ESERCIZI Modulo di Matematica ed Informatica Corso di Laurea in Farmacia - anno acc. 2012/2013
docente: Giulia Giantesio, gntgli@unife.it Esercizi 9: Regressione Lineare
Esercizio 1. Si vuole studiare la relazione che intercorre tra la temperatura e il tempo (in minuti) di sopravvivenza di certi micro-organismi. Si sono rilevati i seguenti dati:
Temperatura Tempo di sopravvivenza
20 10
24 12
28 18
30 24
32 22
36 20
a) Calcolare il coefficiente di correlazione r e commentare il risultato.
b) Determinare l’equazione della retta dei minimi quadrati.
c) Determinare la temperatura per cui un micro-organismo sopravvive per 15 minuti.
Soluzione .
a) Calcoliamo le medie dei valori di X e Y : x =20 + 24 + 28 + 30 + 32 + 36
6 = 170
6 = 28, 3333◦C e
y = 10 + 12 + 18 + 24 + 22 + 20
6 = 106
6 = 17, 6667 min.
Per calcolare il coefficiente di correlazione e in seguito l’equazione della retta dei minimi quadrati `e utile compilare la seguente tabella.
xi xi− x (xi− x)2 yi yi− y (yi− y)2 xi· yi
20 -8,33 69,44 10 -7,67 58,83 200
24 -4,33 18,75 12 -5,67 32,15 288
28 -0,33 0,11 18 0,33 0,11 504
30 1,67 2,79 24 6,33 40,07 720
32 3,67 13,45 22 4,33 18,75 704
36 7,67 58,83 20 2,33 5,43 720
TOT. 163,37 155,34 3136
1
Dunque
r =
n
X
i=1
xi· yi
− nx · y v
u u t
n
X
i=1
(xi− x)2·
n
X
i=1
(yi− y)2
=
= 3136 − 6 · 28, 3333 · 17, 6667
√163, 37 · 155, 34 ≃ 0, 8228
la retta `e un buon modello, quindi ha senso calcolare l’equazione della retta dei minimi quadrati.
b) Determiniamo ora l’equazione della retta dei minimi quadrati y = mx + q, dove
m =
n
X
i=1
xi· yi
− nx · y
n
X
i=1
(xi− x)2
=
= 3136 − 6 · 28, 3333 · 17, 6667
163, 37 ≃ 0, 812
e
q = y − m x = 17, 6667 − 0, 812 · 28, 3333 ≃ −5, 34 dunque l’equazione della retta dei minimi quadrati `e
y = 0, 812 x − 5, 34.
18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38
8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
Temperatura
Tempo di sopravvivenza
c) Poniamo y = 15 min, allora la temperatura per cui il micro-organismo so- pravvive `e data da:
x = y + 5, 34
0, 812 = 15 + 5, 34
0, 812 ≃ 25◦C.
Esercizio 2. Si vuole studiare la relazione che intercorre tra il numero di anni di studio di spagnolo e il punteggio ottenuto in un test di conoscenza della lingua. Si valuta il risultato ottenuto da 10 persone scelte a caso tra i partecipanti al test.
Anni di studio 3 4 4 2 5 3 4 5 3 2
Punteggio 57 78 72 58 89 63 73 84 75 48
a) Calcolare il coefficiente di correlazione r e commentare il risultato.
b) Determinare l’equazione della retta dei minimi quadrati.
c) Determinare che punteggio ci si aspetta di ottenere da una persona che studia spagnolo da 6 anni.
Soluzione . a) r = 0, 911
b) y = 10, 905 x + 31, 533
c) y = 10, 905 · 6 + 31, 533 = 96, 963 ≈ 97.
Esercizio 3. In un gruppo di 5 adulti la somministrazione di un farmaco in dosi diverse ha determinato le seguenti diminuzioni di pressione.
