Formulario di Analisi Uno

Formulario di Analisi Uno

Sviluppi asintotici

e ^x = 1 + x + x ²

2! + · · · + x ^p

p! + o(x ^p ) oppure (+O(x ^p+1 ))

cos x = 1 − x ²

2! + · · · + (−1) ^p x ^2p

(2p)! + o(x ^2p+1 ) oppure (+O(x ^2p+2 ))

sin x = x − x ³

3! + · · · + (−1) ^p x ^2p+1

(2p + 1)! + o(x ^2p+2 ) oppure (+O(x ^2p+3 )) cosh x = 1 + x ²

2! + · · · + x ^2p

(2p)! + o(x ^2p+1 ) oppure (+O(x ^2p+2 ))

sinh x = x + x ³

3! + · · · + x ^2p+1

(2p + 1)! + o(x ^2p+2 ) oppure (+O(x ^2p+3 ))

(1 + x) ^α = 1 + αx + α(α − 1)

2 x ² + · · · + α p



x ^p + o(x ^p ) oppure (+O(x ^p+1 )) log(1 + x) = x − x ²

2 + x ³

3 − · · · + (−1) ^p−1 x ^p

p + o(x ^p ) oppure (+O(x ^p+1 ))

arctan x = x − x ³ 3 + x ⁵

5 − · · · + (−1) ^p x ^2p+1

2p + 1 + o(x ^2p+2 ) oppure (+O(x ^2p+3 )) arcsin x = x + 1

2 x ³

3 + 1.3 2.4

x ⁵

5 + · · · + (2p − 1)!!

(2p)!!

x ^2p+1

2p + 1 + o(x ^2p+2 ) oppure (+O(x ^2p+3 )) settanh x = x + x ³

3 + x ⁵

5 + · · · + x ^2p+1

2p + 1 + o(x ^2p+2 ) oppure (+O(x ^2p+3 ))

settsinh x = x − 1 2

x ³ 3 + 1.3

2.4 x ⁵

5 − · · · + (−1) ^p (2p − 1)!!

(2p)!!

x ^2p+1

2p + 1 + o(x ^2p+2 ) oppure (+O(x ^2p+3 )) tan x = x + x ³

3 + 2x ⁵

5 + 17x ⁷

315 + o(x ⁸ ) oppure (+O(x ⁹ ))

tanh x = x − x ³ 3 + 2x ⁵

5 − 17x ⁷

315 + o(x ⁸ ) oppure (+O(x ⁹ ))

Qualche identit` a

settsinh x = log  x + p

x ² + 1 

(x ∈ R); settcosh x = log  x + p

x ² − 1 

(x ≥ 1), settanh x = 1

2 log 1 + x

1 − x (|x| < 1); settcotanh x = 1

2 log x + 1

x − 1 (|x| > 1).

arccos x + arcsin x = π

2 (|x| ≤ 1); arctan x + arccotan x = π

2 (x ∈ R).

arctan x + arctan  1 x



= π

2 sgn x x ∈ R r {0}.

formula del Binomio (x + y) ^m =

m

X

k=0

m k



x ^m−k y ^k m ∈ N, x, y in un anello commutativo qualsiasi

α p



= α(α − 1) . . . (α − (p − 1))

p! α ∈ C, p ∈ N; α

p



= α − 1 p − 1



+ α − 1 p

 p ≥ 1 (2p − 1)!! = (2p − 1)(2p − 3) . . . 1; (−1)!! = 1; (2p)!! = (2p)(2p − 2) . . . 2 = 2 ^p p!; 0!! = 1;

disuguaglianze importanti 1 + x < e ^x < 1

1 − x (x < 1, x 6= 0); x

x + 1 < log(1 + x) < x, (−1 < x, x 6= 0)

1

2

Resto in forma integrale della formula di Taylor Z x

c

(x − t) ^m−1

(m − 1)! f ^(m) (t) dt = (x − c) ^m m!

Z 1 0

m(1 − θ) ^m−1 f ^(m) (c + θ(x − c)) dθ.

Abel

q

X

r=p

a r b r = (α q b q − α p−1 b p ) −

q−1

X

s=p

(b s+1 − b s )α s , α r − α r−1 = a r per r = p, p + 1, . . . , q.

Maggiorazione del resto     

∞

X

n=m+1

a _n b _n     

≤ sup{

p

X

k=1

a _m+k     

: p ≥ 1}

∞

X

j=m+1

|b _j+1 − b _j | m ∈ N

Formule trigonometriche.

Addizione:

(1) cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b; sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b . Duplicazione:

(2) sin 2a = 2 sin a cos a; cos 2a = cos ² a − sin ² a . Bisezione:

(3) sin ² a

2 = 1 − cos a

2 ; cos ² a

2 = 1 + cos a

2 .

Werner:

cos a cos b = cos(a + b) + cos(a − b)

2 ;

(4)

sin a sin b = cos(a − b) − cos(a + b)

2 ;

(5)

sin a cos b = sin(a + b) + sin(a − b)

2 .

