Meccanica 3

(1)

Meccanica 3

7 marzo 2011 Cinematica in due dimensioni

Vettore spostamento. Velocita` media e istantanea Componenti cartesiane e polari. Velocita` azimutale Coordinata curvilinea

Accelerazione media e istantanea Accelerazione in coordinata curvilinea Cerchio osculatore

Moto circolare. Moto circolare uniforme e sue proiezioni cartesiane Vettore velocita` angolare

(2)

Moto su di un piano

• Ovvero moto in due dimensioni

• Ora è necessario specificare due coordinate per individuare compiutamente il moto di un corpo

• Scelte più frequenti:

– Coordinate cartesiane – Coordinate polari

• Mentre nel moto rettilineo la natura vettoriale di una grandezza era manifestata dal segno, ora dobbiamo introdurre il formalismo vettoriale in modo compiuto

• Molto di quanto diremo per un piano può estendersi immediatamente allo spazio

2

(3)

Vettori su di un piano

• Spostamento, velocità e accelerazione sono grandezze vettoriali

• Ogni vettore su di un piano può essere espresso come somma di due vettori

• Per lo spazio: ogni vettore può essere espresso come somma di tre vettori

• Tra i vettori ce ne sono di particolari, detti versori o vettori unitari, in quanto hanno intensità unitaria e dimensioni fisiche nulle

3

(4)

Vettore posizione

• Il vettore posizione si può quindi scrivere – In coord. cartesiane

– In coord. polari

• Ove le funzioni che moltiplicano i versori sono le proiezioni del vettore lungo le

direzioni dei versori stessi

• Similmente in tre dimensioni – In coord. cartesiane

– In coord. sferiche





r t

 

^{ x t}

 

^u^x  y t

 

^u^y

 

^t ^

 

^t ^u_ ^u_

r    0





r t

 

^{ x t}

 

^u^x  y t

 

^u^y  z t

 

^u^z

   

^t ^r ^t û û_ û_

r  _r  0  0

4

(5)

Vettore posizione

• Una importante differenza tra sistema cartesiano e polare è che nel primo

l’orientazione dei versori è indipendente dal particolare vettore posizione e quindi dal tempo, mentre nel secondo in generale dipende da questi

5

(6)

Vettore spostamento

• È la differenza di due vettori

posizione, ad esempio e





r t

 





r t



 t







r t

 

^{ }^{r t}



^{ t}



^{ }^{r t}

 





r t

 





r t



 t







r t

 





r t

 





r t



 t







r t

 

6

(7)

Vettore spostamento

• In coordinate cartesiane lo spostamento si può esprimere

• Ove non c’è ambiguità sui versori da usare, in quanto sono gli stessi per i due vettori posizione





r t

 

^{ x t  t}

  

^{ x t}

  

^u^^x ^{ y t  t}

 ^ ^

^{ y t}

^{ } 

^u^^y





r t

 





r t



 t







r t

 

7

(8)

Vettore spostamento

• In coordinate polari lo spostamento si può esprimere con i versori relativi a

• Ciò in pratica equivale a proiettare lungo e lungo la direzione perpendicolare, 

 

^t



^



^t ^t

  

^ ^t



^u_



^r_



^t ^t



^r_

 

^t



^u_

r          







r t   





r t    t 





r t

 





r t

 





r t



 t







r t

 

8

(9)

Vettore velocità

• Similmente a quanto fatto nel caso

unidimensionale, definiamo la velocità media come

• Che è da intendersi, in coordinate cartesiane, come

• Cioè come la coppia di velocità medie lungo x e y





v _m  r t

 

t  r t



 t



^{ }^{r t}

 

t





v _m  r t

 

t 



x t



 t



^{ x t}

  

t u _x 



y t



 t



^{ y t}

  

t u _y

9

(10)

Vettore velocità

• La velocità istantanea è, di nuovo, il limite della velocità media quando l’intervallo di tempo tende a zero:





v  lim

t 0

r t

 

t  lim

t 0

x t



 t



^{ x t}

 

