TEMI D’ESAME ANALISI MATEMATICA 2
Attenzione: Per esercitare lo spirito critico degli eventuali lettori, nelle soluzioni sono stati volutamente inseriti un
certo numero di errori ed omissioni !
no: 007 Nome: James Bond Analisi Matematica 2 - Novembre 2003
1) Determinare l’insieme X di convergenza ed il limite f (x) della successione fn(x) = exp (x n)2 . Stabilire se su tale insieme la convergenza è uniforme e se
Z
X\fx 0g
n!+1lim fn(x) dx = lim
n!+1
(Z
X\fx 0g
fn(x)dx )
; Z
X\fx 0g
n!+1lim fn(x) dx = lim
n!+1
(Z
X\fx 0g
fn(x)dx )
:
Per ogni x il limite è 0. La convergenza è uniforme sui compatti ma non sull’intero asse reale.
Z
X\fx 0g
n!+1lim fn(x) dx = lim
n!+1
(Z
X\fx 0g
fn(x)dx )
= 0:
Z
X\fx 0g
n!+1lim fn(x) dx = 0; lim
n!+1
(Z
X\fx 0g
fn(x)dx )
=p
2) Determinare i massimi e minimi relativi ed assoluti ed i punti di sella della funzione x3+ y3 3xy.
Gradiente rF (x; y) = 3x2 3y; 3y2 3x . Hessiano rF (x; y) = 6x 3
3 6y .
Il punto (0; 0) è una sella ed il punto (1; 1) un minimo relativo, non ci sono massimi.
3) Calcolare il polinomio di Taylor di 2ogrado centrato in (1; 1) della funzione x
x2+ y2.
@
@x x
x2+ y2 = y2 x2 (x2+ y2)2;
@
@y x
x2+ y2 = 2xy (x2+ y2)2;
@2
@x2 x
x2+ y2 =2x3 6xy2 (x2+ y2)3;
@2
@y2 x
x2+ y2 =6xy2 2x3 (x2+ y2)3;
@2
@x@y x
x2+ y2 = 6x2y 2y3 (x2+ y2)3; x
x2+ y2 = 1 2
1
2(y 1) 1
4(x 1)2+1
2(x 1)(y 1) +1
4(y 1)2+ :::
4) Calcolare il volume dell’intersezione tra il cono C = x2+ y2 z2; z 0 e la sfera S = x2+ y2+ z2 R2 .
Z Z Z
C\S
dxdydz = Z R
0 2d
Z =4 0
sin(#)d#
Z 2 0
d' = 2 p 2 1 3p
2 R3: 5) Determinare l’equazione in coordinate polari della lemniscata x2+ y2 2= x2 y2. Calcolare l’area nell’anello di lemniscata x2+ y2 2 x2 y2con x 0.
Scrivere l’integrale che dà la lunghezza dell’anello di lemniscata x2+ y2 2 = x2 y2 con x 0.
La lemniscata di Bernoulli x2+ y2 2= x2 y2
In coordinate polari la lemniscata ha equazione 2 = cos(2#), l’equazione parametrica è
x =p
cos(2#) cos(#);
y =p
cos(2#) sin(#):
L’anello di lemniscata ha equazione
q
cos2(#) sin2(#) con =4
# =4, quindi l’area è Z =4
=4
Z pcos2(#) sin2(#) 0
d d# = Z =4
=4
cos2(#) sin2(#)
2 d# = 1=2:
Calcoliamo l’area utilizzando la formula di Gauss-Green Z Z
dxdy = Z
@
xdy:
Z =4
=4
xdy = Z =4
=4
pcos(2#) cos(#) 4 cos3(#) 3 cos(#) pcos(2#)
! d#
= Z =4
=4
4 cos4(#) 3 cos2(#) d# = 1=2:
La lunghezza dell’anello di lemniscata è data dall’integrale
Z =4
=4
q
d 2+ 2d#2= Z =4
=4
vu
ut sin(2#) pcos(2#)
!2
+ cos(2#)d# = Z =4
=4
p d#
cos(2#) = 2; 622:::
Dall’equazione della lemniscata in coordinate polari 2 = cos(2#) e la for- mula per l’elemento in…nitesimo di lunghezza ds2 = d 2 + 2d#2, si ricava ds = 1 4 1=2d . Quindi la lunghezza dell’arco di lemniscata dall’origine
…no al punto a distanza x è data dall’integrale Z x
0
1 t4 1=2dt, un analogo dell’integrale
Z x 0
1 t2 1=2dt = arcsin(x) che dà la lunghezza di un arco di cerchio.
no: 007 Nome: James Bond Analisi Matematica 2 - Gennaio 2004
1)Tracciare il campo di direzioni associato all’equazione di¤erenziale dy=dx = (x 1) = (y + 1) ed un gra…co qualitativo delle soluzioni per i punti (0; 0) e (0; 1).
2)Risolvere il problema di Cauchy dy=dx = (x 1) = (y + 1) ; y(0) = 1:
Z
(y + 1)dy = Z
(x 1)dx;
(y + 1)2=2 = (x 1)2=2 + C;
y = q
(x 1)2+ C 1 y =p
x2 2x + 4 1:
3)Risolvere l’equazione di¤erenziale dy=dx = 3x2 y = (y + x) ;
y(0) = 1: .
La forma di¤erenziale y x2 dx + (y + x) dy è esatta ed ha potenziale Z x
0
3x2dx + Z y
0
(y + x) dy = x3+ y2=2 + xy:
Le soluzioni dell’equazione di¤erenziale sono quindi de…nite implicitamente dalle equazioni y2+ 2xy 2x3= C ed esplicitamente y = x p
2x3+ x2+ C.
Se y(0) = 1 allora C = 1, quindi
y = x p
2x3+ x2+ 1:
4) Trovare lo sviluppo in serie di Fourier rispetto al sistema ortonormale p2 sin (n x) +n=11 della soluzione dell’equazione del calore
8>
>>
<
>>
>:
@
@tu(t; x) = @2
@x2u(t; x) se t > 0 e 0 < x < 1, u(t; 0) = u(t; 1) = 0 se t > 0,
u(0; x) = 1 se 0 < x < 1=2, 0 se 1=2 < x < 1.
Discutere poi la convergenza della serie.
