Conduzione e Corrente Elettrica
I conduttori (metallici) sono solidi costituiti da atomi disposti in maniera ordinata nello spazio, che hanno perso uno o più elettroni (negativi) che sono liberi di muoversi nello spazio tra gli ioni positivi.
sono liberi di muoversi nello spazio tra gli ioni positivi.
NA ≈ 8 1028 m-3, Ne=1÷4 NAm-3 =1÷4 x 8 1022 cm-3
In un corpo in equilibrio elettrostatico il moto degli elettroni avviene ad elevatissima velocità ma in maniera caotica: vmedmed = 0.
In presenza di un campo elettrico gli elettroni acquistano una piccola velocità nella direzione opposta al campo elettrico, vmed ≠ 0.
Questo moto di chiama corrente elettrica.
Q
In realtà si considera sempre la corrente costituita da cariche positive che In realtà si considera sempre la corrente costituita da cariche positive che, quindi, si muovono nel verso del campo elettrico.
La corrente può essere istantanea (es: tra due corpi a diverso potenziale messi a contatto), oppure stazionaria.
La corrente (stazionaria) deve circolare in un circuito, percorso chiuso
i i d iù d i ll i
costituito da più conduttori collegati.
Per ottenerla è necessario un generatore, dispositivo in grado di mantenere una d.d.p. (e quindi un campo elettrico) costante nel tempo.
Simbolo circuitale di un generatore (in continua)
Il campo elettrico prodotto dal generatore non può essere conservativo!
Il campo elettrico prodotto dal generatore non può essere conservativo!
Quindi è un Campo elettromotore che genera una forza elettromotrice
(f ) E Pil l t di lt t
(f.e.m.). Es. Pila, accumulatore, dinamo, alternatore,…
Oltre ai conduttori metallici, esistono conduttori gassosi, elettrolitici e semi-, g , conduttori!
Il moto delle cariche incontra sempre una resistenza dovuta agli urti contro Il moto delle cariche incontra sempre una resistenza, dovuta agli urti contro vari ostacoli.
M d ll li d ll d i l tt i (di D d )
Hp: n portatori di carica per unità di volume che,
Modello semplice della conduzione elettrica (di Drude)
p p p
con E = 0, si muovono con velocità termica media vt (random).
vt (random).
In presenza di un campo elettrico E all’interno del conduttore In presenza di un campo elettrico E, all interno del conduttore, prodotto da un generatore, su ogni carica, tra due urti successivi, agisce
f F E ’ l i E/ l di t f i
una forza F = e E e un’accelerazione a = e E/m, lungo una distanza fra i due urti l e per un tempo τ = l / v
Dato che la media delle velocità termiche è zero,
a ogni elettrone resta solo la velocità di deriva (drift)
=
μ E
μ si chiama mobilità del materiale.
unità di misura: μ = vd/E = m/s m/V = m2/ V s
id i il di l i h i d Se consideriamo il numero di elettroni che attraversano una sezione dΣ di un conduttore nell’unità di tempo, esso sarà (v. def. di flusso):
n dΦ (vd) = n vd dΣ cosθ con θ l’angolo tra vd e un , normale a dΣ,
Il flusso di carica (per unità di tempo) attraverso dΣ, indichiamolo con di, sarà quindi:
di = q n vd dΣ cosθ = n q vd⋅undΣ
Se chiamiamo il vettore
j = n q v
d densità di correnteAllora si ha di = j ⋅un dΣ
Chiamiamo corrente, i, la carica che , nell’unità di tempo, attraversa tutta la sezione Σ del conduttore; si ha:
j
•u
nse j e costante su tutta Σ e parallelo a un
i = j Σ e j = i / Σ
Unità di misura: i = C/s = A Ampere Unità di misura: i C/s A , Ampere
j = i/ Σ = A/m2
N.B. I portatori veri sono elettroni di carica q = - e, ma la loro velocità è opposta al campo elettrico. Quindipp p Q
j+ = n+e vd e j- = n-(-e) (-)vd sono concordi
sono concordi.
N i i d i li l li i i i i i di
Nei semiconduttori e negli elettrolitici ci sono portatori + e - quindi
jtot = j++ j- = n+e vd + n-(-e) (-)vd
In genere la carica totale che passa in ogni sezione di un conduttore è In genere la carica totale che passa in ogni sezione di un conduttore è costante (Condizione di stazionarietà della corrente).
Quindi : Quindi :
j è solenoidale, non ci sono né pozzi né sorgenti
Ma se ≠
è l i à di i d Σ
≠ 0
Equazione di continuità della corrente (o della carica (!)) q è la quantità di carica dentro Σ
q
Applichiamo il teo. della divergenzapp g
inoltre o e
Quindi l’equazione di continuità diventa Quindi l equazione di continuità diventa
da cui da cui
Forma locale dell’equazione di continuità
Ma per la legge di Gauss per cui
in forma locale la legge di Gauss è: per cui
stazionarietà:
non stazionarietà:
Leggi di Ohm
Oh h ifi t h t t i di d tt i d tti t lli i
Ohm ha verificato che per una certa categoria di conduttori, detti metallici, il rapporto tra la tensione ai capi del conduttore, V e la corrente che scorre in esso, i, è una costante, indicata con R, Resistenza del conduttore.