Dose in mg Diminuzione di pressione in mm Hg
8 9
13 17
16 19
21 24
23 24
a) Calcolare il coefficiente di correlazione r e commentare il risultato.
b) Determinare l’equazione della retta dei minimi quadrati.
Soluzione. a) r = 0, 976
b) y = 0, 9973 x + 2, 4441
Esercizio 4. Si vuole studiare la relazione che intercorre tra la velocit`a con cui cammina una persona e l’ossigeno consumato da essa. Si valuta il risultato ottenuto da 9 persone scelte a caso.
Velocit`a in Km/h Ossigeno consumato in l/h
0 19
1 20
2 20,5
3 21,5
4 22
5 23
6 23
7 23,5
8 24
a) Calcolare il coefficiente di correlazione r e commentare il risultato.
b) Determinare l’equazione della retta dei minimi quadrati.
c) Quanto ossigeno mi aspetto che consumi una persona che si muove alla ve- locit`a di 10 Km/h?
Soluzione . a) r = 0, 985
b) y = 0, 62 x + 19, 35
c) y = 0, 62 · 10 + 19, 35 = 25, 55 l/h.
Esercizio 5. Si vuole studiare la relazione che intercorre tra il peso in Kg di una persona e la sua statura in cm. Si valuta il risultato ottenuto da 10 persone scelte a caso.
Peso in Kg Statura in cm
56 161
66 165
84 186
61 162
73 172
90 191
70 181
61 164
75 179
82 184
a) Calcolare il coefficiente di correlazione r e commentare il risultato.
b) Determinare l’equazione della retta dei minimi quadrati.
c) Un individuo di 90 Kg, alto 175 cm `e da considerarsi anomalo?
Soluzione . a) r = 0, 9504
b) y = 0, 9448 x + 106, 66
c) Un individuo che pesa 90 Kg dovrebbe essere alto y = 0, 9448 90 + 106, 66 = 191, 69 cm
quindi `e da considerarsi anomalo. Un individuo alto 175 cm dovrebbe pesare x = y − 106, 66
0, 9448 = 175 − 106, 66
0, 9448 = 72, 33 Kg.
Esercizio 6. In tabella sono riportati i punteggi (in centesimi) ottenuti da 10 stu- denti in due esami di Matematica.
Matematica I Matematica II
51 74
68 70
97 93
55 67
95 99
74 73
20 33
91 91
74 80
80 86
a) Calcolare il coefficiente di correlazione r e commentare il risultato.
b) Determinare l’equazione della retta dei minimi quadrati.
c) Che punteggio dovrebbe ottenere in Matematica I uno studente che ha preso 72 in Matematica II?
Soluzione . a) r = 0, 9547
b) y = 0, 7548 x + 23, 386
c) Uno studente che ha preso 72 in Matematica II dovrebbe prendere in Mate- matica I
x = y − 23, 386
0, 7548 = 72 − 23, 386
0, 7548 ≃ 64, 41.
Esercizi sulla Statistica Descrittiva
Esercizio 10. Si sono pesate 25 confezioni di pasta di semola di grano duro da 500 g per verificare i pesi effettivi. Si sono ottenuti i seguenti dati:
499, 498, 503, 502, 496, 499, 500, 503, 500, 498, 499, 500, 496, 499, 498, 503, 496,
499, 499, 496, 499, 498, 498, 496, 498
a) Sistemare i dati in una tabella (che rappresenta la distribuzione di frequenza) e disegnare l’istogramma delle osservazioni.
b) Determinare media, moda, mediana, varianza e scarto quadratico medio del peso delle confezioni.
c) Determinare la percentuale delle confezioni con peso inferiore a 500 grammi.
Soluzione .
a) Tabella della distribuzione delle frequenze:
x= Peso Frequenza Assoluta Frequenza Relativa Frequenza Percentuale
496 5 0,2 20%
498 6 0,24 24%
499 7 0,28 28%
500 3 0,12 12%
502 1 0,04 4%
503 3 0,12 12%
25 1 100%
1 2 3 4 5 6 7
496 497 498 499 500 501 502 503 x f
b) La media `e
x= 5 · 496 + 6 · 498 + 7 · 499 + 3 · 500 + 1 · 502 + 3 · 503
25 = 498, 88.
