Definizione di Sistema Dinamico

Definizione di Sistema Dinamico

Un sistema dinamico `e definito dai seguenti oggetti:

• Un insieme ordinato dei tempi T ,

• Un insieme di valori di ingresso U,

• Un insieme di funzioni di ingresso ammissibili U, del tipo:

u(·) ∈ U | u(·) : T → U

• un insieme di valori di stato X,

• Un insieme di valori di uscita Y , e dalle seguenti funzioni:

• Funzione di transizione dello stato:

x(t) = ψ(t, t₀, x(t₀), u(·)) dove:

– t₀ ∈ T `e l’istante iniziale, – t ∈ T `e l’istante attuale, – x(t₀) ∈ X `e lo stato iniziale, – x(t) ∈ X `e lo stato attuale,

– u(·) ∈ U `e la funzione che definisce la sequenza dei valori di ingresso nell’intervallo [t₀, t]

• Funzione di uscita :

y(t) = η(t, x(t), u(t)) dove:

– t ∈ T `e l’istante attuale,

• Se la funzione di uscita non dipende dall’ingresso u(·):

y(t) = η(t, x(t))

il sistema `e strettamente causale (strettamente proprio).

• Se T = R, il sistema dinamico `e tempo-continuo

• Se T = Z, il sistema dinamico `e tempo-discreto

————–

Esempio: si consideri un sistema dinamico composto da un generatore di cor- rente u(t) ed un condensatore. La tensione ai capi del condensatore x(t) = ψ(t, t₀, x(t₀), u(·)), rappresenta lo stato del sistema.

6 C ⁶ y(t) = x(t)

u(t)

x(t) = x(t₀) + 1 C

t

t₀ u(τ )dτ = ψ(t, t₀, x(t₀), u(·))

?

“Storia” dell’ingresso u(t) nell’intervallo [t₀, t] : u(·)

Significato fisico delle variabili di stato

I valori assunti dalle variabili di stato in un generico istante di tempo contengono, nel loro complesso, tutta l’informazione sulla storia passata del sistema necessaria per valutare l’andamento futuro sia delle stesse variabili di stato che di quelle di uscita, una volta noto l’andamento degli ingressi per tempi successivi all’istante considerato.

t₀ t

x(t₀) x(t)

u(·)

Per determinare lo stato x(t) all’istante t `e necessario conoscere lo stato x(t₀) all’istante t₀ e la funzione di ingresso u(·) nell’intervallo di tempo [t0, t].

x(t) = ψ(t, t₀, x₀, u(·))

Il concetto di stato ci permette di non prendere in considerazione tutta la storia passata del sistema prima dell’istante t₀.

Le variabili di stato non sono definite in modo univoco: tipicamente esistono infiniti modi diversi di definire lo “stato” di un sistema;

Propriet` a di separazione

• Parte dinamica del sistema

La funzione di transizione permette di riassumere la storia passata del sistema nelle sue variabili di stato ad un certo istante t.

• Parte algebrica del sistema

La funzione di uscita esprime le variabili di uscita secondo grandezze note allo stesso istante t.

Traiettoria dello stato

Definizioni

• Definiamo evento la coppia stato-tempo:

{¯t, ¯x(¯t)} ∈ T × X

• Definiamo moto o movimento, considerato nell’intervallo t ∈ [t0, t₁], l’in- sieme degli eventi definiti dalla funzione di transizione:

{(t, x(t)) | x(t) = ψ(t, t0, x(t₀), u(·)), t ∈ [t0, t₁]} Il moto `e definito nello spazio prodotto cartesiano T × X.

• Definiamo traiettoria l’immagine in X della funzione di transizione nell’in- tervallo t ∈ [t0, t₁]:

{x(t) | x(t) = ψ(t, t0, x(t₀), u(·)), t ∈ [t0, t₁]} La traiettoria `e definita nello spazio degli stati X.

Traiettoria

Movimento

Sistema continuo regolare.

Definizioni:

• Un sistema si dice a dimensioni finite se U, X e Y sono spazi vettoriali a dimensioni finite (sistemi a costanti concentrate).

• Un sistema continuo si dice regolare se:

– Gli insiemi U,U, X, Y sono spazi vettoriali normati.

– La funzione di transizione ψ `e continua in tutti i suoi argomenti, e la sua derivata temporale <sub>dt</sub><sup>d</sup>ψ(t, t<sub>0</sub>, x(t<sub>0</sub>), u(·)) esiste ed `e continua rispetto a t in tutti i punti in cui u(·) `e continua.

– La trasformazione di uscita η `e continua nei suoi argomenti.

Nota: Per gli spazi vettoriali a dimensione finita la propriet`a di continuit`a non dipende dalla particolare norma scelta.

Nota: I sistemi a costanti distribuite e i ritardi puri sono esempi di sistemi

∞-dimensionali.