Lo sviluppo in serie di Fourier del dato iniziale è
u(0; x) =
+1
X
n=1
Z 1 0
u(0; y)p
2 sin (n y) dy p
2 sin (n x)
=
+1
X
n=1
"
2 Z 1=2
0
sin (n y) dy
#
sin (n x)
=
+1
X
n=1
2 2 cos (n =2)
n sin (n x) :
Se u(t; x) =X+1
n=1C(n; t) sin (n x), allora 8>
<
>:
@
@tC(n; t) = 2n2C(n; t), C(n; 0) = 2 2 cos (n =2)
n .
Quindi
u(t; x) =
+1
X
n=1
2 2 cos (n =2)
n exp 2n2t sin (n x) :
La serie converge per ogni t 0 e 0 x 1. Se t " > 0 la convergenza è uniforme ed assoluta, se t = 0 la convergenza non è nè uniforme nè assoluta.
5) Assumendo che un corpo di massa uno si muova sulla retta x soggetto ad una forza (x), scrivere e risolvere l’equazione di¤erenziale che governa la posizione x in funzione del tempo t. (Si suggerisce di porre dx=dt = v e con- siderare la velocità come funzione della posizione. Questo trasforma l’equazione del second’ordine in una del primo.)
d2x
dt2 = (x):
Se dx=dt = v, allora d2x=dt2= (dv=dx) (dx=dt) = v (dv=dx). Quindi
vdv
dx = (x);
Z vdv =
Z
(x)dx;
v = s
2 Z
(x)dx;
Z dx
r 2
Z
(x)dx
= Z
dt:
Negli integrali sono presenti delle costanti arbitrarie.
no: 007 Nome: James Bond Analisi Matematica 2 - Febbraio 2004
1)Calcolare i massimi e minimi relativi della funzione x3+xy2 2x2 2y2+x e stabilire se esistono massimi o minimi assoluti.
La funzione ristretta all’asse y = 0 si riduce a x3 2x2+ x ed è illimitata superiormente ed inferiormente. Quindi la funzione non ha massimi e minimi assoluti.
8>
<
>:
@
@x x3+ xy2 2x2 2y2+ x = 3x2+ y2 4x + 1;
@
@y x3+ xy2 2x2 2y2+ x = 2yx 4y = 2y(x 2):
Il gradiente è nullo solo nei punti (1=3; 0) e (1; 0).
8>
>>
>>
<
>>
>>
>:
@2
@x2 x3+ xy2 2x2 2y2+ x = 6x 4;
@2
@y2 x3+ xy2 2x2 2y2+ x = 2x 4;
@2
@x@y x3+ xy2 2x2 2y2+ x = 2y:
Nel punto (1=3; 0) la matrice delle derivate seconde 2 0
0 10=3 è de…nita negativa, questo punto è un massimo relativo. Nel punto (1; 0) la matrice delle derivate seconde 2 0
0 2 è inde…nita, questo punto è una sella.
2)Disegnare la curva x = t3;
y = t2; e calcolarne la lunghezza da (0; 0) a (1; 1).
x = t3; y = t2:
Z 1 0
q
(@x=@t)2+ (@y=@t)2dt
= Z 1
0
q
(3t2)2+ (2t)2dt = Z 1
0
tp
9t2+ 4dt
= 1 18
Z 9 0
ps + 4ds = 1
27(s + 4)3=2
9
s=0
= 13 27
p13 8 27: 3)Calcolare il volume della regione di spazion
x2+ y2 3=4 z 1o . Z Z Z
f(x2+y2)3=4 z 1g
dxdydz = Z Z Z
f0 #<1; z2=3; 0 z 1g
d d#dz
= Z 2
0
d#
Z 1 0
Z z2=3 0
d
! dz
!
= Z 1
0
z4=3dz = 3 =7:
4)Risolvere l’equazione di¤erenziale 8<
: dy
dx = 2x y2 y3+ 2xy; y(0) = 1:
La forma di¤erenziale y2 2x dx + y3+ 2xy dy è esatta ed ha potenziale Z x
0
2xdx + Z y
0
y3+ 2xy dy = x2+ y4=4 + xy2:
Le soluzioni dell’equazione di¤erenziale sono de…nite implicitamente dalle equazioni y4+ 4xy2 4x2= C ed esplicitamente da y = p
2x p
8x2+ C.
In…ne, da y(0) = 1 si ricava y =
q
2x +p
8x2+ 1:
5) Trovare lo sviluppo in serie di Fourier rispetto al sistema ortonormale p2 sin (n x) +n=11 della soluzione dell’equazione delle onde
8>
>>
<
>>
>:
@2
@t2u(t; x) = @2
@x2u(t; x) se 1 < t < +1 e 0 < x < 1, u(t; 0) = u(t; 1) = 0 se 1 < t < +1,
u(0; x) = 0 e @
@tu(0; x) = x=2.
Discutere poi la convergenza della serie.
Lo sviluppo in serie di Fourier della velocità iniziale è
@
@tu(0; x) =
+1
X
n=1
Z 1 0
@
@tu(0; y)p
2 sin (n y) dy p
2 sin (n x)
=
+1
X
n=1
Z 1 0
y sin (n y) dy sin (n x)
=
+1
X
n=1
cos (n )
n sin (n x)
=
+1
X
n=1
( )n+1
n sin (n x) :
Se u(t; x) =X+1
n=1C(n; t) sin (n x), allora 8>
<
>:
@2
@t2C(n; t) = 2n2C(n; t);
C(n; 0) = 0; @
@tC(n; 0) = ( )n+1
n :
C(n; t) = ( )n+1
2n2 sin(n t) Quindi
u(t; x) =
+1
X
n=1
( )n+1
2n2 sin(n t) sin (n x) :
La serie converge uniformemente ed assolutamente per ogni 1 < t < +1 e 0 x 1.
no: 007 Nome: James Bond Analisi Matematica 2 - Giugno 2004
1) Calcolare i massimi e minimi relativi ed i punti di sella della funzione x2+ y2 xy2 e stabilire se esistono massimi o minimi assoluti.
La funzione ristretta alla retta y = x si riduce a x3+ 2x2 ed è illimitata superiormente ed inferiormente, quindi non ha massimi e minimi assoluti.
8>
<
>:
@
@x x2+ y2 xy2 = 2x y2;
@
@y x2+ y2 xy2 = 2y 2xy = 2y(1 x):
Il gradiente è nullo solo nei punti (0; 0) e 1; p 2 . 8>
>>
>>
<
>>
>>
>:
@2
@x2 x2+ y2 xy2 = 2;
@2
@y2 x2+ y2 xy2 = 2 2x;
@2
@x@y x2+ y2 xy2 = 2y:
Nel punto (0; 0) la matrice delle derivate seconde 2 0
0 2 è de…nita positiva, questo punto è un minimo relativo. Nei punti 1; p
2 la matrice delle derivate
seconde 2 2p
2 2p
2 0 è inde…nita, questi punti sono selle.
