Matematica ed Informatica+Fisica ESERCIZI Modulo di Matematica ed Informatica

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Matematica ed Informatica+Fisica

ESERCIZI Modulo di Matematica ed Informatica Corso di Laurea in Farmacia - anno acc. 2012/2013

docente: Giulia Giantesio, gntgli@unife.it Esercizi 1: equazioni e disequazioni

Equazioni e disequazioni. Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni.

1. 8(5− x) + 3(x − 5) > 0 Soluzione. x∈] − ∞; 5[

2. (3x + 1)²− 4x(x − 2) ≤ 5x(x + 6) − 16x Soluzione

. ∅ 3. x²(x− 1) ≥ 0

Soluzione

. x∈]1; +∞[ ∪{0}

4. x²− x − 6 = 0 Soluzione

. {3, 2}

Disequazioni fratte. Risolvere le seguenti disequazioni fratte.

1.

x²− 5x + 8 9− x² <0 Soluzione

. x∈] − ∞; −3[ ∪ ]3; +∞[

2. 2x− 1

x− 3 < x+ 1 x− 1 Soluzione. x∈]1; 3[

3.

x²− 4x + 3 4− x² ≤ 0 Soluzione

. x∈] − ∞; −2[ ∪ [1; 2[ ∪ [3; +∞[

4. 4x− x²

9x²+ 6x + 1 ≥ 0 Soluzione

. x∈ [0; 4]

5. 3

x− 2 < 2x 3 + x Soluzione

. x∈] − ∞; −3[ ∪ ] − 1; 2[ ∪i9 2; +∞h 6.

7x− 4 x²− 4− 2

x− 2< 7 x+ 2 Soluzione

. x∈] − 2; 2[ ∪ ]3; +∞[

1

(2)

Sistemi di disequazioni. Risolvere i seguenti sistemi di disequazioni.

1.

x+ 2 > 5 x− 5 > 0 Soluzione

. x∈]5; +∞[

2.

(x + 2)(x− 1) > 4 − (3x − 1)² (x− 1)²+ (2x + 3)² >25 Soluzione

. x∈] − ∞; −3[ ∪ ]1; +∞[

3.

( 3x + 7

x+ 1 −3x− 7 x− 1 <0 3(x− 1)² ≤ 25 − x Soluzione

. x∈ [−2; −1[ ∪ ]0; 1[

4. 





x²+ 1 x >0 3

1− x >0 Soluzione. x∈]0; 1[

Equazioni e disequazioni irrazionali. Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni irrazionali.

1.

√x²+ x + 1 = 2x + 3 Soluzione

. x=−1 2.

√x− x²=√ 7− 2x Soluzione

. ∅ 3. x+ 7≤√

9− x² Soluzione

. ∅ 4.

√6x− x² <3− 2x Soluzione

. x∈h 0;3

5 h 5.

√3x− 2 > 2(x − 1)

Soluzione

. x∈h2 3; 2h

(3)

3

6. √

x²− 4 − 2x + 1 > 4 − x Soluzione

. x∈i

− ∞; −13 6

h 7.

√3x²+ 10x + 3− x − 3 < 0

Soluzione . x∈h

−1 3; 1h 8.

√x²+ 4x + 3− x − 2 x²− 16 <0 Soluzione

. x∈] − 4; −3] ∪ ]4; +∞[

9.

√x²+ 6x + 8− x − 5 x²− 36 ≤ 0 Soluzione

. x∈i

− 6; −17 4

i∪ ]6; +∞[

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docente: Giulia Giantesio, gntgli@unife.it Esercizi sulla Probabilit`a

Esercizio 1. In un corso di laurea uno studente deve scegliere un esame fra 8 di matematica e un esame fra 5 di fisica. Determina quante scelte differenti pu`o effettuare.

Soluzione . 40

Esercizio 2. Determina quanti numeri diversi si possono formare usando insieme le cifre 4, 4, 5, 6, 7.

Soluzione . 220

Esercizio 3. Determina in quanti modi diversi si pu`o chiudere un campionato di calcio al quale partecipano 12 squadre.

Soluzione. 479001600

Esercizio 4. Date le cifre 2, 3, 5, 7, determina quanti numeri di tre cifre diverse che comincino con 7 si possono formare.

Soluzione . 6

Esercizio 5. Date le cifre 2, 3, 5, 7, determina quanti numeri di tre cifre che comincino con 7 si possono formare.

Soluzione . 16

Esercizio 6. Determina in quanti modi si possono disporre su un tavolo 15 dischetti, sapendo che di essi 7 sono rossi, 5 sono neri e 3 sono bianchi.

Soluzione

. 360360

Esercizio 7. Determina quanti numeri telefonici di 4 cifre differenti possono essere fatti con le 10 cifre presenti sull’apparecchio telefonico (sono ammessi anche numeri che iniziano con 0).

Soluzione . 5040

Esercizio 8. In un ipotetico parlamento sono presenti 12 diversi partiti politici.

Determina quanti governi formati da 7 partiti e quanti da 5 partiti potrebbero formare il presidente del consiglio.

Soluzione . 792

1

(5)

2

Esercizio 9. In un’urna sono state messe 5 palline, tutte colorate diversamente.

Determina quante estrazioni differenti di 3 palline si possno fare.

Soluzione . 10

Esercizio 10. In un’urna sono state messe 5 palline, numerate da 1 a 5. Determina quanti numeri differenti si possono ottenere, estraendo 3 palline dall’urna e leggendo nell’ordine le 3 cifre.

Soluzione . 60

Esercizio 11. Nel gettare 1 dado non truccato, si calcoli la probabilit`a che si ottenga un numero pari, si ottenga un numero dispari, si ottenga un numero primo, si ottenga un numero maggiore di 4.

Soluzione .

1

2; ¹₂; ¹₂;¹₃.

Esercizio 12. Nel gettare 2 dadi non truccati, si supponga che i 36 risultati siano equiprobabili. Siano: A l’evento di ottenere per somma 7, B l’evento di ottenere 2 numeri uguali e C l’evento di ottenere due 3. Calcolare P (A), P (Ω \ A) e P (B ∪ C).

Soluzione. P(A) = 1

6 ≈ 16, 67%; P (Ω \ A) = 5

6 ≈ 83, 33% e P(B ∪ C) = P (B) = 1

6 ≈ 16, 67%.

Esercizio 13. Qual è la probabilità di estrarre un asso oppure una figura da un mazzo di 40 carte non truccate? Qual è invece la probabilità di non estrarre una figura?

Soluzione

. P(A ∪ B) = 40%; P (Ω \ B) = 70%.

Esercizio 14. Qual è la probabilità di estrarre una figura oppure una carta di fiori da un mazzo da poker di 52 carte non truccate? Qual è invece la probabilità di estrarre una figura che non sia di fiori?

Soluzione

. P(A ∪ B) = 11

26 ≈ 42, 31%; P (A \ B) = 52⁹ ≈ 17, 31%.

Esercizio 15. Un urna contiene 3 palline gialle e 8 palline rosse tutte uguali. Si effettuano 2 estrazioni successive senza reintrodurre la pallina estratta nell’urna.

Qual è la probabilità che la seconda pallina sia rossa? Qual è invece la probabilità di estrarre due palline gialle?

Soluzione. 8 11; 3

55.

Esercizio 16. Si lanciano contemporaneamente 3 dadi non truccati. Qual `e la probabilit`a che almeno due di essi mostrino la stessa faccia?

(6)

Soluzione

. Lo spazio campione Ω contiene 6 · 6 · 6 = 6³ elementi.

Sia A l’evento che si verifica se almeno due dadi mostrano la stessa faccia, quindi Ω \ A `e l’evento che si verifica se i dadi mostrano tutte facce diverse. Allora Ω \ A contiene 6 · 5 · 4 elementi.

