Capitolo 1. INTRODUZIONE 4.1
Ulteriori test di raggiungibilit` a
Oltre alla relazione rangoR+ = n, esistono altri criteri che possono essere utilizzati per verificare la raggiungibilit`a o meno di un sistema dinamico.
• Propriet`a. (PBH test) Il sistema (A, B, C) `e raggiungibile se e solo se la matrice
sI − A B ha rango pieno per ogni s ∈ C.
• Propriet`a. (Struttura di Jordan dei sistemi raggiungibili) Sia dato il sistema (A, B, C) con A in forma canonica di Jordan e B partizionata in modo conforme ai miniblocchi di Jordan. Il sistema `e raggiungibile se e solo se per ciascun autovalore distinto λi di A, le ultime righe dei blocchi di B corrispondenti ai miniblocchi di Jordan sono linearmente indipendenti fra loro.
A =
λ1 1 0 0 0 0 0 λ1 1 0 0 0 0 0 λ1 0 0 0 0 0 0 λ1 1 0 0 0 0 0 λ1 0 0 0 0 0 0 λ1
B =
. . . . . . . .
× × ×
. . . .
× × ×
× × ×
Il sistema `e raggiungibile se e solo se le righe di B indicate con crocette (×) sono linearmente indipendenti fra di loro.
Il numero minimo di ingressi che il sistema deve avere per poter essere raggiungibile `e pari al numero massimo di miniblocchi associati allo stesso autovalore.
• Caratterizzazione “geometrica” dello spazio raggiungibile X+: X+ `e il pi`u piccolo sottospazio A-invariante contenente ImB.
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Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi A.A. 2005/2006
Capitolo 4. RAGGIUNGIBILIT `A E CONTROLLABILIT `A 4.2
Esempio. Per i sistemi diagonalizzabili con un solo ingresso, la condizione di raggiungi- bilit`a pu`o essere espressa in modo molto semplice.
x(k + 1) =
λ1
λ2
. ..
λn
x(k) +
b1
b2
...
bn
u(k)
La matrice di raggiungibilit`a del sistema `e:
R+ =
b1 λ1b1 λ12b1 . . . λn1−1b1
b2 λ2b2 λ22b2 . . . λn2−1b2
... ... ... ... ...
bn λnbn λ2nbn . . . λn−1n bn
che pu`o essere riscritta nel modo seguente:
R+ =
b1
b2
. ..
bn
1 λ1 λ21 . . . λn−11 1 λ2 λ22 . . . λn−12
... ... ... ... ...
1 λn λ2n . . . λn−1n
Quindi, il sistema risulta essere completamente raggiungibile se e solo se:
1) Tutti gli elementi bi (i = 1, . . . , n) sono non nulli;
2) Tutti gli autovalori sono distinti;
Cio`e il vettore b deve avere una componente non nulla lungo tutti gli autovettori del sistema.
Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi A.A. 2005/2006