La moda `e il peso con la maggior frequenza, quindi 499.
Per determinare la mediana dobbiamo disporre prima di tutto i dati in ordine cre- scente. Poich´e tali dati sono 25 (numero dispari), dobbiamo prendere il valore che sta nella posizione centrale, ossia nella 13−esima. Abbiamo cos`ı ex= 499.
La varianza `e s2 = 1
24
h5 · (496 − 498, 88)2 + 6 · (498 − 498, 88)2+ 7 · (499 − 498, 88)2+
+ 3 · (500 − 498, 88)2+ 1 · (502 − 498, 88)2+ 3 · (503 − 498, 88)2i
= 4, 61.
Lo scarto quadratico medio `e s =√
s2 ≈ 2, 15.
c) Le confezioni con peso inferiore a 500 g sono 18, quindi in percentuale sono 18
25 = 0, 72 = 72%.
Esercizio 11. E stato fatto un test di verifica sul peso in grammi di 20 confezioni` di una determinata pomata. I dati ottenuti sono:
36 38 33 36 32 35 38 32 33 35 33 36 35 35 32 33 33 35 35 32
a) Sistemare i dati in una tabella (che rappresenta la distribuzione di frequenza) e disegnare l’istogramma delle osservazioni.
b) Determinare media, moda, mediana, varianza e scarto quadratico medio del peso dei prodotti.
c) Determinare la percentuale dei prodotti con peso inferiore a 35 grammi.
Soluzione .
b) x = 34, 5; moda = 35; ex = 35 + 35
2 = 35 (i dati sono 20, numero pari, quindi, una volta sistemati i dati in ordine crescente, la mediana `e la media aritmetica tra i dati in decima e undicesima posizione); s2 = 3, 607894737;
s≈ 1, 899446.
c) 45%.
Esercizio 12. Si sono pesate 25 confezioni di crema solare da 80 g per verificare i pesi effettivi. Si sono ottenuti i seguenti dati:
79, 77, 81, 81, 76, 79, 79, 83, 80, 77, 77, 80, 76, 79, 77, 77, 76,
79, 77, 76, 79, 77, 81, 77, 81
a) Sistemare i dati in una tabella (che rappresenta la distribuzione di frequenza) e disegnare l’istogramma delle osservazioni.
b) Determinare media, moda, mediana, varianza e scarto quadratico medio del peso delle confezioni.
c) Determinare la percentuale delle confezioni con peso maggiore o uguale a 80 grammi.
Soluzione.
b) x = 78, 44; moda = 77; ex= 79; s2 = 3, 923333; s ≈ 1, 980741.
c) 28%.
Esercizio 13. Si sono esaminate 30 confezioni di una crema per le mani il cui peso varia da 60 g a 65 g per verificare i pesi effettivi. Si sono ottenuti i seguenti dati:
61, 63, 64, 60, 61, 63, 63, 65, 65, 64 61, 63, 65, 60, 62, 62, 62, 64, 63, 62, 62, 61, 62, 63, 62, 63, 62, 65, 62, 62
a) Sistemare i dati in una tabella (che rappresenta la distribuzione di frequenza) e disegnare l’istogramma delle osservazioni.
b) Determinare media, moda, mediana, varianza e scarto quadratico medio del peso delle confezioni.
c) Determinare la percentuale delle confezioni con peso maggiore a 62 grammi.
Soluzione.
b) x = 62, 57; moda = 62; ex= 62; s2 = 1, 98; s ≈ 1, 4.
c) 46, 7%.