Abbiamo che

P(Ω \ A) = 6 · 5 · 4 6³ = 5

9, quindi

P(A) = 1 − P (Ω \ A) = 1 − 5 9 = 4

9.

Esercizio 17. Sia Ω = {n ∈ N | 1 ≤ n ≤ 240}. Consideriamo i seguenti eventi:

A: “il numero estratto `e un multiplo di 3”;

B : “il numero estratto `e un multiplo di 4”;

C : “il numero estratto `e un multiplo di 6”.

Gli eventi A e B sono indipendenti? Gli eventi B e C sono indipendenti? Motivare le risposte.

Esercizio 18. Calcoliamo la probabilit`a che una famiglia con due figli abbia:

a) un maschio e una femmina;

b) un maschio e una femmina, sapendo che uno dei due figli `e un maschio;

c) un maschio e una femmina, sapendo che il primogenito `e un maschio.

Per semplificare l’esercizio si consideri lo spazio campione equiprobabile.

Soluzione .

1 2; ²3;¹2.

Esercizio 19. Si consideri l’esperimento del lancio di una moneta non truccata due volte. Qual `e la probabilit`a che esca testa in entrambi i lanci se

a) al primo lancio esce testa?

b) esce almeno una volta testa?

Soluzione.

1

2; ¹₃. N.B. : ¹₃ < ¹₂ siccome la seconda informazione è più vaga (il condizionamento è meno forte).

Esercizio 20. Si consideri l’esperimento del lancio di una moneta non truccata due volte. Si descriva Ω e si considerino:

• A1 l’evento di avere testa al primo lancio;

• A2 l’evento di avere testa al secondo lancio;

• A3 l’evento di avere testa una ed una sola volta.

Dire se A1, A2, A3 sono tre eventi indipendenti.

(7)

4

Esercizio 21. Una scatola contiene 10 palline, 6 verdi (V ) e 4 bianche (B ) tali che:

4 palline verdi sono lisce e le altre 2 verdi sono ruvide (R); 1 pallina bianca `e liscia e le altre 3 bianche sono ruvide (R). Supposto lo spazio campione Ω equiprobabile ed estratta a caso una pallina, calcolare P (B), P (V ), P (R), P (V ∩ R), P (B ∩ R), P(B|R).

Esercizio 22. Si estrae una carta da un mazzo di 52 carte da poker. Calcolare la probabilit`a di estrarre una figura a patto che questa sia di fiori o di picche.

Esercizio 23. Si effettuano 2 estrazioni successive da un mazzo di 40 carte non truccate senza reintrodurre la prima carta estratta nel mazzo. Calcolare la probabilit`a di estrarre una figura come seconda carta, sapendo che la prima carta estratta

`e un asso.

Soluzione

. P(A|B) = 12 39.

Esercizio 24. Si effettuano 2 estrazioni successive da un mazzo di 40 carte non truccate senza reintrodurre la prima carta estratta nel mazzo. Calcolare la probabilit`a di estrarre una carta di coppe come seconda, sapendo che la prima carta estratta `e un re.

Soluzione

. P (A|B ) = 1

4. Osserviamo che tale probabilit`a coincide con la probabilit`a di pescare una carta di coppe dal mazzo di 40 carte.

Esercizio 25. Si lanciano due dadi non truccati. Calcolare la probabilit`a che escano due 6 e la probabilit`a che escano due numeri pari.

Soluzione(Suggerimento). Nel lancio di due dadi non truccati, gli esiti del primo e del secondo dado sono eventi indipendenti!

Esercizio 26. Lanciamo 3 volte un dado non truccato. Qual `e la probabilit`a di ottenere esattamente due numeri pari?

Soluzione

. P(A) = 0, 375

Esercizio 27. Un sacchetto contiene 8 palline rosse (R) e 5 palline gialle (G). Si effettuano 3 estrazioni successive senza reimbussolamento (ossia senza reintrodurre la pallina estratta nel sacchetto). Qual è la probabilità che la prima e la terza pallina estratta siano entrambe rosse? Qual è la probabilità che tutte le tre palline estratte siano rosse?

Soluzione

. P(RRR ∪ RGR) ≈ 0, 359; P (RRR) ≈ 0, 196.

Esercizio 28. Un’urna contiene 10 palline, di cui 3 bianche (B) e 7 nere (N ). Si effettuano 3 estrazioni successive:

a) con reimbussolamento

(8)

b) senza reimbussolamento.

Quali sono le probabilit`a di estrarre 0, 1, 2, 3 palline bianche nei due casi?

Soluzione.

a) P (B = 0) = 0, 343; P (B = 1) = 0, 441; P (B = 2) = 0, 189; P (B = 3) = 0, 027.

b) P (B = 0) = 7

24; P (B = 1) = 21

40; P (B = 2) = 7

40; P (B = 3) = 1 120.

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docente: Giulia Giantesio, gntgli@unife.it ESERCIZI STILE ESAME

Esercizi sulla Probabilit`a

Esercizio 1. In un ufficio il lavoro viene svolto nelle seguenti percentuali: il 30% dal signor X, il 25% dal signor Y e il 45% dal signor Z. Si sa che ogni pratica è preparata da un solo impiegato e che le pratiche preparate dai signori X, Y , Z contengono rispettivamente lo 0, 01%, lo 0, 005% e lo 0, 003% di errori. Se una pratica presenta errori, qual è la probabilità che sia stata preparata dal signor X? Se una pratica presenta errori, qual è la probabilità che sia stata preparata dal signor Z?

Soluzione

. Sia A l’evento che vi siano errori nella pratica. Abbiamo che P(X|A) ≈ 0, 536 e P (Z|A) ≈ 0, 241.

Esercizio 2. Tre commissioni d’esame bocciano in media con la seguente frequenza:

la prima il 20% degli studenti, la seconda il 40% degli studenti, la terza il 65% degli studenti. Sapendo che uno studente è stato bocciato (B), qual è la probabilità che sia stato esaminato dalla terza commissione? Sapendo che uno studente è stato promosso (P ), qual è la probabilità che sia stato esaminato dalla terza commissione?

Soluzione

. Abbiamo che P (B|I) = 0, 2, P (B|II) = 0, 4, P (B|III) = 0, 65 e P(I) = P (II) = P (III) = 1

3. Dunque, applicando il Teorema di Bayes, si ha P(III|B) = 0, 52; P (III|P ) = 0, 20.

Esercizio 3. Un’indagine medica ha stabilito che l’1% della popolazione è portatrice di una malattia. Si sa che un esame del sangue ha una precisione dell’85% nello stabilire la presenza o l’assenza della malattia: se una persona è portatrice della malattia la probabilità che il test sia positivo è 0, 85, oppure se una persona non

è portatrice della malattia la probabilità che il test sia negativo è 0, 85. Scelta una persona a caso

a) qual `e la probabilit`a che il test sia positivo?

b) se il test è positivo, qual è la probabilità che la persona sia portatrice o meno della malattia?

Soluzione. Siano B l’evento che la persona sia portatrice della malattia, Ω \ B l’evento che la persona non sia portatrice della malattia, T_P l’evento che il test sia positivo e T_N l’evento che il test sia negativo. Per ipotesi abbiamo che

P(B) = 0, 01 P(T_P|B) = P (TN|(Ω \ B)) = 0, 85.

1

(10)

a) La probabilit`a che il test sia positivo `e P (T_P) = 15, 7% (applicando la legge delle alternative e tenendo presente che P (T_P|(Ω\B)) = 1−P (TN|(Ω\B)) = 1 − 0, 85 = 0, 15).

b) Se il test è positivo, la probabilità che la persona sia portatrice della malattia è P (B|TP) ≈ 5, 4% (applicando il Teorema di Bayes), mentre la prob- abilità che la persona non sia portatrice della malattia è P ((Ω \ B)|TP) = 1 − P (B|TP) ≈ 94, 6%.

