1.1Limitefinitoalfinito 1Definizionidilimite LimitiIndice

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LIMITI

1 DEFINIZIONI DI LIMITE 1

Limiti

Indice

1 Definizioni di limite 1

1.1 Limite finito al finito . . . 1

1.1.1 Limite per x → a⁺ (limite destro) . . . 2

1.1.2 Limite per x → b⁻ (limite sinistro) . . . 2

1.1.3 Limite per x → c (limite bilatero). . . 2

1.2 Limite finito all’infinito . . . 4

1.3 Limite infinito al finito . . . 5

1.4 Limite infinito all’infinito . . . 6

2 Confronto dei limiti 10 3 Limiti di funzioni elementari 11 4 Algebra dei limiti 12 5 Confronto locale 16 5.1 Simboli di Landau . . . 17

5.2 Principi di eliminazione/sostituzione . . . 19

6 Un limite fondamentale 23

7 Soluzioni degli esercizi 23

Il concetto di limite `e fondamentale. Importanti concetti matematici che seguono sono definiti attraverso il concetto di limite. In questa lezione vediamo anzitutto una definizione rigorosa di tale concetto. Rinuncio ad una definizione generale, peraltro non molto pi`u difficile, per presentare varie definizioni per i vari casi possibili, ritenendo che questo approccio faciliti lo studente, permettendogli di fissare l’attenzione su situazioni di volta in volta specifiche.

Vediamo in seguito alcuni limiti di funzioni elementari e successivamente presento alcune tecniche di calcolo dei limiti, valide pi`u in generale. Finisco con l’importante questione del confronto tra funzioni e con un limite fondamentale.

1 Definizioni di limite

Prima di entrare nelle definizioni rigorose, cerchiamo di capire il significato concreto di quello che vogliamo definire.

Se abbiamo una funzione, pu`o succedere che non possiamo calcolare il valore che essa assume in corrispondenza di tutti i numeri reali, per il semplice fatto che, come abbiamo visto, ci sono funzioni che non sono definite in tutto R.

Supponiamo ad esempio che la funzione f sia definita in un intervallo e che non sia definita in un punto, chiamiamolo c, di tale intervallo. Quindi non possiamo calcolare f (c). Però possiamo chiederci: se la variabile x della nostra funzione si avvicina “infinitamente” al punto c (e questo lo può fare perché f è definita attorno a c), a quale valore, se c’è, si avvicina il valore di f (x)? Questo valore è appunto il limite per x che tende a c della funzione f .

Ecco la definizione rigorosa, nei diversi casi che si possono presentare. Considereremo soltanto funzioni definite su intervalli, che potranno essere limitati o illimitati.

1.1 Limite finito al finito

Si parla di limite finito al finito quando il valore a cui tende la variabile x `e un numero reale ed il limite `e pure un numero reale (non abbiamo quindi a che fare con infiniti).

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LIMITI

1.1.1 Limite per x → a⁺ (limite destro) Sia f : (a, b) → R, con (a, b) intervallo limitato di R.

Definizione Si scrive

x→alim⁺f (x) = ℓ , con ℓ ∈ R

se, per ogni intorno (ℓ − ε, ℓ + ε) del limite ℓ, esiste un intorno destro [a, a + δ) di a tale che

per ogni x ∈ (a, a + δ) si ha che f(x) ∈ (ℓ − ε, ℓ + ε). a b

ℓ

ℓ−ε ℓ+ε

()

a+δ)

bcbc bcbc

x y

Qui occorre qualche commento, trattandosi di una delle definizioni pi`u difficili del corso.

Osservazione Si osservi subito che nella scrittura “per ogni x ∈ (a, a + δ)”, la parentesi su a `e tonda: significa che la definizione non chiede nulla circa il valore f (a), che potrebbe anche non esistere, dato che si parla di funzione definita in (a, b). Se la funzione f `e definita anche in a, la definizione comunque non chiede nulla su f (a).

La definizione quindi chiede che, qualunque sia ε > 0, ci sia un intorno destro di a per cui i valori degli x che stanno in questo intorno, eccettuato il punto a, abbiano un corrispondente f (x) che appartiene all’intorno di raggio ε del limite. Vuol dire in pratica che possiamo ottenere valori della funzione arbitrariamente vicini al limite ℓ purch´e scegliamo valori x sufficientemente vicini (a destra) al punto a.

Osservazione Sulle notazioni utilizzabili: la condizione x ∈ (a, a+δ) si pu`o anche esprimere scrivendo a < x < a+δ, e la condizione f (x) ∈ (ℓ−ε, ℓ+ε) si pu`o indifferentemente esprimere scrivendo ℓ−ε < f(x) < ℓ+ε oppure |f(x)−ℓ| < ε.

Quindi la definizione si pu`o anche formulare pi`u sinteticamente scrivendo che

∀ε > 0 ∃δ > 0 : a < x < a + δ =⇒ ℓ − ε < f(x) < ℓ + ε (oppure |f(x) − ℓ| < ε).

Osservazione Nota di carattere “operativo”: se dobbiamo provare che è vera una certa scrittura di limite basta provare che per ogni ε > 0 l’insieme delle soluzioni della disequazione |f(x) − ℓ| < ε contiene un insieme del tipo (a, a + δ) per qualche δ > 0, cioè contiene un intorno destro di a (a escluso). Vedremo più avanti alcuni esempi.

Adesso vediamo gli altri casi.

1.1.2 Limite per x → b⁻ (limite sinistro)

Sia sempre f : (a, b) → R, con (a, b) intervallo limitato di R.

x→blim⁻f (x) = ℓ , con ℓ ∈ R

se, per ogni intorno (ℓ − ε, ℓ + ε) del limite ℓ, esiste un intorno sinistro (b − δ, b] di b tale che

per ogni x ∈ (b − δ, b) si ha che f(x) ∈ (ℓ − ε, ℓ + ε).

Osservazione Anche in questo caso non si chiede nulla su f (b). Analogamente a quanto fatto prima, la cosa si pu`o esprimere scrivendo che

a b

ℓ

ℓ−ε ℓ+ε

()

b−δ(

bcbc bcbc

x y

∀ε > 0 ∃δ > 0 : b − δ < x < b =⇒ ℓ − ε < f(x) < ℓ + ε.

Osservazione (di carattere operativo). Per provare che `e vera una certa scrittura di limite da sinistra basta provare che per ogni ε > 0 l’insieme delle soluzioni della disequazione |f(x) − ℓ| < ε contiene un insieme del tipo (b − δ, b) per qualche δ > 0, cio`e un intorno sinistro di b (b escluso).

1.1.3 Limite per x → c (limite bilatero)

Sia (a, b) un intervallo e sia c ∈ (a, b). Sia poi f : (a, b) \ {c} → R. ¹

1La scrittura (a, b) \ {c}, come lo studente dovrebbe ricordare, indica l’intervallo (a, b) privato del punto c. Quindi si considera una funzione che è definita in (a, c) ∪ (c, b), e cioè può non essere definita nel punto c.

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LIMITI

x→climf (x) = ℓ , con ℓ ∈ R

se, per ogni intorno (ℓ − ε, ℓ + ε) del limite ℓ, esiste un intorno (c − δ, c + δ) di c tale che

per ogni x ∈ (c − δ, c + δ) \ {c} si ha che f(x) ∈ (ℓ − ε, ℓ + ε).² a b ℓ

c

ℓ−ε ℓ+ε

()

c−δ( c+δ)

bcbc bcbc

bcbc

x y

Osservazione Si osservi che qui, analogamente a quanto fatto prima con i limiti da destra e da sinistra, non si chiede nulla su f (c), e quindi si considera l’intorno (c − δ, c + δ) privato del punto c. La definizione in questo caso si pu`o dare in forma compatta scrivendo che

∀ε > 0 ∃δ > 0 : c − δ < x < c + δ, x 6= c, =⇒ ℓ − ε < f(x) < ℓ + ε.