2) Z Z
f0<y<x; x2+y2<1g
xydxdy = Z Z
f0<y<x; x2+y2<1g
xydxdy = Z 1
0 3d
Z =4 0
cos (#) sin (#) d# = 1=16:
3) 8<
: dy
dx = 1 + xy2 y x2y; y(0) = 1:
L’equazione di¤erenziale xy2+ 1 dx + x2y y dy = 0 è esatta e il poten- ziale associato è
Z x 0
dt + Z y
0
x2t t dt = x + x2y2=2 y2=2:
Le soluzioni dell’equazione di¤erenziale sono le curve x + x2y2=2 y2=2 = c, cioè
y =
rc 2x x2 1:
Imponendo il passaggio per il punto (0; 1) si ottiene c = 1 con il segno + davanti alla radice,
y =
r1 + 2x 1 x2:
4) Un punto X vincolato ad una retta R è collegato con una molla ad un punto P che si muove sulla retta con velocità uniformemente accelerata. Detta m la massa del punto X, k la costante di elasticità della molla, a l’accelerazione di P , v e p la velocità e posizione di P al tempo t = 0, scrivere l’equazione del moto di X. In…ne integrare esplicitamente l’equazione quando m = k = a = 1 se al tempo t = 0 sia X che P sono fermi in 0.
mx(t) = k x(t) a
2t2+ vt + p ( x(t) + x(t) = t2=2;
x(0) = x(0) = 0: x(t) = cos(t) + t2=2 1:
5) Trovare lo sviluppo in serie di Fourier rispetto al sistema ortonormale p2 sin (n x) +1
n=1della funzione x(x 1) nell’intervallo 0 < x < 1 e discutere la convergenza della serie.
x(x 1) =
+1
X
n=1
Z 1 0
(y2 y)p
2 sin (n y) dy p
2 sin (n x)
=
+1
X
n=0
8
3(2n + 1)3sin ((2n + 1) x) : La serie converge assolutamente ed uniformemente.
6)Risolvere l’equazione del calore 8>
<
>:
@
@tu(t; x) = @2
@x2u(t; x) u(t; x) se t > 0 e 0 < x < 1, u(t; 0) = u(t; 1) = 0 se t > 0,
u(0; x) = x(x 1).
Se u(t; x) =X+1
n=1C(n; t) sin (n x) è soluzione dell’equazione del calore, al- lora @C(n; t)=@t = 1 + 2n2 C(n; t), C(n; t) = C(n; 0) exp 1 + 2n2 t . Quindi
+1
X
n=0
8
3(2n + 1)3exp 1 + 2(2n + 1)2 t sin ((2n + 1) x) :
no: 007 Nome: James Bond Analisi Matematica 2 - Luglio 2004
1) Calcolare i massimi e minimi relativi ed i punti di sella della funzione x3+ y2 x e stabilire se esistono massimi o minimi assoluti.
La funzione ristretta alla retta y = 0 si riduce a x3 x ed è illimitata superiormente ed inferiormente, quindi non ha massimi e minimi assoluti.
8>
<
>:
@
@x x3+ y2 x = 3x2 1;
@
@y x3+ y2 x = 2y:
Il gradiente è nullo solo nei punti 1=p 3; 0 . 8>
>>
>>
<
>>
>>
>:
@2
@x2 x3+ y2 x = 6x;
@2
@y2 x3+ y2 x = 2;
@2
@x@y x3+ y2 x = 0:
Nel punto 1=p
3; 0 la matrice delle derivate seconde 2p 3 0
0 2 è de…nita positiva, questo punto è un minimo relativo. Nel punto 1=p
3; 0 la matrice delle derivate seconde 2p
3 0
0 2 è inde…nita, questo punto è una sella.
2) d3y=dx3+ dy=dx = x;
y(0) = y0(0) = y00(0) = 0:
La soluzione generale dell’equazione di¤erenziale è x2=2 + A + B cos(x) + C sin(x):
Se y(0) = y0(0) = y00(0) = 0, allora A + B = 0, C = 0, B = 1. Quindi y(x) = x2=2 1 + cos(x):
3) Disegnare la super…cie 8<
:
x = s cos(2 t);
y = s sin(2 t);
z = t;
e calcolarne l’area con 0 s; t 1.
!i j
!
!k cos(2 t) sin(2 t) 0 2 s sin(2 t) 2 s cos(2 t) 1
= sin (2 t) i
! cos(2 t) j
!
+ 2 s k
!; Z Z
dA = Z 1
0
Z 1 0
p1 + 4 2s2dsdt = 2 p
1 + 4 2+ log 2 +p 1 + 4 2
4 :
4) Scrivere l’equazione di¤erenziale che descrive la traiettoria di un oggetto di coordinate (x; y) trascinato con una fune di lunghezza uno con un estremo sull’asse delle ascisse. Osservare che la fune è tangente alla traiettoria e che il tratto di tangente dalla curva all’asse delle ascisse ha lunghezza uguale alla fune.
La curva trattrice di Newton 1676 e Huygens 1692 La curva è la trattrice (Newton 1676 e Huygens 1692).
dy=dx = y=p 1 y2; Z p1 y2
y dy = Z
dx x c = log 1 +p
1 y2 =y p
1 y2:
5) Trovare lo sviluppo in serie di Fourier rispetto al sistema ortonormale p2 sin (n x) +n=11 della funzione f (x) = 1 in 0 < x < 1. Calcolare poi
1 + 1=9 + 1=25 + 1=49 + 1=81 + :::
1 =
+1
X
n=1
Z 1 0
p2 sin (n y) dy p
2 sin (n x)
=
+1
X
n=0
4
(2n + 1)sin ((2n + 1) x) : In…ne si ha
Z 1 0
12dx =
+1
X
n=0
8
2(2n + 1)2; 1 + 1=9 + 1=25 + 1=49 + 1=81 + ::: = 2=8:
6)Risolvere l’equazione del calore 8>
<
>:
@
@tu(t; x) = @2
@x2u(t; x) se t > 0 e 0 < x < 1, u(t; 0) = u(t; 1) = 0 se t > 0,
u(0; x) = 1.