Da questi risultati, poiché è molto bassa la probabilità di rivelare un vero portatore della malattia o è molto alta la probabilità di rivelare un falso portare, deduciamo che l’esame del sangue considerato è poco affidabile.

Esercizio 4. Un’indagine medica su una malattia ha fornito i seguenti dati: la malattia è presente nell’1% della popolazione; la probabilità che, se una persona è malata, il test risulti positivo è P (T_P|M) = 80%; la probabilità che, se una persona

è sana, il test risulti positivo è P (T_P|S) = 10%. Scelta una persona a caso, qual è la probabilità che il test risulti positivo? Qual è la probabilità che, se il test risulta positivo, la persona è malata? Qual è la probabilità che, se il test risulta positivo, la persona è sana?

Soluzione

. P (TP) = 10, 7%; P (M |TP) ≈ 7, 5%; P (S|TP) ≈ 92, 5%. Questi ultimi dati sorprendenti sono dovuti al fatto che la malattia `e abbastanza rara.

Esercizio 5. Una certa malattia colpisce il 4% degli italiani. Un test clinico ha fornito i seguenti dati: la probabilità che, se una persona è malata, il test risulti positivo è il 90%, mentre il test risulta positivo su soggetti sani nel 5% dei casi. Qual

è la probabilità di non soffrire della malattia per una persona il cui test è risultato positivo?

Soluzione. P ≈ 57, 1%.

Esercizio 6. Nel periodo natalizio tre ragazzi lavorano in un grande magazzino per impacchettare i regali. Riccardo prepara il 40% dei pacchetti, Elena impacchetta il 38% dei regali e Giovanni prepara i pacchi rimanenti. Sappiamo che la probabilità che un pacco preparato da Riccardo abbia l’etichetta del prezzo è 0, 76%, la proba- bilità che un pacco preparato da Elena non abbia l’etichetta del prezzo è 79, 76%, infine la probabilità che un pacco preparato da Giovanni non abbia l’etichetta del prezzo è 62%. Qual è la probabilità che ad un regalo acquistato ed impacchettato in questo grande magazzino non sia stata tolta l’etichetta del prezzo? Si supponga che un cliente scopra che ad un regalo da lui fatto ad amici ed impacchettato nel grande magazzino, non era stata tolta l’etichetta del prezzo. Qual è la probabilità che quel pacco sia stato impacchettato da Riccardo?

(11)

3

Soluzione

. Sia A l’evento che si verifica se ad un regalo impacchettato non sia stata tolta l’etichetta del prezzo e sia R l’evento che si verifica se il regalo `e stato impacchettato da Riccardo, allora abbiamo che P (A) ≈ 16, 36% e P (R|A) ≈ 1, 86%.

Esercizio 7. In una comunit`a il 10% degli individui con oltre 50 anni ha il diabete.

La probabilità che un medico diagnostici il diabete ad un individuo effettivamente malato è il 92%, mentre la probabilità che egli diagnostici il diabete ad un individuo sano è il 3%. Qual è la probabilità che questo medico ad un adulto di oltre 50 anni scelto casualmente nella comunità diagnostichi il diabete? Supponendo che ad un individuo di oltre 50 anni della comunità il medico abbia diagnosticato il diabete, qual è la probabilità che non sia malato?

Soluzione

. Sia D l’evento che si verifica se il medico diagnostica il diabete ad un adulto di oltre 50 anni della comunit`a e sia S l’evento che si verifica se un adulto di oltre 50 anni della comunit`a sia sano, allora abbiamo che P (D) ≈ 11, 9%

e P (S|D) ≈ 22, 69%.

Esercizio 8. I laureati presso l’Universit`a della citt`a di XY Z nell’a.a. 2009-2010 si suddividono nelle seguenti percentuali: il 44% sono laureati in Ingegneria, il 36%

in Farmacia e il rimanente in Filosofia. Sappiamo che le probabilità che un laureato in Ingegneria, Farmacia e Filosofia trovi lavoro entro un anno sono rispettivamente 90%, 76% e 49%. Qual è la probabilità che un laureato presso l’Università della città di XY Z nell’a.a. 2009-2010 trovi lavoro entro un anno? Sapendo che un laureato presso l’Università della città di XY Z nell’a.a. 2009-2010 ha trovato lavoro entro un anno, qual è la probabilità che sia laureato in Farmacia? Sapendo che un laureato presso l’Università della città di XY Z nell’a.a. 2009-2010 NON ha trovato lavoro entro un anno, qual è la probabilità che sia laureato in Filosofia?

Soluzione

. Siano A, B, C gli eventi che si verificano rispettivamente se uno studente `e laureato in Farmacia, in Filosofia e in Ingegneria. Sia L l’evento che si verifica se un laureato trova lavoro entro un anno dalla laurea e sia L il suo complementare.

Abbiamo che P (L) ≈ 76, 76%, P (A|L) ≈ 35, 64%, P (B|L) ≈ 43, 89%.

Esercizio 9. Un’azienda industriale possiede tre stabilimenti (A, B e C). Nello stabilimento A si produce la metà dei pezzi, e di questi il 10% sono difettosi. Nello stabilimento B si produce un terzo dei pezzi, e il 7% sono difettosi. Nello stabilimento C si produce il rimanente dei pezzi e il 5% di questi sono difettosi. Qual è la probabilità che un pezzo prodotto dall’azienda sia difettoso? Sapendo che un pezzo

è difettoso, con quale probabilità esso proviene dallo stabilimento A? Sapendo che un pezzo NON è difettoso, con quale probabilità esso proviene dallo stabilimento C?

Soluzione. Sia D l’evento che si verifica se un pezzo prodotto dall’azienda `e difettoso e sia D il suo complementare. Abbiamo che P (D) ≈ 8, 16%, P (A|D) ≈ 61, 27%, P (C|D) ≈ 17, 24%.

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Esercizi sulla Statistica Descrittiva

Esercizio 10. Si sono pesate 25 confezioni di pasta di semola di grano duro da 500 g per verificare i pesi effettivi. Si sono ottenuti i seguenti dati:

499, 498, 503, 502, 496, 499, 500, 503, 500, 498, 499, 500, 496, 499, 498, 503, 496,

499, 499, 496, 499, 498, 498, 496, 498

a) Sistemare i dati in una tabella (che rappresenta la distribuzione di frequenza) e disegnare l’istogramma delle osservazioni.

b) Determinare media, moda, mediana, varianza e scarto quadratico medio del peso delle confezioni.

c) Determinare la percentuale delle confezioni con peso inferiore a 500 grammi.

Soluzione .

a) Tabella della distribuzione delle frequenze:

x= Peso Frequenza Assoluta Frequenza Relativa Frequenza Percentuale

496 5 0,2 20%

498 6 0,24 24%

499 7 0,28 28%

500 3 0,12 12%

502 1 0,04 4%

503 3 0,12 12%

25 1 100%

(13)

5

1 2 3 4 5 6 7

496 497 498 499 500 501 502 503 x f

b) La media `e

x= 5 · 496 + 6 · 498 + 7 · 499 + 3 · 500 + 1 · 502 + 3 · 503

25 = 498, 88.

La moda `e il peso con la maggior frequenza, quindi 499.

Per determinare la mediana dobbiamo disporre prima di tutto i dati in ordine crescente. Poich´e tali dati sono 25 (numero dispari), dobbiamo prendere il valore che sta nella posizione centrale, ossia nella 13−esima. Abbiamo cos`ı ex= 499.

La varianza `e s² = 1

24

h5 · (496 − 498, 88)² + 6 · (498 − 498, 88)²+ 7 · (499 − 498, 88)²+

+ 3 · (500 − 498, 88)²+ 1 · (502 − 498, 88)²+ 3 · (503 − 498, 88)²i

= 4, 61.

