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Find n→∞lim n n Y m=1  1 − 1 m+ 5 4m2

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Academic year: 2021

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Problem 11456

(American Mathematical Monthly, Vol.116, October 2009) Proposed by R. Mortini (France).

Find

n→∞lim n

n

Y

m=1

 1 − 1

m+ 5 4m2

 .

Solution proposed by Roberto Tauraso, Dipartimento di Matematica, Universit`a di Roma “Tor Vergata”, via della Ricerca Scientifica, 00133 Roma, Italy.

Let z = −21+ i then

eγz

n

Y

m=1

1 + z m

e−z/m·eγz

n

Y

m=1

 1 + z

m



e−z/m= eHn−γ

n

Y

m=1

1 +

z m

2= eHn−γ

n n

n

Y

m=1

 1 − 1

m+ 5 4m2



where Hn =Pn k=11

k. Since Hn= log n + γ + o(1) then eHn−γ/n → 1.

Moreover, by Gamma function’s definition 1

zΓ(z) = eγz

∞

Y

m=1

1 + z m

e−z/m.

Hence

n→∞lim n

n

Y

m=1

 1 − 1

m+ 5 4m2



= 1

zΓ(z)· 1

zΓ(z) = 1

Γ(z + 1)· 1 Γ(z + 1). Finally, since z + 1 = 12+ i and z + 1 = 12 −i = 1 − (z + 1), by the reflection property

n→∞lim n

n

Y

m=1

 1 − 1

m + 5 4m2



=sin(π(z + 1))

π = cos(iπ)

π =cosh(π) π .



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