Energia elettrostatica

Prof. Francesco Ragusa

Università degli Studi di Milano

Anno Accademico 2020/2021

Elettromagnetismo

Energia elettrostatica

Corrente elettrica e equazione di continuità - Legge di Ohm Modello della conduzione elettrica

Lezione n. 18 – 3.12.2020

Energia elettrostatica

• Riprendiamo il problema del condensatore con dielettrico fra le armature (vedi diapositiva )

• Ricordiamo che a parità di differenza di

potenziale V il campo elettrico è sempre E = V/s

• Inoltre la carica nella regione delle armature è Q₀ che è la somma algebrica

• Della carica Q sulle armature (Q = κ Q₀)

• Della carica di polarizzazione Q_pol = −(κ − 1)Q₀

• Q₀ è la carica necessaria per avere una ddp V in assenza di dielettrico

• L'energia del condensatore è

• Rispetto al caso senza dielettrico l'energia è cresciuta

• La capacità è cresciuta di un fattore κ

• D'altro canto abbiamo visto che l'energia può essere espressa come energia del campo elettrico

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Energia elettrostatica

• La soluzione della contraddizione sta nel fatto che le due energie rappresentano cose differenti

• L'energia del campo elettrico rappresenta l'energia immagazzinata in un sistema di cariche (vedi )

• L'energia necessaria per "costruire" la disposizione delle cariche (sia libere che di polarizzazione)

• L'energia del condensatore rappresenta invece il lavoro che è stato fatto

• Per caricare i condensatore con una carica Q

• Per polarizzare il dielettrico e fare in modo che fornisca una carica Q_pol

• Per polarizzare il dielettrico è necessario fare un lavoro

• Il lavoro necessario per deformare gli atomi o le molecole

• Il lavoro necessario per allineare i dipoli (più complicato – termodinamica)

• Troviamo adesso un sistema per esprimere la seconda energia con una formula analoga a quella dell'energia del campo elettrico

• †Per ulteriori approfondimenti vedi: Das B., Ghosh A., Gupta-Bhaya P. - Electrostatic energy of a system of charges and dielectrics - Am.J.Phys. 63, p. 452 (1995)

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Energia elettrostatica

• Definiamo esattamente cosa vogliamo fare

• Consideriamo lo stato finale che vogliamo ottenere

• Un sistema di cariche libere descritto da una densità di carica ρ_f

• Un dielettrico (lineare) polarizzato

• Il sistema ( ρ_f + dielettrico) genera un potenziale φ(r)

• Per costruire questo sistema

• Iniziamo da un sistema scarico: ρ_f = 0

• Trasportiamo una carica dρ_f infinitesima dall'infinito nel nostro sistema

• Disponiamo la carica dρ_f in modo che in ogni parte del sistema la densità di carica sia una frazione α di quella finale

• Per un dato valore di α la densità di carica libera è una frazione di quella finale

• Dato che il dielettrico è lineare

• Anche il potenziale elettrico φ_k(r) = αφ(r) sarà una frazione di quello finale

• Anche le cariche di polarizzazione saranno una frazione α di quelle finali

Energia elettrostatica

• Si può dimostrare che il lavoro dW fatto per trasportare la carica dρ_f è

• Sottolineiamo che il potenziale φ_α(r) è generato anche dal dielettrico

• Il lavoro dW è diverso da quello che si avrebbe senza il dielettrico

• Il dielettrico è lineare e pertanto il lavoro dW indicato contiene anche il lavoro necessario per polarizzare il dielettrico

• Elaborando

• Sottolineiamo ancora una volta la differenza con la trattazione della diapositiva

• In quel caso nella formula era presente TUTTA la carica ρ (sia libera che di polarizzazione)

• L'energia trovata era quella del sistema di cariche ρ_f + ρ_pol e non includeva il lavoro fatto per polarizzare il materiale

• Nel caso del condensatore con dielettrico è l'energia dei due strati di carica ± [κσ₀ − (κ − 1)σ₀] = ± σ₀

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Energia elettrostatica

• Elaboriamo adesso la formula trovata per metterla in funzione del campo elettrico E e dello spostamento elettrico D