Lo scarto quadratico medio `e s =√

s² ≈ 2, 15.

c) Le confezioni con peso inferiore a 500 g sono 18, quindi in percentuale sono 18

25 = 0, 72 = 72%.

Esercizio 11. E stato fatto un test di verifica sul peso in grammi di 20 confezioni` di una determinata pomata. I dati ottenuti sono:

36 38 33 36 32 35 38 32 33 35 33 36 35 35 32 33 33 35 35 32

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b) Determinare media, moda, mediana, varianza e scarto quadratico medio del peso dei prodotti.

c) Determinare la percentuale dei prodotti con peso inferiore a 35 grammi.

Soluzione .

b) x = 34, 5; moda = 35; ex = 35 + 35

2 = 35 (i dati sono 20, numero pari, quindi, una volta sistemati i dati in ordine crescente, la mediana `e la media aritmetica tra i dati in decima e undicesima posizione); s² = 3, 607894737;

s≈ 1, 899446.

c) 45%.

Esercizio 12. Si sono pesate 25 confezioni di crema solare da 80 g per verificare i pesi effettivi. Si sono ottenuti i seguenti dati:

79, 77, 81, 81, 76, 79, 79, 83, 80, 77, 77, 80, 76, 79, 77, 77, 76,

79, 77, 76, 79, 77, 81, 77, 81

c) Determinare la percentuale delle confezioni con peso maggiore o uguale a 80 grammi.

Soluzione .

b) x = 78, 44; moda = 77; ex= 79; s² = 3, 923333; s ≈ 1, 980741.

c) 28%.

Esercizio 13. Si sono esaminate 30 confezioni di una crema per le mani il cui peso varia da 60 g a 65 g per verificare i pesi effettivi. Si sono ottenuti i seguenti dati:

61, 63, 64, 60, 61, 63, 63, 65, 65, 64 61, 63, 65, 60, 62, 62, 62, 64, 63, 62, 62, 61, 62, 63, 62, 63, 62, 65, 62, 62

c) Determinare la percentuale delle confezioni con peso maggiore a 62 grammi.

(15)

7

Soluzione .

b) x = 62, 57; moda = 62; ex= 62; s² = 1, 98; s ≈ 1, 4.

c) 46, 7%.

Esercizio 14. Di seguito sono riportati i numeri di lavoratori assenti da un’azienda in 50 giorni lavorativi:

13 5 13 37 10 16 2 11 6 12

8 21 12 11 7 7 9 16 49 18

3 11 19 6 15 10 14 10 7 24

11 3 6 10 4 6 32 9 12 7

29 12 9 19 8 20 15 5 17 10

a) Costruire la tabella della distribuzione delle frequenze assolute suddividendo i dati in 6 classi.

b) Rappresentare le frequenze assolute tramite un istogramma.

c) Costruire quindi la tabella della distribuzione delle frequenze percentuali.

d) Rappresentare le frequenze percentuali in un grafico a torta.

Esercizio 15. Si sono rilevate per 80 volte, in una data unit`a di misura, le emissioni giornaliere di un gas inquinante da un impianto industriale, ottenendo i seguenti dati:

15.8 22.7 26.8 19.1 18.5 14.4 8.3 25.9 26.4 9.8 22.7 15.2 23.0 29.6 21.9 10.5 17.3 6.2 18.0 22.9 24.6 19.4 12.3 15.9 11.2 14.7 20.5 26.6 20.1 17.0 22.3 27.5 23.9 17.5 11.0 20.4 16.2 20.8 13.3 18.1 24.8 26.1 20.9 21.4 18.0 24.3 11.8 17.9 18.7 12.8 15.5 19.2 7.7 22.5 19.3 9.4 13.9 28.6 19.4 21.6 13.5 24.6 20.0 24.1 9.0 17.6 16.7 16.9 23.5 18.4 25.7 20.1 13.2 23.7 10.7 19.0 14.5 18.1 31.8 28.5

a) Suddividere i dati in 7 classi di ampiezza 4, partendo dal valore 5.0, e costruire la tabella della distribuzione delle frequenze.

b) Tracciare l’istogramma relativo alle frequenze assolute.

c) Calcolare media, moda, mediana, varianza e scarto quadratico medio.

Soluzione .

Classi x= Val. centrale Freq. Assoluta Freq. Relativa Freq. Percentuale

5.0 < x ≤ 9.0 7.0 4 0.05 5%

... ... ... ... ...

c) x = 18.8; ex= 19; s² ≈ 31.95949; s ≈ 5.65327.

(16)

Esercizio 16. Si sono misurati in cm i diametri di 80 sbarre di acciaio, ottenendo i seguenti dati:

4.81 4.88 4.61 4.75 4.79 4.60 4.64 4.67 4.55 4.61 4.89 4.73 4.59 4.73 4.78 4.74 4.36 4.71 4.67 4.86 4.60 4.92 4.58 4.82 4.66 4.76 4.51 4.45 4.75 4.65 4.70 4.61 4.71 4.55 4.56 4.85 4.31 4.52 4.58 4.68 4.69 4.48 4.78 4.43 4.57 4.44 4.55 4.72 4.52 4.68 4.63 4.53 4.69 4.97 4.71 4.66 4.57 4.44 4.62 4.42 4.70 4.53 4.69 4.77 4.49 4.70 4.54 4.50 4.86 4.95 4.50 4.70 4.64 4.82 4.59 4.65 4.51 4.77 4.66 4.77

a) Suddividere i dati in 7 classi di ampiezza 0.1, partendo dal valore 4.30, e costruire la tabella della distribuzione delle frequenze.

b) Tracciare l’istogramma relativo alle frequenze assolute.

c) Calcolare media, moda, mediana, varianza e scarto quadratico medio.

Soluzione .

Classi x= Val. centrale Freq. Assoluta Freq. Relativa Freq. Percentuale

4.30 < x ≤ 4.40 4.35 2 0.025 2.5%

... ... ... ... ...

c) x = 4.6475; ex= 4.65; s² ≈ 0.01873; s ≈ 0.13685.

Esercizio 17. Si sono rilevati i pesi in hg di 100 neonati nati nel mese di dicembre 2011 all’ospedale di Ferrara, ottenendo i seguenti dati:

x= Peso in hg Numero di neonati 27 < x ≤ 30 6

30 < x ≤ 33 28 33 < x ≤ 36 42 36 < x ≤ 39 16 39 < x ≤ 42 8

a) Sistemare i dati nella tabella di distribuzione delle frequenze, specificando il valore centrale con cui si identifica ogni classe e disegnare l’istogramma delle osservazioni.

b) Determinare media, moda, mediana, varianza e scarto quadratico del peso dei neonati.

Soluzione.

a) Tabella della distribuzione delle frequenze e istogramma:

(17)

9

x= Valore centrale Frequenza Assoluta Frequenza Relativa Frequenza Percentuale

28,5 6 0,06 6%

31,5 28 0,28 28%

34,5 42 0,42 42%

37,5 16 0,16 16%

40,5 8 0,08 8%

100 1 100%

6/3 28/3 42/3

16/3

8/3

28,5 31,5 34,5 37,5 40,5 x f

b) La media `e

x= 6 · 28, 5 + 28 · 31, 5 + 42 · 34, 5 + 16 · 37, 5 + 8 · 40, 5

100 = 34, 26.

La moda `e il peso con la maggior frequenza, quindi 34, 5.

Per determinare la mediana dobbiamo disporre prima di tutto i dati in ordine crescente. Poich´e tali dati sono 100 (numero pari), dobbiamo fare la media aritmetica tra i valori che stanno nella 50−esima e 51−esima posizione (essi valgono entrambi 34, 5). Abbiamo cos`ı ex= 34, 5.