Proposizione. Il movimento x(t) = ψ(t, t₀, x(t₀), u(·)) di un sistema regolare e a dimensioni finite `e soluzione di una equazione differenziale vettoriale del tipo:

˙x(t) =^ dx(t)

dt = f (x(t), u(t), t)

Nota. Questa funzione, detta funzione di stato, viene usata, nella maggior parte dei casi, per caratterizzare la descrizione matematica della parte dinamica del sistema, invece della funzione di transizione.

Sistemi dinamici: notazioni

I vettori:

x(t) =

⎡

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

x₁(t) x₂(t)

...

x_n(t)

⎤

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

, u(t) =

⎡

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

u₁(t) u₂(t)

...

u_m(t)

⎤

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

, y(t) =

⎡

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

y₁(t) y₂(t)

...

y_p(t)

⎤

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

sono, rispettivamente, i vettori di:

• Stato, x(t) ∈ X = Rⁿ

• Ingresso, u(t) ∈ U = R^m

• Uscita, y(t) ∈ Y = R^p all’istante t ∈ T = R.

Compattando la notazione scriveremo:

⎧⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩

˙x(t) = f (x(t), u(t), t) y(t) = g(x(t), u(t), t)

Un sistema descritto da queste equazioni `e detto di dimensione n con m ingressi ed p uscite.

Nota. Per i sistemi discreti valgono notazioni equivalenti, sostituendo k ∈ Z

a t. ⎧

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎩

x(k + 1) = f (x(k), u(k), k) y(k) = g(x(k), u(k), k)

Modello matematico di un sistema fisico

• La costruzione del modello matematico `e anche un procedimento che permette di comprendere a pieno il fenomeno fisico che si vuol descrivere.

• Compromesso fra la semplicit`a del modello e la precisione nella descrizione del fenomeno fisico.

• Lo stesso fenomeno fisico pu`o essere descritto mediante modelli matematici diversi. Esempio: dinamica di una popolazione.

– Equazione di Maltus (modello lineare):

˙x(t) = r x(t)

⇓

x(t) = x₀e^rt

x(t): densit`a della popolazione r: tasso di crescita

x₀: densit`a all’istante t = 0

Modello valido solamente se la densit`a `e sufficientemente elevata da poter considerare “continuo” il fenomeno e se non vi sono limitazioni sulle risorse ambientali.

– Equazione logistica di Verhulst (modello non lineare):

˙x(t) = r

⎛

⎜⎝1− x(t) K

⎞

⎟⎠x(t)

dove K rappresenta la capacit`a portante del sistema.

– Per poter descrivere fenomeni come la depensazione critica:

˙x(t) = r

−a + bx(t) − cx²(t)



x(t)

Esempio. Si consideri la seguente rete elettrica:

u V

I

R C L

Per determinare il modello dinamico di questo sistema si procede ad assegnare una variabile di stato ad ogni elemento dinamico del sistema, cio`e ad ogni elemento che `e in grado di accumulare energia.

Q = C V, Φ = LI

Le equazioni dinamiche del sistema sono:

⎧⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎩

dQ

dt = C ˙V = u − I − V R dΦ

dt = L ˙I = V Indicando con x il vettore di stato

x =

⎡

⎢⎣ V I

⎤

⎥⎦ → ˙x =

⎡

⎢⎣

V˙ I˙

⎤

⎥⎦

le equazioni dinamiche del sistema possono essere scritte in forma matriciale:

⎧⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎩

˙x(t) =

⎡

⎢⎢

⎢⎣

−_CR¹ −_C¹

1

L 0

⎤

⎥⎥

⎥⎦x(t) +

⎡

⎢⎣

1 C

0

⎤

⎥⎦u(t) y(t) =



1 0



x(t)

In questo caso, quindi, il sistema `e lineare tempo-invariante.

Si supponga ora di voler tener conto nel modello del fatto che la resistenza varia al variare della temperatura: R = R(θ). In questo caso occorre aggiungere al sistema anche la seguente equazione differenziale che descrive la dinamica termica della resistenza:

θ =˙ V ²

cR − G

c θ + G c θ_e I parametri hanno il seguente significato

⎧⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎩

θ temperatura della resistenza θ_e temperatura esterna

c capacit`a termica della resistenza G conduttanza termica della resistenza Le equazioni dinamiche del sistema sono ora le seguenti:

⎧⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎩

V =˙ u

C − I

C − V

C R(θ) I =˙ V

L θ =˙ V²

c R(θ) − G

c θ + G c θ_e Indicando con x e u il vettore di stato e di uscita:

x =

⎡

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎣

V I θ

⎤

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎦, → u =

⎡

⎢⎣ u θ_e

⎤

⎥⎦

il sistema pu`o essere descritto in forma compatta nel modo seguente:

˙x = f(x, u)