• Ricordiamo innanzitutto la legge di Gauss per il campo D

• Introduciamo nell'integrale

• Ricordiamo che

• Otteniamo

• Il primo integrale

• Pertanto

Per campi che si annullano velocemente all'infinito

Energia elettrostatica

• La formula che abbiamo ricavato vale per dielettrici lineari

• Per un dielettrico lineare si ha D = εE = κ ε₀ E

• W₀ è il lavoro fatto in assenza di dielettrico

• Pensiamo all'esempio iniziale del condensatore con dielettrico

• Riepilogando

• Rappresenta l'energia associata ad un campo elettrico E generato da un sistema di cariche ρ = ρ_f + ρ_pol

• Non include il lavoro che è stato fatto per polarizzare il dielettrico

• Per includere anche il lavoro che è stato necessario per polarizzare il dielettrico si calcola

• Include l'energia del campo elettrico E generato da ρ = ρ_f + ρ_pol

• Include il lavoro fatto per polarizzare il dielettrico

Corrente elettrica

• Cominciamo a studiare situazioni in cui le cariche sono in movimento

• Per il momento ci limiteremo a movimenti "relativamente lenti"

• Velocità piccole rispetto alla velocità della luce

• Prima di iniziare a formulare le differenze nelle forze fra le cariche

introduciamo una serie di nuovi concetti necessari per descrivere le cariche in movimento

• Un moto ordinato di portatori di carica costituisce una corrente elettrica

• L'espressione "portatori di carica" è da intendere in un senso molto generale

• Possono essere elettroni o ioni

• Può essere materia "carica", ad esempio goccioline d'acqua nell'atmosfera

• In un filo di materiale conduttore la corrente elettrica è definita come la quantità di carica che attraversa la sezione del filo nell'unità di tempo

• La corrente ha un segno: positiva se le cariche positive seguono la freccia

• Supponendo che in un tempo Δt la carica ΔQ nel cilindretto blu attraversi la sezione del filo S (gialla)

• Nel Sistema Internazionale l'unità di misura della corrente è l'Ampere (A)

Correnti elettrica

• È importante il flusso netto di carica

• Definiamo il senso positivo della corrente

• La carica rossa (positiva) contribuisce con segno +

• La carica blu (negativa) contribuisce con segno +

• Analogamente un atomo o molecola neutri non

contribuiscono alla corrente nonostante trasportino carica

• La carica rossa (positiva) contribuisce con segno +

• La carica blu (negativa) contribuisce con segno −

• La corrente non deve necessariamente essere definita all'interno di un filo conduttore

• Per una definizione più generale occorre la densità di corrente

• Abbiamo già utilizzato questo concetto discutendo il flusso (diapositiva )

• Avevamo discusso il flusso di materia (fluido)

• Avevamo definito il vettore densità di corrente J = ρ v

• Avevamo visto che la quantità di materia che attraversa un superficie S nell'unità di tempo era data da

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Densità di corrente

• Consideriamo una situazione in cui le cariche siano tutte dello stesso segno, uguali e che si muovono tutte con la stessa velocità u

• La densità delle cariche è n (numero per unità di volume)

• La corrente elettrica è definita come la quantità di carica che attraversa la superficie S nella unità di tempo

• La carica che attraversa la superficie è quella contenuta nel prisma obliquo definito dalla

superficie S e dal lato di lunghezza u Δt

• Il volume del prisma è

• Possiamo riscriverlo utilizzando i vettori velocità e normale alla superficie

• Abbiamo pertanto

Densità di corrente

• Naturalmente la situazione in cui tutte le velocità sono uguali è un caso molto particolare (e non realistico)

• Nel caso generale avremo

• n₁ particelle con velocità u₁ che contribuiscono

• n_k particelle con velocità u_k che contribuiscono

• La corrente totale è la somma delle correnti

• Definiamo il vettore densità di corrente

• Le sue dimensioni sono: [ J ] = Q L⁻² T⁻¹ (C m⁻² s⁻¹)

• Utilizzando il vettore J la corrente è

• Specializziamo J al caso in cui i portatori di carica siano elettroni: q_k = −e