 

t u _x  lim

t 0

y t



 t



^{ y t}

 

 

t u _y 

 dx dt

u _x  dy dt

u _y  v_xu _x  v_yu _y

10

(11)

Vettore velocità

• In coordinate polari avremo

• Ove ora la coppia di velocità è formata dalla velocità radiale (cioè lungo  ) e da quella azimutale (cioè lungo  )

         ^ ^ ^{ } 





 u

t

t r t

t u r

t

t t

t

v_m r  









 







 



 

11

(12)

Vettore velocità

• E per la velocita` istantanea:

• È importante esprimere in altro modo la velocità azimutale

   

   ^ ^ ^{ } 













u v u

v dt u

u dr dt d

t u

t r t

t u r

t

t t

t dt

r v d

t t



 











 





 







 

 lim0 lim0

12

(13)

Vettore velocità

• Se l’intervallo di tempo è infinitesimo, anche il vettore spostamento sarà

tale _



d r  d  u ^

_

  d  u ^

_





dr t

 





r t

 





du ^_





du ^_



^t ^dt



r 

13

(14)

Vettore velocità

• Per trovare la velocità basta dividere lo spostamento per l’intervallo di tempo:

• Dal confronto con l’espressione

precedentemente trovata, abbiamo che la velocità azimutale è





d r

dt  d  dt

u 

_

  ^d  dt

u 

_

dt d dt

dr

^

  

14

(15)

Vettore velocità

• Interpretazione geometrica del vettore velocita` media:

• la direzione e` quella della secante alla traiettoria percorsa dal corpo in moto, individuata dai vettori e

• il modulo e` il rapporto tra il modulo del vettore spostamento e l’intervallo di tempo necessario a percorrerlo

 

t t v_m r



 

 

^t

r





r t



 t







r t

 





r t



 t







r t

 

^t

r





r t



 t







r t

 

Considerazioni indipendenti dal sistema di riferimento

15

(16)

Vettore velocità

• Interpretazione geometrica del vettore velocita`

istantanea: la direzione e` quella della tangente alla traiettoria percorsa dal corpo in moto, al tempo t

• il modulo e` il limite del rapporto tra il modulo del vettore spostamento e l’intervallo di tempo

necessario a percorrerlo

 

^t

r





r t



 t



 

^t

r

 

^t

r





r t



 t







r t

 

t t v r

t 

 





 

lim0

 

^t

v

 

^t

v

16

(17)

Velocita`: riassunto

• Velocita` in coordinate cartesiane:

• Componenti:

• Modulo:

• Velocita` in coordinate polari:

• Componenti:

• Modulo:

y y x

x

u v u

v

v     





u v u

v

v     dt

v_x  dx

dt v_y  dy

2 2

2

2 



 



 



 



 



 dt

dy dt

v dx v

v _x _y

dt v d

 

dt v_   d

2 2

2

2 



 



 



 



 



 dt

d dt

v d v

v   





Generalizzabile Immediatamente al moto nello spazio

17

(18)

Coordinata curvilinea

• Il moto lungo la traiettoria puo` essere descritto mediante una coordinata curvilinea s, misurata da un’origine arbitraria sulla traiettoria

• s esprime la lunghezza della traiettoria

• ds/dt esprime la variazione temporale della posizione sulla traiettoria, cioe` la velocita` istantanea

• Con questa scelta, il vettore velocita` e` determinato, istante per istante, dal modulo (ds/dt) e dal versore u_T che individua la

direzione della tangente alla curva

 

T

T uT vu

dt ds dt

u ds dt

t r

v d   

     

O

 ^t₁

v

 ^t₂

v

 t₁

u_T u_T t₂

 

^t ^ds ^u_T

r

d   

18

(19)

Un risultato importante

• Nel definire la velocita` abbiamo introdotto il versore u_T

• Calcoliamo ora la derivata di u_T rispetto al tempo, tale risultato ci sara` utile nello studio dell’accelerazione

 t u_T

t t

u_T 







 ^u^_T

 

