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Analisi Matematica II Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova scritta del 14/01/2014 A.A. 2012/2013

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Analisi Matematica II

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova scritta del 14/01/2014

A.A. 2012/2013

Esercizio 1. Si consideri la serie

+

n=1

2 n x 2n n 2 + 9 .

(a) Determinare il raggio di convergenza e l’insieme di convergenza della serie di potenze.

(b) In quale intervallo converge totalmente?

Esercizio 2. Calcolare il volume della regione

E = {(x, y, z) ∈ R 3 | x 2 + y 2 ≤ 4,

x 2 + y 2 ≤ z ≤ 8 − (x 2 + y 2 ) }.

Esercizio 3. Si consideri la funzione

f (x, y) =

{ x

3

−3x

2

y

3x

2

+y

2

, (x, y) ̸= (0, 0);

0, (x, y) = (0, 0).

(a) f (x, y) ` e continua in (x, y) = (0, 0)?

(b) Calcolare la derivata direzionale di f (x, y) in (0, 0) lungo la direzione u = (1, 1).

(c) f (x, y) ` e differenziabile in (x, y) = (0, 0)?

Esercizio 4. Si studi qualitativamente il problema di Cauchy {

y = y(y − 2), y(1) = 1,

e se ne calcoli la soluzione esplicita.

Esercizio 5. Si calcoli il seguente integrale ∫

R

cos x

1 + x 2 dx.

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