Di solito il limite bilatero si chiama semplicemente limite. Quindi, dicendo limite, si allude al limite bilatero.

Osservazione Anche in questo caso la nota di carattere operativo. Per provare che `e vera una certa scrittura di limite bilatero basta provare che per ogni ε > 0 l’insieme delle soluzioni della disequazione |f(x) − ℓ| < ε contiene un insieme del tipo (c − δ, c) ∪ (c, c + δ) per qualche δ > 0, cio`e un intorno di c (con c escluso).

Osservazione Per provare invece la falsit`a di una certa scrittura di limite basta trovare un particolare valore di ε per cui la condizione della definizione risulta falsa.

Esempio La seguente scrittura `e vera:

x→1lim(x − 1) = 0.

Infatti, fissato un qualunque intorno (−ε, ε) del limite 0, osserviamo che il valore della funzione (x − 1) appartiene a tale intorno se e solo se |x − 1| < ε, cio`e se e solo se 1 − ε < x < 1 + ε. Le soluzioni costituiscono proprio un intorno del punto 1, l’intorno (1 − ε, 1 + ε).

Esempio Proviamo ora con la definizione che invece non `e vera la scrittura

x→1lim(x + 1) = 1.

Fissato un intorno (1 − ε, 1 + ε) del limite 1, consideriamo la disuguaglianza |x + 1 − 1| < ε, cio`e |x| < ε. Le soluzioni della disequazione sono date dall’intervallo (−ε, ε). Evidentemente tale insieme non contiene sempre un intorno di 1:

ad esempio, per ε = 1/2, esso `e fatto di punti esterni ad un intorno di 1. La scrittura di limite quindi `e falsa.

Esempio Proviamo che

x→elimln x = 1.

Fissato un qualunque ε > 0 che definisce un intorno (1 − ε, 1 + ε) del limite 1, consideriamo la disuguaglianza

| ln x − 1| < ε, che equivale a 1 − ε < ln x < 1 + ε, che equivale a sua volta a e^1−ε< x < e^1+ε. Si tratta di un intervallo che contiene certamente un intorno di e, dato che e^1−ε< e, mentre e^1+ε> e.

x→0lim⁺e^−1/x= 0.

Fissato un qualunque intorno (−ε, ε) del limite 0, il valore della funzione e^−1/x appartiene a tale intorno se e solo se e^−1/x< ε, cio`e se e solo se −¹x< ln ε. Se x > 0 (ricordare che il limite `e per x → 0⁺), questa equivale a ¹_x > − ln ε.

Ora, se ε > 1 (e quindi ln ε > 0), si ottiene x > −ln ε¹ , che `e un numero negativo. Pertanto tutte le x positive soddisfano la disequazione ed `e determinato un intorno destro di 0.

Se invece ε < 1 (e quindi ln ε < 0), si ottiene x < −ln ε¹ , che `e un numero positivo. Pertanto soddisfano la disequazione tutte le x dell’intervallo (0, −ln ε¹ ), che `e ancora un intorno destro di 0.

Se infine ε = 1 la disuguaglianza diventa −_x¹ < 0, cio`e x > 0, insieme che contiene un intorno destro di 0.

Osservazione Ribadisco che, dicendo “limite”, senza precisare se limite destro o limite sinistro, si intende limite da destra e da sinistra.

Si potrebbe dimostrare rigorosamente, ma `e abbastanza facile intuirlo, che il limite esiste se e solo se esistono e sono uguali il limite destro e il limite sinistro. Pu`o essere comodo talvolta (e lo faremo tra breve) calcolare il limite calcolando separatamente il limite destro e il limite sinistro.

2Vedi nota precedente. (c − δ, c + δ) \ {c} `e indica l’intorno (c − δ, c + δ) privato del punto c.

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LIMITI

1.2 Limite finito all’infinito

Si parla di limite finito all’infinito quando la variabile tende a +∞ o a −∞ e il limite `e un numero reale.

Sia f : (a, +∞) → R.

x→+∞lim f (x) = ℓ , con ℓ ∈ R

se, per ogni intorno (ℓ − ε, ℓ + ε) del limite ℓ, esiste un intorno (δ, +∞) di +∞

tale che

per ogni x ∈ (δ, +∞) si ha che f(x) ∈ (ℓ − ε, ℓ + ε).

Con la solita notazione compatta si pu`o scrivere

∀ε > 0 ∃δ > 0 : x > δ =⇒ ℓ − ε < f(x) < ℓ + ε.

a ℓ

ℓ−ε ℓ+ε

()

δ (

bcbc

x y

Osservazione Si noti che nella forma compatta ho scritto δ > 0, mentre prima non avevo posto restrizione di segno.

Non è una incongruenza, le due forme sono equivalenti infatti. Non c’è motivo in realtà che la definizione chieda δ > 0, dato che δ non ha più il significato, che aveva prima nel limite al finito, di raggio di un intorno. Esso è semplicemente il primo estremo di un intorno di +∞. Ho scritto invece δ > 0 nella forma compatta perché in questo modo è facilitata la verifica dei limiti nei casi concreti (senza fissare il segno in molti casi si è costretti a considerare entrambi i casi possibili e questo appesantisce molto la soluzione).

Osservazione Nota operativa: per provare che `e vera una certa scrittura di limite finito a +∞ basta provare che per ogni ε > 0 l’insieme delle soluzioni della disequazione |f(x) − ℓ| < ε contiene un insieme del tipo (δ, +∞).

Definizione Se f : (−∞, b) → R, si scrive

x→−∞lim f (x) = ℓ , con ℓ ∈ R

se, per ogni intorno (ℓ − ε, ℓ + ε) del limite ℓ, esiste un intorno (−∞, δ) di −∞ tale che

per ogni x ∈ (−∞, δ) si ha che f(x) ∈ (ℓ − ε, ℓ + ε).

Con la solita notazione compatta si pu`o scrivere

∀ε > 0 ∃δ > 0 : x < −δ =⇒ ℓ − ε < f(x) < ℓ + ε. b ℓ

ℓ−ε ℓ+ε

()

δ) ^bc

bc

x y

Anche qui la definizione non chiede nulla sul segno di δ, mentre la forma compatta lo pone positivo e trasforma in x < −δ la disuguaglianza sulle x. Le due forme sono equivalenti.

Osservazione Nota operativa: per provare che `e vera una certa scrittura di limite finito a −∞ basta provare che per ogni ε > 0 l’insieme delle soluzioni della disequazione |f(x) − ℓ| < ε contiene un insieme del tipo (−∞, δ).

Esempio Vediamo una verifica di limite all’infinito, ad esempio, proviamo che

x→+∞lim 1 x = 0.

Fissato un intorno (−ε, ε) del limite 0, la disuguaglianza _x¹

< ε è verificata se |x| > ¹_ε, cioè nell’insieme (−∞, −¹_ε) ∪ (¹_ε, +∞). Questo insieme contiene chiaramente un intorno di +∞ e quindi la scrittura di limite è vera.