Se u(t; x) = X+1
n=1C(n; t) sin (n x) è soluzione dell’equazione del calore, allora @C(n; t)=@t = 2n2C(n; t), C(n; t) = C(n; 0) exp 2n2t . Quindi
+1
X
n=0
4
(2n + 1)exp 2(2n + 1)2t sin ((2n + 1) x) :
no: 007 Nome: James Bond Analisi Matematica 2 - Settembre 2004
1) Calcolare i massimi e minimi relativi ed i punti di sella della funzione x2+ y2+ z2 z3 e stabilire se esistono massimi o minimi assoluti.
La funzione ristretta alla retta y = x = 0 si riduce a z2 z3ed è illimitata superiormente ed inferiormente, quindi non ha massimi e minimi assoluti.
8>
>>
><
>>
>>
:
@
@x x2+ y2+ z2 z3 = 2x;
@
@y x2+ y2+ z2 z3 = 2y;
@
@z x2+ y2+ z2 z3 = 2z 3z2: Il gradiente è nullo solo nei punti (0; 0; 0) e (0; 0; 2=3).
8>
>>
>>
>>
>>
<
>>
>>
>>
>>
>:
@2
@x2 x2+ y2+ z2 z3 = 2;
@2
@y2 x2+ y2+ z2 z3 = 2;
@2
@z2 x2+ y2+ z2 z3 = 2 6z;
@2
@x@y = @2
@y@z = @2
@z@x = 0 Nel punto (0; 0; 0) la matrice delle derivate seconde
2
4 2 0 0 0 2 0 0 0 2
3
5 è de…nita positiva, questo punto è un minimo relativo. Nel punto (0; 0; 2=3) la matrice delle derivate seconde
2
4 2 0 0
0 2 0
0 0 2
3
5 è inde…nita, questo punto è una sella.
2) Disegnare la curva x = t2cos(2 t);
y = t2sin(2 t); e calcolarne la lunghezza da 0 t n.
x = t2cos(2 t);
y = t2sin(2 t);
Z n 0
q
(@x=@t)2+ (@y=@t)2dt Z n
0
q
(2t cos(2 t) 2 t2sin(2 t))2+ (2t sin(2 t) + 2 t2cos(2 t))2dt
= Z n
0
2tp
1 + 2t2dt = 2
Z 1+n2 2 1
s1=2ds = (2=3) 2 1 + n2 2 3=2 1 :
3)Disegnare la regione 0 y 1 x2 e calcolare Z Z
f0 y 1 x2g
x2ydxdy.
La regione è la parte del semipiano fy 0g interna alla parabola y 1 x2 . Z Z
f0 y 1 x2g
x2ydxdy = Z +1
1
x2
Z 1 x2 0
ydx
! dy
= 1 2
Z +1 1
x2 1 x2 2dx = 1 2
Z +1 1
x2 2x4+ x6 dx = 8 105:
4)
( y + y + y = x;
y(0) = y(0) = 0:
Una soluzione particolare dell’equazione y+y+y = x è y = x 1 e le soluzioni dell’equazione omogenea y + y + y = 0 sono y = A exp( x=2) cos p
3x=2 + B exp( x=2) sin p
3x=2 . Imponendo le condizioni iniziali si ottiene
y(x) = x 1 + exp( x=2) cos p
3x=2 1
p3exp( x=2) sin p 3x=2 : 5)Calcolare, se esiste, il potenziale della forza
2x
1 + x4+ 2x2y2+ y4; 2y
1 + x4+ 2x2y2+ y4 :
@
@y
2x
1 + x4+ 2x2y2+ y4 = 8xy x2+ y2
(1 + x4+ 2x2y2+ y4)2 = @
@x
2y
1 + x4+ 2x2y2+ y4: La forza ha potenziale,
P (x; y) = Z x
0
2t 1 + t4dt +
Z y 0
2t
1 + x4+ 2x2t2+ t4dt = arctan x2+ y2 :
no: 007 Nome: James Bond Analisi Matematica 2 - Novembre 2004
La spirale di Archimede = # La f oglia di Cartesio x3 9xy + y3= 0 1) Calcolare il polinomio di Taylor di 2ogrado centrato in (3; 4) della funzione px2+ y2.
F (x; y) = x2+ y2 1=2 F (3; 4) = 5
@
@x x2+ y2 1=2= x x2+ y2 1=2 @
@xF (3; 4) = 3=5
@
@y x2+ y2 1=2= y x2+ y2 1=2 @
@yF (3; 4) = 4=5
@2
@x2 x2+ y2 1=2= y2 x2+ y2 3=2 @2
@x2F (3; 4) = 16=125
@2
@x@y x2+ y2 1=2= xy x2+ y2 3=2 @2
@x@yF (3; 4) = 12=125
@2
@x2 x2+ y2 1=2= x2 x2+ y2 3=2 @2
@y2F (1; 2) = 9=125 px2+ y2= 5+3
5(x 3)+4
5(y 4)+ 8
125(x 3)2 12
125(x 3)(y 4)+ 9
250(y 4)2+:::
2) Calcolare i massimi e minimi relativi ed i punti di sella della funzione x2+ y2+ cos(z) e stabilire se esistono massimi o minimi assoluti.
8>
>>
><
>>
>>
:
@
@x x2+ y2+ cos(z) = 2x
@
@y x2+ y2+ cos(z) = 2y
@
@z x2+ y2+ cos(z) = sin(z)
Il gradiente è nullo solo nei punti (0; 0; k ) con k intero relativo.
8>
>>
>>
>>
>>
<
>>
>>
>>
>>
>:
@2
@x2 x2+ y2+ cos(z) = 2
@2
@y2 x2+ y2+ cos(z) = 2
@2
@z2 x2+ y2+ cos(z) = cos(z)
@2
@x@y = @2
@y@z = @2
@z@x = 0 Nei punti (0; 0; 2k ) la matrice delle derivate seconde
2
4 2 0 0
0 2 0
0 0 1
3 5 non è
de…nita, questi punti sono delle selle. Nei punti (0; 0; (2k + 1) ) la matrice delle derivate seconde
2
4 2 0 0 0 2 0 0 0 1
3
5 è de…nita positiva, questo punti sono minimi assoluti. La funzione è illimitata se x2+ y2! +1, quindi non ci sono massimi assoluti.
3)Calcolare l’area spazzata dal raggio vettore in un giro di spirale di Archimede, in coordinate polari = #.
Z Z
f0 #; 0 # 2 g
d d# = Z 2
0
Z # 0
d
! d# =
Z 2 0
#2 2 d# = 4
3
3
4)Calcolare la lunghezza di un giro di spirale di Archimede = #.
