzione esponenziale

Funzione logaritmica

PROPRIETA’ DI ESPONENZIALI E LOGARITMI

Equazioni esponenziali

Disequazioni esponenziali

Equazioni logaritmiche

Disequazioni logaritmiche

) ( )

) (

( )

( a f x g x

a^{f x}  ^{g x}  

0 0 log

) (

) (





 

 N

N N x

f

e impossibil N

a

a x

f

1 0

1 )

( ) ( ) (

) ( ) ( ) ) (

( ^{( )}

) (













 



 a

a x g x

f

x g x

a f a^{f x g x}

) 0

( Nimpossibile N

a^{f x} a^f(x) N xR N 0

1 0

1 log

) ( ) (

log ) ( ) ) (

) (

(













 



 a

a N N x

f x N f

a

a a x

f

















) ( ) (

0 ) (

0 ) ( )

( log ) ( log

x g x f

x g

x f x

g x

f _a

 a





 

 _N

a f x a

x N f

x

f ( )

0 ) ) (

( log



























 









1 0

1 ) ( ) ( ) (

) ( ) ( ) (

0 ) (

0 ) ( )

( log ) ( ) ( log

a a x g x f

x g x f

x g

x f x

g x

f _a

a







































1 0

1 )

( ) (

) ( ) (

0 ) (

0 ) ( )

( ) ( log

a a a x f

a x f

x g

x f N

x f

N N a

11

TRIGONOMETRIA

ANGOLI

CIRCONFERENZA GONIOMETRICA

RELAZIONI FONDAMENTALI ARCHI ASSOCIATI

ANGOLI ELEMENTARI

FORMULE GONIOMETRICHE

EQUAZIONI GONIOMETRICHE

Teorema dei Triangoli rettangoli e

della corda

a = c sen  = c cos 

b = c sen  = c cos  AB = 2r sen  a = b tg  = b cotg 

b = a tg  = c cotg 

Triangoli qualunque

AREA DEL TRIANGOLO A = 2

1 a b sen  = 2

1 a c sen  = 2

1 b c sen 

TEOREMA DEI SENI _r

sen c sen

b sen

a   2







TEOREMA DEL COSENO O DI CARNOT

a² = b² + c² – 2bc cos  b² = a² + c² – 2ac cos  c² = a² + c² – 2ac cos 









_g 180^^r



  180

g r



 

_g = 360-esima parte angolo giro

12

CALCOLO COMBINATORIO

n fattoriale

n! = n·(n-1)·…·1

DISPOSIZIONI SEMPLICI

(CONTA L’ORDINE SENZA RIPETIZIONI):

D

= n·(n-1)·…·(n-k+1)=

PERMUTAZIONI SEMPLICI

(CONTA L’ORDINE SENZA RIPETIZIONI):

P _n = D _n,n = n!

PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONI (CONTA L’ORDINE

gli oggetti 1,2,..,k si ripetono r1,r2,...rk volte ):

Pr n =

COMBINAZIONI SEMPLICI

(NON CONTA L’ORDINE SENZA RIPETIZIONI):

C n,k =

DISPOSIZIONI con RIPETEZIONE

(CONTA L’ORDINE CON RIPETIZIONI):

Dr n,k = n ^k

COMBINAZIONI con RIPETEZIONE

(NON CONTA L’ORDINE CON RIPETIZIONI):

Cr _n,k =

PROBABILITA’

Probabilità di un evento E p(E) =

Probabilità dell’evento contrario E p(E) = 1 – p(E)

Probabilità dell’unione di eventi p(E

 E

) =

p(E

) + p(E

) – p(E

 E

)

Probabilità dell’unione di eventi incompatibili p(E

 E

) = p(E

) + p(E

)

Probabilità composta di eventi indipendenti p(E ₁  E ₂ ) = p(E ₁ ) · p(E ₂ )

Probabilità condizionale p(E/F) =

Probabilità composta di eventi dipendenti p(E F) = p(E/F) · p(F)

Prova ripetuta n volte

Sia p la probabilità che E si verifichi una volta.

La probabilità che E si verichi k volte su n è

PERCENTUALI

VARIAZIONE PERCENTUALE

CALCOLO DEL VALORE FINALE

PROGRESSIONI

Termine n-esimo di una progressione aritmetica di ragione d e

termine iniziale a0.

a

= a

+ (n-1)·d

Somma dei primi n termini di una progressione aritmetica

S

Termine n-esimo di una progressione geometrica di ragione r e

termine iniziale a0.

a

= a

·r

13

LOGICA

STATISTICA

CONNETTIVI LOGICI

REGOLE DI DEDUZIONE

Modus Ponens Modus Tollens

Leggi di De Morgan

Frequenza

relativa f = F / T (Frequenza / Totale dati)

Indici di posizione

centrale

Indici di dispersione

14

FISICA

GRANDEZZE E MISURA

PREFISSI

UNITA’ DI

VOLUME

CALCOLO DEI VOLUMI

DENSITA’