Densità di corrente

• Definiamo infine

• La densità totale di elettroni, indipendente dalla velocità

• La velocità media degli elettroni

• Otteniamo la seguente espressione per la densità di corrente

• Notiamo che −en_e rappresentata la densità di carica ρ_e degli elettroni

• Utilizzando ρ_e

• Avevamo già incontrato una formula simile quando abbiamo definito la

Densità di corrente

• Quando parliamo di conduttori o di sistemi macroscopici allora anche le

grandezze che abbiamo definito e utilizzato vanno intese in senso macroscopico

• Sono delle medie su volumi dv infinitesimi su scala macroscopica

• Volumi grandi su scala microscopica

• In questo caso interpretiamo la formula

• n_e è la densità media degli elettroni nel volume dv

• è la velocità media degli elettroni nel volume dv

• Sia la velocità media che la densità media possono essere funzione della posizione e del tempo

• In questo caso anche J è una funzione della posizione e del tempo J(r,t)

• La corrente attraverso una superficie arbitraria (eventualmente ideale, all'interno di un conduttore) è data da (attenzione ai segni)

• Se J non dipende dal tempo si parla di correnti stazionarie (steady)

• Le cariche si muovono ma le proprietà del flusso non variano nel tempo

Conservazione della carica

• Supponiamo adesso di avere una superficie chiusa S che delimita un volume V

• In una regione in cui è presente una densità di corrente J

• Calcoliamo il flusso di J

• L'integrale rappresenta la quantità di carica che fluisce nell'unità di tempo attraverso la superficie

• Se dQ/dt ≠ 0 significa che la carica si accumula o fuoriesce dal volume attraversando la superficie

• In una situazione stazionaria la derivata è nulla

• Dal teorema della divergenza, facendo tendere a zero il volume chiuso da S La normale è verso l'esterno

è positiva se la carica all'interno di S aumenta

Conservazione della carica

• Consideriamo adesso un caso non necessariamente stazionario

• Dentro il volume V delimitato da S ci sarà una densità di carica ρ(r,t)

• La carica all'interno sarà data dall'integrale di volume

• Nel caso non stazionario Q_V(t) può variare nel tempo

• Inoltre

• Per finire abbiamo visto che

• Da cui discende l'importantissima equazione di continuità

• Abbiamo espresso la legge sia in forma differenziale che integrale

• È una legge di conservazione locale

Conduzione elettrica

• Fino ad ora abbiamo considerato un dato di fatto il movimento dei portatori di carica

• In realtà è necessaria una forza perché si muovano

• Ad esempio la forza di gravità o gradienti di pressione nell'atmosfera fanno muovere gocce d'acqua cariche

• Un altro esempio piò essere la cinghia del generatore Van de Graaff

• Le studieremo in seguito: forze elettromotrici

• Per il momento consideriamo la forza più ovvia per

mettere in moto cariche elettriche: un campo elettrico

• Sottolineiamo che si tratta ancora di campi elettrostatici e quindi di campi conservativi

• In presenza di un campo elettrico E

• Le cariche positive si muovono nella direzione del campo

• Le cariche negative si muovono nella direzione opposta

• La densità di corrente dipende dal campo elettrico

• Per un gran numero di sostanze la relazione fra J _ed E è molto semplice

Conduzione elettrica

• Pertanto se consideriamo un filo conduttore

• All'interno del conduttore è presente un campo elettrico che mette in moto le cariche

• A questo punto occorre porsi una domanda

• Come mai c'è un campo elettrico all'interno del conduttore

• La risposta risiede nel fatto che la condizione non è statica

• In particolare deve esistere un meccanismo che agli estremi del filo …

• Rimuove la carica che arriva per effetto della conduzione

• Fornisce nuova carica per alimentare la conduzione

• Ancora una volta, una forza elettromotrice di natura non elettrostatica

• In caso contrario si arriverebbe ad una condizione di accumulo di carica agli estremi

• Positiva in alto, negativa in basso

• Apparirebbe un campo elettrico che si opporrebbe al movimento fino ad arrestarlo

• Si giungerebbe ad un equilibrio con campo elettrico nullo

• Stazionario non significa statico

• Tuttavia il campo elettrico che stiamo considerando è elettrostatico

Legge di Ohm

• Le dimensioni della conduttività sono [ σ ] = Q² M⁻¹ L⁻³ T (C Kg⁻¹ m⁻³ s)

• Una unità che si adopera di solito è (ohm-m)⁻¹

• Come nel caso della densità di polarizzazione la relazione fra J e E può essere più complicata

• Può essere non lineare: la conduttività può dipendere dal campo σ(E)