Osservazione Come si vede l’insieme delle soluzioni della disuguaglianza ¹_x

< ε contiene anche un intorno di −∞, e questo perch´e chiaramente anche il limite per x che tende a −∞ `e zero.

Esempio Se invece consideriamo la scrittura

x→+∞lim 1 x + 1 = 1, fissato un intorno (1 − ε, 1 + ε) del limite 1, la disuguaglianza

1 x+1− 1

< ε `e verificata se |x| < ε|x + 1|. Si vede facilmente che questa non definisce, qualunque sia ε, un intorno di +∞: infatti ad esempio per ε = 1/2, definisce l’intervallo (−¹3, 1). Quindi la scrittura `e falsa.

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LIMITI

Esempio Proviamo ora che

x→−∞lim e^x= 0.

Fissato un ε > 0 qualunque, consideriamo la disequazione |e^x| < ε. Data la positivit`a della funzione esponenziale, la disequazione equivale alla e^x< ε, che ha per soluzioni x < ln ε. Si tratta ovviamente di un intorno di −∞.

Osservazione Se il limite di una funzione, per x → c (c finito o infinito), è zero, si dice che la funzione è infinitesima o che è un infinitesimo, per x → c. Attenzione. Se affermiamo che una funzione è infinitesima dobbiamo sempre dire anche per x che tende a quale valore. Attenzione ancora: una funzione è infinitesima per x che tende a qualche cosa se il suo limite è zero, a prescindere da ciò a cui tende x (x può tendere anche all’infinito).

Possiamo quindi dire che la funzione f (x) = ¹_x`e infinitesima a +∞ e a −∞, e che la funzione esponenziale f(x) = e^x

`e infinitesima a −∞.

1.3 Limite infinito al finito

Si parla di limite infinito al finito quando la variabile tende ad un numero reale e il limite è +∞ o −∞. Anche qui c’è ovviamente la possibilità di un limite solo da destra o solo da sinistra. Ecco la definizione nel caso del limite bilatero.

x→climf (x) = +∞

se, per ogni intorno (ε, +∞) del limite +∞, esiste un intorno (c − δ, c + δ) di c tale che

per ogni x ∈ (c − δ, c + δ) \ {c} si ha che f(x) ∈ (ε, +∞).

Nella forma compatta se

∀ε > 0 ∃δ > 0 : c − δ < x < c + δ, x 6= c, =⇒ f (x) > ε. a c b ε (

c−δ( c+δ)

bcbc bcbc

bc

x y

Stesse considerazioni di prima sulle differenze tra la prima definizione e la forma compatta: ε può essere qualunque, perché ha il significato di estremo dell’intorno di +∞, mentre δ torna ad avere il significato di raggio di un intorno e quindi torna ad essere positivo. Nella forma compatta, per semplicità nelle verifiche, è meglio dire ε > 0. Le due forme sono infatti equivalenti.

Fornisco la definizione compatta nel caso del limite da destra e da sinistra.

x→alim⁺f (x) = +∞ se ∀ε > 0 ∃δ > 0 : a < x < a + δ =⇒ f (x) > ε (rappresentato in figura qui a fianco) e

x→blim⁻f (x) = +∞ se ∀ε > 0 ∃δ > 0 : b − δ < x < b =⇒ f (x) > ε.

a b

ε (

a+δ)

bc bcbc

x y

Poi abbiamo il caso del limite −∞.

x→climf (x) = −∞

se, per ogni intorno (−∞, ε) del limite −∞, esiste un intorno (c − δ, c + δ) di c tale che per ogni x ∈ (c − δ, c + δ) \ {c} si ha che f(x) ∈ (−∞, ε).

Nella forma compatta se

∀ε > 0 ∃δ > 0 : c − δ < x < c + δ, x 6= c, =⇒ f (x) < −ε.

Osservazione Si noti che qui, nella forma compatta, ho scritto ε > 0 e ho cambiato la disuguaglianza sulle f (x) in f (x) < −ε (si veda l’analogia di tutto questo con quanto fatto nel caso di limite finito all’infinito). Lo studente provi a scrivere la deefinizione nei casi del limite destro e sinistro.

Osservazione La solita nota operativa: per una verifica di limite nel caso di limite infinito al finito, ad esempio con limite +∞, basta provare che per ogni ε > 0 l’insieme delle soluzioni della disuguaglianza f(x) > ε, con ε > 0, contiene un intorno del punto c (c come sempre escluso).

Ovviamente, nel caso di limite −∞, la disequazione da cui partire sar`a f(x) < −ε, con ε > 0.

(6)

LIMITI

Esempio Proviamo ad esempio che

x→0lim⁺ 1

x= +∞.

Fissato un qualunque ε > 0, consideriamo, sulle x > 0, la disequazione ¹_x > ε, che equivale alla x < ¹_ε. Resta quindi individuato l’intervallo (0,¹_ε), che `e un intorno destro di 0.

Avremo invece

x→0lim⁻ 1

x= −∞.

Infatti, fissato un qualunque ε > 0, consideriamo, sulle x < 0, la disequazione ¹_x < −ε, che equivale alla x > −¹_ε. ³ Resta quindi individuato l’intervallo (−¹_ε, 0), che `e un intorno sinistro di 0.

Osservazione Se scrivessimo invece lim

x→0

1

x, senza precisare se da destra o da sinistra, dovremmo dire che tale limite non esiste. Tra breve vediamo meglio questo aspetto.

Esempio Quale altro esempio, proviamo che

x→0lim 1

x² = +∞.

Fissato un qualunque ε > 0, consideriamo la disequazione _x¹2 > ε, che equivale alla x²<¹_ε. Questa ha per soluzioni l’intervallo (−^√¹_ε,√¹ε), che `e un intorno di 0.

Esempio Proviamo ancora che

x→0lim⁺ln x = −∞.

Fissato un qualunque ε > 0, consideriamo la disequazione ln x < −ε. Qui x è positivo, dato che la funzione esiste solo in (0, +∞). La disequazione equivale alla 0 < x < e^−ε. Osservando che la quantità a destra è certamente positiva, si tratta quindi di un intorno destro di 0, privato dell’origine.

1.4 Limite infinito all’infinito

Si parla di limite infinito all’infinito quando la variabile tende a +∞ o −∞ e il limite `e +∞ o −∞. Dei quattro casi possibili ne vediamo solo uno, lasciando allo studente il compito di scrivere la definizione di limite negli altri casi.

x→+∞lim f (x) = −∞

se, per ogni intorno (−∞, ε) del limite −∞, esiste un intorno (δ, +∞) di +∞ tale che per ogni x ∈ (δ, +∞) si ha che f(x) ∈ (−∞, ε).

a

ε )

δ(

bcbc

x y

Osservazione Qui n´e ε n´e δ hanno restrizioni di segno, dato che sono entrambi estremi di un intorno illimitato.

Nella forma compatta, come fatto prima, possiamo per`o chiedere che siano entrambi positivi e scrivere

∀ε > 0 ∃δ > 0 : x > δ =⇒ f (x) < −ε.

In una verifica concreta baster`a provare che, fissato un qualunque ε > 0, l’insieme delle soluzioni della disequazione f (x) < −ε contiene un intorno di +∞.

Esempio Ad esempio, proviamo che

x→+∞lim (− ln x) = −∞.

Fissato un qualunque ε > 0, consideriamo la disequazione ln x < −ε. Essa equivale alla ln x > ε, e cio`e alla x > e^ε, la quale definisce un intorno di +∞.

Esempio Ancora, proviamo che

x→+∞lim e^x= +∞.