La varianza `e s² = 1

99 h

6 · (28, 5 − 34, 26)²+ 28 · (31, 5 − 34, 26)² + 42 · (34, 5 − 34, 26)²+ + 16 · (37, 5 − 34, 26)² + 8 · (40, 5 − 34, 26)²i

≈ 9, 03273.

Lo scarto quadratico medio `e s =√

s² ≈ 3, 00545.

(18)

Esercizio 18. Si sono rilevati i pesi in Kg di un gruppo di 200 persone, ottenendo i seguenti dati:

x= Peso in Kg Numero di persone 59 < x ≤ 62 12

62 < x ≤ 65 29 65 < x ≤ 68 47 68 < x ≤ 71 50 71 < x ≤ 74 42 74 < x ≤ 77 18

77 < x ≤ 80 2

b) Determinare media, moda, mediana, varianza e scarto quadratico del peso delle persone.

c) Determinare la percentuale delle persone che pesano meno di 64 Kg.

Soluzione

. b) x = 68, 645; moda = 69, 5; ex= 69, 5; s² ≈ 17, 49; s ≈ 4, 18.

c) 20, 5%.

Esercizio 19. Si sono rilevate le et`a dei 100 dipendenti di un’azienda, ottenendo i seguenti dati:

x= Et`a Numero di dipendenti 29 < x ≤ 32 6

32 < x ≤ 35 18 35 < x ≤ 38 27 38 < x ≤ 41 30 41 < x ≤ 44 15 44 < x ≤ 47 3 47 < x ≤ 50 1

b) Determinare media, moda, mediana, varianza e scarto quadratico dell’et`a dei dipendenti.

c) Determinare la percentuale dei dipendenti che hanno pi`u di 45 anni.

Soluzione

. b) x = 37, 79; moda = 39, 5; ex= 36, 5; s²≈ 14, 23; s ≈ 3, 77.

c) 4%.

(19)

docente: Giulia Giantesio, gntgli@unife.it Esercizi sulle funzioni

Esercizio 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni:

• f (x) = x + 2;

• f (x) = x³+ 2x²− 3;

• f (x) = x x+ 1;

• f (x) =√ x− 3;

• f (x) =

r x

x²− 1;

• f (x) =

√x− 4 x³ ;

• f (x) =p³

x²− 3x.

Esercizio 2. Determinare il carattere delle seguenti funzioni (iniettiva, suriettiva, pari, dispari, limitata, eventuali punti di massimo e minimo assoluti o relativi) es- plicitando anche dominio e codominio:

• f (x) = x + 2;

• f (x) = 2x²− 3;

• f (x) = x − 8;

• f (x) = |x + 4|;

• f (x) = −3x²;

• f (x) = −x²+ 4x;

• f (x) = |x²− 3|.

Esercizio 3. Determinare quando `e possibile f ◦ g e g ◦ f :

1

(20)

• f (x) = x + 2, g(x) = x − 3;

• f (x) = 2x²+ 1, g(x) = −x + 2;

• f (x) = 1

x, g(x) = x⁴;

• f (x) =√

x− 3, g(x) = x+2^x² ;

• f (x) =√

x, g(x) = |x − 2|;

• f (x) = x

x²+ 2, g(x) =√³ x+ 9;

• f (x) =p

x²− 7x + 4, g(x) = x + 3.

Esercizio 4. Determinare quando `e possibile l’inversa delle seguenti funzioni:

• f (x) = x + 4;

• f (x) = x²− 2;

• f (x) = x − 1;

• f (x) = −2x²+ 8;

• f (x) = |x − 5|.

Esercizi sulle funzioni esponenziali Esercizio 5. Determinare il dominio delle seguenti funzioni:

• f (x) = e^x+4;

• f (x) = e^x²⁻²;

• f (x) = x− 1 2^x ;

• f (x) = e^x−3^x+2;

• f (x) = e^|x+1|;

• f (x) = e^√^x²⁻⁴;

(21)

3

• f (x) =√ 3^x;

• f (x) = x+ 4 e^−3x+1.

Esercizio 6. Risolvere le seguenti equazioni:

• 2^x= 8;

• 1 2

2x

= 2⁴;

• 3^x+ 9 = 0;

• e^x− 1 = 0;

• e^2x+ 3e^x= 0;

• e^x⁻⁴ e^x+7 = 0;

• e^3x+ e^x= 0.

Esercizio 7. Risolvere le seguenti disequazioni:

• 2^x ≥ 16;

• 1 3

^x

≥ 1 27;

• e^x<−1;

• e^x≤ e⁴;

• 2e^x− 2 > 0;

• e^x²⁻⁹ 3x + 5 ≤ 0;

• 1 5

^x

≤ 1 25.

Esercizi sulle funzioni logaritmiche Esercizio 8. Determinare il dominio delle seguenti funzioni:

• f (x) = log x − 18;

(22)

• f (x) = ln (x²− 2);

• f (x) = ln(x − 1) 2^x ;

• f (x) = ln x²− 25 x+ 4

;

• f (x) = log |x + 4|;

• f (x) =√

ln x + 7;

• f (x) = ln 2e^x;

• f (x) = x+ 4 ln (−3x + 1).

• 5 ln x = 0;

• ln (2x) − 9 = 0;

• 3 log x + 9 = 0;

• ln x − 1 x+ 4

= 0;

• ln x − 1 ln (x + 4) = 0.

• log x ≥ 10;

• log¹₃ x≥ 1;

• ln x − 7 < −1;

• ln (x + 3) − ln (x²− 27) ≥ 0;

• ln x² ≤ 0;

• ln (x + 12) 3x − 6 ≤ 0.

(23)

5

Esercizi sulle funzioni trigonometriche Esercizio 11. Determinare il dominio delle seguenti funzioni:

• f (x) = cos (x + 3);

• f (x) = sin (x²);

• f (x) = tan x + 6;

• f (x) = cos (x − 2) sin x + 4 ;

• f (x) = cos

x

x²− 3x − 4

;

• f (x) = 3 sin x + 4x³;

• f (x) =√ cos x;

• f (x) = ln sin x.

Esercizio 12. Calcola coseno, seno, tangente e cotangente dei seguenti angoli:

3π 4 , 2π

3 , 5π 6 , 9π

6 , 11π 6 , 11π

3 , 12π 4 , 7π

4 , 5π 3 , 21π

4 . Esercizio 13. Risolvere le seguenti equazioni:

• cos x = 6;

• cos x = 1 2;

• cos x = −

√2 2 ;

• sin x =

√3 2 ;

• sin x = cos x;

• sin (3x + 5) = sin (8x²);

• tan x = −1.

• cos x ≥ 1 2;

(24)

• sin x ≤

√2 2 ;

• cos x + 4 ≤ 0;

• cos x + 4 ≥ 0;

• cos (x +π 3) ≤ 0;

• cos (x +5π 4 ) ≥ 0;

• sin x cos x ≥ 0;

• sin x < cos x.