V/ i = R (I “Legge”)
Ri di
j E E
Riprendiamo
j = n q v
d= n q μ E = σ E
con σ = n q μ
σ , si chiama conduttività/conducibilità del materiale
La relazione j = σ E
è la legge di Ohm per la conduttività (Legge di Ohm microscopica, locale)gg p ( gg p )
Se chiamiamo ρ = 1/σ resistività (del materiale di cui è fatto il conduttore) Se chiamiamo ρ = 1/σ resistività (del materiale di cui è fatto il conduttore) allora
j E E / E j / j E / j (R V/I)
j = σ E = E / ρ E = j / σ = j ρ ρ = E / j (R = V/I)
Per un conduttore di forma irregolare in un Per un conduttore di forma irregolare, in un tratto dh di sezione Σ, si ha
E = ρ j
con
Questa è una definizione più generale di R, resistenza del conduttore.
Infatti
Se il conduttore di lunghezza h, ha sezione Σ e resistività ρ costanti la resistenza R si può scrivere come
“ II legge di Ohm”.
Unità di misura Unità di misura
R = V/ i ≡ Volt/Ampere ≡ V/A = Ohm ≡ Ω R V/ i ≡ Volt/Ampere ≡ V/A Ohm ≡ Ω
G = Conduttanza = 1/ R ≡ Ω -1 (Mho) ≡ Siemens ≡ S
ρ = ≡ Ohm cm2/cm ≡ Ω cm σ = 1/ ρ ≡ ( Ω cm) -1 = S/cm
ρ varia con la temperatura: ρ = ρ0( 1 +α Δ t) α = coefficiente termico
Effetto Joule Effetto Joule
Se una carica dq si muove nel conduttore sotto l’azione di un campo elettrico, in presenza di resistenza al moto, il campo compie il lavoro
dW = dq V = V i dt dW dq V V i dt
producendo una potenza
P
= dW/dt =iV i
2R V
2/R iV = i
2R = V
2/R
Dopo un tempo t è stato prodotto il lavoro
P
Se i è costante nel tempo: W = i2 R t
Di solito si finge che la resistenza sia tutta concentrata in alcuni elementi Di solito si finge che la resistenza sia tutta concentrata in alcuni elementi, mentre si trascura quella del resto del circuito (fili di collegamento, ecc.)
Q ti l ti i hi R i t i (R i t ) tt i t
Questi elementi si chiamano Resistori (Resistors), ognuno caratterizzato dalla sua resistenza R.
Simbolo circuitale di un resistore (resistenza!)
Più resistori possono essere collegati tra loro per ottenere valori di resistenza diversi da quella dei singoli resistori.
Due modalità: In serie, in parallelo.
Calcoliamo la resistenza equivalente nei due casi:
Calcoliamo la resistenza equivalente nei due casi:
Resistori in serie
Nei resistori in serie passa in tutti la stessa corrente, la d.d.p. dipende dalla R Dobbiamo trovare la resistenza equivalente
alla serie di R1 e R2 : Req
R = R + R Req = R1 + R2
Per n resistori in serie
Req = R1 + R2 + R3 + R4 … + Rn
N.B. Req > Max{ Ri}
La potenza totale spesa dal generatore vale :
P = (VA – VC) i = (R1 + R2) i2 = R1 i2+ R2 i2 = P1 + P2
R i t i i ll l Resistori in parallelo
Nei resistori in parallelo c’è la stessa d d p V ai Nei resistori in parallelo, c’è la stessa d.d.p. V ai capi di tutti. La corrente si divide.
In condizioni stazionarie: i = i1 + i2
Per n resistori in parallelo:
N.B.: Req < min { Ri}
Quanto valgono le due correnti i e i ? Quanto valgono le due correnti i1 e i2 ?
La potenza spesa dal generatore:
F l tt t i Forza elettromotrice
Per la I legge di Ohm la d.d.p. ai capi di un conduttore di resistenza R è:
Se il circuito è costituito dal solo conduttore l’integrale circuitale diviene
e rappresenta la Forza Elettromotrice (f.e.m.) che fa circolare la corrente, prodotta dal generatore nella resistenza totale R
prodotta dal generatore, nella resistenza totale RT
Se l’integrale circuitale non è 0, il campo E non può essere elettrostatico e conservativo!
All’interno del generatore ci sono forze di natura non elettrostatica che provocano il moto delle cariche. Tali forze possono essere di varia natura:
chimica, elettromagnetica,…
Ovviamente nel generatore è presente anche un campo elettrostatico Eel che, però, farebbe muovere le cariche in senso opposto al campo E*, ed e minore di E*.
E* è presente solo nel generatore, quindi
E
Il generatore possiede anche una sua resistenza interna r della quale si dovrebbe sempre tener interna r, della quale si dovrebbe sempre tener conto.