Z 2 0
q
(d )2+ ( d#)2
= Z 2
0
p1 + #2d# = p
1 + 4 2 1 2log p
1 + 4 2 2
5) Calcolare l’equazione della retta tangente alla curva x3 9xy + y3 = 0 nel punto (4; 2).
dy
dx = 3x2 9y 3y2 9x y 2 = 5
4(x 4) y =5
4x 3
6)Trovare una rappresentazione parametrica della curva x3 9xy + y3= 0 intersecandola con il fascio di rette per l’origine y = tx. Trovare poi l’area compresa nel cappio di curva.
x3 9xy + y3= 0 y = tx
x2 1 + t3 x 9t = 0 y = tx
8>
<
>:
x = 9t 1 + t3 y = 9t2
1 + t3 Area =
Z Z
dxdy = Z
ydx
=
Z +1 0
9t2 t3+ 1
d dt
9t
t3+ 1 dt = 81 Z +1
0
t2 2t3 1 (t3+ 1)3 dt
= 27 Z +1
0
2s 1
(s + 1)3ds = 27 Z +1
1
2u 2 3u 3 du = 27 2
no: 007 Nome: James Bond Analisi Matematica 2 - Gennaio 2005
1)Tracciare il campo di direzioni associato all’equazione di¤erenziale dy=dx = y (x y) ed un gra…co qualitativo della soluzione per il punto (0; 1).
2)Risolvere il problema di Cauchy dy=dx = y (x y) ; y(0) = 1:
Determinare l’intervallo su cui la soluzione è de…nita e calcolare limx!+1y(x).
È un’equazione di Bernoulli dy=dx = xy y2. Posto z = y 1, si ha
dz=dx = xz + 1;
z(0) = 1;
z = exp x2=2 1 + Z x
0
exp t2=2 dt ;
y = exp x2=2 1 +
Z x 0
exp (t2=2) dt :
La soluzione è de…nita sull’intervallo ( ; +1), con Z
0
exp t2=2 dt = 1,
= 0; 874:::. In…ne, si ha
x!+1lim
exp x2=2 1 +
Z x 0
exp (t2=2) dt
= lim
x!+1
x exp x2=2
exp (x2=2) = +1:
3) Risolvere l’equazione di¤erenziale
8<
:
d3y dx3+ dy
dx = x
y(0) = 0; y0(0) = 1; y00(0) = 2:
L’equazione caratteristica associata è 3+ = 0, con soluzioni = 0; i, quindi le soluzioni dell’equazione omogenea sono A + B cos(x) + C sin(x). Una soluzione particolare dell’equazione non omogenea è x2=2. Quindi le soluzioni dell’equazione sono
y = x2=2 + A + B cos(x) + C sin(x)
In…ne, da y(0) = A + B, y0(0) = C, y00(0) = 1 B, si ricava A = 1, B = 1, C = 1,
y = x2=2 + 1 cos(x) + sin(x):
4) Trovare il polinomio di quinto grado nello sviluppo in serie di potenze dell’equazione del pendolo
8<
: d2#
dt2 + sin(#) = 0;
#(0) = 0; #0(0) = 1:
#00= sin(#); #00(0) = 0;
#000= #0cos(#); #000(0) = 1;
#0000= #00cos(#) + #0 2sin(#); #0000(0) = 0;
#00000 = #000cos(#) + 3#00#0sin(#) + #0 3cos(#); #00000(0) = +2; :::
# = t t3=6 + t5=60 + :::
5) Trovare lo sviluppo in serie di Fourier rispetto al sistema ortonormale p2 sin (n x) +n=11 della soluzione dell’equazione delle onde
8>
>>
<
>>
>:
@2
@t2u(t; x) = @2
@x2u(t; x) se t > 0 e 0 < x < 1, u(t; 0) = u(t; 1) = 0 se t > 0,
u(0; x) = 0 e @
@tu(0; x) = cos( x).
Discutere poi la convergenza della serie.
Lo sviluppo in serie di Fourier della velocità iniziale è
@
@tu(0; x) =
+1
X
n=1
Z 1 0
@
@tu(0; y)p
2 sin (n y) dy p
2 sin (n x)
=
+1
X
n=1
2 Z 1
0
cos ( y) sin (n y) dy sin (n x)
=
+1
X
n=1
2n (cos(n ) + 1)
(n2 1) sin (n x) :
Se u(t; x) =X+1
n=1C(n; t) sin (n x), allora 8>
<
>:
@2
@t2C(n; t) = 2n2C(n; t), C(n; 0) = 0; @
@tC(n; 0) = 2n (cos(n ) + 1) (n2 1) ; C(n; t) = 2 (cos(n ) + 1)
2(n2 1) sin ( nt) ; u(t; x) =
+1
X
n=1
2 (cos(n ) + 1)
2(n2 1) sin ( nt) sin ( nx)
=
+1
X
k=1
4
2(4k2 1)sin (2 kt) sin (2 kx) :
La serie converge assolutamente ed uniformemente per ogni 1 < t < +1 e 0 x 1.
no: 007 Nome: James Bond Analisi Matematica 2 - Febbraio 2005 1) Calcolare la lunghezza e l’area sottesa da un arco di cicloide.
x = # sin(#) y = 1 cos(#)
Area:
Z 2 0
ydx = Z 2
0
(1 cos(#))2d# = Z 2
0
1 + cos2(#) 2 cos(#) d# = 3 :
Lunghezza:
Z 2 0
pdx2+ dy2= Z 2
0
q
(1 cos(#))2+ sin2(#)d# = Z 2
0
2 sin(#=2)d# = 8:
2) Calcolare i massimi e minimi relativi della funzione xyz sulla sfera x2+ y2+ z2= 1.
Applicando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, de…niamo
F [x; y; z; ] = xyz + x2+ y2+ z2 1 :
@
@xF [x; y; z; ] = yz + 2 x;
@
@yF [x; y; z; ] = xz + 2 y;
@
@zF [x; y; z; ] = xy + 2 z;
@
@ F [x; y; z; ] = x2+ y2+ z2 1:
Moltiplicando @F=@x per x, @F=@y per y, @F=@z per z, e ponendo il risultati uguali a zero si ottiene xyz = 2 x2 = 2 y2 = 2 z2. In un intorno dei punti con xyz = 0 la funzione cambia segno, quindi questi punti non sono massimi o minimi. Se xyz 6= 0, deve essere 6= 0 e quindi x2 = y2 = z2 = 1=3. I punti stazionari sono 1=p
3; 1=p
3; 1=p
3 . Quando il prodotto dei segni
è positivo si ha un massimo e quando il prodotto dei segni è negativo si ha un minimo.