3Attenzione che sia x sia −ε sono negativi, e quindi si cambia due volte il verso della disequazione.

(7)

LIMITI

Fissato un qualunque ε > 0, consideriamo la disequazione e^x> ε. Essa equivale a x > ln ε, che definisce un intorno di +∞.

x→−∞lim e^−x= +∞.

Fissato un qualunque ε > 0, consideriamo la disequazione e^−x > ε. Essa equivale a −x > ln ε, e cio`e x < − ln ε.

Quest’ultima definisce un intorno di −∞.

Esempio Da ultimo, proviamo che

x→+∞lim 1

1 − e^1/x = −∞.

Fissato un qualunque ε > 0, consideriamo la disequazione _1−e¹1/x < −ε. Osserviamo che per x > 0 (si noti che questa ipotesi non contrasta con il fatto che stiamo cercando un intorno di +∞) si ha e^1/x> 1 e quindi 1 − e^1/x< 0.

Allora la disuguaglianza equivale alla _e1/x¹−1 > ε, e cioè alla e^1/x− 1 < ¹ε e questa a e^1/x < 1 + ¹_ε. Prendendo i logaritmi otteniamo ¹_x < ln(1 +¹_ε). Dato che la quantità a destra è positiva (l’argomento del logaritmo è maggiore di 1), possiamo scrivere x > _ln(1+¹ 1

ε). Resta quindi individuato un intorno di +∞.

Osservazione Se il limite di una funzione, per x → c (c anche infinito), è +∞ o −∞, si dice che la funzione è infinitao che è un infinito, per x → c. Attenzione anche qui. Occorre sempre precisare per x che tende a quale valore.

E ancora, la funzione è un infinito se il suo limite è infinito, a prescindere da ciò a cui tende x (x può tendere anche a zero o a un qualunque numero reale).

Possiamo quindi, ad esempio, dire che la funzione f (x) = ¹_x è infinita in 0⁺ e in 0⁻ (cioè per x che tende a zero da destra o da sinistra), che la funzione f (x) = _x¹2 è infinita per x → 0, e che la funzione logaritmica f(x) = ln x è infinita per x → 0⁺. Ancora: la funzione logaritmica e la funzione esponenziale sono degli infiniti per x → +∞.

Le definizioni di limite finiscono qui,⁴salvo un approfondimento che faremo tra poco ma che non comporta sostanzia- li novità rispetto a quanto visto finora. Prima però è opportuno sgombrare il campo da un possibile fraintendimento.

Non si deve pensare che, data una funzione f e dato un punto c in cui abbia senso fare il limite, esista sempre il lim_x→cf (x). In altre parole il limite pu`o non esserci.

Esempio I classici esempi di non esistenza del limite si ottengono di solito con le funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente), che per`o noi non trattiamo in questo corso. Vi propongo allora questo altro esempio, che utilizza la funzione parte intera, gi`a incontrata in precedenza.

Consideriamo la funzione f (x) = x − ⌊x⌋, definita in tutto R (di cui trovate il grafico nella dispensa sulle Funzioni reali). Si pu`o provare abbastanza facilmente che essa non ha limite per x → +∞.

Basta tenere nella giusta considerazione il fatto che per questa funzione valgono queste due semplici propriet`a:

f (x) = 0, per ogni x ∈ Z e f (x) = 1

2, per ogni x = z +¹₂, con z ∈ Z.⁵ Dimostriamo che il limite non esiste escludendo tutti i casi possibili.

• Il lim

x→+∞f (x) non può essere 0: infatti, se scegliamo ad esempio ε = 1/4, non può esistere un intorno (δ, +∞) di +∞ la cui immagine è contenuta in (−¹4,¹₄), dato che la funzione vale 1/2 in alcuni punti di (δ, +∞).

• Il limite non pu`o essere 1: infatti, se scegliamo ad esempio ε = 1/2, non pu`o esistere un intorno (δ, +∞) di +∞

la cui immagine `e contenuta in (1 −¹2, 1 +¹₂) = (¹₂,³₂), dato che la funzione vale 0 in alcuni punti di (δ, +∞).

• Il limite non può essere un numero ℓ compreso tra 0 e 1: infatti, se scegliamo ε = ℓ, non può esistere un intorno (δ, +∞) di +∞ la cui immagine è contenuta in (ℓ − ε, ℓ + ε) = (0, 2ℓ), dato che ancora la funzione vale 0 in alcuni punti di (δ, +∞).

• Con le stesse considerazioni, il limite non pu`o nemmeno essere un numero ℓ maggiore di 1.

Lasciamo allo studente completare la dimostrazione, provando che il limite non pu`o nemmeno essere un numero negativo e nemmeno infinito. Pertanto il limite non esiste.

4Alcuni esercizi di verifica di limite attraverso la definizione sono riportati alla fine della successiva dispensa sulle funzioni continue.

5La scrittura vuol dire semplicemente che sui numeri interi la funzione vale 0, mentre sui numeri che si ottengono da un intero più ¹₂, cioè −³₂, −¹₂,¹₂,³₂,⁵₂, . . ., la funzione vale ¹₂. Se non è chiaro, si vada a riprendere il grafico della funzione f , che abbiamo ottenuto in precedenza.

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LIMITI

Osservazione Si vede facilmente che anche il limite a −∞ non esiste.

Osservazione L’esempio fornito tratta i limiti agli infiniti. Pu`o forse sembrare pi`u strano che anche un limite al finito possa non esistere.

Esempio Si pu`o ottenere un esempio di limite al finito che non esiste modificando leggermente l’esempio del limite all’infinito appena visto. Si consideri la funzione

f (x) = 1 x− 1

x

e si consideri poi il suo limite per x → 0⁺.

Non `e difficile prima intuire e poi verificare che per questa funzione valgono le due propriet`a, analoghe alle precedenti:

f (x) = 0, per x = _n¹, con n ∈ N e f (x) = 1

2, per x = _n+¹1

2, con n ∈ N e che queste portano, come prima, alla non esistenza del limite.

Pu`o essere un utile esercizio la costruzione del grafico di questa funzione. Qui sotto riporto il grafico di x 7→₁

x

a sinistra e quello di x 7→ ¹_x−₁

x a destra (ho evitato di usare i pallini vuoti per non appesantire troppo i grafici e renderli poco leggibili).

b

bb

1

1 2 1 3 1 4

1 2 3 4

x 7→₁

x

b

bb

1

1 2 1 3 1 4

1

x 7→ ¹x−₁

x

Osservazione Gli esempi precedenti mostrano che una funzione pu`o quindi non avere limite, per x che tende ad un qualche valore. Ribadisco: per x che tende a qualche particolare valore. Se escludiamo +∞ e −∞, la funzione f (x) = x − ⌊x⌋ ha limite in ogni punto, e cio`e in tutti i valori reali. Analogamente, la funzione f(x) = ¹_x−₁

x non ha limite soltanto per x che tende a zero, in tutti gli altri casi, compresi gli infiniti, il limite esiste.

Una domanda importante che ci si può porre a questo punto è la seguente: ci sono proprietà delle funzioni reali che assicurano l’esistenza del limite? La risposta è affermativa: una tale proprietà è ad esempio la monotonia. Le funzioni monotone hanno sempre limite. Questo è il contenuto della seguente fondamentale proposizione.

