Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1
29-Analisi della potenza statistica vers. 1.0 (12 dicembre 2014)
Germano Rossi1
1Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca
2014-2015
Introduzione
Ogni volta che si inizia a fare una ricerca ci si trova ad affrontare diversi problemi
uno di questi è l’ampiezza del campione
Devo raccogliere almeno 100 soggetti? o ne bastano 30?
La ragione di questa domanda è duplice
Più piccolo è il campione, meno tempo (e fatica) è necessario per raccogliere i dati
Più grande è il campione, più probabilità abbiamo di ottenere risultati significativi
A questa domanda ci sono diverse risposte comuni (si ricordi che la statistica ipotizza un campione casuale)
1 Almeno 30 per ogni gruppo formato dalle variabili indipendenti
2 Un campione il più grande possibile
3 Non si sa esattamente quanto dev’essere grande
Grandezza di un campione
La prima risposta fa riferimento alla teoria campionaria, per cui con campioni di 30 o più osservazioni, la distribuzione
campionaria tende a distribuirsi normalmente anche se la variabile non è normale
La seconda risposta dipende dall’idea che se il campione è molto grande sia più facile trovare un risultato significativo
L’ultima risposta non è accettabile, salvo:
1 quando non si conosce assolutamente nulla sull’argomento di ricerca
2 si hanno molte variabili indipendenti e molte dipendenti
3 si è interessati più ad una ricerca esplorativa che ad una ricerca inferenziale vera e propria
Grandezza di un campione
La grandezza del campione dovrebbe quella che permette di rispondere alle ipotesi di ricerca, considerando che:
il risultato dipende dalla dimensione dell’effetto che si studia (un effetto “grande” verrà rilevato anche con poche osservazioni, mentre uno “piccolo” necessita di più casi)
dal rischio di sbagliare la nostra decisione (cioè dall’errore di I e di II tipo che utilizziamo); un α elevato produrrà più rifiuti di H0e uno più piccolo più rifiuti di H1
Relazioni fra errori e ipotesi
Realtà
H0- Vera H0 - Falsa H1- Falsa H1 - Vera Risultato
ricerca
Accetto H0; rifiuto H1 Corretta Errore II tipo
1 − α β
Rifiuto H0; accetto H1 Errore I tipo Corretta
α 1 − β
Se α è la probabilità di rifiutare H0quando è vera, 1 − α sarà la probabilità di accettare H0quando è vera
Analogamente se β è la probabilità di accettare H0quando è falsa, 1 − βsarà la probabilità di rifiutare H0quando è falsa
1 − βè chiamatapotenza di un teste corrisponde alla probabilità di rilevare una relazione veramente esistente nella realtà
Analisi della potenza
Lapotenza statistica di un test è la sua capacità di rifiutare un ipotesi nulla falsa, perché noi, in genere, verifichiamo un’ipotesi nulla rispetto ad una “gamma” di ipotesi alternative (ad es.
H1: µ1 6= µ2)
Come ricercatori, facciamo molti sforzi per organizzare e fare una ricerca che ci dia conoscenze “sicure” e “affidabili”. Ma i nostri sforzi sono vani se non riusciamo a trovare i risultati che ci aspettiamo, o meglio, se non riusciamo a falsificare con maggior sicurezza la nostra ipotesi.
Per molti anni, i ricercatori si sono focalizzati sul rischio di rifiutare H0quando è vera (atteggiamento conservatore)
Di recente ha acquisito importanza anche l’errore opposto.
Riassumiamo un momento le procedure di verifica d’ipotesi
Verifica d’ipotesi
All’inizio di una ricerca, partiamo generalmente da un’ipotesi che è espressa a parole. Ad es. “A causa delle nuove tecnologie di comunicazione veloce (e-mail, sms, chat, cellulari) gli studenti passano meno tempo a stabilire relazioni personali dirette fra di loro”.
Siccome qualcuno ha raccolto dati sul tempo trascorso in relazioni personali negli anni precedenti (M=6 ore alla settimana; s=2), posso raccogliere un nuovo campione da confrontare con il precedente
Possiamo trasformare la nostra ipotesi verbale in ipotesi statistica:
H0: µ = 6.0 H1 : µ < 6.0
Verifica d’ipotesi
Ricordiamo che noi verifichiamo l’ipotesi nulla confrontandola con un’ipotesi alternativa.
L’ipotesi nulla è ciò che è noto o che si assume in base alla teoria o alle ricerche precedenti.
Nel nostro esempio, la ricerca precedente, ci ha detto che gli studenti universitari hanno speso circa 6 ore al giorno della settimana in contatti faccia-a-faccia (più o meno 2 ore).