Esercizio 14. Di seguito sono riportati i numeri di lavoratori assenti da un’azienda in 50 giorni lavorativi:
13 5 13 37 10 16 2 11 6 12
8 21 12 11 7 7 9 16 49 18
3 11 19 6 15 10 14 10 7 24
11 3 6 10 4 6 32 9 12 7
29 12 9 19 8 20 15 5 17 10
a) Costruire la tabella della distribuzione delle frequenze assolute suddividendo i dati in 6 classi.
b) Rappresentare le frequenze assolute tramite un istogramma.
c) Costruire quindi la tabella della distribuzione delle frequenze percentuali.
d) Rappresentare le frequenze percentuali in un grafico a torta.
Esercizio 15. Si sono rilevate per 80 volte, in una data unit`a di misura, le emissioni giornaliere di un gas inquinante da un impianto industriale, ottenendo i seguenti dati:
15.8 22.7 26.8 19.1 18.5 14.4 8.3 25.9 26.4 9.8 22.7 15.2 23.0 29.6 21.9 10.5 17.3 6.2 18.0 22.9 24.6 19.4 12.3 15.9 11.2 14.7 20.5 26.6 20.1 17.0 22.3 27.5 23.9 17.5 11.0 20.4 16.2 20.8 13.3 18.1 24.8 26.1 20.9 21.4 18.0 24.3 11.8 17.9 18.7 12.8 15.5 19.2 7.7 22.5 19.3 9.4 13.9 28.6 19.4 21.6 13.5 24.6 20.0 24.1 9.0 17.6 16.7 16.9 23.5 18.4 25.7 20.1 13.2 23.7 10.7 19.0 14.5 18.1 31.8 28.5
a) Suddividere i dati in 7 classi di ampiezza 4, partendo dal valore 5.0, e costrui- re la tabella della distribuzione delle frequenze.
b) Tracciare l’istogramma relativo alle frequenze assolute.
c) Calcolare media, moda, mediana, varianza e scarto quadratico medio.
Soluzione .
a) Tabella della distribuzione delle frequenze:
Classi x= Val. centrale Freq. Assoluta Freq. Relativa Freq. Percentuale
5.0 < x ≤ 9.0 7.0 4 0.05 5%
... ... ... ... ...
c) x = 18.8; ex= 19; s2 ≈ 31.95949; s ≈ 5.65327.
Esercizio 16. Si sono misurati in cm i diametri di 80 sbarre di acciaio, ottenendo i seguenti dati:
4.81 4.88 4.61 4.75 4.79 4.60 4.64 4.67 4.55 4.61 4.89 4.73 4.59 4.73 4.78 4.74 4.36 4.71 4.67 4.86 4.60 4.92 4.58 4.82 4.66 4.76 4.51 4.45 4.75 4.65 4.70 4.61 4.71 4.55 4.56 4.85 4.31 4.52 4.58 4.68 4.69 4.48 4.78 4.43 4.57 4.44 4.55 4.72 4.52 4.68 4.63 4.53 4.69 4.97 4.71 4.66 4.57 4.44 4.62 4.42 4.70 4.53 4.69 4.77 4.49 4.70 4.54 4.50 4.86 4.95 4.50 4.70 4.64 4.82 4.59 4.65 4.51 4.77 4.66 4.77
a) Suddividere i dati in 7 classi di ampiezza 0.1, partendo dal valore 4.30, e costruire la tabella della distribuzione delle frequenze.
b) Tracciare l’istogramma relativo alle frequenze assolute.
c) Calcolare media, moda, mediana, varianza e scarto quadratico medio.
Soluzione .
a) Tabella della distribuzione delle frequenze:
Classi x= Val. centrale Freq. Assoluta Freq. Relativa Freq. Percentuale
4.30 < x ≤ 4.40 4.35 2 0.025 2.5%
... ... ... ... ...
c) x = 4.6475; ex= 4.65; s2 ≈ 0.01873; s ≈ 0.13685.
