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Esercizio 1. Sia f data da

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Academic year: 2021

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Analisi Matematica II

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 14/5/2014

A.A. 2014/2015

Esercizio 1. Sia f data da

f (x, y) =

{ x

2

y

3

+x

4

y

4

x

4

+y

4

, (x, y) ̸= (0, 0), 0, (x, y) = (0, 0).

Studiare la continuit` a e la differenziabilit` a di f in (0, 0).

Esercizio 2. Sia

f n (x) = 1 n arctan

( (x + n) 2 n

)

, x ∈ R.

Studiare la convergenza puntuale e uniforme della successione (f n ) n ∈N . Discutere inoltre la convergenza della serie

n ∈N

f n (x).

Esercizio 3. Calcolare ∫

E

xydxdy,

dove E = {(x, y) ∈ R 2 : 0 < x ≤ y ≤ 2x, 1 ≤ xy ≤ 2}.

Esercizio 4. (a) Studiare qualitativamente la soluzione y(t) del problema di Cauchy {

y = e t (y 2 − 4), y(1) = 0.

(b) Risolvere il problema stesso e verificare i risultati ottenuti nel punto (a).

Esercizio 5. Calcolare il seguente integrale ∫

γ

(z + 1) 2 e

zi

dz,

dove γ ` e la circonferenza di raggio 3 centrata nell’origine e percorsa in senso antiorario.

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