ALGEBRA 1 AA. 2020/2021 FOGLIO ESERCIZI 11
MARTINA LANINI
(1) Si considerino le seguenti permutazioni di Snespresse come matrici 2×n e si esprimano come prodotto di cicli disgiunti:
1 2 3 4 5 5 1 4 2 3
,
1 2 3 4 5 6 6 3 2 1 4 5
,
1 2 3 4 5 6 7 8 2 1 8 5 6 7 3 4
Si determinino inoltre i loro inversi e si esprimano come prodotto di cicli disgiunti.
(2) Si considerino i seguenti elementi di S5:
τ = (12)(34), σ = (1425), ρ = (13)(245) (a) Si determino le permutazioni
σ2, τ στ, ρ2σ, ρτ, τ ρ
(rappresentandole sia come cicli disgiunti che come matrici 2 × 5).
(b) Si determini l’ordine di ciascuno degli elementi del punto prece- dente.
(c) Si determinino gli elementi di S5che appartengono al gruppo ciclico generato da σ.
(d) Si dica quali tra gli elementi del punto (a) sono permutazioni pari.
(3) (a) Si dimostri che il gruppo simmetrico S3`e isomorfo al gruppo diedrale D3.
(b) Si dica se il gruppo alterno A4`e isomorfo o meno al gruppo diedrale D6.
(4) Si dica (fornendo una spiegazione) se S `e un sottoanello o meno di R, per le coppie S ⊆ R seguenti:
(a) S = {numeri interi pari}, R = Z;
(b) S = {numeri interi dispari}, R = Z;
(c) S = {a + b√3
7y | a, b ∈ Z}, R = R;
(d) S = {a + b√
7 | a, b ∈ Z}, R = R;
(e) S = {(aij)1≤i,j≤n ∈ Matn×n(Z) | aij = 0 ∀i < j}, R = Matn×n(Z).
(5) Si dica (fornendo una spiegazione) quali delle seguenti funzioni sono omomorfismi di anelli:
(a) sia a ∈ Z,
ϕ1: Z → Z, m 7→ am (b) ϕ2: Z6 → Z3, [m]6 7→ [m]3;
(c) sia a ∈ R,
ϕ3 : R[x] → R, f 7→ f (a);
1
2 MARTINA LANINI
(d) sia n ≥ 2,
ϕ4 : Matn×n(Z75) → Z75,
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n
...
an1 an2 . . . ann
7→ a11;
(e) sia n ≥ 1,
ϕ5 : Q → Matn×n(Q), a 7→
a 0 0 . . . 0 0 a 0 . . . 0 0 0 a . . . 0
... 0
0 0 0 . . . a
;
(f) sia n ≥ 2, definiamo
ϕ6 : Matn×n(R) → R, M 7→ det(M );
(g) sia n ≥ 2, definiamo
ϕ7 : Matn×n(R) → R, M 7→ Tr(M );
(6) Sia R un anello tale che x2 = x per ogni x ∈ R. Si dimostri che R deve essere commutativo.