Si può anche procedere esprimendo i punti della sfera in coordinate polari, x = sin (#) cos ('), y = sin (#) sin ('), z = cos (#), con 0 # e 0 ' < 2 . Quindi
xyz = cos (') sin (') cos (#) sin2(#) ;
@
@# cos (') sin (') cos (#) sin2(#) = cos (') sin (') sin (#) 3 cos2(#) 1 ;
@
@' cos (') sin (') cos (#) sin2(#) = cos2(') sin2(') cos (#) sin2(#) : I punti con x = 0 o y = 0 o z = 0 non sono massimi o minimi, perché in un intorno di questi punti la funzione cambia segno. Gli altri punti con
@=@# = @=@' = 0 sono soluzioni di cos2(') = sin2(') e cos2(#) = 1=3. Quindi 1=p
3; 1=p
3; 1=p
3 , se il prodotto dei segni è positivo si ha un massimo e se è negativo un minimo.
3)Calcolare il baricentro della regione fx 0; y 0; z 0; x + y + z 1g.
Per simmetria le coordinate del baricentro sono uguali. Basta quindi calco- lare l’altezza del baricentro
Z Z Z
fx 0; y 0; z 0; x+y+z 1g
zdxdydz Z Z Z
fx 0; y 0; z 0; x+y+z 1g
dxdydz :
Il volume della regione è Z Z Z
fx 0; y 0; z 0; x+y+z 1g
dxdydz
= Z 1
0
Z 1 z 0
Z 1 y z 0
dx dy dz = 1=6 Inoltre
Z Z Z
fx 0; y 0; z 0; x+y+z 1g
zdxdydz
= Z 1
0
z Z 1 z
0
Z 1 y z 0
dx dy dz = 1=24 Quindi le coordinate del baricentro sono (1=4; 1=4; 1=4).
4) Risolvere l’equazione di¤erenziale 8<
: dy
dx =x y x + y; y(0) = 1
La forma di¤erenziale (y x) dx + (y + x) dy è esatta ed ha potenziale Z x
0
xdx + Z y
0
(y + x) dy = x2=2 + y2=2 + xy:
Le soluzioni dell’equazione di¤erenziale sono quindi de…nite implicitamente dalle equazioni y2=2 + xy x2=2 = C. Se y(0) = 1, allora C = 1=2. Quindi
y2+ 2xy x2 1 = 0;
y = x +p
2x2+ 1:
L’equazione dy=dx = (x y) = (x + y) è omogenea e si può anche risolvere con la sostituzione y=x = z,
dy
dx = z + xdz
dx =x xz
x + xz = 1 z 1 + z; xdz
dx =1 z
1 + z z = 1 2z z2 1 + z ; Z 1 + z
1 2z z2dz = Z dx
x; 1
2log z2+ 2z 1 = log(x) + C;
z2+ 2z 1 = C=x2; y2+ 2xy x2= C;
y = x p
2x2+ C:
Se y(0) = 1, bisogna scegliere C = 1 ed il segno +.
5) Trovare lo sviluppo in serie di Fourier rispetto al sistema ortonormale p2 sin (n x) +n=11 della funzione de…nita in 0 x 1
'(x) = 8<
:
0 se 0 x < 1=4, 1 se 1=4 x 3=4,
0 se 3=4 < x 1.
Calcolare poi 1 + 1=9 + 1=25 + 1=49 + 1=81 + 1=121 + :::
'(x) =
+1
X
n=1
Z 1 0
'(y)p
2 sin (n y) dy p
2 sin (n x)
=
+1
X
n=1
"
p2 Z 3=4
1=4
sin (n y) dy
#p
2 sin (n x)
=
+1
X
n=1
p2 (cos(n =4) cos(3n =4)) n
p2 sin (n x) :
Si ha
p2 (cos(n =4) cos(3n =4))
n =
8<
:
0 se n = 2k, 2
(2k + 1) se n = 2k + 1:
Si ha anche
Z 1
0 j'(x)j2dx = 1 2
=
+1
X
n=1
Z 1 0
'(y)p
2 sin (n y) dy
2
= 4
2 +1
X
k=0
(2k + 1) 2:
Quindi,
+1
X
k=0
(2k + 1) 2= 2=8:
6) Trovare lo sviluppo in serie di Fourier rispetto al sistema ortonormale p2 sin (n x) +1
n=1della soluzione dell’equazione del calore 8>
>>
>>
<
>>
>>
>:
@
@tu(t; x) = @2
@x2u(t; x) se t > 0 e 0 < x < 1, u(t; 0) = u(t; 1) = 0 se t > 0,
u(0; x) = 8<
:
0 se 0 x < 1=4, 1 se 1=4 x 3=4,
0 se 3=4 < x 1.
Discutere poi la convergenza della serie. Calcolare poi la distribuzione asin- totica della temperatura U (x) = limt!+1u(t; x) e stabilire se la convergenza è uniforme.
Lo sviluppo in serie di Fourier del dato iniziale è
u(0; x) =
+1
X
n=1
Z 1 0
u(0; y)p
2 sin (n y) dy p
2 sin (n x)
=
+1
X
n=1
2cos(n =4) cos(3n =4)
n sin (n x) :
Se u(t; x) =X+1
n=1C(n; t) sin (n x), allora 8>
<
>:
@
@tC(n; t) = 2n2C(n; t), C(n; 0) = 2cos(n =4) cos(3n =4)
n .
Quindi
u(t; x) =
+1
X
n=1
2cos(n =4) cos(3n =4)
n exp 2n2t sin (n x) :
La serie converge per ogni t 0 e 0 x 1. Se t = 0 la convergenza non è ne uniforme ne assoluta. Se t > 0,
ju(t; x)j
+1
X
n=1
exp 2n2t
+1
X
n=1
exp 2t n= exp 2t 1 exp ( 2t):
Se t " > 0 la convergenza è uniforme ed assoluta. In…ne U (x) = limt!+1u(t; x) = 0, la convergenza è uniforme.
no: 007 Nome: James Bond Analisi Matematica 2 - Giugno 2005
1)Calcolare i massimi e minimi relativi della funzione xyz sulla sfera x2+ y2+ z2= 3.