• Il mezzo può essere non isotropo

• Considereremo solo mezzi lineari e isotropi per i quali vale

• La legge enunciata prende il nome di legge di Ohm

• I materiali per i quali vale (lineari, isotropi) sono detti "ohmici"

• Nelle applicazione tecnologiche non risulta comodo utilizzare la densità di corrente e il campo elettrico

• Si preferisce utilizzare correnti e differenze di potenziale (tensioni)

• Ad esempio nei circuiti elettronici

Legge di Ohm

• Per passare alla corrente e alla tensione occorre calcolare

• L'integrale di J su una superficie

• L'integrale di E lungo una linea

• Consideriamo ad esempio un conduttore

• La differenza di potenziale fra i suoi estremi

• La corrente che fluisce nel conduttore

• Si definisce la resistenza del conduttore

• Si usa spesso la resistività

• La resistività si misura in ohm-m

• La resistenza in ohm (Ω)

Legge di Ohm

• Nel ricavare le formule della pagina precedente si sono fatte alcune assunzioni

• La densità di corrente J è uniforme sulla sezione S del conduttore

• Se J variasse sulla sezione (es. J₁ e J₂) il campo elettrico sarebbe differente lungo le due linee e non potremmo definire un'unica differenza di potenziale

• Analogamente abbiamo supposto che J fosse uniforme lungo la lunghezza del conduttore

• In realtà si potrebbero avere condizioni come quelle indicate nelle figure

• La formula per la resistenza dipende da questi dettagli

• Funziona se questi dettagli sono trascurabili

• Nel caso generale utilizzare J = σE e integrare

• Infine vale la pena sottolineare che ipotizziamo anche che esista una netta separazione fra il mezzo conduttore e l'ambiente circostante

• Significa che possiamo applicare le considerazioni fatte anche a conduttori (resistenze) di forme

Legge di Ohm

• Abbiamo sempre supposto che σ sia costante e che il mezzo fosse omogeneo, caratterizzato da un'unica conduttività

• In una condizione di stazionarietà questo implica che non ci sono densità di carica nel materiale

• Infatti, in condizioni stazionarie

• Dato che J = σE

• Viceversa se σ variasse si potrebbero avere densità di carica

• Ad esempio consideriamo due conduttori di conduttività diversa σ₁ > σ₂

• NB: in queste slides σ è la conduttività

• In condizioni stazionarie J deve essere lo stesso in entrambi i mezzi

• In caso contrario ci sarebbe accumulo di carica sull'interfaccia

• Significa che i campi elettrici E₁ e E₂ sono diversi: E₁ < E₂

• Il campo ha una discontinuità sull'interfaccia

• Sull'interfaccia ci deve essere una densità di carica

Velocità di deriva

• Nella diapositiva abbiamo definito la densità di corrente come

• La velocità è definita come il valor medio delle velocità degli elettroni

• Non abbiamo discusso le caratteristiche di questa velocità

• Stimiamo il valore della velocità di deriva con un esempio

• Un filo di rame lungo 1 Km è collegato ad un generatore di tensione di 6 V

• Calcolare la velocità di deriva in queste condizioni

• Quanto tempo impiega un elettrone per percorrere tutto il filo?

• Dati: ρ = 1.7 × 10⁻⁸ Ω−m n_e = 8.0×10²⁸ m⁻³ e = 1.6×10⁻¹⁹ C

• Determiniamo J

• Utilizzando la definizione di J determiniamo

• Introduciamo i valori numerici 359624

Velocità di deriva

• Rendiamoci conto di cosa vuol dire questo ordine di grandezza

• Per percorre il filo lungo 1 Km occorre un tempo

• La termodinamica ci dice che gli atomi e le molecole della materia a temperatura T non sono fermi

• Hanno un moto caotico

• Ad esempio in un gas o nel caso degli elettroni in un conduttore

• Il moto è caratterizzato da un'energia cinetica media dell'ordine di k_BT

• k_B = 1.38×10⁻²³ JK⁻¹ costante di Boltzman

• T temperatura assoluta in gradi Kelvin

• 300 K la temperatura ambiente

• Le velocità delle molecole corrispondenti a questa energia sono dell'ordine di 10⁵ m/s

• Vediamo pertanto che la velocità di deriva è molto più piccola della velocità istantanea degli elettroni

Un po' più di un anno !!