^t



^t ^t



u_T 



^t ^t



^u

 

^t

u_T    _T





19

(20)

Un risultato importante

• Troviamo la differenza dei versori u_T calcolati nei due istanti di tempo, con considerazioni geometriche

• La direzione sia individuata da un versore e, che dipende pure dai due istanti di tempo

• Il modulo e` dato dalla formula trigonometrica

• Avremo ^u_T



^t ^t



^u_T

 

^t ^e



^t ^^t





 



  





 ,

sin 2

2 



 

 

^t

u_T



^t ^t



u_T 

 2





 



  sin 2

2 

20

(21)

Un risultato importante

• La derivata e` dunque il limite del rapporto

• Facendo opportune manipolazioni algebriche e applicando il teorema del limite di un prodotto :

• Il primo termine vale 1, il secondo termine e` la

derivata temporale dell’angolo , il terzo termine e` il versore u_N perpendicolare a u_T e rivolto verso la

convessita` locale della traiettoria

 

^e



^t ^t



t dt

t u d

t t

t

T  



 



 







 











 lim lim ,

2 2 lim sin

0 0

0

  



   

_^



^



_^



 















 e t t

t t

t u t

t u

t T

T

t sin 2 ,

2 lim

lim0 0

 

 

 

^u

 

^t

dt d dt

t u d

N

T 

 _ 

In modo simile avremmo potuto calcolare la velocita`

a partire dal vettore posizione

 ^t

u_T

 ^t

u_N 21

(22)

Analogamente

• Possiamo ripetere le considerazioni anche per il versore 

• Il terzo termine e` ora il versore 

 

^e



^t ^t



t dt

t d

t t

t  



 



 







 











 lim lim ,

2 2 lim sin

ˆ

0 0

0

 





   

_^







_^



 















 e t t

t t

t

t sin 2 ,

2 ˆ lim

lim ˆ

0 0







   

^t

dt d dt

t

d



^ˆ

 

_ˆ



22

 ^t

 t ˆ

^ˆ





(23)

Analogamente

• Idem per il versore 

• Il terzo termine e` ora il versore -

 

^e



^t ^t



t dt

t d

t t

t  



 



 







 











 lim lim ,

2 2 lim sin

ˆ

0 0

0

 



   

_^



^



_^



 















 e t t

t t

t

t sin 2 ,

2 ˆ lim

lim ˆ

0 0







   

^t

dt d dt

t

d

  

ˆ ˆ





23

 t

ˆ



 t

^ˆ





(24)

Velocita` in coordinate polari

• Con i risultati raggiunti possiamo ri- calcolare facilmente la velocita` in coordinate polari 

• Che e` l’espressione ottenuta precedentemente

               

         

^t

dt t t d

dt t t d dt

t t

d dt

t r v d

 



 



 ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ









 



24

(25)

Vettore accelerazione

• E` definito come

• Usando per convenienenza la coordinata

curvilinea, eseguiamo la derivata della velocita`:

• Mentre per definire la velocita` basta il vettore

u_T

, per l’accelerazione ne servono, in generale, due:

u_T

e

u_N

 

dt t v a d

 

      

^T

        

_T ^T _T û_N â_T â_N

dt v d dt u

dv dt

t u t d v t

dt u t dv dt

t u t v d dt

t v

a d     

 

          

25

(26)

Vettore accelerazione

• Il primo va a costituire l’accelerazione

tangenziale cioe` tangente alla traiettoria: e`

relativo alla variazione di modulo della velocita`

• Il secondo l’accelerazione normale, cioe`

perpendicolare alla traiettoria e verso la

convessita` di questa: e` relativo alla variazione di direzione della velocita`

T

T u

dt a  dv 

N

N u

dt v d

a  



 t

v vtt

aN

aT

26

(27)

Moto circolare

• Sono i moti che avvengono lungo una circonferenza

• Poiche’ la velocita` cambia direzione

continuamente, deve essere sempre presente un’accelerazione

• Se la velocita` e costante in modulo il moto si dice uniforme

• Si puo` descrivere il moto o con la coordinata curvilinea s o con la coordinata angolare  ,

corrispondente all’angolo al centro sotteso da s

 R s 

27

(28)