(6)

Parametrizzazione razionale del circolo:

(7) cos ϑ = 1 − tan ² (ϑ/2)

1 + tan ² (ϑ/2) ; sin ϑ = 2 tan(ϑ/2) 1 + tan ² (ϑ/2) . Formule di Eulero (∀t ∈ C):

(8) e ^it = cos t + i sin t; cos t = e ^it + e ^−it

2 ; sin t = e ^it − e ^−it

2i .

Relazioni tra funzioni circolari ed iperboliche nei complessi (∀t ∈ C, x, y ∈ R):

cos(it) = cosh t; cosh(it) = cos t;

(9)

sin(it) = i sinh t; sinh(it) = i sin t;

(10)

tan(it) = i tanh t; tanh(it) = i tan t;

(11)

cotan(it) = −i cotanh t; cotanh(it) = −i cotan t;

(12)

cos(x + iy) = cos x cosh y − i sin x sinh y;

(13)

sin(x + iy) = sin x cosh y + i cos x sinh y;

(14)

| cos(x + iy)| ² = cos ² x + sinh ² y;

(15)

| sin(x + iy)| ² = sin ² x + sinh ² y . (16)

Argomento principale, arg : C \ R − → ]−π, π[, definito da

arg(s) =



 

 

arctan(y/x) x = Re s > 0, arccotan(x/y) y = Im s > 0, arccotan(x/y) − π y = Im s < 0;

(17)

arg(−a) = π se a > 0;

(18)

l’argomento con valori in ]α − π, α + π[ si ottiene da quello principale con la formula

(19) arg _α (s) = α + arg(e ^−iα s) .

3

Logaritmo principale, log : C \ R − → C:

log s = log |s| + i arg s;

(20)

log(ab) = log a + log b se −π < arg a + arg b ≤ π;

(21)

log(a/b) = log a − log b se −π < arg a − arg b ≤ π.

(22)

Determinazione principale della potenza (a ∈ C \ {0}, b ∈ C):

a ^b := exp(b log a) = exp(b(log |a| + i arg a));

(23)

a ^b a ^c = a ^b+c ∀a ∈ C \ {0}, b, c ∈ C;

(24)

|a ^b | = a ^{Re b} ∀a > 0;

(25)

a ^c b ^c = (ab) ^c se −π < arg a + arg b ≤ π, a, b ∈ C \ {0};

(26)

a ^c /b ^c = (a/b) ^c se −π < arg a − arg b ≤ π, a, b ∈ C \ {0}.

(27)

Integrali immediati Z

(u(x)) ^α u ⁰ (x) dx = (u(x)) ^α+1

α + 1 + k se α 6= −1;

(28)

Z u ⁰ (x)

u(x) dx = log |u(x)| + k se u(x) non ` e mai nullo (29)

Z

e ^u(x) u ⁰ (x) dx = e ^u(x) + k (30)

Z

log ^α |u(x)| u ⁰ (x)

u(x) dx = log ^α+1 |u(x)|

α + 1 + k se α 6= −1 ed u(x) non ` e mai nullo (31)

Z

cos(u(x))u ⁰ (x) dx = sin(u(x)) + k (32)

Z

sin(u(x))u ⁰ (x) dx = − cos(u(x)) + k (33)

Z u ⁰ (x)

p1 − (u(x)) ² dx = arcsin(u(x)) + k se |u(x)| < 1 per ogni x ∈ X (34)

Z u ⁰ (x)

1 + (u(x)) ² dx = arctan(u(x)) + k (35)

Z u ⁰ (x)

p1 + (u(x)) ² dx = settsh(u(x)) + k (36)

Z u ⁰ (x)

p(u(x)) ² − 1 dx = settcosh(u(x)) + k se u(x) > 1 per ogni x ∈ X (37)

Z u ⁰ (x)

1 − (u(x)) ² dx = 1 2 log

1 + u(x) 1 − u(x)    

+ k se |u(x)| 6= 1, per ogni x ∈ X; in particolare (38)

Z u ⁰ (x)

1 − (u(x)) ² dx = setttanh(u(x)) + k se |u(x)| < 1 per ogni x ∈ X (39)

Z dx

x − (a + ib) = log(x − (a + ib)) + k se a, b reali, b 6= 0, e log ` e il logaritmo principale:

(40)

log(x − (a + ib)) = log p

(x − a) ² + b ² + i



arctan  x − a b



− π 2 sgn b



a, b ∈ R, b 6= 0.

Equazione differenziale lineare non omogenea del secondo ordine y ⁰⁰ + py ⁰ + qy = b(t) ⇐⇒ (D ² − (α + β)D + αβ)y = b; b ∈ C ⁰ (I, C); p, q costanti;

la soluzione ϕ tale che ϕ(t ₀ ) = ϕ ⁰ (t ₀ ) = 0 ` e ϕ(t) =

Z t t

e ^α(t−θ) − e ^β(t−θ)

α − β b(θ) dθ se α 6= β; ϕ(t) = Z t

t

(t − θ)e ^α(t−θ) b(θ) dθ se α = β;

4

se β = ¯ α = a − iω allora

ϕ(t) = Z t

t

e ^a(t−θ) sin(ω(t − θ))

ω b(θ) dθ.