Teorema (esistenza del limite per funzioni monotone). Sia f : (a, b) → R. Valgono le propriet`a seguenti:

(i) se f `e crescente (o non decrescente), allora lim

x→a⁺f (x) esiste e si ha lim

x→a⁺f (x) = inf

x∈(a,b)f (x);

(ii) se f `e decrescente (o non crescente), allora lim

x→a⁺f (x) esiste e si ha lim

x→a⁺f (x) = sup

x∈(a,b)

f (x).

bc bc

a b

inf f sup f

a b

bc bc

inf f sup f

Analoghi risultati valgono con limite per x → b⁻ oppure con limite a ±∞. Attenzione per`o che inf e sup si scambiano a b⁻e a +∞, quindi ad esempio se f `e crescente, si ha limx→b⁻f (x) = sup_x∈(a,b)f (x).

(9)

LIMITI

Osservazione Si osservi che la funzione f (x) = x − ⌊x⌋ non `e monotona negli intervalli illimitati e quindi il teorema non `e applicabile al caso del lim

x→±∞(x − ⌊x⌋).

Si osservi anche che il teorema fornisce una condizione sufficiente, ma non necessaria, per l’esistenza del limite. In altre parole ci sono funzioni non monotone che hanno limite.

Si consideri ad esempio la funzione f : (0, +∞) → R, definita da

f (x) =

1/x se x /∈ N 0 se x ∈ N.

Lo studente constati con l’aiuto del grafico che f non `e monotona e che

x→+∞lim f (x) esiste e vale 0. ^b ^b ^b ^b ^b

bc bc bc bc bc

1 2 3 4 5 x

y

Concludo la lunga sezione sulla definizione di limite con una situazione che può risultare molto importante nel calcolo dei limiti. Abbiamo incontrato all’inizio la definizione di limite finito al finito, che precisa in modo rigoroso il significato della dicitura “la funzione tende ad un certo valore reale ℓ quando la sua variabile tende ad un certo valore reale c”. Nella definizione vista, mentre abbiamo considerato i due casi che la variabile tenda al valore c da destra o da sinistra (x → c⁺ e x → c⁻), non abbiamo distinto i casi in cui la funzione tende al suo limite da destra o da sinistra (data la rappresentazione che solitamente facciamo delle funzioni, che porta a riportare i valori della funzione sull’asse verticale, sarebbe forse più opportuno dire dall’alto o dal basso), cioè da valori più grandi o più piccoli.

Ecco, ora vediamo come si pu`o lievemente modificare la definizione per precisare queste due situazioni.

Diremo che la funzione f tende al limite ℓ da valori pi`u grandi, e scriveremo

x→climf (x) = ℓ⁺, se

∀ε > 0 ∃δ > 0 : c − δ < x < c + δ, x 6= c, =⇒ ℓ < f (x) < ℓ + ε.

L’unica differenza con il caso del limite finito al finito è che la disuguaglianza sulle f (x) da ℓ − ε < f(x) < ℓ + ε che era è diventata ℓ < f (x) < ℓ + ε. Vuol dire appunto che f (x) sta in un intorno destro del limite, cioè si avvicina al limite da valori più grandi.

Diremo invece che la funzione f tende al limite ℓ da valori pi`u piccoli, e scriveremo

x→climf (x) = ℓ⁻, se

∀ε > 0 ∃δ > 0 : c − δ < x < c + δ, x 6= c, =⇒ ℓ − ε < f(x) < ℓ.

Questa volta si chiede che f (x) stia in un intorno sinistro del limite, cio`e si avvicini ad ℓ da valori pi`u piccoli.

Osservazione Possiamo naturalmente definire il limite da valori più grandi o più piccoli anche se la x tende all’infinito. Sarebbe bene che lo studente provasse a scrivere la definizione in questi casi, senza prima guardare quello che c’è in nota.⁶

Esempi Vediamo qualche esempio.

• Si ha

x→0lim⁺x³= 0⁺ e lim

x→0⁻x³= 0⁻ mentre lim

x→0⁻x²= 0⁺.

• Si ha

x→1lim⁺ln x = 0⁺ e lim

x→1⁻ln x = 0⁻.

• Si ha

x→−∞lim e^x= 0⁺.

6Se scrivo lim

x→+∞f (x) = ℓ⁺significa che

∀ε > 0 ∃δ : x > δ =⇒ ℓ < f (x) < ℓ + ε.

Se scrivo lim

x→−∞f (x) = ℓ⁺ significa che

∀ε > 0 ∃δ : x < δ =⇒ ℓ < f (x) < ℓ + ε.

Lascio allo studente la scrittura per il limite da valori pi`u piccoli.

(10)

LIMITI

2 CONFRONTO DEI LIMITI 10

• Si ha

x→1lim⁺x²= 1⁺ e lim

x→(−1)⁺x²= 1⁻.

Osservazione Le prime non pongono grossi problemi (lo studente pu`o cercare di dimostrare queste scritture con la definizione appena vista oppure pu`o semplicemente darsene una ragione ricordando il grafico delle funzioni coinvolte).

Attenzione all’ultima. Non è un errore di chi scrive: il limite a 1⁺di x²è 1⁺ e il limite della stessa funzione a (−1)⁺è 1⁻. Anche qui per convincersene basta il grafico. Quindi attenzione quando ci sono elevamenti al quadrato di quantità negative.

Osservazione La domanda che a questo punto gli studenti fanno è: ma se il limite è, mettiamo, zero occorre sempre precisare se è uno 0⁺ o uno 0⁻? La domanda è certamente lecita. Va detto anzitutto che ad una domanda diretta (tipo i limiti degli esempi qui sopra), se il limite è 0⁺non è sbagliato dire che il limite è 0. Dire che è 0⁺è un’ulteriore precisazione. In qualche caso concreto di calcolo di limite (ne vedremo più avanti) per concludere correttamente è necessario capire se un limite (di una parte della funzione) è da valori più grandi o più piccoli.

La risposta alla domanda `e quindi: non sempre, ma in qualche caso s`ı. Non vi posso per`o dare una regola generale.

Occorre vedere caso per caso. Di solito si procede cos`ı: si prova a calcolare il limite usando semplicemente 0; se non si riesce a concludere si cerca di precisare se `e uno 0⁺ o uno 0⁻.

2 Confronto dei limiti

In questa sezione enuncio un risultato, riguardante il calcolo dei limiti, che dipende dalla struttura d’ordine in R. Per semplificare l’esposizione mi limiter`o al caso dei limiti da destra: risultati analoghi si possono formulare per tutti gli altri casi di limite.

Teorema (del confronto dei limiti). Siano f, g due funzioni definite in (a, b) tali che f ≤ g. Valgono le affermazioni seguenti:

(i) se lim

x→a⁺f (x) = λ e lim

x→a⁺g(x) = µ, allora λ ≤ µ;

(ii) se lim

x→a⁺f (x) = +∞, allora lim

x→a⁺g(x) = +∞;

(iii) se lim

x→a⁺g(x) = −∞, allora lim

x→a⁺f (x) = −∞.

Osservazioni Al punto (i), per poter stabilire la relazione tra i due limiti, `e importante ipotizzare che i limiti esistano. Si noti che invece non occorre nel secondo e nel terzo punto ipotizzare l’esistenza di entrambi i limiti: qui infatti l’esistenza del secondo limite `e una conseguenza della non finitezza del primo.

Esempi Possiamo considerare il

x→+∞lim x².

Si potrebbe facilmente dimostrare con la definizione che il limite `e +∞, ma facciamolo utilizzando il confronto.

Osservando che nell’intervallo (1, +∞) si ha x² ≥ x e che ovviamente limx→+∞x = +∞, allora dal punto (ii) del teorema del confronto dei limiti deduciamo che anche

x→+∞lim x²= +∞.