Applicando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, de…niamo
F [x; y; z; ] = xyz + x2+ y2+ z2 3 :
@
@xF [x; y; z; ] = yz + 2 x;
@
@yF [x; y; z; ] = xz + 2 y;
@
@zF [x; y; z; ] = xy + 2 z;
@
@ F [x; y; z; ] = x2+ y2+ z2 3:
Moltiplicando @F=@x per x, @F=@y per y, @F=@z per z, e ponendo il risultati uguali a zero si ottiene xyz = 2 x2 = 2 y2 = 2 z2. In un intorno dei punti con xyz = 0 la funzione cambia segno, quindi questi punti non sono massimi o minimi. Se xyz 6= 0, deve essere 6= 0 e quindi x2 = y2 = z2 = 1. I punti stazionari sono [ 1; 1; 1]. Quando il prodotto dei segni è positivo si ha un massimo e quando il prodotto dei segni è negativo si ha un minimo.
Si può anche procedere esprimendo i punti della sfera in coordinate polari, x =p
3 sin (#) cos ('), y =p
3 sin (#) sin ('), z =p
3 cos (#), con 0 # e 0 ' < 2 . Quindi
xyz = 3p
3 cos (') sin (') cos (#) sin2(#) ;
@
@# cos (') sin (') cos (#) sin2(#) = cos (') sin (') sin (#) 3 cos2(#) 1 ;
@
@' cos (') sin (') cos (#) sin2(#) = cos2(') sin2(') cos (#) sin2(#) : I punti con x = 0 o y = 0 o z = 0 non sono massimi o minimi, perché in un intorno di questi punti la funzione cambia segno. Gli altri punti con
@=@# = @=@' = 0 sono soluzioni di cos2(') = sin2(') e cos2(#) = 1=3. Quindi [x; y; z] = [ 1; 1; 1], se il prodotto dei segni è positivo si ha un massimo e se è negativo un minimo.
2)La regione di spazio x2+ y2 1; 0 z y è:
A) L’intersezione tra l’interno di un cono ed una sfera.
B) L’intersezione tra l’interno di un cilindro ed un cono.
C) L’intersezione tra l’interno di un cilindro e due semispazi.
D) L’intersezione tra l’interno di un cono e due semispazi.
Calcolare il volume della regione di spazio x2+ y2 1; 0 z y . Z Z Z
fx2+y2 1; 0 z yg
dxdydz
= Z 1
0
Z +p
1 y2
p1 y2
Z y 0
dz dx
! dy
= Z 1
0
2yp
1 y2dy = 2=3
3) Calcolare l’area della regione di piano interna alla curva
x = sin(2t) cos(t);
y = sin(2t) sin(t);
0 t =2:
Z Z
dxdy = Z
@
xdy ydx 2
=1 2
Z =2 0
sin(2t) cos(t) (2 cos(2t) sin(t) + sin(2t) cos(t)) dt 1
2 Z =2
0
sin(2t) sin(t) (2 cos(2t) cos(t) sin(2t) sin(t)) dt
=1 2
Z =2 0
sin2(2t)dt = 1 4 Z
0
sin2(u)du = =8
4) Risolvere l’equazione di¤erenziale logistica y0 = y y2; y(0) = 2:
Z y 2
dy y(y 1) =
Z x 0
dx;
log 2y 1
y = x
y = 2
2 exp( x)
5) Risolvere l’equazione di¤erenziale y00+ y0+ y = x;
y(0) = 0; y0(0) = 1:
y = x 1 + exp( x=2) cos p
3x=2 1=p
3 exp( x=2) sin p 3x=2
6) Qual’è il determinante jacobiano della trasformazione U = x2 y2 V = x2+ y2 ?
determinante @U=@x @U=@y
@V =@x @V =@y = determinante 2x 2y
2x 2y = 8xy
no: 007 Nome: James Bond Analisi Matematica 2 - Luglio 2005
1) Calcolare il volume della sfera x2+ y2+ z2+ w2 R2 in quattro di- mensioni.
Z Z Z Z
fx2+y2+z2+w2=R2g
dxdydzdw
= Z +R
R
Z Z Z
fx2+y2+z2 R2 w2g
dxdydz
! dw
= Z +R
R
(4 =3) R2 w2 3=2dw
= 2=2 R4
2) Determinare il vettore normale ed il piano tangente alla super…cie x2+ 2y2+ 3z2= 20 nel punto (3; 2; 1).
Il vettore normale ha la direzione del gradiente (2x; 4y; 6z) della funzione x2+ 2y2+ 3z2. La normale di lunghezza uno in (3; 2; 1) è
(6; 8; 6)
p62+ 82+ 62 =(3; 4; 3) p34
Il piano tangente alla super…cie x2+ 2y2+ 3z2= 20 nel punto (3; 2; 1) è
3 (x 3) + 4 (y 2) + 3 (z 1) = 0 3x + 4y + 3z = 20
3)Calcolare i massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione x2+y2 xy nel cerchio x2+ y2 1 .
F [x; y] = x2+ y2 xy
@
@xF [x; y] = 2x y
@
@yF [x; y] = 2y x
@2
@x2F [x; y] = 2
@2
@y2F [x; y] = 2
@2
@x@yF [x; y] = 1
Si ha @F=@x = @F=@y = 0 solo in (0; 0) e la matrice hessiana è 2 1
1 2 ,
questo punto è un minimo. Sulla circonferenza, F [cos (#) ; sin (#)] = 1 cos (#) sin (#) = 1 1=2 sin(2#) è minima quando sin(2#) = 1, cioè # = =4, # = 5 =4, ed è mas- sima quando sin(2#) = 1, cioè # = 3 =4, # = 7 =4. I punti di massimo sulla circonferenza sono massimi anche per la funzione nel cerchio. Osserviamo in…ne che F [ cos (#) ; sin (#)] = 2(1 1=2 sin(2#)) è una funzione crescente di , quindi i punti di minimo sulla circonferenza non sono minimi per la funzione nel cerchio.
4) Risolvere l’equazione di¤erenziale y00+ y = 2 sin(x);
y(0) = 0; y0(0) = 1:
y (x) = 2 sin(x) x cos(x)
5) Trovare lo sviluppo in serie di Fourier rispetto al sistema ortonormale p2 sin (n x) +n=11 della soluzione dell’equazione del calore
8>
<
>:
@
@tu(t; x) = @2
@x2u(t; x) se t > 0 e 0 < x < 1, u(t; 0) = u(t; 1) = 0 se t > 0,
u(0; x) = x:
Discutere poi la convergenza della serie.
u(t; x) =
+1
X
n=1
2 Z 1
0
u(0; y) sin (n y) dy exp 2n2t sin (n x)
=
+1
X
n=1
( )n+12 exp 2n2t sin (n x)
n :
La serie converge per ogni t 0 e 0 x 1. Se t = 0 la convergenza non è ne uniforme ne assoluta. Se t " > 0 la convergenza è uniforme ed assoluta.