(25)

docente: Giulia Giantesio, gntgli@unife.it Correzione esercizi sulle funzioni Esercizio 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni:

• f (x) = x + 2; R

• f (x) = x³+ 2x²− 3;R

• f (x) = x

x+ 1;x6= −1

• f (x) =√

x− 3;[3, +∞[

• f (x) =

r x

x²− 1; ] − 1, 0]∪]1, +∞[

• f (x) =

√x− 4

x³ ;[4, +∞[

• f (x) =p³

x²− 3x.R

Esercizio 2. Determinare il carattere delle seguenti funzioni (iniettiva, suriettiva, pari, dispari, limitata, eventuali punti di massimo e minimo assoluti o relativi) es- plicitando anche dominio e codominio:

• f (x) = x + 2; biiettiva, non limitata

• f (x) = 2x²− 3;suriettiva in [−3, +∞[, limitata inferiormente, minimo assoluto y = −3, punto di minimo assoluto in x = 0

• f (x) = x − 8; biiettiva, non limitata

• f (x) = |x + 4|; suriettiva in R⁺, limitata inferiormente, minimo assoluto y = 0, punto di minimo assoluto in x = −4

• f (x) = −3x²;suriettiva in ] − ∞, 0], limitata superiormente, massimo assoluto y = 0, punto di massimo assoluto in x = 0, funzione pari

• f (x) = −x²+ 4x; suriettiva in ] − ∞, 4], limitata superiormente, massimo assoluto y = 4, punto di massimo assoluto in x = 2

1

(26)

• f (x) = |x² − 3|. suriettiva in [0, +∞[, limitata inferiormente, massimo relativo y = 3, punto di massimo relativo in x = 0, minimo assoluto y = 0, punto di minimo relativo in x =√

3, x = −√ 3 Esercizio 3. Determinare quando `e possibile f ◦ g e g ◦ f :

• f (x) = x + 2, g(x) = x − 3;f ◦ g = g ◦ f = x − 1

• f (x) = 2x²+ 1, g(x) = −x + 2;f◦ g = 2(−x + 2)²+ 1, g ◦ f = −(2x²+ 1) + 2

• f (x) = 1

x, g(x) = x⁴;f◦ g non si pu`o fare, g ◦ f = x¹⁴

• f (x) =√

x− 3, g(x) = x+2^x² ;f ◦ g non si pu`o fare, g ◦ f = (√ x− 3)²

√x− 3 + 2

• f (x) =√

x, g(x) = |x − 2|; f◦ g =p|x − 2|, g ◦ f = |√ x− 2|

• f (x) = x

x²+ 2, g(x) = √³

x+ 9;f◦ g =

√3

x+ 9 (√³

x+ 9)²+ 2, g ◦ f = ³

r x

x²+ 2+ 9

• f (x) =p

x²− 7x + 4, g(x) = x + 3. f ◦ g non si pu`o fare, g◦ f =p

x²− 7x + 4 + 3

Esercizio 4. Determinare quando `e possibile l’inversa delle seguenti funzioni:

• f (x) = x + 4; f⁻¹(x) = x − 4

• f (x) = x²− 2; non `e iniettiva

• f (x) = x − 1; f⁻¹(x) = x + 1

• f (x) = −2x²+ 8;non `e iniettiva

• f (x) = |x − 5|non `e iniettiva.

Esercizi sulle funzioni esponenziali Esercizio 5. Determinare il dominio delle seguenti funzioni:

• f (x) = e^x+4;R

• f (x) = e^x²⁻²;R

• f (x) = x− 1 2^x ;R

(27)

3

• f (x) = e^x−3^x+2;x6= 3

• f (x) = e^|x+1|;R

• f (x) = e^√^x²⁻⁴; ] − ∞, −2] ∪ [2, +∞[

• f (x) =√ 3^x;R

• f (x) = x+ 4 e^−3x+1 R.

• 2^x= 8;x= 3

• 1 2

^2x

= 2⁴;x= −2

• 3^x+ 9 = 0; impossibile

• e^x− 1 = 0; x= 0

• e^2x+ 3e^x= 0; impossibile

• e^x⁻⁴

e^x+7 = 0; impossibile

• e^3x+ e^x= 0. impossibile

• 2^x ≥ 16; x≥ 4

• 1 3

^x

≥ 1

27;x≤ 3

• e^x<−1; impossibile

• e^x≤ e⁴;x≤ 4

• 2e^x− 2 > 0;x >0

• e^x²⁻⁹

3x + 5 ≤ 0;x <−5 3

(28)

• 1 5

^x

≤ 1

25.x≥ 2

Esercizi sulle funzioni logaritmiche Esercizio 8. Determinare il dominio delle seguenti funzioni:

• f (x) = log x − 18; x >0

• f (x) = ln (x²− 2);] − ∞, −√ 2[∪]√

2, +∞[

• f (x) = ln(x − 1)

2^x ;x >1

• f (x) = ln x²− 25 x+ 4

;] − 5, −4[∪]5, +∞[

• f (x) = log |x + 4|;R\ {−4}

• f (x) =√

ln x + 7;[e⁻⁷,+∞[

• f (x) = ln (2e^x);R

• f (x) = x+ 4

ln (−3x + 1).x < 1

3 ∧ x 6= 0 Esercizio 9. Risolvere le seguenti equazioni:

• 5 ln x = 0;x= 1

• ln (2x) − 9 = 0;x= e⁹ 2

• 3 log x + 9 = 0; x= e⁻³

• ln x − 1 x+ 4

= 0;impossibile

• ln x − 1

ln (x + 4) = 0. x= e

• log x ≥ 10; x≥ 10¹⁰

• log¹₃ x ≥ 1; 0 < x ≤ ¹3 (N.B: bisogna sempre tenere conto del dominio del logaritmo)

(29)

5

• ln x − 7 < −1;0 < x < e⁶

• ln (x + 3) − ln (x²− 27) ≥ 0; ]√ 27, 6]

• ln x² ≤ 0;[−1, 0[∪]0, 1]

• ln (x + 12)

3x − 6 ≤ 0 −11 ≤ x < 2.

Esercizi sulle funzioni trigonometriche Esercizio 11. Determinare il dominio delle seguenti funzioni:

• f (x) = cos (x + 3);R

• f (x) = sin (x²);R

• f (x) = tan x + 6;R

• f (x) = cos (x − 2) sin x + 4 ;R

• f (x) = cos

x

x²− 3x − 4

;x6= 4, x 6= −1

• f (x) = 3 sin x + 4x³;R

• f (x) =√

cos x;0 ≤ x ≤ ^π2 ∨ ^3π2 ≤ x < 2π

• f (x) = ln sin x0 < x < π.

Esercizio 12. Calcola coseno, seno, tangente e cotangente dei seguenti angoli:

3π 4 , 2π

3 , 5π 6 , 9π

6 , 11π 6 , 11π

3 , 12π 4 , 7π

4 , 5π 3 , 21π

4 . Esercizio 13. Risolvere le seguenti equazioni:

• cos x = 6;impossibile

• cos x = 1

2;x= ^π₃, x= ^5π₃

• cos x = −

√2

2 ;x= ^3π₄ , x= ^5π₄

• sin x =

√3

2 ;x= ^π₃, x= ^2π₃

(30)

• sin x = cos x;x= ^π₄, x= ^5π₄

• sin (3x + 5) = sin (8x²);`e equivalente a risolvere le due equazioni di secondo grado: 3x + 5 = 8x² e 3x + 5 = π − 8x²

• tan x = −1. x= ^3π₄ , x= ^7π₄

• cos x ≥ 1

2;0 ≤ x ≤ ^π3 ∨^5π3 ≤ x < 2π

• sin x ≤

√2

2 ;0 ≤ x ≤ ^π4 ∨ ^3π4 ≤ x < 2π

• cos x + 4 ≤ 0;impossibile

• cos x + 4 ≥ 0;R

• cos (x +π

3) ≤ 0; ^π6 ≤ x ≤ ^7π6

• cos (x +5π

4 ) ≥ 0; ^π4 ≤ x ≤ ^5π4

• sin x cos x ≥ 0;0 ≤ x ≤ ^π2 ∨ π ≤ x ≤ ^3π2

• sin x < cos x.0 ≤ x ≤ ^π4 ∨ ^5π4 ≤ x < 2π

(31)

docente: Giulia Giantesio, gntgli@unife.it Esercizi 4: Limiti di una funzione Calcolare i seguenti limiti.

