Dal calcolo è possibile ricavare alcune proprietà generali sui limiti; queste proprietà sono valide solo se il limite è un valore FINITO l

TEOREMI SUI LIMITI

Dal calcolo è possibile ricavare alcune proprietà generali sui limiti; queste proprietà sono valide solo se il limite è un valore FINITO l

In matematica il modo utilizzato per dire che una funzione per x → _{x o} tende a l

è questo:

DEVE ESISTERE UN INTORNO DI X

TALE CHE PRESI DUE PUNTI DISTINTI DI QUESTO INTORNO, X

E X

, DIVERSI DA X

, SUCCEDE CHE

 ^{f(x 1 ) –} f(x 2 )  < 

Questo si chiama CRITERIO DI CONVERGENZA di CAUCHY

TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO

Se per una funzione f(x) definita in un intervallo I dell’insieme R dei numeri reali esiste

ALLORA ESISTE UN INTORNO DI X

TALE CHE PER OGNI PUNTO DI

QUESTO INTORNO, LA FUNZIONE HA LO STESSO SEGNO DEL LIMITE

DIMOSTRAZIONE

Per definizione di limite si ha

 f(x )  l ^{ < }

che si può anche scrivere come

l ^{–  < f(x) <} l ^{+ }



 è > 0 e può essere considerato piccolo a piacere; possiamo utilizzare

 =  l ^

Quindi la disuguaglianza precedente la possiamo scrivere anche come

l ^{– } l ^{ < f(x) <} l ^{+ } l ^{ }

di conseguenza:

a) se l > 0 → 0 < f(x) < 2 l ^{e anche f(x) è positiva }

b) se l < 0 → 2 l ^{< f(x) < 0 e anche f(x)} è negativa

le conclusioni a) e b) dimostrano come, a patto di prendere un

opportuno valore per  , esiste un intorno del limite l nel quale la

funzione ha lo stesso segno del limite.

OPERAZIONI SUI LIMITI 1. SOMMA

2. DIFFERENZA

3. MOLTIPLICAZIONE (prodotto) 4. DIVISIONE (rapporto)

5. RECIPROCO

6. POTENZA

1. SOMMA

consideriamo due funzioni f(x) e g(x), tali che

e

Allora

Il limite della somma è uguale alla somma dei limiti

2. DIFFERENZA

consideriamo due funzioni f(x) e g(x), tali che

e

Allora

Il limite della DIFFERENZA è uguale alla DIFFERENZA dei

limiti

3. MOLTIPLICAZIONE

consideriamo due funzioni f(x) e g(x), tali che

e

Allora

Il limite del PRODOTTO è uguale al PRODOTTO dei limiti

4. DIVISIONE

consideriamo due funzioni f(x) e g(x), tali che

e ; g(x 0 ) ≠ 0

Allora

Il limite del RAPPORTO è uguale al RAPPORTO dei limiti

5. RECIPROCO

consideriamo una funzione f(x), tale che

; l 1 ≠ 0

Allora

Il limite del RECIPROCO è uguale al RECIPROCO del limite

6. POTENZA

consideriamo due funzioni f(x) e g(x), tali che

e ; f(x 0 ) ≠ 0 g(x 0 ) ≠ 0

Allora

Il limite della POTENZA è uguale alla POTENZA dei limiti