E PESO SPECIFICO

TABELLA UNITA’ DI

MISURA

15

VETTORI E FORZE

Prodotto scalare- vettore

Somma di vettori

Differenza di vettori

Prodotto scalare

Prodotto vettoriale

Forza peso

Forze d’attrito

Forza elastica

Parallelogramma

PUNTA-CODA

PUNTA-PUNTA

Radente

Volvente

Viscoso

Legge di Hooke

16

CINEMATICA

Velocità e Accelerazione

Leggi orarie del Moto Rettilineo Uniforme

Leggi orarie del Moto Uniformemen

te Accelerato

Moto verticale

Moto curvilineo

Moto circolare uniforme

r a

r a v r

v

T v r

T f T

2

2

2 1

 



  _











Moto Armonico

Semplice

Unità di misura

s = r cos(t)

Sistema di riferimento orientato verso l’alto

v = r sen(t) a = ²r cos(t) a = - ²x

v

-v

= 2as

17

DINAMICA

Principi della Dinamica

Momento di

una forza Equilibrio di

un corpo rigido

Legge di

attrazione gravitazionale

Lavoro

Potenza

Energia

Cinetica

Energia Potenziale

Impulso e Quantità di

Moto

Unità di misura

Teorema dell’Energia Cinetica 0

0



 a

F

F  m a 

 F  F 



1

 F

x r M   

 Fb M 

0



0



2 2 1

r m G m

F



kg G  ^ Nm

s F

L  LFs



0 L

t

P  L P  F  v

2

2 1mv

E_c  1²

2 2 1

2 2

1 2

1mv mv

E E

L _c  _c  

2

1

U

U L  

Principio di conservazione dell’ENERGIA MECCANICA

t E

U 

 cos

t F I     

v m q  



 _I ^ _{  q} ^

(nei sistemi isolati e negli urti)

q 

 cos t

18

FLUIDI

Densità Peso Specifico Pressione

Principio di

Pascal e torchio idraulico

Legge di Stevino

(generalizzata)

Principio di

Archimede Galleggiamen

to

Peso apparente

Unità di misura della

Pressione e conversioni

Portata ed equazione di

continuità (Fluidi in

moto)

Teorema di Bernoulli

immerso liquido

A

d gV

s 

S P  F V

d  m _dg

V mg V

p

 p  

dgV p

dV m





B B A

A

S F S

F 

dgh

P  P  dgh  p

liquido corpo i

d d V

V 

A apparente

p s

p     ^d

 ^d

 ^gV

 

 



 

 

 s

v m t S

Po V

3

2 2 1 1 2

1

Po S V S V

Po   

t dgh

dv

P cos

2

1

 



19

TERMOLOGIA E TERMODINAMICA

Temperatura T = °t + 273,15 K °t = T - 273,15 °C

Dilatazione

Calore

Calorimetro

Conduzione

Passaggi di stato

Leggi dei Gas

Teoria cinetica dei gas

Sistema termodinamico

Macchina termica

Secondo principio della Termodinamica

Teorema di Carnot

t mc t

t mc

Q  (



)  

Calore latente

1 cal = 4,186 J

 = 3

T L L 

 ₀ ) 1

0( T

L

L 

L T S tempo

Q 



mL Q 

) 1

0( t

V

V_t   k

T V 

P = cost V = cost P_t P₀(1t) k

T

P  ¹

273

1  

 C

 k

PV 

T = cost

molK R8,314 J

nRT PV 

Equazione di stato

PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA

L Q U  



RENDIMENTO

1 2 1

2 1 1

1 Q

Q Q

Q Q Q

L    



1

1 2

T T

rev  



 

) 2 2

1 1 1

2 ( _e

e

T T m

T T m c c



 

2 2 1 1

2 2 2 1 1 1

T m T m

T c m T c T_e m



 

kT Ec_{mediamolecola}

2

 3

K

k1,3810^23 J Ec_mediamoli nRT

2

3

20

ELETTROMAGNETISMO

FORZE GRAVITAZIONALE

ED ELETTRICA

CAMPI

GRAVITAZIONA LE ED

ELETTRICO

ENERGIA POTENZIALE

/ POTENZIALE

CONDENSATORI

CORRENTE ELETTRICA

/ LEGGI DI OHM

RESISTENZA

ENERGIA ELETTRICA

MAGNETISMO

FLUSSO /

INDUZIONE

ELETTROMAGNETICA

UNITA’ DI MISURA

2 2 1

r m G m

F



2 2 1

r q K q

F



r

G M m H  F



2

2

4

1 r Q r

K Q q E F

 





B A

AB U U

L  

P

P r

K Qq U 

q P U V( ) ^P

r KQ P V( )

BA

AB q V

L   V e eV 

d A V

C Q  

 

1 ..

1 1

2 1





C C C_TOT

2

..

1

 

 C C C

t i q



  R

i V 



A R l

2

...

1

 

 R R

R

^...

1 1 1

2 1





 R R R

d l i F

i

2 

 

B L i F   





B v q F   



 R

B i



 2



 cos BA A

B  



  

fem t



 



 

R R V i V i P

2

2  