Così, la nostra ipotesi è che µ = 6.0.
L’errore α ci protegge dal prendere una decisione errata basata su un campione “particolarmente anomalo” estratto dalla
popolazione corretta
La potenza di un test (1 − β) ci dice la probabilità di aver accettato correttamente l’ipotesi alternativa
Concetti chiave della potenza
Ricordiamo che lapotenza statistica di un test è la sua capacità di rifiutare un ipotesi nulla falsa e che è legata al test statistico usato.
Ci sono 3 variabili che legate alla potenza di un test:
1 Il livello di significatività cioè α: più è severo (vicino a 0), più è difficile rifiutare l’ipotesi nulla (anche quando è falsa). All’aumentare di α aumenta la potenza del test. Tuttavia non possiamo usare α molto grandi; un buon criterio (non troppo basso, né troppo alto) è α = 0.05 (per ricerche esplorative possiamo usare anche .10)
2 L’ampiezza del campione cioè N ; quando un campione è grande, è meno probabile fare errori di campionamento e trovare dati che portino a stime inaffidabili dei parametri della popolazione. L’errore standard è sempre basato su N . Quindi all’aumentare di N , aumenta la potenza
Concetti chiave della potenza
3 La dimensione dell’effetto nella popolazione cioè d o r; ovvero quanto grande è il risultato che abbiamo ottenuto; possiamo considerare d o r come una misura di quanto è falsa l’ipotesi nulla; tanto più d o r è grande, tanto più H0 è falsa, tanto più aumenta la potenza
4 Possiamo considerare la potenza statistica (cioè 1 − β) come un quarto elemento
Essendo legati fra loro matematicamente; si può calcolare il valore del quarto conoscendo il valore degli altri tre
Concetti chiave della potenza
Riassumendo:
La potenza (1 − β) aumenta diminuisce quando α aumenta diminuisce quando N aumenta diminuisce quando d o r aumenta diminuisce La formula che lega i quattro indici è abbastanza complessa per cui sono state predisposte delle tavole
ed esistono dei software appositi (ad es. G*Power, http://www.gpower.hhu.de/en.htmlche free)
Uso dell’analisi di potenza
L’analisi di potenza viene usata, generalmente, per due obiettivi
1 a posterioriper determinare lapotenza di un test: dal momento che la ricerca viene effettuata su un certo campione (di ampiezza N) e usando un certo livello α, e dai risultati ottenuti possiamo calcolare d, ne consegue la possibilità di stimare la potenza di un test, cioè la probabilità di aver fatto la scelta giusta;
2 a prioriper determinare lanumerosità del campione: se vogliamo fare una ricerca che abbia una determinata potenza, una volta stabilito un determinato α e ipotizzato un determinato d, quale dev’essere l’ampiezza del campione?
Calcolare la potenza di un test
Abbiamo raccolto un certo campione su cui abbiamo misurato la religiosità estrinseca personale (slide 18 del Cap.13)
Abbiamo stabilito un livello α = .05 Calcoliamo d (slide 14 cap.25)
g = 9.46 − 10.89 q(160−1)3.522+(179−1)2.982
160+179−2
= −.4405
Chiamiamo G*Power, scegliamo Test family = t-tests, Statistical test = Means: Difference between two independent means (two groups), Type of power analysis
= post hoc: Compute achieved power
Inseriamo Effect size d = .44, α err prob = .05, Sample size group 1 = 160, Sample size group 2 = 179
Clicchiamo Calculate
Videata GPower
La potenza è 0.98
Numerosità del campione
Ipotizziamo di voler fare una ricerca su un campione patologico (ad es. pazienti di un servizio mentale confrontati con un campione di controllo di uguale numerosità)
Possiamo fare una ricerca veloce (in termini di tempo) su un piccolo campione
oppure una ricerca che duri più tempo per poter raccogliere un campione più grande
certamente non vogliamo fare una ricerca che non abbia abbastanza “potenza” e che possa essere criticata
Decidiamo quindi una potenza minima che vogliamo raggiungere (ad esempio .50), und che ci aspettiamo (ad esempio, d=.50) e calcoliamoquantodev’essere ampio il campione da raccogliere.
Videata GPower
Chiamiamo G*Power, scegliamo Test family = t-tests, Statistical test = Means: Difference between two independent means (two groups), Type of power analysis = A priori: ...
Inseriamo Effect size d = .50, α err prob = .05, Power = .50, Allocation ratio N2/N1 = 1
Clicchiamo Calculate: ci servono due campioni di 32 casi ciascuno