Moto circolare

• Similmente a quanto fatto per il moto unidimensionale, si definiscono

– Posizione angolare 

– Spostamento angolare 

– Velocita` angolare media

– Velocita` angolare istantanea

– Accelerazione angolare media

– Accelerazione angolare istantanea

m t

 



dt d

 

m t



 



2 2

dt d dt

d 

  

28

(29)

Moto circolare

• In un moto circolare la velocita` radiale e`

sempre nulla, poiche’ il raggio vettore non cambia in modulo (ma solo in direzione)

• La velocita` coincide quindi con la velocita`

azimutale

• La velocita` e` costante se e solo e` tale la velocita` angolare

 

  R

dt v d

v   

 0

 dt v d



 

^t ^R

 

^t

v  

29

(30)

Moto circolare uniforme

• Il modulo della velocita` e` costante

• Quindi l’accelerazione tangenziale e` nulla

• Rimane l’accelerazione normale (centripeta)

• Il moto e` periodico con periodo T pari al tempo di percorrenza della circonferenza:





 2

2 

 v T R

R R a v

a _N ²

2 



30

(31)

Moto circolare non uniforme

• Cioe` il modulo della velocita` non e` costante

• In questo caso c’e` accelerazione tangenziale

• Inoltre l’accelerazione centripeta non e`

costante, cio` e` conseguenza della formula che la lega alla velocita`:

• Inoltre dalla relazione tra velocita` e velocita`

angolare segue che quest’ultima non e`

costante e quindi esiste un’accelerazione angolare

R a_N v

 2

R v  

aT

R dt

dv R R

v dt

d dt

d 1 1



 



 



 

 



31

(32)

Esempio: moto circolare uniformemente accelerato

• Cioe` con accelerazione angolare costante

• Dalla formula precedente cio` equivale ad avere un’accelerazione tangenziale costante

• Integrando l’equazione che definisce  , troviamo per la velocita` angolare:

• E l’accelerazione centripeta risulta dipendente dal tempo:

^a_N ^^²^R ^ ^R



^₀ ^^^t



²



t



 

₀



32

(33)

Moto circolare uniforme

• Se proiettiamo il moto sui due assi cartesiani, con origine nel centro della circonferenza:

• Ove 0 e` il valore assunto dall’angolo al tempo t=0

• Abbiamo ottenuto l’importante risultato che il moto circolare uniforme puo` essere pensato come la sovrapposizione

vettoriale di due moti armonici di ugual ampiezza, sfasati di un

quarto di periodo



₀



cos











 R R t

x



₀



sin

sin     



R R t

y

 R

33

(34)

Esercizio

• Trovare il moto risultante dalla sovrapposizione dei due moti lungo x e y

t R

x  cos



t R

y  cos



34

(35)

Esercizio

• Dati i due moti lungo x e y

• Trovare: a) l’equazione della traiettoria,

eliminando il tempo dalle equazioni;

b) l’espressione della distanza radiale  (t);

c) l’espressione della coordinata angolare  (t);

d) il vettore velocita` in coordinate cartesiane;

e) il vettore velocita` in coordinate polari t

a

x  cos 

t b

y  sin 

35

(36)

Esercizio

• 1) n. 2.24 pag 47 MNV

36

(37)

Vettore velocita` angolare 

• Possiamo considerare la velocita` angolare del moto circolare un vettore

• Il modulo e`

• La direzione e` perpendicolare al piano del moto circolare

• Il verso e` determinato con 2^a regola della mano destra:

e` indicato dal pollice e la rotazione dalle altre quattro dita

• Introduciamo il concetto di asse di rotazione: e` la retta perpendicolare al piano del moto circolare passante per il centro della circonferenza

• Si deve pensare che il vettore  sia applicato ad un punto (per altro arbitrario) dell’asse di rotazione

dt d

 