Esempio Consideriamo ora il

x→0lim⁺x².

Anche qui si potrebbe facilmente dimostrare con la definizione che il limite `e 0, ma facciamolo utilizzando il confronto.

Possiamo dire che nell’intervallo (0, 1) si ha x² ≥ 0 e x² ≤ x. ⁷ Il limite in questione esiste in quanto la funzione x 7→ x²`e monotona (crescente) in (0, 1). ⁸ Per il punto (i) del terorema del confronto possiamo dire allora che

x→0lim⁺x²≥ 0 e anche lim

x→0⁺x²≤ lim

x→0⁺x = 0.

Quindi il limite cercato `e zero.

7Si osservi che la prima disuguaglianza vale in realt`a in tutto R, mentre la seconda vale solo in [0, 1].

8In effetti si pu`o provare che il limite `e zero anche con il teorema si esistenza per funzioni monotone.

(11)

LIMITI

3 LIMITI DI FUNZIONI ELEMENTARI 11

3 Limiti di funzioni elementari

Verifichiamo con la definizione alcuni risultati di esistenza di limiti di funzioni elementari.⁹ Faremo anche uso del teorema di esistenza del limite per funzioni monotone, per illustrare quanto pu`o essere comodo il suo utilizzo.

• Cominciamo con una funzione elementare molto semplice, una funzione costante f(x) = k. Dimostriamo che

x→climf (x) = k, dove c `e un qualunque valore reale o anche un infinito.

La cosa è del tutto ovvia, in base alla definizione, dato che l’immagine di f è {k}. La cosa è altrettanto ovvia in base al teorema di esistenza: la funzione costante è una funzione monotona e il suo estremo superiore è ovviamente k.

• Consideriamo f(x) = x. Dimostriamo che lim

x→cx = c. Con la definizione, se fissiamo un intorno (c − ε, c + ε) del limite c, la disuguaglianza |x − c| < ε definisce proprio l’intorno (c − ε, c + ε) del punto c.

Con il teorema di esistenza è ancora più semplice. La funzione è crescente e possiamo procedere cos`ı. Conside- riamo un intervallo (c, b) (con c < b); per il teorema di esistenza possiamo affermare che lim

x→c⁺x = inf

x∈(c,b)x = c.

Consideriamo ora un intervallo (a, c) (con a < c); per il teorema di esistenza possiamo affermare che lim

x→c⁻x = sup

x∈(a,c)

x = c. Pertanto limite destro e limite sinistro esistono e sono uguali, e quindi c `e il valore del limite.

Si ha anche lim

x→+∞x = sup

x∈Rx = +∞ e lim

x→−∞x = inf

x∈Rx = −∞.

• Dimostriamo che lim

x→cx²= c². Supponiamo che sia c > 0. Possiamo affermare che esiste un intervallo (c−δ, c+δ) in cui x 7→ x²`e crescente. Quindi si ha

x→clim⁺f (x) = inf

c<x<bx²= c² e lim

x→c⁻f (x) = sup

a<x<cx²= c².

Pertanto otteniamo la tesi. Lo studente adatti la dimostrazione nel caso c < 0 e nel caso c = 0.¹⁰ Si ha anche lim

x→+∞x²= lim

x→−∞x²= +∞.

• Con la funzione f(x) = x³ le cose non sono molto diverse, ricordando che si tratta ora di una funzione crescente in tutto R. Si ha quindi lim

x→cx³= c³. Si ha inoltre lim

x→+∞x³= +∞ e lim

x→−∞x³= −∞.

• Si intuisce che per tutte le funzioni potenza vale il risultato

x→climx^α= c^α.¹¹

Inoltre, se α > 0, si ha lim

x→+∞x^α= +∞; se α < 0, si ha lim

x→+∞x^α = 0. Ancora, se α < 0, si ha lim

x→0⁺x^α= +∞

(basta ricordare il grafico delle funzioni potenza).

• Per la funzione esponenziale f(x) = b^xsi pu`o dimostrare che

x→climb^x= b^c. Inoltre, se b > 1, si ha lim

x→+∞b^x= +∞ e lim

x→−∞b^x= 0; se b < 1, si ha lim

x→+∞b^x= 0 e lim

x→−∞b^x= +∞ (ricordare il grafico della funzione esponenziale).

• Per la funzione logaritmica f(x) = logbx, definita in (0, +∞), si ha

x→climlog_bx = log_bc.

Inoltre, se b > 1, si ha lim

x→+∞log_bx = +∞ e lim

x→0⁺log_bx = −∞; se b < 1, si ha lim

x→+∞log_bx = −∞ e

x→0lim⁺log_bx = +∞ (ricordare il grafico della funzione logaritmica).

9Altri esercizi di questo tipo sono riportati alla fine della successiva dispensa sulle funzioni continue.

10Attenzione che con c = 0 la funzione non `e monotona in un intorno di c. Occorre quindi usare la definizione.

11Si ricordi che la funzione potrebbe essere definita solo in [0, +∞) o in (0, +∞), ma che comunque si tratta di una funzione monotona.

(12)

LIMITI

4 ALGEBRA DEI LIMITI 12

4 Algebra dei limiti

Ecco un teorema molto utile nel calcolo dei limiti. Lo enuncio con riferimento al caso del limite destro, ma come sempre risultati analoghi valgono in tutti gli altri casi.

Teorema Siano f, g : (a, b) → R, e supponiamo che sia

x→alim⁺f (x) = λ e lim

x→a⁺g(x) = µ , con λ, µ ∈ R (cio`e numeri reali finiti).

Valgono le affermazioni seguenti:

(i) lim

x→a⁺ f (x) + g(x) = λ + µ (limite della somma);

(ii) lim

x→a⁺ f (x)g(x) = λµ (limite del prodotto);

(iii) se µ 6= 0, allora lim

x→a⁺

f (x) g(x) =λ

µ (limite del quoziente).

Osservazione C’`e poco da aggiungere. Se i limiti sono finiti, per fare il limite di una somma si fa la somma dei limiti, per il limite del prodotto il prodotto dei limiti e per il limite del quoziente il quoziente dei limiti, sempre che il denominatore non si annulli. Da questo teorema sono per`o esclusi molti casi, ad esempio quelli in cui uno (o tutti e due) i limiti siano infiniti. Ma non solo: e se ho un quoziente e il denominatore tende a zero?

Per riuscire a risolvere qualche caso, fornisco ora alcune regole di calcolo, che potrebbero peraltro essere dimostrate accuratamente. Ma limitiamoci ad accettarle, anche se come vedrete sono molto intuibili.

Se nel calcolo del nostro limite ci troviamo di fronte ad una delle situazioni indicate, il risultato `e quello indicato (ℓ rappresenta sempre un limite finito):

(i) se ℓ ∈ R,

ℓ + (+∞) = +∞ , ℓ + (−∞) = −∞¹² , ℓ

−∞= 0 , ℓ

+∞= 0

(ii) se ℓ ∈ R e ℓ > 0,

ℓ · (+∞) = +∞ , ℓ · (−∞) = −∞

(iii) se ℓ ∈ R e ℓ < 0,

ℓ · (+∞) = −∞ , ℓ · (−∞) = +∞

(iv) inoltre

(+∞) + (+∞) = +∞ , (−∞) + (−∞) = −∞

e

(+∞) · (+∞) = +∞ , (+∞) · (−∞) = −∞ , (−∞) · (−∞) = +∞.