6) Qual’è, se c’è, il potenziale della forza y2; x2 ? Poiché @y2=dy 6= @x2=dx, la forza non ha potenziale.
no: 007 Nome: James Bond Analisi Matematica 2 - Settembre 2005
La spirale di Archimede = #
1) Calcolare la lunghezza e l’area spazzata dal raggio vettore in un giro di spirale di Archimede, in coordinate polari = #.
Lunghezza:
Z 2 0
q
(d )2+ ( d#)2
= Z 2
0
p1 + #2d# = p
1 + 4 2 1=2 log p
1 + 4 2 2 Area:
Z Z
f0 #; 0 # 2 g
d d# = Z 2
0
Z # 0
d
! d# =
Z 2 0
#2
2 d# = 4 3=3 2)Calcolare il volume della regione di spazio x2+ y2+ 2z2 8; z 1 .
Z Z Z
fx2+y2+2z2 8; z 1g
dxdydz
= Z 2
1
Z Z
fx2+y2 8 2z2g
dxdy
! dz
= Z 2
1
8 2z2 dz = 10 =3
3)Calcolare i massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione x3 3x2 y2+ 2y.
F [x; y] = x3 3x2 y2+ 2y
@
@xF [x; y] = 3x2 6x
@
@yF [x; y] = 2y + 2
@2
@x2F [x; y] = 6x 6
@2
@y2F [x; y] = 2
@2
@x@yF [x; y] = 0
Si ha @F=@x = @F=@y = 0 nei punti (0; 1) e (2; 1). In (0; 1) la matrice hes- siana è 6 0
0 1 , questo punto è un massimo. In (2; 1) la matrice hessiana
è 6 0
0 1 , questo punto è una sella. Se x ! 1, F [x; 0] ! 1, quindi non ci sono massimi o minimi assoluti.
4) Risolvere l’equazione di¤erenziale 8<
: dy
dx =y + 2x3 y x ; y(0) = 1
La forma di¤erenziale y + 2x3 dx + (x y) dy ha potenziale Z x
0
2x3dx + Z y
0
(x y) dy = x4=2 + xy y2=2
Le soluzioni dell’equazione di¤erenziale sono de…nite implicitamente dalle equazioni x4=2 + xy y2=2 = C. Se y(0) = 1, allora C = 1=2. Quindi
y2 2xy x4 1 = 0;
y = x +p
x4+ x2+ 1
5) Risolvere l’equazione di¤erenziale d4y=dx4 d2y=dx2+ 2 = 0;
y(0) = y0(0) = y00(0) = y000(0) = 0:
La soluzione dell’equazione di¤erenziale y0000 y00+ 2 = 0 è y = x2+ A + Bx + Cex+ De x
La soluzione del problema di Cauchy con y(0) = y0(0) = y00(0) = y000(0) = 0 è
x2+ 2 ex e x
6) Scrivere la formula per l’area di una super…cie z = f (x; y).
Area = Z Z q
1 + (@f =@x)2+ (@f =@y)2dxdy
no: 007 Nome: James Bond Analisi Matematica 2 - Novembre 2005
x4+ y4+ xy = 0
1 -Calcolare i massimi e minimi funzione x y lungo la curva x4+y4+xy = 0.
In coordinate polari la curva ha equazione =
s sin (2#)
2 cos4(#) + sin4(#) . Questa curva è compatta e vive nel secondo e quarto quadrante. La funzione x y nel secondo quadrante è negativa e nel quarto positiva. Quindi i minimi assoluti si trovano nel secondo quadrante ed i massimi nel quarto. Applichiamo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange e cerchiamo i massimi e minimi liberi della funzione
F (x; y; ) = (x y) + x4+ y4+ xy
@
@xF (x; y; ) = 1 + 4 x3+ y = 0
@
@yF (x; y; ) = 1 + 4 y3+ x = 0
@
@ F (x; y; ) = x4+ y4+ xy = 0 Sommando la prima e seconda equazione si ottiene
4x3+ 4y3+ x + y = 4 (x + y) x2 xy + y2+ 1=4 = 0
Il fattore x2 xy + y2+ 1=4 non si annulla mai ed il fattore x + y si annulla per x = y. Se x = y la terza equazione diventa 2x4 x2 = 0, cioè x = 0 o x = 1=p
2. Il punto x = y = 0 non è minimo o massimo, perché in un intorno di questo punto la funzione x y cambia di segno. Nel punto 1=p
2; 1=p 2 la funzione x y vale p
2 e nel punto 1=p
2; 1=p
2 valep
2. Il primo punto è un minimo ed il secondo un massimo.
2 -Calcolare i massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione F (x; y; z) = (x + y)3 4xy + z2.
Osserviamo che F ( t; t; 0) ! 1 se t ! 1, quindi non ci sono massimi o minimi assoluti.
@F=@x = 3x2+ 6xy + 3y2 4y
@F=@y = 3x2+ 6xy + 3y2 4x
@F=@z = 2z
@2F=@x2= @2F=@y2= 6x + 6y
@2F=@x@y = 6x + 6y 4
@2F=@x@z = @2F=@y@z = 0
@2F=@z2= 2
Si ha @F=@x = @F=@y = @F=@z = 0 se e solo se y = x e 12x2 4x = 0 e z = 0. Quindi in (0; 0; 0) e (1=3; 1=3; 0).
La matrice hessiana in (0; 0; 0) è 2
4 0 4 0
4 0 0
0 0 2
3
5 ed ha autovalori 4, 4, 2.
Questo punto è una sella. La matrice hessiana in (1=3; 1=3; 0) è 2
4 4 0 0 0 4 0 0 0 2
3 5
ed ha autovalori 4, 4, 2. Questo punto è un minimo.
3 - Che forma ha, al variare di 0 < u < +1 e 1 < v < +1, la super…cie 8<
:
x = u cos (v) y = u sin (v) z = v
? Quali sono il vettore normale ed il piano tangente a questa super…cie nel punto (1; 0; 0).
8<
:
x = u cos (v) y = u sin (v) z = v
La super…cie è un’elica. Il punto (1; 0; 0) è immagine del punto (1; 0). Due vettori tangenti in questo punto sono (1; 0; 0) e (0; 1; 1). L’equazione del piano tangente è
(x; y; z) = (1; 0; 0) + s (1; 0; 0) + t (0; 1; 1)
cioè y = z. La normale alla super…cie nel punto (1; 0; 0) è 0; 1=p 2; 1=p
2 .