37

(38)

Vettore velocita` angolare 

• Grazie ad  possiamo esprimere la velocita` come

• Ove r e` il vettore distanza tra il punto di applicazione di v e quello di  (punto arbitrario sull’asse di rotazione)

• Derivando  rispetto al tempo otteniamo il vettore accelerazione angolare 

• Calcoliamo l’accelerazione a con le due componenti tangenziale e centripeta:

r v   

v r



 

N

T a

a v

r

dt r r d

dt r d

dt d dt

v a d



 





























 

 v

r



a_T a_N



38

(39)

Esercizio

• Un punto P si muove di moto rettilineo

• Un osservatore O, che non giace sulla retta percorsa da P, vede il punto muoversi con velocita` angolare 

• Trovare come varia  in funzione della posizione di P

P

O h 

39

(40)

Cerchio osculatore

• Consideriamo una traiettoria planare

• In un suo punto arbitrario P tracciamo una circonferenza:

abbiamo possibilita` doppiamente infinite di scelta, corrispondenti alle due coordinate del centro della circonferenza

• Se chiediamo inoltre che la

circonferenza abbia in P la stessa tangente della traiettoria, la scelta si riduce a semplicemente infinita, corrispondente alla lunghezza del raggio della circonferenza (il

centro deve infatti trovarsi sulla retta perpendicolare in P alla tangente)

P

40

(41)

Cerchio osculatore

• Se inoltre chiediamo che in P la derivata seconda del

cerchio sia uguale a quella della traiettoria, abbiamo una sola possibilita` di scelta

• Questa circonferenza,

determinata univocamente, prende il nome di

circonferenza osculatrice (CO)

P

• Essa rappresenta la circonferenza che meglio approssima localmente la traiettoria

• Il raggio R della circonferenza e` detto raggio di curvatura della traiettoria

• In generale la CO varia da punto a punto (o istante per istante) lungo la traiettoria, cioe` variano la posizione del centro e la lunghezza del

raggio ⁴¹

(42)

Cerchio osculatore: casi particolari

• Nei punti di flesso della

traiettoria la derivata seconda cambia segno (cioe` si annulla)

• In questo caso la circonferenza degenera in una retta

• Ovvero si puo` immaginare che il raggio di curvatura diventi

infinitamente grande

• Nei punti angolosi non si puo`

definire un cerchio osculatore

• Tutt’al piu` si puo definirne uno a destra e un altro a sinistra del punto

P

42

(43)

Accelerazione e cerchio osculatore

• Vediamo ora che relazione esiste tra velocita` sulla traiettoria e

circonferenza osculatrice

• Sia C il centro della CO

• Accanto alla coordinata curvilinea s sulla traiettoria, introduciamo anche sulla CO una coordinata curvilinea s’

• Consideriamo uno spostamento infinitesimo nel punto P, questo si puo` scrivere, per definizione di CO: ds=ds’ (a meno di termini di ordine superiore a due)

• Se ora introduciamo l’angolo  con vertice in C e semiretta

origine CP, possiamo scrivere lo spostamento infinitesimo lungo la CO in termini di quest’angolo e del raggio R della CO: ds’=Rd

• Otteniamo infine ds=Rd

P C

C R d

P

43

(44)

Accelerazione e cerchio osculatore

• Se ora dividiamo entrambi i membri per l’intervallo di tempo infinitesimo dt, otteniamo una relazione di uguaglianza tra la velocita` lungo la traiettoria e sulla CO:

• Inoltre, si puo` dimostrare che l’angolo d definito dalle

perpendicolari alle tangenti in due punti infinitamente vicini della traiettoria coincide con l’angolo d della CO, quindi

• La componente normale dell’accelerazione si puo` dunque scrivere (in modulo):

• Tale componente e` anche detta centripeta, poiche’ punta sempre, istante per istante, verso il centro del cerchio osculatore

CO a

traiettori v

dt R d dt

v  ds   

R v dt v d a_N

 2

 

dt R d v _ 

44