Si potrebbe ora dimostrare che non `e invece possibile definire regole nei seguenti casi:¹³ (−∞) + (+∞) , 0 · (+∞) , 0 · (−∞) , ℓ

0 , ±∞

±∞

(solite considerazioni sulla commutativit`a).

Per la verit`a, per i due casi

ℓ

0, con ℓ 6= 0, e ±∞

0 ,

se riusciamo a stabilire “il segno dello zero a denominatore”, possiamo dare una regola, che si pu`o esprimere in forma sintetica (e impropria) ma efficace, con le scritture:

ℓ > 0

0⁺ = +∞ , ℓ < 0

0⁺ = −∞ , ℓ > 0

0⁻ = −∞ , ℓ < 0 0⁻ = +∞

12Valendo la propriet`a commutativa, sussistono anche le analoghe regole “scambiate”: (+∞) + ℓ = +∞ e (−∞) + ℓ = −∞. Lo stesso per quanto riguarda le regole che seguono sui prodotti.

13Questo perch´e ci sono casi che rientrano tutti, ad esempio, nella prima tipologia e che danno risultati diversi. Quindi il risultato non

è prevedibile o, che è lo stesso, non si può fornire una regola generale.

(13)

LIMITI

e +∞

0⁺ = +∞ , −∞

0⁺ = −∞ , +∞

0⁻ = −∞ , −∞

0⁻ = +∞.

Chiamiamo infine forma indeterminata (f.i) uno qualunque dei casi che restano, e che per comodit`a riscrivo:

(−∞) + (+∞) , 0 · (±∞) , 0

0 , ±∞

±∞.

In realt`a ci sono altre forme indeterminate, che non riguardano per`o le operazioni algebriche fondamentali. Queste altre forme, che potremmo chiamare forme indeterminate esponenziali, sono:

(0⁺)⁰ , (+∞)⁰ , 1^±∞. Esse, come vedremo pi`u avanti, si possono ricondurre alle precedenti.

Esempi

• Consideriamo il limite

x→1lim(e^x+ ln x).

La funzione esponenziale tende ad e per x → 1 e la funzione logaritmica tende a 0. Non si tratta quindi di una forma indeterminata e risulta

x→1lim(e^x+ ln x) = e + 0 = e.

• lim

x→0⁺(x + ln x) = 0 + (−∞) = −∞.

• lim

x→1(x ln x) = 1 · 0 = 0.

• lim

x→0⁺((x + 1) ln x) = 1 · (−∞) = −∞.

• lim

x→1

ln x x = 0

1 = 0.

• lim

x→−∞

e^x x = 0

−∞ = 0.

Nel caso si presenti una delle forme indeterminate, come si diceva il risultato del limite non `e prevedibile. A titolo di esempio, consideriamo i tre limiti

x→+∞lim x + 1

x , lim

x→+∞

x + 1

x² e lim

x→+∞

x²+ 1 x . Sono tutti della forma (indeterminata) ^+∞_+∞.

Ma per il primo

x→+∞lim x + 1

x = (divido sopra e sotto per x) = lim

x→+∞

1 + 1/x

1 = 1 + 0 1 = 1, per il secondo

x→+∞lim x + 1

x² = (divido sopra e sotto per x) = lim

x→+∞

1 + 1/x

x = 1 + 0

+∞ = 1

+∞= 0 e per il terzo

x→+∞lim x²+ 1

x = (divido sopra e sotto per x) = lim

x→+∞

x + 1/x

1 = +∞ + 0

1 = +∞

1 = +∞.

Quindi la stessa forma indeterminata ^+∞_+∞ pu`o dare origine a risultati diversi.

Osservazione Se riconsideriamo i limiti lim

x→0⁺

1 x e lim

x→0⁻

1

x, gi`a visti in precedenza con la definizione, ora possiamo osservare che rientrano in quelli che sappiamo risolvere con le regole del calcolo, dato che

x→0lim⁺ 1 x= 1

0⁺ = +∞ e lim

x→0⁻

1 x = 1

0⁻ = −∞.

(14)

LIMITI

Si tratta di un caso in cui la conoscenza del segno dello zero a denominatore consente di stabilire il risultato.

Esempio Quale altro esempio di situazione in cui è importante l’idea di limite da valori più grandi o più piccoli, consideriamo il

x→1lim⁻

x

x − 1 + e^x e^x− e

.

Si tratta di una forma del tipo ¹₀ +^e₀ ed `e quindi importante stabilire il segno degli zeri a denominatore. Possiamo scrivere che

x→1lim⁻(x − 1) = 1⁻− 1 = 0⁻ e lim

x→1⁻(e^x− e) = e⁻− e = 0⁻. Pertanto si ha

x→1lim⁻

x

x − 1+ e^x e^x− e

= 1 0⁻ + e

0⁻ = (−∞) + (−∞) = −∞.

Vediamo ora qualche esempio di calcolo di forme indeterminate.

• lim

x→+∞(x²− x). Si tratta di una f.i. +∞ − ∞. Si ha

x→+∞lim (x²− x) = lim

x→+∞(x(x − 1)) = (+∞) · (+∞ − 1) = (+∞) · (+∞) = +∞.

Lo studente provi a risolverlo raccogliendo invece x². Lo studente ancora verifichi che il limite a −∞ non `e invece una f.i.

• La stessa tecnica consente di calcolare il limite agli infiniti di un qualunque polinomio. Vediamo ad esempio il

x→+∞lim (2x³− 3x²+ 5x − 1). Si tratta di una f.i. in quanto `e presente una differenza di infiniti. Si ha

x→+∞lim (2x³− 3x²+ 5x − 1) = lim

x→+∞

x³

2 − 3

x+ 5 x² − 1

x³

= (+∞) · (2 − 0 + 0 − 0) = (+∞) · 2 = +∞.

Lo studente provi a calcolare il limite a −∞.

Osservazione A questo punto dovrebbe essere chiaro che il limite all’infinito di un polinomio è dato dal limite all’infinito del suo monomio di grado massimo. Quindi i polinomi del tipo P (x) = axⁿ+ . . . (cioè con monomio di grado massimo axⁿ) e a > 0 tendono a +∞ per x → +∞ e a −∞ tendono a −∞ se n è dispari e a +∞ se n è pari.

Passiamo al quoziente di due polinomi.

• lim

x→+∞

x³+ x − 1

2x²− x + 1. Si tratta di una f.i. (+∞)/(+∞). Si ha

x→+∞lim

x³+ x − 1

2x²− x + 1 = lim

x→+∞

x³(1 + 1/x²− 1/x³)

x²(2 − 1/x + 1/x²) = lim

x→+∞

x(1 + 1/x²− 1/x³)

2 − 1/x + 1/x² = +∞ · 1

2 = +∞.

• lim

x→+∞

x − 1

x²+ x + 2. Si tratta di una f.i. (+∞)/(+∞). Si ha

x→+∞lim

x − 1

x²+ x + 2 = lim

x→+∞

x(1 − 1/x)

x²(1 + 1/x + 2/x²) = lim

x→+∞

1 − 1/x

x(1 + 1/x + 2/x²) = 1

+∞ · 1 = 0.

• lim

x→+∞

x²− x

3x²+ 1. Si tratta ancora di una f.i. (+∞)/(+∞). Si ha

x→+∞lim x²− x

3x²+ 1 = lim

x→+∞

x²(1 − 1/x)

x²(3 + 1/x²)= lim

x→+∞

1 − 1/x 3 + 1/x² = 1

3.