Quindi per il semplice circuito in figura si ha:
( )
E E
E
= (r + R) i
e può disegnare l’andamento a fianco:
E E
e può disegnare l andamento a fianco:
Partitore resistivo Partitore resistivo
Se ci sono n resistori in serie ai capi di Se ci sono n resistori in serie, ai capi di ognuno si ha la d.d.p., Vi:
ma VAB = E - r i < E
C i i i
Carica di un condensatore attraverso un resistore (Circuito RC)
Per t < 0, circuito aperto, non circola corrente, VC = 0
A t = 0, il tasto T viene chiuso, inizia a circolare corrente.
Applichiamo la Legge di Ohm:
τ =
S i i ( i )
Scarica di un condensatore (carico) attraverso un resistore
Per t < 0, C carico, < T aperto, non scorre corrente
A t = 0, si chiude T, inizia a scorrere corrente, , da + a −
q: carica sul condensatore
C i
Corrente di spostamento
Durante la carica o scarica del condensatore nel circuito scorre corrente anche se il condensatore è una interruzione del circuito.
Ogni +dq che si accumula sulla faccia sup. di C induce una carica –dq sulla faccia inferiore, che allontana una carica +dq e fa proseguire il moto di cariche.
Chiamiamo questa corrente fittizia tra le armature del condensatore Corrente di Spostamento, ip , ss
Per un C f p p Per un C.f.p.p.
La corrente di spostamento dipende dalla variazione nel tempo del flusso di E. C’è finche Φ(E) varia.
Definiamo densità di CdS:
In un circuito RC durante la carica o la scarica la corrente è formata da due componeneti
ic e jc: nei conduttori
f l t d l C f
fra le armature del C.f.p.p.
Se nel condensatore c’è un dielettrico di cost. diel. realtiva k si moltiplica ε0 per k.
Leggi di Kirchhoff per le reti elettriche
Reti elettriche: circuiti più complessi.
Contengono nodi, rami e maglie
N d t l l l t d tt i
Nodo: punto nel quale convergono almeno tre conduttori
Ramo: tratto di circuito tra due nodi. (Può contenere elementi attivi o passivi)
Maglia: cammino chiuso di più rami.
N.B. Un ramo può appartenere a più maglie.
L’ li i d ll i ò l l (V C di L’analisi delle reti può essere molto complessa. (V. Corso di Elettrotecnica).
Si usano le due Leggi di Kirchhoff.
I) (Legge dei Nodi): La somma algebrica delle correnti entranti in un nodo deve essere nulla
nodo deve essere nulla
Σ
ki
k= 0
II) (Legge delle maglie): La somma algebrica delle f.e.m. presenti nei rami della maglia deve essere uguale alla somma dei prodotti
R
ki
kΣ R i = Σ E
Σ
kR
ki
k= Σ
kE
kI segni delle f.e.m. e dei prodotti Rg p kk kik (d.d.p.) si ricavano dalle seguenti( p ) g regole:
1) Si fi bit i t iti
1) Si fissa arbitrariamente come positivo un verso di percorrenza della maglia. (es. orario).
2) se nel k-esimo ramo la corrente è concorde con il verso scelto, Rk ik si prende positivo, altrimenti si prende negativo.
3) se una f.e.m. viene attraversata dalla corrente arbitraria dal – al +, di prende positiva, altrimenti negativa.
E Es.:
VP + E1 - R1i1+E2 - R2i2 - E3 - R3i3 –Ek - R4i4 = VP E1 +E2 - E3 -Ek = R1 i1 + R2 i2 + R3 i3 + R4 i4
Strumenti di misura di I e V Strumenti di misura di I e V
Per misurare la corrente si deve aprire il circuito e inserire uno strumento nel quale scorra la corrente da misurare.
Amperometro, milli- , micro-, Galvanomtrop , , ,
h l h i i d l
Anche l’amperometro ha una sua resistenza interna! Ideale: rg = 0 !
L i è V/R V/(R ) La corrente misurata non è V/R ma V/(R+rg)
Shunt
Se si mette in parallelo all’amperometro una resistenza di “shunt” più Se si mette in parallelo all amperometro una resistenza di shunt più piccola di rg ( ad es. 1/9 rg), la maggior parte della corrente passa nello
h t (9/10) 1/10 ll’A t
shunt (9/10) e 1/10 nell’Amperometro.
Così si può aumentare di 10 volte la massima corrente che si può misurare.
Misure di d d p Misure di d.d.p
.Per misurare la d d p tra due punti di un Per misurare la d.d.p. tra due punti di un circuito si deve sfrutta la misura di i e la si moltiplica per R Si deve mettere lo moltiplica per R. Si deve mettere lo strumento (Voltmetro, milli-, micro-,…,
El ) i ll l l i i i
Elettrometro) in parallelo al circuito tra i due punti.
La resistenza interna del voltmetro deve essere molto alta così che ci passi pochissima corrente
pochissima corrente.
Ma la corrente che ora scorre nel circuito i’ è > della precedente i e il prodotto i’R ≠ iR.