Esercizio 17. Si sono rilevati i pesi in hg di 100 neonati nati nel mese di dicembre 2011 all’ospedale di Ferrara, ottenendo i seguenti dati:
x= Peso in hg Numero di neonati 27 < x ≤ 30 6
30 < x ≤ 33 28 33 < x ≤ 36 42 36 < x ≤ 39 16 39 < x ≤ 42 8
a) Sistemare i dati nella tabella di distribuzione delle frequenze, specificando il valore centrale con cui si identifica ogni classe e disegnare l’istogramma delle osservazioni.
b) Determinare media, moda, mediana, varianza e scarto quadratico del peso dei neonati.
Soluzione .
a) Tabella della distribuzione delle frequenze e istogramma:
x= Valore centrale Frequenza Assoluta Frequenza Relativa Frequenza Percentuale
28,5 6 0,06 6%
31,5 28 0,28 28%
34,5 42 0,42 42%
37,5 16 0,16 16%
40,5 8 0,08 8%
100 1 100%
6/3 28/3 42/3
16/3
8/3
28,5 31,5 34,5 37,5 40,5 x f
b) La media `e
x= 6 · 28, 5 + 28 · 31, 5 + 42 · 34, 5 + 16 · 37, 5 + 8 · 40, 5
100 = 34, 26.
La moda `e il peso con la maggior frequenza, quindi 34, 5.
Per determinare la mediana dobbiamo disporre prima di tutto i dati in ordine cre- scente. Poich´e tali dati sono 100 (numero pari), dobbiamo fare la media aritmetica tra i valori che stanno nella 50−esima e 51−esima posizione (essi valgono entrambi 34, 5). Abbiamo cos`ı ex= 34, 5.
La varianza `e s2 = 1
99 h
6 · (28, 5 − 34, 26)2+ 28 · (31, 5 − 34, 26)2 + 42 · (34, 5 − 34, 26)2+ + 16 · (37, 5 − 34, 26)2 + 8 · (40, 5 − 34, 26)2i
≈ 9, 03273.
Lo scarto quadratico medio `e s =√
s2 ≈ 3, 00545.
Esercizio 18. Si sono rilevati i pesi in Kg di un gruppo di 200 persone, ottenendo i seguenti dati:
x= Peso in Kg Numero di persone 59 < x ≤ 62 12
62 < x ≤ 65 29 65 < x ≤ 68 47 68 < x ≤ 71 50 71 < x ≤ 74 42 74 < x ≤ 77 18
77 < x ≤ 80 2
a) Sistemare i dati nella tabella di distribuzione delle frequenze, specificando il valore centrale con cui si identifica ogni classe e disegnare l’istogramma delle osservazioni.
b) Determinare media, moda, mediana, varianza e scarto quadratico del peso delle persone.
c) Determinare la percentuale delle persone che pesano meno di 64 Kg.
Soluzione
. b) x = 68, 645; moda = 69, 5; ex= 69, 5; s2 ≈ 17, 49; s ≈ 4, 18.
c) 20, 5%.
Esercizio 19. Si sono rilevate le et`a dei 100 dipendenti di un’azienda, ottenendo i seguenti dati:
x= Et`a Numero di dipendenti
29 < x ≤ 32 6
32 < x ≤ 35 18 35 < x ≤ 38 27 38 < x ≤ 41 30 41 < x ≤ 44 15
44 < x ≤ 47 3
47 < x ≤ 50 1
a) Sistemare i dati nella tabella di distribuzione delle frequenze, specificando il valore centrale con cui si identifica ogni classe e disegnare l’istogramma delle osservazioni.
b) Determinare media, moda, mediana, varianza e scarto quadratico dell’et`a dei dipendenti.
c) Determinare la percentuale dei dipendenti che hanno pi`u di 45 anni.
Soluzione
. b) x = 37, 79; moda = 39, 5; ex= 36, 5; s2≈ 14, 23; s ≈ 3, 77.
c) 4%.