Osservazione Questi tre esempi dovrebbero insegnare molto: una regola generale per trovare il limite di un quoziente di polinomi. Tutto dipende dal grado dei due polinomi. Lo studente trovi da solo la regola.

Il raccoglimento risolve a volte forme indeterminate date dalla differenza di infiniti, ma non sempre. Sono da ricordare i seguenti esempi.

(15)

LIMITI

• lim

x→+∞(x −√

x). Si tratta di una f.i. +∞ − ∞. Si ha

x→+∞lim (x −√

x) = lim

x→+∞(x(1 − x^−1/2)) = +∞ · 1 = +∞.

Si poteva anche fare

x→+∞lim (x −√

x) = lim

x→+∞(√ x(√

x − 1)) = (+∞) · (+∞) = +∞.

• lim

x→+∞

x −p

2x²+ 1

. Si tratta ancora di una f.i. +∞ − ∞. Si ha

x→+∞lim

x −p

2x²+ 1

= lim

x→+∞ x 1 −

√2x²+ 1 x

!!

= lim

x→+∞ x 1 − r

2 + 1 x²

!!

= +∞ · (−1) = −∞.

• lim

x→+∞

x −p x²+ 1

. Si tratta ancora di una f.i. +∞ − ∞. Procedendo come prima si ha

x→+∞lim

x −p x²+ 1

= lim

x→+∞ x 1 −

√x²+ 1 x

!!

= lim

x→+∞ x 1 − r

1 + 1 x²

!!

= +∞ · 0.

Come si vede questa volta cos`ı non si riesce ad eliminare la forma indeterminata. Occorre cambiare metodo. Si pu`o razionalizzare.¹⁴ Moltiplicando sopra e sotto per la somma, cio`e per (x +√

x²+ 1), si ha

x→+∞lim

x −p x²+ 1

= lim

x→+∞

(x −√

x²+ 1)(x +√ x²+ 1) x +√

x²+ 1 = lim

x→+∞

x²− x²− 1 x +√

x²+ 1 = −1 +∞ = 0.

Esercizio 4.1 Si calcolino i seguenti limiti usando l’algebra dei limiti.

(a) lim

x→2⁻

x

2 − x (b) lim

x→−∞

2 1 − x (c) lim

x→0⁺

1 + x

x (d) lim

x→−∞

x 1 + 1/x (e) lim

x→+∞

1 + 1/x

1 + x² (f) lim

x→+∞

1 + e^−x 1 + e^x (g) lim

x→0⁺

1 + x

ln x − 1 (h) lim

x→0⁺

1/x 1 − e^x (i) lim

x→0⁺

1/x

ln(1 + x) (j) lim

x→+∞(x + ln(1 + 1/x)) (k) lim

x→0⁺(x − ln x) (l) lim

x→1⁻

x ln x

Esercizio 4.2 I seguenti limiti sono forme indeterminate. Si calcolino con opportuni raccoglimenti o con il confronto.

(a) lim

x→+∞

x − 1

1 + 2x (b) lim

x→−∞

1 − x² 1 + x² (c) lim

x→+∞

x + 1

1 + x³ (d) lim

x→−∞

x²+ x + 1 x + 1 (e) lim

x→0⁺

x + x²

x²+ x³ (f) lim

x→1⁺

x²− 1 x²− 3x + 2 (g) lim

x→+∞

x +√ x x²−√³

x (h) lim

x→0⁺

x +√ x x²−√³

x (i) lim

x→+∞

x^1/2+ x^3/5

x^4/3+ x^3/2 (j) lim

x→0⁺

x^1/2+ x^3/5 x^4/3+ x^3/2 (k) lim

x→+∞ 2x −√ x

(l) lim

x→+∞

2x −p

4x²− 1 (m) lim

x→−∞

x +p|x|

(n) lim

x→−∞

x +p x²+ 1

14Quando si ha una somma (differenza) di quantit`a sotto radice che danno origine ad una f.i., moltiplicando numeratore e denominatore per la differenza (somma) si riesce ad eliminare le radici dal numeratore. Le radici compaiono a denominatore, ma non pi`u in forma indeterminata.

(16)

LIMITI

5 CONFRONTO LOCALE 16

5 Confronto locale

Sono estremamente utili nel calcolo dei limiti i seguenti risultati.

Proposizione Valgono le propriet`a:

1. se α > 0 e b > 1, allora lim

x→+∞

x^α b^x = 0;

2. se b > 1, p > 0 e α > 0, allora lim

x→+∞

(log_bx)^p x^α = 0.

Osservazione Occorre motivare le condizioni poste sui parametri α, b, p: il primo limite non sarebbe significativo con α ≤ 0 e b > 1 (o con α ≥ 0 e b < 1), dato che non si tratterebbe di forme indeterminate. Considerazioni analoghe nel secondo limite. Le condizioni poste fanno s`ı che si tratti di limiti di quozienti tra funzioni dello stesso tipo, cio`e in questo caso tra infiniti (quindi di forme indeterminate del tipo ^+∞_+∞).

Osservazione Ovviamente, nel caso si presentino i limiti

x→+∞lim b^x

x^α e lim

x→+∞

x^α (log_bx)^p nelle stesse ipotesi sui parametri, il risultato `e +∞ per entrambi.¹⁵

Osservazione I due punti della proposizione raccolgono molti casi particolari: si noti che la prima vale per ogni α maggiore di 0 e per ogni b maggiore di 1, e la seconda `e pure vera qualunque sia la scelta di b > 1, p e α positivi.

Esempi

• Il lim

x→+∞

x²

e^x vale zero, dato che `e un caso particolare della prima (con α = 2, b = e).

Anche il lim

x→+∞

√3x

2^x vale zero (con α = 1/3, b = 2).

• Il lim

x→+∞

ln x

x vale zero, essendo un caso particolare della seconda (con b = e, p = 1, α = 1).

Anche il lim

x→+∞

ln²x

√x = lim

x→+∞

(ln x)²

√x vale zero (con b = e, p = 2, α = 1/2).

Veniamo ora ad una situazione più generale. Siano f, g : (a, b) → R, dove (a, b) può essere un qualunque intervallo di R, anche non limitato. Consideriamo il problema di confrontare i valori di f (x) e g(x) quando x è “vicino a b”.

Ad esempio, le due funzioni f (x) = 1/x e g(x) = − ln x tendono entrambe a +∞ per x → 0⁺. Il problema che ci poniamo è confrontare i modi in cui esse tendono all’infinito, cioè riuscire ad esempio a dire quale delle due va all’infinito più rapidamente.

Due possibili strategie atte ad operare un confronto possono essere:

(i) determinare il segno di f − g in (a, b);¹⁶

(ii) dare una stima dell’“ordine di grandezza” di f /g vicino a b.¹⁷ Analizziamo queste strategie, per x → +∞, nel caso delle tre funzioni

f (x) = x , g(x) = x² , h(x) = 2x − 1.

Notiamo che nell’intervallo (1, +∞) x `e minore sia di x², sia di 2x − 1, ma questo non ci d`a informazioni sulla grandezza relativa dei valori di f , g e h per x che tende a +∞.

15Dato che possiamo scrivere

x→+∞lim b^x x^α = lim

x→+∞

1 x^α/b^x = 1

0⁺ = +∞.

16Il segno della differenza f − g ci dice quale delle due `e maggiore dell’altra (ovviamente f − g > 0 se e solo se f > g).

17Se sapessimo ad esempio che f /g `e “molto maggiore” di 1, potremmo dire che f `e “molto maggiore” di g (supponendo f e g positive).