Alcuni esercizi svolti sulla circonferenza
Esercizio 132
Scrivi l’equazione della circonferenza che ha centro in 𝐶(−2; 0) e passa per 𝑃(4; 2).
Svolgimento:
Tale circonferenza avrà raggio 𝑅 = 𝐶𝑃 = √36 + 4 = √40 Essendo noto il centro, la sua equazione sarà data da
(𝑥 + 2)2+ 𝑦2 = 40 𝑥2 + 𝑦2+ 4𝑥 − 36 = 0 Esercizio 143
Scrivi l’equazione della circonferenza di diametro 𝐴𝐵, dove 𝐴(−2; 0) e 𝐵(4; 2).
Svolgimento:
È sufficiente osservare che il centro della circonferenza ricercata è il punto medio di 𝐴𝐵.
𝐶 = 𝑀(1; 1) Il raggio della circonferenza ricercata sarà dato da
𝑅2 = 𝐴𝐶2 = 9 + 1 = 10 L’equazione della circonferenza sarà
(𝑥 − 1)2+ (𝑦 − 1)2 = 10 𝑥2+ 𝑦2− 2𝑥 − 2𝑦 − 8 = 0 Esercizio 150
Scrivi l’equazione della circonferenza passante per i punti 𝐴(−1; 0), 𝐵(2; 0) e 𝐶(1; 1).
Svolgimento:
Ricordando la generica equazione della circonferenza 𝑥2 + 𝑦2+ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
imponiamo il passaggio per i tre punti considerati e risolviamo il sistema.
{ 1 − 𝑎 + 𝑐 = 0 4 + 2𝑎 + 𝑐 = 0 2 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0
⟹ {𝑎 = 𝑐 + 1 → 𝑎 = −1 3𝑐 + 6 = 0 → 𝑐 = −2
2 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0
𝑏 = −2 − 𝑎 − 𝑐 = −2 + 1 + 2 = 1 La circonferenza ricercata avrà equazione
𝑥2 + 𝑦2− 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 Esercizio 160
Determina l’equazione della circonferenza passante per i punti 𝐴(−1; 0) e 𝐵(3; 0), avente centro sulla retta 𝑟 ∶ 2𝑥 − 𝑦 = 0.
Svolgimento:
Il generico centro della circonferenza sarà del tipo 𝐶(𝑥; 2𝑥)
Imponiamo che la distanza dei due punti assegnati dal centro sia uguale.
𝐴𝐶2 = 𝐶𝐵2
(𝑥 + 1)2+ (2𝑥)2 = (𝑥 − 3)2+ (2𝑥)2
|𝑥 + 1| = |𝑥 − 3|
Sciogliendo i moduli, l’unica equazione possibile è 𝑥 + 1 = −𝑥 + 3 da cui 𝑥 = 1 e il centro sarà 𝐶(1; 2).
Il quadrato del raggio sarà
𝑅2 = 4 + 4 = 8 L’equazione della circonferenza ricercata sarà quindi
(𝑥 − 1)2+ (𝑦 − 2)2 = 8 𝑥2+ 𝑦2− 2𝑥 − 4𝑦 − 3 = 0 Esercizio 167
Determina le equazioni delle circonferenze passanti per i punti 𝐴(−1; 0) e 𝐵(3; 0), aventi raggio 𝑟 = 2√2.
Svolgimento:
Ricordando la generica equazione della circonferenza 𝑥2 + 𝑦2+ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 e la formula per il calcolo del raggio
𝑟 = √𝛼2+ 𝛽2− 𝑐 = √(𝑎
2)2+ (𝑏 2)
2
− 𝑐
Imponiamo il raggio soddisfi tale relazione e le condizioni di passaggio per i due punti considerati.
{ 𝑎2
4 +𝑏2
4 − 𝑐 = 8 1 − 𝑎 + 𝑐 = 0 9 + 3𝑎 + 𝑐 = 0 Dalla seconda equazione si ha
𝑎 = 𝑐 + 1 e sostituendo tale quantità nella terza, si ottiene
12 + 4𝑐 = 0 ⟹ 𝑐 = −3 nonché
𝑎 = −2
A questo punto, considerando la prima equazione e sostituendo in essa i valori ottenuti, abbiamo che
𝑏2 = 16 ⟹ 𝑏 = ±4 Le circonferenze ricercate sono quindi
𝑥2+ 𝑦2− 2𝑥 ± 4𝑦 − 3 = 0 Esercizio 171
Scrivi le equazioni delle circonferenze che hanno centro in 𝐶(−1; 0) e sono tangenti alla retta 𝑟 ∶ 𝑥 = 0.
Svolgimento:
Ricordando la generica equazione della circonferenza 𝑥2 + 𝑦2+ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 le coordinate del centro sono date da 𝐶 (−𝑎2; −𝑏2), da cui
𝑎 = −2(−1) = +2 e
𝑏 = 0
A questo punto, intersechiamo la circonferenza con la retta 𝑟 e – una volta sostituiti i valori di 𝑎 e 𝑏 – imponiamo la condizione di tangenza Δ = 0.
𝑦2+ 𝑐 = 0
Δ = 0 ⟹ −4𝑐 = 0 ⟹ 𝑐 = 0 L’equazione ricercata sarà
𝑥2 + 𝑦2+ 2𝑥 = 0 Esercizio 176
Scrivi l’equazione della circonferenza tangente alla retta 𝑟 ∶ 𝑦 = −2 nel punto 𝑃(2; −2) e avente centro sulla retta 𝑠 ∶ 𝑦 = 𝑥.
Svolgimento:
Ricordando l’equazione della generica circonferenza 𝑥2 + 𝑦2+ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 imponiamo il passaggio per 𝑃
8 + 2𝑎 − 2𝑏 + 𝑐 = 0 intersechiamola con la tangente
𝑥2+ 𝑎𝑥 + 4 − 2𝑏 + 𝑐 = 0 e imponiamo che il centro appartenga ad 𝑠
𝐶 ∈ 𝑠 ∶ 𝑦 = 𝑥 ⟹ −𝑎
2 = −𝑏
2 → 𝑎 = 𝑏 Dalla prima e dalla terza equazione ottenute si ha
𝑐 = −8
Imponendo la condizione di tangenza ed effettuando opportune sostituzioni, si giunge a
𝑥2 + 𝑎𝑥 − 2𝑎 − 4 = 0
Δ = 0 ⟹ 𝑎2 + 8𝑎 + 16 = 0 ⟹ (𝑎 + 4)2 = 0 ⟹ 𝑎 = −4 da cui
𝑏 = 𝑎 = −4 e la circonferenza ricercata avrà equazione
𝑥2+ 𝑦2− 4𝑥 − 4𝑦 − 8 = 0
Esercizi tratti da:
Sasso L., La matematica a colori – Edizione Blu PLUS, vol. 3, Novara, Petrini, 2016