Esercizio 1. lim

x→2⁺

3 − 2x 2 − x Soluzione

. +∞

Esercizio 2. lim

x→−3−

−x + 2 x+ 3 Soluzione. −∞

Esercizio 3. lim

x→2−

x − 1 x − 2 Soluzione

. −∞

Esercizio 4. lim

x→2⁺

r 3x x − 2 Soluzione

. +∞

Esercizio 5. lim

x→1−

ln1 − x x+ 4

Soluzione

. −∞

Esercizio 6. lim

x→1⁺

e

x+2 x−1

Soluzione . +∞

Esercizio 7. lim

x→1−

e

x+2 x−1

Soluzione . 0

1

(32)

Esercizio 8. lim

x→+∞

√ x²+ 8 2x − 7 Soluzione

. 1 2 Esercizio 9. lim

x→−∞

√ x²+ 1 x+ 1 Soluzione

. −1 Esercizio 10. lim

x→+∞ln2x + 5 x+ 1

Soluzione

. ln 2 Esercizio 11. lim

x→−∞ln x²− 5x 1 − x

Soluzione

. +∞

Esercizio 12. lim

x→−∞ln(−x³− 4x²+ 2) Soluzione

. +∞

Esercizio 13. lim

x→−∞

e

x2+1 x−1

Soluzione . 0 Esercizio 14. lim

x→+∞

e

x3+2 x2 −1

Soluzione. +∞

Esercizio 15. lim

x→3−

x − 1 x²− 8x + 15 Soluzione

. +∞

Esercizio 16. lim

x→−5−

x − 1 x²+ 3x − 10 Soluzione

. −∞

Esercizio 17. lim

x→−∞

5x³− 6x²+ 7x − 1 8x³+ x − 3 Soluzione

. 5 8

(33)

3

Esercizio 18. lim

x→−2⁻

x²+ 5x + 6 x²+ 4x + 4 Soluzione

. −∞

Esercizio 19. lim

x→+∞

6x³− x²+ 7 8x³− 2x²+ x − 1 Soluzione

x→−3⁺

x²+ 5x + 6 x²+ 6x + 9 Soluzione

. −∞

Esercizio 21. lim

x→−∞

6x³− x²+ 7 8x⁴− 2x³+ 9x²− 1 Soluzione

. 0 Esercizio 22. lim

x→+∞

3x³− 5x²− 2 5x³− 2x²− 7x − 1 Soluzione

x→0

x³+ 3x²+ x x²− 4x Soluzione

. −1 4 Esercizio 24. lim

x→4

x²− 7x + 12 x²+ x − 20 Soluzione.

1 9 Esercizio 25. lim

x→+∞

7x³− 2x²+ x − 8 9x⁴− 3x³+ 10x²− 2 Soluzione

x→−∞

−4x³+ 6x²+ 3 10x³− 4x²− 9x − 5 Soluzione

. −2 5

(34)

Esercizio 27. lim

x→0

2x³+ 6x²− 5x 3x²− 4x Soluzione

x→5

x²+ x − 30 x²− 13x + 40 Soluzione

. − 11

3 Esercizio 29. lim

x→+∞

4x³− x²+ 2x + 2 7x²+ 3x − 1 Soluzione. +∞

Esercizio 30. lim

x→−∞

x²+ 4x + 3 1 − x Soluzione

. +∞

Esercizio 31. lim

x→+∞(p

x²+ 4x + 1 − x) Soluzione

x→−∞(p

x²+ 6x −p

x²− 3) Soluzione. −3

Esercizio 33. lim

x→+∞(p

4x²+ 1 − x) Soluzione

. +∞

Esercizio 34. lim

x→−∞

(√

3 − x −√ 1 − x) Soluzione. 0

(35)

docente: Giulia Giantesio, gntgli@unife.it

Esercizi 5: Limiti, asintoti, studio parziale del grafico di una funzione e derivate

Limiti notevoli Calcolare i seguenti limiti.

Esercizio 1. lim

x→0

tgx x Soluzione

x→0⁺

sin x³ x⁴ Soluzione. +∞

Esercizio 3. lim

x→0⁺

sin√ x 3√

x Soluzione

x→0

sin²x x Soluzione. 0 Esercizio 5. lim

x→0−

sin x x⁴ Soluzione

. −∞

Esercizio 6. lim

x→0

sin 6x 3x − x²

Soluzione

x→0

3x + 5 sin x 4x + 7 sin x Soluzione

x→∞

x − 1 x

6x

Soluzione . e⁻⁶

1

(36)

Esercizio 9. lim

x→∞

1 + 1 x+ 2

^x

porre t = x + 2 Soluzione

. e Esercizio 10. lim

x→∞

1 − 4 x+ 3

x+2

Soluzione . e⁻⁴ Esercizio 11. lim

x→∞

1 + 1 x − 5

3x

Soluzione. e³ Esercizio 12. lim

x→0

ln(1 − 7x) x Soluzione

x→+∞

ln²(x + 1)

√x+ 2 Soluzione

x→+∞

e^x

√3

x⁴+ 3 Soluzione. +∞

Limiti Calcolare i seguenti limiti.

Esercizio 15. lim

x→+∞

e^x+ 1 e^x Soluzione

x→2⁺

1 3

_2−x¹

Soluzione . +∞

Esercizio 17. lim

x→0ln1 − x² 1 + x² Soluzione. 0

Esercizio 18. lim

x→+∞ln1 + x² x²− 1 Soluzione

. 0

(37)

3

Esercizio 19. lim

x→−∞

ln1 + x² x²− 1 Soluzione

x→0

sin(2x) xcos x Soluzione

x→1

√x − 1 x − 1 Soluzione

x→+∞

3e^x− 5 1 + 4e^x Soluzione

x→−∞

3e^x− 5 1 + 4e^x Soluzione

x→1−

1 2

^1−3x

1−x

Soluzione . +∞

Esercizio 25. lim

x→1⁺

1 2

^1−3x_1−x Soluzione

x→2

2x²− x − 6 x − 2 Soluzione. 7

Esercizio 27. lim

x→+∞

ln x² e^x Soluzione

x→+∞

3e⁴+ x e^x Soluzione

x→+∞

2^3x−1 x³+ 7 Soluzione

. +∞

(38)

Studio parziale del grafico di una funzione

Determinare il dominio, le eventuali intersezioni con gli assi, il segno, le eventuali simmetrie particolari e gli eventuali asintoti delle seguenti funzioni (gli asintoti delle funzioni sono specificati nelle varie soluzioni).

Esercizio 1. y= x x²− 4 Soluzione

. x= −2, x = 2 asintoti verticali; y = 0 asintoto orizzontale.

Esercizio 2. y= 3x²+ 7 x²− 5x + 6 Soluzione

. x= 2, x = 3 asintoti verticali; y = 3 asintoto orizzontale.

Esercizio 3. y= x²− 4x 1 − x

Soluzione. x= 1 asintoto verticale; y = −x + 3 asintoto obliquo Esercizio 4. y= x²− 5x + 4

x − 5 Soluzione

. x= 5 asintoto verticale; y = x asintoto obliquo.

Esercizio 5. y= 2x²− 2x + 3 x+ 2 Soluzione

. x= −2 asintoto verticale; y = 2 x − 6 asintoto obliquo Esercizio 6. y= 4x²− 8x − 5

3x + 6

Soluzione. x= −2 asintoto verticale; y = 4

3x −16

3 asintoto obliquo.

Esercizio 7. y= x · e^−x Soluzione

. y = 0 asintoto orizzontale per x → +∞.

Esercizio 8. y= e^2x−2^x+1 Soluzione

. x= 1 asintoto verticale destro; y =√easintoto orizzontale.

Esercizio 9. y= x −p

x²− 2x Soluzione

. y = 1 asintoto orizzontale per x→ +∞; y = 2 x − 1 asintoto obliquo per x → −∞.

Esercizio 10. y= 2x −p x²− 4

(39)

5

Soluzione

. y = x asintoto obliquo per x → +∞; y = 3 x asintoto obliquo per x → −∞.

