(b) determinarne massimi e minimi assoluti nell’insieme D = {(x, y) ∈ IR 2 | |x|−1 ≤ y ≤ 2}.

Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica M/Z

Prova Scritta di Analisi Matematica 2 del 15 giugno 2016

(1) Data la funzione f (x, y) = (x − 2y)(y ² − x)

(a) determinarne, se esistono, massimi e minimi relativi nel suo dominio,

(b) determinarne massimi e minimi assoluti nell’insieme D = {(x, y) ∈ IR ² | |x|−1 ≤ y ≤ 2}.

(2) Determinare le coordinate del baricentro del corpo piano D = {(x, y) ∈ IR ² | ^x ₄

+ y ² ≤ 4, x ≤ ² ₃ y ² } di densit` a di massa costante.

(3) Calcolare il lavoro del campo F (x, y, z) = (z, y ² , (x − 2) ² ) lungo la curva semplice γ avente per sostegno l’intersezione della sfera x ² + y ² + z ² = 4x con il piano x = z + 2 nella regione y ≥ 1 e percorsa in modo tale che il vettore T tangente alla curva nel punto P (2, 2, 0) verifichi T · j < 0.

(4) Determinare la soluzione del problema di Cauchy

( y ⁰⁰ + y = e ^x cos x

y(0) = y ⁰ (0) = 1

Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica M/Z Prova Scritta di Analisi Matematica 2 del 9 luglio 2016

(1) Data la funzione f (x, y) = 4y − x ² (y − 4)

(a) determinarne, se esistono, massimi e minimi relativi nel suo dominio, (b) determinarne massimi e minimi assoluti nell’insieme

D = {(x, y) ∈ IR ² | p

1 + y ² ≤ x ≤ 2}.

(2) Determinare le coordinate del baricentro del corpo piano T = {(x, y) ∈ IR ² | x ² + ^y ₄

≤ 4, y ≥ ² ₃ x ² } di densit` a di massa δ(x, y) = y.

(3) Dato il campo vettoriale F(x, y) =

 y

x

x

−1 − 2x, y log(x ² − 1) + y ² 

determinarne il dominio, stabilire se risulta irrotazionale e conservativo nel suo dominio e nel caso determinarne un potenziale. Calcolarne il lavoro lungo la curva ϕ(θ) = (2 cos θ, 2 sin θ), θ ∈ [0, ^π ₂ ].

(4) Determinare la soluzione del problema di Cauchy

( y ⁰⁰ + y = sin x

y(0) = y ⁰ (0) = 1

Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica M/Z

Prova Scritta di Analisi Matematica 2 del 10 settembre 2016

(1) Data la funzione f (x, y) = xy(y + 2x) ²

(a) determinarne, se esistono, massimi e minimi relativi nel suo dominio,

(b) determinarne massimi e minimi assoluti nel triangolo di vertici (0, 0), (1, 0) e (0, 1).

(2) Calcolare Z Z

S 1

x

+y

dσ essendo S la superficie rigata avente come direttrice la circonferenza γ(t) = (cos t, sin t, 0) e direttrici le rette passanti per il vertice (0, 0, 1) nella regione z ∈ [0, ¹ ₂ ].

(3) Data la curva ϕ(t) = ( _1+t ^t

, _1+t ^t

), t ∈ [−2, 2], stabilire se ` e semplice, chiusa e regolare.

Determinarne vettore tangente ed equazione della retta tangente nel punto ϕ(1).

(4) Determinare la soluzione del problema di Cauchy

( y ⁰ = y ² − y

y(0) = ¹ ₂

Corso di Laurea in Ing. Meccanica M/Z

Prova Scritta di Analisi Matematica 2 del 15 ottobre 2016

(1) Data la funzione f (x, y) =







log(1+x √

+y

)

x

+y

se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)

stabilire se risulta continua, derivabile parzialmente e differenziabile nell’origine O(0, 0).

(2) Determinare le coordinate del baricentro del corpo solido

T = {(x, y, z) ∈ IR ³ | x ² + y ² + z ² ≤ 2z, z ² ≥ 2(x ² + y ² )}

di densit` a di massa costante.

(3) Calcolare il lavoro del campo F(x, y) = (xy, 2y + 1) lungo la curva semplice γ avente per sostegno la frontiera positivamente orientata del dominio D = {(x, y) ∈ IR ² | x ² +y ² ≤ 1, √

3x ≥ y + 1}.

(4) Determinare la soluzione del problema di Cauchy ( y ⁰⁰ − 4y ⁰ + 4y = 3e ^2x

y(0) = y ⁰ (0) = 1

Corso di Laurea in Ing. Meccanica M/Z

Prova Scritta di Analisi Matematica 2 del 11 gennaio 2017

(1) Determinare i punti di massimo e minimo assoluti della funzione f (x, y) = y − x 1 + x ² + y ² nell’insieme K = {(x, y) ∈ IR ² | y ≥ |x|, x ² + y ² ≤ 1}.

(2) Calcolare Z Z

D

x dxdy dove D = {(x, y) ∈ IR ² | x ² + 3y ² ≤ 4, x ≥ y ² }.

3) Calcolare il lavoro del campo F(x, y) = (xy, 2y + 1) lungo la curva semplice γ avente per sostegno la frontiera positivamente orientata del dominio D = {(x, y) ∈ IR ² | x ² +y ² ≤ 1, √

3x ≥ y + 1}.

4) Determinare la soluzione del problema di Cauchy ( y ⁰⁰ + y ⁰ − 2y = 3e ^−2x

y(0) = y ⁰ (0) = 1

Corso di Laurea in Ing. Meccanica

Prova Scritta di Analisi Matematica 2 del 11 febbraio 2017

(1) Data la funzione f (x, y) = log(9 − x ² − y ² )

a) determinarne, se esistono, massimi e minimi relativi nel suo dominio, b) determinarne massimi e minimi assoluti nell’insieme

D = {(x, y) ∈ IR ² | x ² + ^y ₄

≤ 1}.

(2) Calcolare l’integrale Z Z

E

xy ² dxdy essendo E = {(x, y) ∈ IR ² | ^x ₄

+ y ² ≤ 1, x ≥ 1}.

(3) Dato il campo vettoriale F (x, y) = ( _x ^xy

+1

, y log(x ² + 1) + y ² ), stabilire se il campo ` e conser- vativo sul suo dominio e in caso affermativo determinarne un potenziale.

Calcolarne il lavoro lungo la curva avente per sostegno l’arco di parabola y = 1 + x ² con x ∈ [−1, 1].

4) Determinare la soluzione del problema di Cauchy ( y ⁰⁰ − 4y ⁰ + 5y = cos x

y(0) = y ⁰ (0) = ¹ ₄