Determinare il dominio, le eventuali intersezioni con gli assi, il segno, le eventuali simmetrie particolari e gli eventuali asintoti delle seguenti funzioni (senza soluzioni).

Esercizio 11. y= x − 1

√x²+ x − 2 Esercizio 12. y= e^x− 1

e^x+ 1 Esercizio 13. y= ln x − 1

x²+ 4 Esercizio 14. y= ln x − 1

x²− 4 Esercizio 15. y=p

x²− 6x Esercizio 16. y= p³

x²− 6x Esercizio 17. y= 2^x−3^x+2 Esercizio 18. y= 1

3

^x+2

x−8

Esercizio 19. y= 1 + ln x ln x Esercizio 20. y= ln x

2^x− 4 Esercizio 21. y= x+ 5

ln x Esercizio 22. y= e^x

x²− 4x + 3

Derivate (sfruttando la definizione)

Calcolare il rapporto incrementale delle seguenti funzioni nel punto x0e nell’incremento h segnato a fianco di ciascuna.

Esercizio 1. y= 2x − x³ (x0 = 1, h = 1) Soluzione. −5

Esercizio 2. y= 2x − 1

x+ 1 (x0 = 0, h = 1)

(40)

Soluzione .

3 2

Esercizio 3. y= e^2x−1 (x0 = 1

2, h= 1 4) Soluzione. 4(√

e − 1) Esercizio 4. y= 3 +√

x − 3 (x⁰ = 3, h = 1) Soluzione

. 1

Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata delle seguenti funzioni nel punto x0 segnato a fianco di ciascuna.

Esercizio 5. y= x²+ 1 (x0= 0) Soluzione

. 0 Esercizio 6. y=√

x (x0 = 4) Soluzione

. 1 4

Esercizio 7. y= e^2x+ 1 (x0 = 0) Soluzione

. 2

Esercizio 8. y= 2x − 3

x (x0 = 1) Soluzione

. 3

(41)

docente: Giulia Giantesio, gntgli@unife.it

Esercizi 6: Derivata di una funzione e sue applicazioni Calcolare la derivata prima delle seguenti funzioni.

Esercizio 1. f(x) = 3x + 4 ln x − 2e^x+ 3 cos x Soluzione

.

f^′(x) = 3 · D(x) + 4 · D(ln x) − 2 · D(e^x) + 3 · D(cos x) =

= 3 + 4 · 1

x − 2 e^x+ 3 · (− sin x) =

= 3 + 4

x − 2 e^x− 3 sin x Esercizio 2. f(x) = 4x + 2 ln x − 3e^x− 5 sin x Esercizio 3. f(x) = x⁵+ 7x⁴− 2x³+ 3x − 1 Esercizio 4. f(x) = x³+√

x− e^2x+ ln x Esercizio 5. f(x) = 1

2x⁴− 2

3x³− 5x²+ 2x − 4 Esercizio 6. f(x) = 1

4x⁴+ 4

3x³− 6x²− 3x + 1 Esercizio 7. f(x) = x⁴+√³

x− ln x + e^x− arctg x Soluzione

. Abbiamo f (x) = x⁴+ x¹³ − ln x + e^x− arctg x, quindi f^′(x) = 4 x³+1

3x⁻²³ − 1

x+ e^x− 1 1 + x² =

= 4 x³+1 3

1

√3

x² − 1

x + e^x− 1 1 + x² Esercizio 8. f(x) = 1

x + 1 x³ − 1

x⁴

Soluzione. Abbiamo f (x) = x⁻¹+ x⁻³− x⁻⁴, quindi f^′(x) = −x⁻²− 3x⁻⁴− (−4x⁻⁵) = −1

x² − 3 x⁴ + 4

x⁵ Esercizio 9. f(x) = −1

x + 1 x² + 1

x⁵

1

(42)

2

Esercizio 10. f(x) = √⁵

x³+√³

x²− 1

√5

x Soluzione

. f^′(x) = 3 5√⁵

x² + 2 3√³

x + 1 5√⁵

x⁶ Esercizio 11. f(x) = √⁵

x⁴−√³

x²+ 1

√5

x Esercizio 12. f(x) = (x³+ 2x²+ x) · ln x

Soluzione. Per la regola di derivazione del prodotto:

f^′(x) =

D(x³+ 2x²+ x)

· ln x + (x³+ 2x²+ x) · D(ln x) =

= (3x²+ 4x + 1) · ln x + (x³+ 2x²+ x) · 1 x =

= (3x²+ 4x + 1) · ln x + x²+ 2x + 1 Esercizio 13. f(x) = (x³− x²+ 2x) · sin x

Esercizio 14. f(x) = (3x − 2) · (x²+ 4x − 3) Esercizio 15. f(x) = (2x + 3) · (x²+ 3x − 1) Esercizio 16. f(x) = x²− 3x + 5

x²− 1

Soluzione. Per la regola di derivazione del rapporto:

f^′(x) =

D(x²− 3x + 5)

· (x²− 1) − (x²− 3x + 5) · D(x²− 1)

(x²− 1)² =

= (2x − 3) · (x²− 1) − (x²− 3x + 5) · (2x)

(x²− 1)² =

= 2x³− 2x − 3x²+ 3 − 2x³+ 6x²− 10x

(x²− 1)² = 3x²− 12x + 3 (x²− 1)² Esercizio 17. f(x) = x³− 2 ln x

x Esercizio 18. f(x) = 3x²− 2x + 1

x²− 2 Soluzione

. f^′(x) = 2(x²− 7x + 2) (x²− 2)² Esercizio 19. f(x) = x²− 3 cos x

x

(43)

3

Esercizio 20. f(x) = (x²− 3x − 5) · (3x²− 2x + 1) + x²+ 1 3(x²− 1) Soluzione

. f^′(x) = 12x³− 33x²− 16x + 7 − 4x 3(x²− 1)² Esercizio 21. f(x) = (2x²− x) · ln x

x²− x − 2 Soluzione

. Dobbiamo applicare la regola di derivazione del rapporto, tenendo presente che il numeratore `e un prodotto:

f^′(x) = [D((2x²− x) · ln x)] · (x²− x − 2) − [(2x²− x) · ln x] · [D(x²− x − 2)]

(x²− x − 2)² =

= [(4x − 1) · ln x + (2x²− x) ·_x¹] · (x²− x − 2) − [(2x²− x) · ln x] · (2x − 1)

(x²− x − 2)² =

= [(4x − 1) · ln x + (2x − 1)] · (x²− x − 2) − (4x³− 4x²+ x) · ln x

(x²− x − 2)² =

= (4x³− 5x²− 7x + 2) · ln x + (2x³− 3x²− 3x + 2) − (4x³− 4x²+ x) · ln x

(x²− x − 2)² =

= (−x²− 8x + 2) · ln x + 2x³− 3x²− 3x + 2

(x²− x − 2)² .

Esercizio 22. f(x) = x²+ 5x + 6 x²+ 4x + 4 Soluzione

. f^′(x) = − 1

x²+ 4x + 4 = − 1 (x + 2)² Esercizio 23. f(x) = x²+ 5x + 4

x²+ 6x + 9 Soluzione

. f^′(x) = x+ 7 (x + 3)³ Esercizio 24. f(x) = (3x²− 2x + 1)⁵

Soluzione

. Dobbiamo applicare la regola di derivazione della funzione composta:

D[f (x)ⁿ] = n f (x)ⁿ⁻¹· f^′(x);

dunque

f^′(x) = 5 (3x²− 2x + 1)⁴· [D(3x²− 2x + 1)] = 5 (3x²− 2x + 1)⁴· (6x − 2).

Esercizio 25. f(x) = (7x³− 2x²+ 3x)⁴